专题12 圆锥曲线核心考点讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

复盘固化核心常考点专题 专题12 圆锥曲线核心考点精讲点 一、考点总结与提升 1.椭圆的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法、焦点三角形面积； 双曲线的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法、焦点到渐近线距离b、渐近线斜率、相似三角形、焦点三角形面积； 折线和差最值要考虑用定义进行转化；求离心率问题得到a,c的二次方程后可以等式两边同时除化简为e的二次方程. 抛物线的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法、相似三角形、重心结论（）、焦点弦的三种求法（最常用后边两种，要注意开口方向）、焦半径比值（A点在第一象限）；开口向上或向下的抛物线中切线问题可求导，求斜率； 以为直径的圆与抛物线的准线相切；过点作垂直于准线，过点作垂直于准线，以为直径的圆与抛物线的弦相切；以为直径的圆与轴相切. 2.椭圆第二定义 已知点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数 ，求点的轨迹. 解析：化简得 令，上述方程就可化为 3.双曲线第二定义 类似地，我们可以得到:当点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数时，这个点的轨迹是双曲线，方程为(其中)，这个常数就是双曲线的离心率. 解析：设是动点，定点为，定直线为，常数，由上述可得：，化简得到．其中． 4.圆锥曲线第二定义 这样，圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点和到一条定直线不在上)的距离之比等于常数的点的轨迹. 当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线.其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆雉曲线的准线. 二、典例精讲 核心考点01.求离心率 1．设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D．2 【解析】由题意知，，即 ，由于，解得. 故选：B. 2．已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【解析】如图：    设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 【解析】不妨假设在第一象限，因为，所以．由图形的对称性知四边形为矩形， 因为的面积为，所以的面积为， 所以，即． 又因为，所以，， 在中，，则，所以. 故选：A． 4．（多选）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【解析】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确，故选：ACD. 核心考点02.求轨迹方程 1. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为 A． B． C． D． 【解析】设.由已知可知，又，又，可得点C的轨迹方程为. 2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点． （1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； （2）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由条件知，，设，． 设，则，， ，，由得 即，于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是． （2）假设在轴上存在定点，使为常数． 当不与轴垂直时，设直线的方程是． 代入有． 则是上述方程的两个实根，所以，， 于是 ． 因为是与无关的常数，所以，即，此时. 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，， 此时． 故在轴上存在定点，使为常数． 核心考点03. 弦长、面积最值 1．已知椭圆的焦距为，点在上，直线交于两点. (1)求的方程； (2)为坐标原点，，求的取值范围； (3)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点. 【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，，所以焦点坐标为. 由椭圆的定义知， . 所以，，所以. 所以椭圆的方程为. （2）设 ，由点在椭圆上，得， 所以 因为，所以. 由，可得， 由点在椭圆上，得， 所以 因为， 所以. ​​所以. 因为 ， 所以. 因为，所以. 所以的取值范围是. （3）设. 当直线斜率不存在时，直线方程为，. 由点在椭圆上，得. 直线的斜率之积为，所以， 即，所以，所以或. 此时直线方程为. 当直线斜率存在时，直线方程为. 由，得. ，得. . 直线的斜率之积为， 所以. 因为 ； . 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或. 当时，直线恒过定点； 当时，直线，恒过定点与点重合，所以三点共线，不符合题意，舍去. 直线也过点. 综上所述，直线恒过定点. 2．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【解析】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 3．已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1. (1)求椭圆的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点， （i）求点M到直线距离的最大值； （ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值. 【解析】（1）由题意：，解得. 所以椭圆的方程为：. （2）（i）如图： 易知：，，所以直线的方程为：. 设，因为在第一象限，所以可取. 所以点到直线的距离为： ，当时取“”. 所以点M到直线距离的最大值为. （ii）因为直线的方程为：，令可得； 直线的方程为：，令可得. 所以四边形的面积为： 为定值. 又面积的最大值为：， 所以面积的最大值为：. 核心考点04. 定值问题 1．在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)设点为圆上异于和的任意一点，若直线与直线分别交于点，求证：两点的纵坐标之积为定值. 【解析】（1）圆心，半径， 线段的垂直平分线交半径于点 点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程为 （2） 直线过，斜率为，直线， 联立， 可得，即，只有一个解， 直线与椭圆相切. （3）设，线段中点 所以直线，即， 当时，， 当时，， ， . 2．已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【解析】（1）由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. （2）（i）记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 三、高考练场 1．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则__________.    【解析】：因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得，由椭圆C的方程为，所以,,由椭圆的定义可知：，由椭圆的光学性质得到直线平分，可得. 故答案为：. 2．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【解析】（1）设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ， 化简得：． （2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得． 所以 所以中点坐标． 因为点在直线上，所以． 因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点， 若直线过点，则， 若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即， 化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，． 因为，所以， 所以． 3．（2026·河南开封·一模）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 【解析】（1）设点的坐标为，依题意得， 化简得，所以的方程为． （2）直线过点且斜率为1， 直线为，即 ， 设， 联立，化简得： ，则， 又，把代入， 得, ， ． 4．已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围； (3)过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线. 【解析】（1）依题意可得解得，所以的方程为. （2）由题意可知，直线的方程可设为，设， 联立整理得， 因为恰好被轴平分，即， 易知直线的斜率与直线的斜率存在且， 即， 整理得，即，即. 因为，所以时符合题意，即直线经过定点（1，0）， 所以的面积， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以面积的取值范围是. （3）证明：依题意，根据对称性，不妨设在轴上方， 于是可化为，则， 设直线的方程为， 则在两点处的切线分别为， 整理可得在两点处的切线分别为. 设，则， 所以两点均在直线上，即直线的方程为. 又直线的方程为，即，所以，即， 则， 又， 联立两式作差可得， 即，即，即， 所以，所以三点共线. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 【解析】（1）由题意知，可得，解得， 因为点到直线的距离为2，可得， 又因为，可得，所以的方程为． （2）（ⅰ）由（1）知双曲线的左顶点为， 设，，由题意知直线l斜率不为0，设直线， 联立方程组，整理得， 所以，且，， 所以 ，故直线的斜率之积为定值． （ⅱ）由题意，直线斜率存在，且不为0，设直线，其中， 则直线PE的方程为， 联立方程组，解得， 用替换上式中的得点Q的纵坐标， 则， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以的最大值为．    6．在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为． (1)判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由； (2)记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线． （i）求曲线在平面直角坐标系下的方程； （ii）已知，，设过点的直线与曲线交于，两点（异于点），三角形的外心为．设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【解析】（1）设，则， 表示点到距离之和为. 所以点的轨迹为，长轴为的椭圆. （2）（i）由（1），，则：. 因为是上任意一点，所以设, 由题 ， 设点在实平面内的坐标为，, 则. 所以, 又沿向量平移得到曲线， 在平面直角坐标系下的方程为：. （ii）由题，设， 由已知直线的斜率存在，且显然不为零， 可设直线方程为：,由， 消去并化简可得：. 判别式，， 设过三点的圆方程为：. 又,所以，     所以， 因为在椭圆上，所以 所以， 所以 因为,所以，所以,化简得. 由圆的一般方程可知三角形的外接圆的圆心为， 则，又，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题12 圆锥曲线核心考点精讲点 一、考点总结与提升 1.椭圆的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法、焦点三角形面积； 双曲线的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法、焦点到渐近线距离b、渐近线斜率、相似三角形、焦点三角形面积； 折线和差最值要考虑用定义进行转化；求离心率问题得到a,c的二次方程后可以等式两边同时除化简为e的二次方程. 抛物线的定义、标准方程、通经、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法、相似三角形、重心结论（）、焦点弦的三种求法（最常用后边两种，要注意开口方向）、焦半径比值（A点在第一象限）；开口向上或向下的抛物线中切线问题可求导，求斜率； 以为直径的圆与抛物线的准线相切；过点作垂直于准线，过点作垂直于准线，以为直径的圆与抛物线的弦相切；以为直径的圆与轴相切. 2.椭圆第二定义 已知点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数 ，求点的轨迹. 解析：化简得 令，上述方程就可化为 3.双曲线第二定义 类似地，我们可以得到:当点到定点的距离和它到定直线的距离之比是常数时，这个点的轨迹是双曲线，方程为(其中)，这个常数就是双曲线的离心率. 解析：设是动点，定点为，定直线为，常数，由上述可得：，化简得到．其中． 4.圆锥曲线第二定义 这样，圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点和到一条定直线不在上)的距离之比等于常数的点的轨迹. 当时，它是椭圆；当时，它是双曲线；当时，它是抛物线.其中是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆雉曲线的准线. 二、典例精讲 核心考点01.求离心率 1．设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D．2 2．已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与交于两点，，且的面积为，则的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 核心考点02.求轨迹方程 1. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，若点C满足，其中，，且，则点C的轨迹方程为 A． B． C． D． 2. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点． （1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； （2）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 核心考点03. 弦长、面积最值 1．已知椭圆的焦距为，点在上，直线交于两点. (1)求的方程； (2)为坐标原点，，求的取值范围； (3)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点. 2．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 3．已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1. (1)求椭圆的方程； (2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点， （i）求点M到直线距离的最大值； （ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值. 核心考点04. 定值问题 1．在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)设点为圆上异于和的任意一点，若直线与直线分别交于点，求证：两点的纵坐标之积为定值. 2．已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 三、高考练场 1．如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则__________.    2．（2026·江苏南通·一模）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 3．（2026·河南开封·一模）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 4．已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围； (3)过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 6．在复平面上，复数对应的点为，且复数满足的方程为． (1)判断点的轨迹是什么曲线？并说明理由； (2)记点的轨迹为曲线，是上任意一点，定义变换，变换后的点形成曲线，再将曲线沿向量平移得到曲线． （i）求曲线在平面直角坐标系下的方程； （ii）已知，，设过点的直线与曲线交于，两点（异于点），三角形的外心为．设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $