数学（西藏卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学考前模拟卷，以西藏自治区成立60周年经济数据、杠杆受力等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计适配中考命题趋势，强化数学眼光与思维的应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、中心对称图形、科学计数法（结合西藏GDP数据）、整式运算等|基础题融入热点情境，如第3题用科学计数法表示西藏经济数据| |填空题|6/18|因式分解、方差、函数自变量范围、相似三角形、规律探究|第16题通过棋子图案考查归纳推理，体现创新意识| |解答题|10/72|统计与概率（西藏发展调查）、圆的切线证明、二次函数综合等|第22题结合西藏60周年考统计分析，第26题二次函数综合考查代数几何融合，强化模型意识与推理能力|

2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C． C B D A C D C D B 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．3xy（x+4）． 12．乙． 13．x≤2． 14．． 15．30． 16. 5n﹣1． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【解答】解： ＝﹣1+2+1（3分） ＝﹣1+2+1﹣2（4分） ．（5分） 18．（5分） 【解答】解：， 由①得：x＞﹣2，（1分） 由②得：x≤﹣1，（3分） ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1，（4分） ．（5分） 19．（5分） 【解答】解：原式 （1分） （2分） （3分） ，（4分） 根据分式有意义的条件可得x≠1，x≠﹣1， ∴当x＝0时，原式（答案不唯一）．（5分） 20．（5分） 【解答】证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，（1分） ∵CE∥BF， ∴∠DBF＝∠DCE，（2分） 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（ASA），（4分） ∴BF＝CE，（5分） 21．（8分） 【解答】解：（1）由题意可知，可可同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；琪琪同学所列方程中的y表示甲队修路700米所用时间． 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路700米所用时间；（2分） （2）选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； 故答案为：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等；（4分） （3）选择可可的方程，（5分） 去分母得700（x+30）＝1000x， 去括号得700x+21000＝1000x，（6分） 移项、合并同类项得﹣300x＝﹣21000， 系数化为1得x＝70，（7分） 经检验，x＝70是原方程的解． 答：甲队每天修路70米．（8分） 22．（8分） 【解答】解：解：（1）总调查人数是20÷40%＝50（人），（1分） “C等级”人数为50-15-20-5=10 “C等级”所对应的圆心角为×=72°（2分） 补全统计图如图： （3分） （2）A、B总人数：（人） 估计总人数：（人） 答：估计比较了解及以上的市民有5600人。（4分） （3） 画树状图如下： A等级：男2名（记男1、男2），女1名（记女1） B等级：女2名（记女2、女3），男1名（记男3）（5分） （7分） 共有15种等可能的结果数，其中抽到的2人恰好是1名男生和1名女生的结果数为8种， 所以抽到的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为．（8分） 23．（8分） 【解答】解：（1）把A（1，4）代入y2（m≠0）得：m＝4， ∴反比例函数的解析式为y；（1分） 把B（4，n）代入y，得：n＝1， ∴B（4，1）， 把A（1，4）、（4，1）代入y1＝kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（3分） （2）根据图象得，当x＜0或1＜x＜4，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方； ∴y1＞y2时x的取值范围为x＜0或1＜x＜4；（4分） （3）如图，作B关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于P，此时PA+PB＝AB′最小， ∵B（4，1）， ∴B′（﹣4，1），（5分） ∴AB′， ∴PA+PB的最小值是；设直线AB′的解析式为y＝px+q， ∴，解得，（6分） ∴直线AB′的解析式为yx，（7分） 令x＝0，得y， ∴点P的坐标为（0，）． （8分） 24．（8分） 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，（1分） 在Rt△ACD中，∠CAD＝36.9°， ∴CD＝AC•sin36.9°≈150×0.60＝90（米），（2分） ∵， ∴AD＝AC•cos36.9°≈150×0.80＝120（米），（4分） ∵， ∴（米），（6分） ∴AB＝AD+BD＝120+52.9≈173（米）， 答：湖泊两端A，B的距离约为173米．（8分） 25． （8分） 【解答】（1）证明：∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠A， ∵CO平分∠ACD， ∴∠OCA＝∠OCD，（1分） ∵， ∴∠A＝∠D， ∴∠OCD＝∠D， ∴OC∥DE，（2分） ∵CE⊥DB，交DB延长线于点E， ∴∠E＝90°， ∴∠OCE＝180°﹣∠E＝90°，（3分） ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线；（4分） （2）解：∵⊙O的半径为10，AB是⊙O的直径， ∴AB＝2×10＝20，∠ACB＝90°，（5分） ∵∠A＝∠D， ∴， ∴， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC，（6分） ∵∠BCE+∠OCB＝∠OCE＝90°，∠A+∠OBC＝90°， ∴∠BCE＝∠A， ∴，（7分） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴BD的长为．（8分） 26．（12分） 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx+3， 则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2分） 抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝4，即点D（1，4）；（3分） （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点B、C、D的坐标得，BC2＝32+32＝18， 同理可得：BD2＝20，CD2＝2，（4分） 即BD2＝CD2+BC2，故△BCD为直角三角形；（5分） （3）当1≤x≤m且m＞1时，y随x的增大而减小， 故当x＝1时，ymax＝s＝4， 当x＝m时，ymin＝t＝﹣m2+2m+3；（6分） 由s﹣t＝2得：4﹣（﹣m2+2m+3）＝2， 解得：m＝1（负值已舍去）；（7分） （4）可以，理由： 设抛物线向下平移n个单位得到抛物线为：y＝﹣x2+2x+3﹣n， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 联立上述两式得：﹣x+3＝﹣x2+2x+3﹣n，（9分） 则Δ＝9﹣4n＝0，则n， 由x2﹣3x0，（11分） 解得x， 则点P（，）， 即当抛物线沿y轴向下平移个单位长度时，抛物线与直线恰好只有一个公共点P，P（，）．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1n.5分)(-225+4+（π-3.14到°-12-同 18.(5分) 方432山01234与+ 19.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(5分) D C 21.(8分) (1)达瓦同学所列方程中的x表示 ；曲珍同学所列方程中的y表 示 (2)在达瓦和曲珍所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关 系： ； (3)利用(2)中你所选择的方程，解答该例题. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 人数 图1：条形统计 25 D109 A309% C20% 10 0 ■ A啡常了解吡较了解墓本了解D怀了解 640% 23.(8分) A(1,4) B(4n) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 36.95860 A ⊙ 25.(8分) A D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) y y D C B A/0 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在﹣3，，2，四个数中，最大的数是（　　） A．﹣3 B． C． D．2 【解答】解：∵﹣32， ∴最大的数是：． 故选：C． 2．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、该图不是中心对称图形，不符合题意； B、该图不是中心对称图形，不符合题意； C、该图是中心对称图形，符合题意； D、该图不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 3．（热点）根据2026年2月发布的《西藏自治区国民经济和社会发展第十五个五年规划纲要》显示，西藏自治区成立60年来，经济社会发展取得举世瞩目的成就。地区生产总值从1965年的3.27亿元增长至2025年的3032亿元。 将2025年西藏自治区的地区生产总值“3032亿元”用科学计数法表示为（ ）元。 A．3.032×1010 B．3.032×1011 C．30.32×1010 D．0.3032×1012 【解答】解：32032亿＝303200000000=3.032×1011 故选：B． 4．下列运算正确的是（　　） A．（2x）3＝6x3 B．2x2•3x3＝6x6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．2x3÷x2＝2x 【解答】解：（2x）3＝8x3，故选项A错误，不符合题意； 2x2•3x3＝6x5，故选项B错误，不符合题意； （x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项C错误，不符合题意； 2x3÷x2＝2x，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 5．如图是杠杆受力示意图，重力G与拉力F的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若∠2＝70°，则∠1的度数是（　　） A．110° B．100° C．120° D．130° 【解答】解：如图所示： ∵AG∥BF， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠2＝70°， ∴∠1＝180°﹣70°＝110°， 故选：A． 6．如果一个多边形的每个内角都是135°，那么它的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：设这个多边形的边数为n， 则（n﹣2）×180°＝135°n， 解得n＝8， 故选：C． 7．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根， ∴x1x21， ∴1． 故选：D． 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝120°，则∠BOD的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝120°， ∴∠A＝180°﹣120°＝60°； ∴∠BOD＝2∠A＝2×60°＝120°， 故选：C． 9．两张宽度相同 （AB＝AF） 的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AE＝BC，若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AECF是全等的矩形， ∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF， ∴四边形AGCH是平行四边形， 在△ABG和△CEG中， ， ∴△ABG≌△CEG（AAS）， ∴AG＝CG， 又∵四边形AGCH是平行四边形， ∴四边形AGCH是菱形， 设AG＝CG＝x， 则BG＝BC﹣CG＝3﹣x， 在Rt△ABG中，由勾股定理得12+（3﹣x）2＝x2， 解得， ∴图中重叠（阴影）部分的面积＝CG•， 故选：D． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于两点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③abc＞0；④当m≠﹣1时，a﹣b＜am2+bm．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个不同交点， ∴b2﹣4ac＞0，①正确． ∵抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0）， ∴抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝2a，即2a﹣b＝0，②正确． ∵抛物线开口向上， ∴a＞0，b＞0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，③错误． ∵x＝﹣1时，y取最小值， ∴a﹣b+c＜am2+bm+c（m≠﹣1）， ∴当m≠﹣1时，a﹣b＜am2+bm，④正确． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：3x2y+12xy＝　3xy（x+4）　 ． 【解答】解：3x2y+12xy＝3xy（x+4）， 故答案为：3xy（x+4）． 12．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲生10次立定跳远成绩的方差为，乙生10次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是　乙　 ．（填“甲”或“乙”） 【解答】解：∵甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，，， 0.35＜0.6， ∴甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是乙， 故答案为：乙． 13．在函数y中，自变量x的取值范围是 x≤2　 ． 【解答】解：由题意得： 2﹣x≥0且x﹣5≠0， ∴x≤2且x≠5， ∴x≤2， 故答案为：x≤2． 14．如图，△ABC中，DE∥BC，，则　　 ． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交NC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线AP交边BC于点D．若CD＝8，，则AB的长为 　30　 ． 【解答】解：过点D作PE⊥AB于E， ∵AP平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝8， 在Rt△BED中，tanB， 设DE＝4x，则BE＝3x， ∴BD5x， ∴cosB， ∴4x＝8， ∴x＝2， ∴BD＝10， ∴BC＝18， 在Rt△ABC中，cosB， ∴AB30． 故答案为：30． 16．用完全相同的黑棋子按如图所示的规律拼摆出图案，第1个图案有4个黑棋子，第2个图案有9个黑棋子，第3个图案有14个黑棋子，…依此规律，第n个图案有S个黑棋子，则S＝　5n﹣1　 （用含n的式子填空，并化成最简结果）． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图案中黑棋子的个数为：4＝1×5﹣1； 第2个图案中黑棋子的个数为：9＝2×5﹣1； 第3个图案中黑棋子的个数为：14＝3×5﹣1； …， 所以第n个图案中黑棋子的个数为5n﹣1， 即S＝5n﹣1． 故答案为：5n﹣1． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 【解答】解： ＝﹣1+2+1 ＝﹣1+2+1﹣2 ． 18．（5分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣2， 由②得：x≤﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1， ． 19．（5分）先化简，再求值： ，请从﹣1，0，1，2这四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【解答】解：原式 ， 根据分式有意义的条件可得x≠1，x≠﹣1， ∴当x＝0时，原式（答案不唯一）． 20．（5分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF．求证：BF＝CE． 【解答】证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵CE∥BF， ∴∠DBF＝∠DCE， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（ASA）， ∴BF＝CE， 21．（8分）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可：； 琪琪：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）可可同学所列方程中的x表示　甲队每天修路的长度　 ；琪琪同学所列方程中的y表示　甲队修路700米所用时间　 ； （2）在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：　甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等　 ； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 【解答】解：（1）由题意可知，可可同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；琪琪同学所列方程中的y表示甲队修路700米所用时间． 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路700米所用时间； （2）选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； 故答案为：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； （3）选择可可的方程， 去分母得700（x+30）＝1000x， 去括号得700x+21000＝1000x， 移项、合并同类项得﹣300x＝﹣21000， 系数化为1得x＝70， 经检验，x＝70是原方程的解． 答：甲队每天修路70米． 22．（热点）（8分）2025年是西藏自治区成立60周年。60年来，西藏经济社会发展取得历史性成就，人民生活水平显著提高。某中学九年级（1）班数学兴趣小组，为了解家乡居民对“西藏和平解放以来生活水平变化”的知晓情况，随机调查了部分居民，并将调查结果分为四个等级： A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不了解 根据调查数据，绘制了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名居民；扇形统计图中，“C等级”所对应的圆心角为______度。 (2) 若该校所在社区共有居民约8000人，请根据样本数据，估计该社区对“西藏和平解放以来生活水平变化”** 比较了解及以上**（即A和B等级）的居民约有多少人？ (3) 从被调查的居民中随机抽取2人参加座谈会，已知A等级中有2名男性和1名女性，B等级中有1名男性和2名女性。请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率. 【解答】解：（1）总调查人数是20÷40%＝50（人）， “C等级”人数为50-15-20-5=10 “C等级”所对应的圆心角为×=72° 补全统计图如图： （2）A、B总人数：（人） 估计总人数：（人） 答：估计比较了解及以上的市民有5600人。 （3） 画树状图如下： A等级：男2名（记男1、男2），女1名（记女1） B等级：女2名（记女2、女3），男1名（记男3） 共有15种等可能的结果数，其中抽到的2人恰好是1名男生和1名女生的结果数为8种， 所以抽到的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 23．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2（m≠0）在第一象限的图象交于A（1，4），B（4，n）两点． （1）求出反比例函数的解析式和点B的坐标； （2）根据图象直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求出PA+PB的最小值和点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（1，4）代入y2（m≠0）得：m＝4， ∴反比例函数的解析式为y； 把B（4，n）代入y，得：n＝1， ∴B（4，1）， 把A（1，4）、（4，1）代入y1＝kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5； （2）根据图象得，当x＜0或1＜x＜4，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方； ∴y1＞y2时x的取值范围为x＜0或1＜x＜4； （3）如图，作B关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于P，此时PA+PB＝AB′最小， ∵B（4，1）， ∴B′（﹣4，1）， ∴AB′， ∴PA+PB的最小值是； 设直线AB′的解析式为y＝px+q， ∴，解得， ∴直线AB′的解析式为yx， 令x＝0，得y， ∴点P的坐标为（0，）． 24．（8分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某数学兴趣小组采用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面上的点C处，从C点测得A点的俯角为36.9°，测得B点的俯角为60°（A，B，C三点在同一竖直平面内），并测得点C到点A的距离为150米，求湖泊两端A，B的距离．（结果精确到1米）．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，， 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 在Rt△ACD中，∠CAD＝36.9°， ∴CD＝AC•sin36.9°≈150×0.60＝90（米）， ∵， ∴AD＝AC•cos36.9°≈150×0.80＝120（米）， ∵， ∴（米）， ∴AB＝AD+BD＝120+52.9≈173（米）， 答：湖泊两端A，B的距离约为173米． 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为10，，求BD的长． 【解答】（1）证明：∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠A， ∵CO平分∠ACD， ∴∠OCA＝∠OCD，（1分） ∵， ∴∠A＝∠D， ∴∠OCD＝∠D， ∴OC∥DE，（2分） ∵CE⊥DB，交DB延长线于点E， ∴∠E＝90°， ∴∠OCE＝180°﹣∠E＝90°，（3分） ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线；（4分） （2）解：∵⊙O的半径为10，AB是⊙O的直径， ∴AB＝2×10＝20，∠ACB＝90°，（5分） ∵∠A＝∠D， ∴， ∴， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC，（6分） ∵∠BCE+∠OCB＝∠OCE＝90°，∠A+∠OBC＝90°， ∴∠BCE＝∠A， ∴，（7分） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴BD的长为．（8分） 26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，顶点为D点． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）连接BD，CD，判断△BCD的形状； （3）当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值； （4）沿y轴向下平移抛物线，可否使得抛物线与直线BC恰好只有一个公共点P？若可以，请求出抛物线平移的距离和点P的坐标；若不可以，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx+3， 则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝4，即点D（1，4）； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 由点B、C、D的坐标得，BC2＝32+32＝18， 同理可得：BD2＝20，CD2＝2， 即BD2＝CD2+BC2， 故△BCD为直角三角形； （3）当1≤x≤m且m＞1时，y随x的增大而减小， 故当x＝1时，ymax＝s＝4， 当x＝m时，ymin＝t＝﹣m2+2m+3； 由s﹣t＝2得：4﹣（﹣m2+2m+3）＝2， 解得：m＝1（负值已舍去）； （4）可以，理由： 设抛物线向下平移n个单位得到抛物线为：y＝﹣x2+2x+3﹣n， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 联立上述两式得：﹣x+3＝﹣x2+2x+3﹣n， 则Δ＝9﹣4n＝0，则n， 由x2﹣3x0， 解得x， 则点P（，）， 即当抛物线沿y轴向下平移个单位长度时，抛物线与直线恰好只有一个公共点P，P（，）． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在﹣3，，2，四个数中，最大的数是（　　） A．﹣3 B． C． D．2 2．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（热点）根据2026年2月发布的《西藏自治区国民经济和社会发展第十五个五年规划纲要》显示，西藏自治区成立60年来，经济社会发展取得举世瞩目的成就。地区生产总值从1965年的3.27亿元增长至2025年的3032亿元。 将2025年西藏自治区的地区生产总值“3032亿元”用科学计数法表示为（ ）元。 A．3.032×1010 B．3.032×1011 C．30.32×1010 D．0.3032×1012 4．下列运算正确的是（　　） A．（2x）3＝6x3 B．2x2•3x3＝6x6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．2x3÷x2＝2x 5．（新情境）如图是杠杆受力示意图，重力G与拉力F的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若∠2＝70°，则∠1的度数是（　　） A．110° B．100° C．120° D．130° 6．如果一个多边形的每个内角都是135°，那么它的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则（　　） A． B． C．1 D．﹣1 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝120°，则∠BOD的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 9．两张宽度相同 （AB＝AF） 的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AE＝BC，若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于两点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③abc＞0；④当m≠﹣1时，a﹣b＜am2+bm．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：3x2y+12xy＝　 　 ． 12．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲生10次立定跳远成绩的方差为，乙生10次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是　 　 ．（填“甲”或“乙”） 13．在函数y中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 14．如图，△ABC中，DE∥BC，，则　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交NC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线AP交边BC于点D．若CD＝8，，则AB的长为 　 　 ． 16．用完全相同的黑棋子按如图所示的规律拼摆出图案，第1个图案有4个黑棋子，第2个图案有9个黑棋子，第3个图案有14个黑棋子，…依此规律，第n个图案有S个黑棋子，则S＝　 　 （用含n的式子填空，并化成最简结果）． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（5分）先化简，再求值： ，请从﹣1，0，1，2这四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 20．（5分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF．求证：BF＝CE． 21．（8分）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可：； 琪琪：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）达瓦同学所列方程中的x表示　 　 ；曲珍同学所列方程中的y表示　 　 ； （2）在达瓦和曲珍所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：　 　 ； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 22．（热点）（8分）2025年是西藏自治区成立60周年。60年来，西藏经济社会发展取得历史性成就，人民生活水平显著提高。某中学九年级（1）班数学兴趣小组，为了解家乡居民对“西藏和平解放以来生活水平变化”的知晓情况，随机调查了部分居民，并将调查结果分为四个等级： A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不了解 根据调查数据，绘制了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名居民；扇形统计图中，“C等级”所对应的圆心角为______度。 (2) 若该校所在社区共有居民约8000人，请根据样本数据，估计该社区对“西藏和平解放以来生活水平变化”** 比较了解及以上**（即A和B等级）的居民约有多少人？ (3) 从被调查的居民中随机抽取2人参加座谈会，已知A等级中有2名男性和1名女性，B等级中有1名男性和2名女性。请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率. 23．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2（m≠0）在第一象限的图象交于A（1，4），B（4，n）两点． （1）求出反比例函数的解析式和点B的坐标； （2）根据图象直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求出PA+PB的最小值和点P的坐标． 24．（8分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某数学兴趣小组采用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面上的点C处，从C点测得A点的俯角为36.9°，测得B点的俯角为60°（A，B，C三点在同一竖直平面内），并测得点C到点A的距离为150米，求湖泊两端A，B的距离．（结果精确到1米）．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，， 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为10，，求BD的长． 26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，顶点为D点． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）连接BD，CD，判断△BCD的形状； （3）当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值； （4）沿y轴向下平移抛物线，可否使得抛物线与直线BC恰好只有一个公共点P？若可以，请求出抛物线平移的距离和点P的坐标；若不可以，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分)(-1)2025+V4+(-3.14)0-12-V3. 18.(5分) 为4为之山01之月4为→ 19.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(5分) E B D 21.(8分) (1)达瓦同学所列方程中的x表示 ；曲珍同学所列方程中的y表 示 (2)在达瓦和曲珍所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关 系 (3)利用(2)中你所选择的方程，解答该例题. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 人数 图1：条形统计 D109 A30% 1510 C20% 0 ■ A非常了解比较了解C基本了解D不了解 B40% 23.(8分) y个 A(1.4) B(4,n) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 36.9860 A ◇ 25.(8分) E A 0 ⊙ D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) y D C A A 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在﹣3，，2，四个数中，最大的数是（　　） A．﹣3 B． C． D．2 2．下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（热点）根据2026年2月发布的《西藏自治区国民经济和社会发展第十五个五年规划纲要》显示，西藏自治区成立60年来，经济社会发展取得举世瞩目的成就。地区生产总值从1965年的3.27亿元增长至2025年的3032亿元。 将2025年西藏自治区的地区生产总值“3032亿元”用科学计数法表示为（ ）元。 A．3.032×1010 B．3.032×1011 C．30.32×1010 D．0.3032×1012 4．下列运算正确的是（　　） A．（2x）3＝6x3 B．2x2•3x3＝6x6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．2x3÷x2＝2x 5．（新情境）如图是杠杆受力示意图，重力G与拉力F的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若∠2＝70°，则∠1的度数是（　　） A．110° B．100° C．120° D．130° 6．如果一个多边形的每个内角都是135°，那么它的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则（　　） A． B． C．1 D．﹣1 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝120°，则∠BOD的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．125° 9．两张宽度相同 （AB＝AF） 的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AE＝BC，若AB＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于两点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③abc＞0；④当m≠﹣1时，a﹣b＜am2+bm．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：3x2y+12xy＝　 　 ． 12．甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲生10次立定跳远成绩的方差为，乙生10次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是　 　 ．（填“甲”或“乙”） 13．在函数y中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 14．如图，△ABC中，DE∥BC，，则　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交NC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于之长为半径作弧，两弧相交于点P，射线AP交边BC于点D．若CD＝8，，则AB的长为 　 　 ． 16．用完全相同的黑棋子按如图所示的规律拼摆出图案，第1个图案有4个黑棋子，第2个图案有9个黑棋子，第3个图案有14个黑棋子，…依此规律，第n个图案有S个黑棋子，则S＝　 　 （用含n的式子填空，并化成最简结果）． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（5分）先化简，再求值：，请从﹣1，0，1，2这四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 20．（5分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF．求证：BF＝CE． 21．（8分）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可：； 琪琪：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）达瓦同学所列方程中的x表示　 　 ；曲珍同学所列方程中的y表示　 　 ； （2）在达瓦和曲珍所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：　 　 ； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 22．（热点）（8分）2025年是西藏自治区成立60周年。60年来，西藏经济社会发展取得历史性成就，人民生活水平显著提高。某中学九年级（1）班数学兴趣小组，为了解家乡居民对“西藏和平解放以来生活水平变化”的知晓情况，随机调查了部分居民，并将调查结果分为四个等级： A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不了解 根据调查数据，绘制了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名居民；扇形统计图中，“C等级”所对应的圆心角为______度。 (2) 若该校所在社区共有居民约8000人，请根据样本数据，估计该社区对“西藏和平解放以来生活水平变化”** 比较了解及以上**（即A和B等级）的居民约有多少人？ (3) 从被调查的居民中随机抽取2人参加座谈会，已知A等级中有2名男性和1名女性，B等级中有1名男性和2名女性。请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率. 23．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2（m≠0）在第一象限的图象交于A（1，4），B（4，n）两点． （1）求出反比例函数的解析式和点B的坐标； （2）根据图象直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求出PA+PB的最小值和点P的坐标． 24．（8分）如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某数学兴趣小组采用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面上的点C处，从C点测得A点的俯角为36.9°，测得B点的俯角为60°（A，B，C三点在同一竖直平面内），并测得点C到点A的距离为150米，求湖泊两端A，B的距离．（结果精确到1米）．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，， 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为10，，求BD的长． 26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，顶点为D点． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）连接BD，CD，判断△BCD的形状； （3）当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值； （4）沿y轴向下平移抛物线，可否使得抛物线与直线BC恰好只有一个公共点P？若可以，请求出抛物线平移的距离和点P的坐标；若不可以，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $