专题10 数列核心考点精析：从基础到综合应用——2026届高三数学三轮冲刺讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦数列核心考点，涵盖等差与等比数列的定义、公式、性质及判定方法，按基础概念到综合应用的逻辑层次展开，通过考点总结、典例精讲、高考练场环节，帮助学生系统梳理知识网络，掌握解题方法，提升实战能力。 讲义突出数学思维与模型意识，如通过定义法、中项法培养推理能力，构造辅助数列解决递推问题建立模型，奇偶分段数列分奇偶求和突破难点。设置分层练习，从典例到高考真题，确保复习针对性，为教师提供清晰考点框架，助力把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

复盘固化核心常考点专题 专题10 数列核心考点精析：从基础到综合应用 读考点 一、考点总结与提升 （一）等差数列及其应用 （1）等差数列的通项公式：或. 有几种方法可以计算公差：①；②；③. （2）等差数列的前项和公式1：. （3）等差数列的前项和公式2：. 2.证明为等差数列的方法： （1）定义法：(为常数，)为等差数列； 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子和，但它们的意义不同，后者必须加上“”，否则时，无定义. （2）中项法：为等差数列； （3）通项法：为的一次函数为等差数列； （4）前项和法：或. 3.等差数列的性质 （1）在等差数列中，若，则(). 注意：但通常由推不出，因为有常数列的存在. （2）在等差数列中，、、、、…仍为等差数列，公差为. （若为等差数列，则、、、…仍为等差数列，公差为. （3）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值. 时为递减数列，且当时前项和有最大值. （4）等差数列的首项是，公差为.若其前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件. （5）公差为的等差数列的前项和为，则数列必是首项为，公差为的等差数列. （6）若两个等差数列、相加组成一个新数列，则必为等差数列，公差为数列、的公差之和. （7）若两个等差数列、的前项和分别为和，则. 4.对等差数列前项和的最值问题有三种方法： 利用：①当，，前项和有最大值，可由且，求得的值；②当，，前项和有最小值，可由且，求得的值. 注意：求的最值时，当时取两个值. 利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值. （二）等比数列及其应用 （1）一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示()，即：(，，). 注：从第二项起与前一项之比为常数：成等比数列(，). （2）等比数列的通项公式：()或()； （3）等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式()，它的图像是分布在曲线()上的一些孤立的点. 当，时，等比数列是递增数列；    当，时，等比数列是递增数列； 当，时，等比数列是递减数列； 当，时，等比数列是递减数列； 当时，等比数列是摆动数列；            当时，等比数列是常数列. （4）当时，①或②；当时，. 证明：设等比数列、、、…，它的前项和是， 由得， ∴；∴当时，，当时，； 2.等比数列的判定与证明方法 （1）定义法：若(，)或(，，)，则是等比数列. （2）等比中项法：若数列中，且()，则是等比数列. （3）通项公式法：若数列通项公式可写成(，，)，则是等比数列. （4）前n项和法 3.等比数列的性质 （1）等比中项：如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，那么称这个数为与的等比中项.即(、同号). 如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，则； 反之，若，则，即、、成等比数列， ∴、、成等比数列b(). 等比中项的性质：①()；()； （2）若，则. 注意：但通常由推不出，因为有非零常数列的存在. （3）数列首项是，公比为，数列首项为，公比为，则数列是首项为，公比为的等比数列，同理数列是首项为，公比为的等比数列. （4）在公比为的等比数列中，数列、、、…仍是等比数列. （5）公比为；数列、、、…仍是等比数列(此时). 二、典例精讲 核心考点01.数列的基本量法 例1．记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 解析：由题知，，解得，∴，故选A． 例2．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 解析：方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即,又，解得：， 所以．故选：C. 方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C. 例3．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 解析：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾， 所以，则，解得，所以.故选：D. 例4.设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．30 D．32 解析：设等比数列的公比为，则， ， 因此，.故选：D. 例5.设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 解析：由题知,即,即,即.由题知,所以.所以.故选:C. 例6．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 解析：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以． 故选：C． 核心考点02.数列的性质运用 例7．已知为等差数列， 为的前项和． 若， 则当取最大值时， 的值为（    ） A． B．4 C． D． 解析：因为，所以，又，所以，所以，则.故选: C. 例8．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为等差数列，的前n项和分别是， 所以.故选：B 例9．已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（    ） A．9 B．10 C．17 D．18 解析：因为，所以异号，因为，所以，又有，所以，即，因为，，所以的最大整数n为17.故选：C 例10．已知是等差数列的前n项和，若，，则＝__________ 解析：由等差数列前项和的性质得：，，成等差数列， 所以，得，解得.故答案为： 例11．若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（    ） A． B．1011 C． D．1012 解析：因为等比数列中的，是方程的两个根，所以，根据等比数列性质知，，因为，于是， 则==.故A，B，D错误.故选：C. 例12．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 解析：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则， 从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，， 与矛盾，舍去．故选：C． 例13.已知等比数列的前项和为，则实数的值是（    ） A． B．3 C． D．1 解析：等比数列的前项和为，当时，可得，可得，当时，，则 所以因为为等比数列，所以，即 解得，经检验符合题意.故选：C． 核心考点03.数列前n项和的最值 例14．记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 解析：（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列． （2）方法1：:由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，． 方法2：由（1）可得，，，:又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，． 核心考点04.数列综合应用 例15．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 解析：各项为正的数列，，时，，即，化为：，，，又，解得， 数列是等差数列，首项为1，公差为2．，， ，当且仅当时取等号，的最小值为2．故选：D． 例16．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 解析：（1），，解得，， 又，，即，解得或（舍去），. （2）为等差数列，，即，，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或（舍去），当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得.综上，. 例17．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为，由递推知，，所以， 则，有，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以 则，所以.故选：C. 例18．（多选题）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（     ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 解析：因为，所以，， 即，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确，B错误；所以，即，故C正确； 因为， 所以，故D错误；故选：AC. 例19．（多选题）已知数列满足为数列的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D．中存在不相等的三项构成等差数列 解析：数列中，，，则，， 因此，数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 数列是以为首项，公比为3的等比数列，，B正确； 因，，则数列不是等比数列，A不正确； ，C正确；假定中存在不相等的三项构成等差数列，令此三项依次为，且，，则有，而，即，又，因此，不成立，所以中不存在不相等的三项构成等差数列，D不正确.故选：BC 例20．记为公比不为1的等比数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 解析：（1）设等比数列的公比为，因为，即，即，所以，又，即，解得， 所以. （2）由（1）可得， 则数列为、、、、，偶数组成的数列，又，令，则为正偶数，所以，，，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，所以 核心考点05.奇偶分段数列 类型1.，由于数列通项均已知，求和时只需分奇偶求和即可. 类型2.，由于数列通项在奇数时为递推关系，所以需要先利用递推关系求得奇数时每项的特征，在求和时往往需将奇数项的计算转化为已知通项的偶数项进行. 类型3. 这一类问题需要先求出各段的通项，再分段求和，由于涉及奇偶讨论，所以去构造隔项之间的递推关系从而求得具体通项形式. 例21．设数列满足：是的等比中项. （1）求的值； （2）求数列的前20项的和. 解析：（1）由已知，， 又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得； （2）是奇数时，，，，而， 所以数列是等比数列， ． 例22．已知等差数列中，，，数列的前n项和为，且，． （1）求数列，的通项公式． （2），为的前n项和，若恒成立，求λ的最大值． 解析：（1）因为为等差数列，所以，得． 由，得．所以数列的公差， 所以．对于，①，当时，②，①-②得，，即，由题意可得，所以，所以对任意成立，所以是首项为1、公比为2的等比数列，所以，． （2）由（1）得 ． 恒成立，等价于恒成立，化简得恒成立，即．设数列的通项公式为， 令，得，所以，又，，所以，，所以，所以λ的最大值为10． 例23．已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式; （2）若，求数列的前项和． 解析：（1）由，得，所以数列为等差数列．所以，得．所以公差．所以． （2）当为奇数时，．当为偶数时． 所以 例24．设数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设且，求数列的前n项和为． 解析：（1）当时，，当时，，所以是首项为1，公比为2的等比数列，则. （2）由题设知：，，当为偶数时，； 当为奇数时，； 综上，，. 核心考点06 数列的增项问题 例25.已知正项数列的前n项和为，且 ，， ． (1)求； (2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和. 【答案】(1)，(2)186 【解析】（1）因为，当时， ，                         因为，所以，故． 当时，适合上式， 所以，. （2）（方法1）因为，， 所以当时，． 所以 所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……， 设，则， 因为，所以.                        所以的前100项是由14个1与86个2组成． 所以.                              （方法2）设，则， 因为，所以.                              根据数列的定义，知 . 例26已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和． 【解析】（1）由 得： ∵ 是首项，公差为2的等差数列 ∴ 又当时，得 当，由…① …② 由①－②整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴数列是首项为1，公比为3等比数列，故； （2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项． 由，（）得：， ∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，； ∴． 核心考点07构造辅助数列求通项 例27数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2，则数列{an}的通项公式为（ ） A. an＝n2－2n B. an＝n2－2n－2 C. an＝n2＋2n＋2 D. an＝n2－2n＋2 【解析】由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列． 得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)， 所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.故选D。 例28已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n－1 【解析】因为an－3an＋1＝2anan＋1，两边同除anan＋1，可得＝＋2，所以＋1＝3， 又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确； 所以＋1＝2×3n－1，即an＝，所以{an}为递减数列，故B正确，C错误； 所以＝2×3n－1－1，的前n项和为Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1) ＝2×(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×－n＝3n－n－1，故D正确．故选ABD。 例29设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 【解析】(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， 当n＝1时，a1＝a不适合上式，故an＝ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·＋a－3≥0⇔a≥－9.又a2＝a1＋3>a1.综上，所求a的取值范围是[－9，＋∞) 核心考点08求数列和式的最值、范围 例30设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 【解析】∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，又∵Sn＝，∴S12＞0，S13＜0，∴满足Sn＞0的最大自然数n的值为12.故选C. 例31等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12， Sn有最大值时， n可以为何值（ ） A. 7 B. 8 C.9 D.10 【解析】解法一：由题意知d＜0，∵Sn＝n2＋n， 设f(x)＝x2＋x，如图， 由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝＝， 由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减，且S8＝S9. 又n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． 解法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－a1＜0.Sn＝na1＋d＝na1＋· ＝－a1(n2－17n)＝－a1＋a1， ∵a1＞0，n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． 解法三：由解法二得d＝－a1＜0. 设此数列的前n项和最大，则 即 解得 即8≤n≤9，又n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． 解法四：由解法二得d＝－a1＜0，又S5＝S12得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，∴7a9＝0，∴a9＝0.∴当n＝8或9时，Sn有最大值．故选BC。 例32已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且a1＋a6＝a4，S6＝9，数列{bn}满足b1＝2，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn，并求Tn的最小值. 【解析】(1)由S6＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)＝3a4＝9， 得a4＝3，a3＝0，故数列{an}的公差d＝3，an＝a3＋(n－3)d＝3n－9， 即数列{an}的通项公式为an＝3n－9(n∈N*). 当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋2＝2n，而b1＝2，故bn＝2n，即数列{bn}的通项公式为bn＝2n(n∈N*). (2)Tn＝－6×2－3×22＋…＋(3n－12)×2n－1＋(3n－9)×2n， 2Tn＝－6×22－3×23＋…＋(3n－12)×2n＋(3n－9)×2n＋1. 上述两式相减得 －Tn＝－12＋3×22＋…＋3×2n－(3n－9)×2n＋1 ＝－12＋3×－(3n－9)×2n＋1 ＝－24－(3n－12)×2n＋1， 故Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*). 设cn＝(3n－12)×2n＋1， 显然当n≥4时，cn≥0，Tn≥24且单调递增. 而c1＝－36，c2＝－48，c3＝－48， 故Tn的最小值为T2＝T3＝－24. 三、高考练场 1.已知正项等比数列中，与的等差中项为9，则( ) A.729 B.332 C.181 D.96 解析：设正项等比数列的公比为，由可得，即.由与的等差中项为9，可得，即可得解得或(舍)，则故选D. 2.已知等比数列中，，，则( ) A.16 B.8 C.4 D.2 解析：等比数列中，设其公比为，，，解得，故选C. 3.已知等差数列的前n项和为，则( ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析：设等差数列的公差为.，.故选B. 4.等比数列的前n项和为，公比.若，且对任意的都有，则(   ) A.12          B.20          C.11          D.21 解析：等价于. 因，故，即. 因为，所以，故，故选C. 5. 数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝(　　) A．2n－1 B．n2 C. D. 【解析】设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.故选D. 6. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an的值为(　　) A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgn C．2＋nlgn D．1＋nlgn 【解析】解法一：∵an＋1－an＝lg，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lg＋lg＋…＋lg＋2＝lg＋2＝lgn＋2. 解法二：an＋1＝an＋lg(n＋1)－lgn，an＋1－lg(n＋1)＝an－lgn，所以数列{an－lgn}是常数列，an－lgn＝a1－lg1＝2，an＝2＋lgn.故选A. 7. 把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)． 则第七个三角形数是(　　)． A．27 B．28 C．29 D．30 【解析】观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 8. 已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为(　　) A．11 B．19 C．20 D．21 【解析】∵<－1，且Sn有最大值，∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0， ∴S19＝＝19·a10>0，S20＝＝10(a10＋a11)<0， 故使得Sn>0的n的最大值为19.故选B. 9. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】设该等比数列的公比为q，项数为2n，则有S偶＝q·S奇，∴q＝＝2.又S2n＝S偶＋S奇＝＝85＋170＝255，∴22n－1＝255.∴2n＝8.故这个数列的项数为8.故选C. 10. 设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________； 【解析】因为数列，都是等差数列，所以数列也是等差数列．故由等差中项的性质，得＋＝2，即a5＋b5＋7＝2×21，解得a5＋b5＝35.故填35. 11. 设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________． 【解析】由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，也即3a2＝a3，得公比q＝3，∴an＝a1qn－1＝3n－1.故填3n－1. 12. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，故是以为首项，为公差的等差数列．∴＝＋(n－1)·＝，得an＝(3n－1)·2n－2. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题10 数列核心考点精析：从基础到综合应用 读考点 一、考点总结与提升 （一）等差数列及其应用 （1）等差数列的通项公式：或. 有几种方法可以计算公差：①；②；③. （2）等差数列的前项和公式1：. （3）等差数列的前项和公式2：. 2.证明为等差数列的方法： （1）定义法：(为常数，)为等差数列； 用定义证明等差数列时，常采用的两个式子和，但它们的意义不同，后者必须加上“”，否则时，无定义. （2）中项法：为等差数列； （3）通项法：为的一次函数为等差数列； （4）前项和法：或. 3.等差数列的性质 （1）在等差数列中，若，则(). 注意：但通常由推不出，因为有常数列的存在. （2）在等差数列中，、、、、…仍为等差数列，公差为. （若为等差数列，则、、、…仍为等差数列，公差为. （3）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值. 时为递减数列，且当时前项和有最大值. （4）等差数列的首项是，公差为.若其前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件. （5）公差为的等差数列的前项和为，则数列必是首项为，公差为的等差数列. （6）若两个等差数列、相加组成一个新数列，则必为等差数列，公差为数列、的公差之和. （7）若两个等差数列、的前项和分别为和，则. 4.对等差数列前项和的最值问题有三种方法： 利用：①当，，前项和有最大值，可由且，求得的值；②当，，前项和有最小值，可由且，求得的值. 注意：求的最值时，当时取两个值. 利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值. （二）等比数列及其应用 （1）一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示()，即：(，，). 注：从第二项起与前一项之比为常数：成等比数列(，). （2）等比数列的通项公式：()或()； （3）等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式()，它的图像是分布在曲线()上的一些孤立的点. 当，时，等比数列是递增数列；    当，时，等比数列是递增数列； 当，时，等比数列是递减数列； 当，时，等比数列是递减数列； 当时，等比数列是摆动数列；            当时，等比数列是常数列. （4）当时，①或②；当时，. 证明：设等比数列、、、…，它的前项和是， 由得， ∴；∴当时，，当时，； 2.等比数列的判定与证明方法 （1）定义法：若(，)或(，，)，则是等比数列. （2）等比中项法：若数列中，且()，则是等比数列. （3）通项公式法：若数列通项公式可写成(，，)，则是等比数列. （4）前n项和法 3.等比数列的性质 （1）等比中项：如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，那么称这个数为与的等比中项.即(、同号). 如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，则； 反之，若，则，即、、成等比数列， ∴、、成等比数列b(). 等比中项的性质：①()；()； （2）若，则. 注意：但通常由推不出，因为有非零常数列的存在. （3）数列首项是，公比为，数列首项为，公比为，则数列是首项为，公比为的等比数列，同理数列是首项为，公比为的等比数列. （4）在公比为的等比数列中，数列、、、…仍是等比数列. （5）公比为；数列、、、…仍是等比数列(此时). 二、典例精讲 核心考点01.数列的基本量法 例1．记为等差数列的前n项和．已知，则 A． B． C． D． 例2．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 例3．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 例4.设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．24 C．30 D．32 例5.设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 例6．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 核心考点02.数列的性质运用 例7．已知为等差数列， 为的前项和． 若， 则当取最大值时， 的值为（    ） A． B．4 C． D． 例8．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ） A． B． C． D． 例9．已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（    ） A．9 B．10 C．17 D．18 例10．已知是等差数列的前n项和，若，，则＝__________ 例11．若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（    ） A． B．1011 C． D．1012 例12．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 例13.已知等比数列的前项和为，则实数的值是（    ） A． B．3 C． D．1 核心考点03.数列前n项和的最值 例14．记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 核心考点04.数列综合应用 例15．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 例16．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 例17．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 例18．（多选题）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（     ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的通项公式为 D． 例19．（多选题）已知数列满足为数列的前项和，则（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D．中存在不相等的三项构成等差数列 例20．记为公比不为1的等比数列的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和． 核心考点05.奇偶分段数列 类型1.，由于数列通项均已知，求和时只需分奇偶求和即可. 类型2.，由于数列通项在奇数时为递推关系，所以需要先利用递推关系求得奇数时每项的特征，在求和时往往需将奇数项的计算转化为已知通项的偶数项进行. 类型3. 这一类问题需要先求出各段的通项，再分段求和，由于涉及奇偶讨论，所以去构造隔项之间的递推关系从而求得具体通项形式. 例21．设数列满足：是的等比中项. （1）求的值； （2）求数列的前20项的和. 例22．已知等差数列中，，，数列的前n项和为，且，． （1）求数列，的通项公式． （2），为的前n项和，若恒成立，求λ的最大值． 例23．已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式; （2）若，求数列的前项和． 例24．设数列的前n项和为，已知． （1）求的通项公式； （2）设且，求数列的前n项和为． 核心考点06 数列的增项问题 例25.已知正项数列的前n项和为，且 ，， ． (1)求； (2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和. 例26已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和． 核心考点07构造辅助数列求通项 例27数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2，则数列{an}的通项公式为（ ） A. an＝n2－2n B. an＝n2－2n－2 C. an＝n2＋2n＋2 D. an＝n2－2n＋2 例28已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B．{an}的通项公式为an＝ C．{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n－1 例29设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 核心考点08求数列和式的最值、范围 例30设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 例31等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12， Sn有最大值时， n可以为何值（ ） A. 7 B. 8 C.9 D.10 例32已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且a1＋a6＝a4，S6＝9，数列{bn}满足b1＝2，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn，并求Tn的最小值. 三、高考练场 1.已知正项等比数列中，与的等差中项为9，则( ) A.729 B.332 C.181 D.96 2.已知等比数列中，，，则( ) A.16 B.8 C.4 D.2 3.已知等差数列的前n项和为，则( ) A.3 B.6 C.9 D.12 4.等比数列的前n项和为，公比.若，且对任意的都有，则(   ) A.12          B.20          C.11          D.21 5. 数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝(　　) A．2n－1 B．n2 C. D. 6. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an的值为(　　) A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgn C．2＋nlgn D．1＋nlgn 7. 把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)． 则第七个三角形数是(　　)． A．27 B．28 C．29 D．30 8. 已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为(　　) A．11 B．19 C．20 D．21 9. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 10. 设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________； 11. 设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________． 12. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $