辽宁省营口市、辽阳市普通高中2025-2026学年高一下学期5月学情调研数学试题

5月份高一年级学情调研 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 女注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.若扇形的圆心角为元，面积为，则其半径为 A.1 B.√2 C.√3 D.2 2.sin985π= 6 A.-1 B.- c司 D.1 3.已知向量a=(3,x),b=(x,0),x>0,若a⊥（a一xb),则x= A号 B号 c号 4,设甲：0<a<6<登，乙：cosa>cos(+号)，则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知cos xcos y:≠0，cos(x十y)=2 sin xsin y,sin(x-y)=cos2siny,则tan2x= A吉 R吉 c D号 6.若函数f(x)=2sinx十sin2x在区间(0，a)上单调递增，则a的最大值为 A君 B晋 c臀 D. 高一数学第1页（共4页） 7.如图为一个6X3的矩形网格，每个小格均是边长为1的正方形，图中A,B,C所处位置均为小 格顶点，则tan∠ACB= A号 B哥 c D. 8.已知平面向量u,v,a满足a·u=1,a·v=2,其中u,v均为单位向量，则当a取最小值时， |a一u|的值为 A.1 B.√5 C.√5 D.√7 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知平面向量a,b满足|a=4|b1=4,则下列说法正确的是 A.若|a+b1=5,则a∥b B.若|a+2b|=2√5，则a⊥b C.若a在b上的投影向量为2b,则(a,b)=写 D.若b在a上的投影向量为a,则(a,b)= 10,已知函数f代)=-tan(ox+p(w>0,0<<x的定义域为zx≠-晋+经，&∈z,则 A.w=2 B.9-臀 C.将f代)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，得到函数g(x)的 图象，则g(x)在区间(0,2π)上有且仅有2个零点 D,将f(x)的图象向左平移于个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到函数h(x)的图象， 则h(x)在区间(0,2π)上有且仅有4个零点 11.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A+bcos B=csin C,则△ABC中 A必定存在两个内角之和等于 B.必定存在两个内角之差等于平 C,最小的内角必定不大于平 D最大的内角必定不小于 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在矩形ABCD中，AC=2AD=4,E为CD中点，则AB·AE= 13.曲线f(x)=2sinx与g(x)=3cos(2x+军)在区间(0，m)上的交点个数为 高一数学第2页（共4页) 1已知in(c+y)=品等-子则sax-)= 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(3,5),b=(2,6),c=(4,2). (1)若a与kb十c共线，求k; (2)若b=a十c,求，y. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(z)=sin(2x+p)(0<p<),f()=0. (1)求P; (2)若f(a)=0,求|a的最小值； (3)求函数g(x)=f(x)十3fx十牙)的单调区间. 17.（本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2十abcos C=-bceos A-十accos B+号 ab. (1)求C: (2)若c=6. (1)求△ABC周长的取值范围； (Ⅱ)求△ABC面积的最大值. 高一数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 在锐角△ABC中，sin2A+sin2B+sin2C=2+cos Acos B. (1)i证明：60sx+c0sy=260scos号， (2)求C; (3)若△ABC的内切圆半径为√ (1)当△ABC的外接圆半径为2√3时，求△ABC的周长； (I)求AB的最小值. 19.（本小题满分17分) (1)求函数f(x)=23cosx-3cos(z+)的最大值； (2)证明：对任意实数a,x,2cosa十2√5cosx一√5cos(a一x)≤4； (3)是否存在△ABC,使得2cosA十2√cosB-√3cos(A一B)=4?若存在，求出A,B;若不 存在，请说明理由. 高一数学第4页（共4页）5月份高一年级学情调研 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢNVM①②③④⑤⑥ 档次系数 1 单选题 5 扇形半径的求解 分 0.95 2 单选题 5 特殊角正弦值的计算 易 0.90 3 单选题 5 平面向量的坐标运算 易 0.82 单选题 5 三角函数与充要条件的结合 易 0.75 单选题 5 三角恒等变换 中 0.70 6 单选题 5 三角函数的单调性问题 0.65 单选题 5 解三角形综合 中 0.55 8 单选题 5 平面向量数量积问题 L 难 0.35 9 多选题 6 平面向量的投影向量问题 易 0.75 10 多选题 6 正切函数综合 中 0.55 11 多选题 6 解三角形综合 难 0.28 12 填空题 平面向量的数量积问题 易 0.72 13 填空题 三角函数图象交点个数问题 中 0.65 14 填空题 5 三角恒等变换综合 难 0.35 15 解答题 13 平面向量的基本运算 L 中 0.65 16 解答题 15 三角函数综合 中 0.55 17 解答题 15 解三角形综合 √ 中 0.45 18 解答题 17 解三角形综合 难 0.28 19 解答题 17 三角函数综合 难 0.15 1 参考答案及解析 ·高一数学· 参考答案及解析 高一数学 一、单选题 sin∠ACB=V-cos∠ACB=7 ,故tan∠ACB 1 V√130 1.A【解析】设扇形的半径为r,由之r=受，得r =sin∠ACB7 1.故选A. cos∠ACB=9·故选C. 2.C【解析】由诱导公式得sn985x-sim(164x+吾】 8.B【解析】设a与v的夹角为0，由a·v=2,得a· 6 |vcos0=2,又|v=1,所以alcos0=2,因为cos0≤ =sm吾-分故选C 1,所以a=。忌。≥2，当且仅当cos0=1时等号成 3.D【解析】由题得a一xb=(3-x2,x),由a⊥(a一 立，所以a的最小值为2，且a与v同向，则a=2v,所 xb),得a·(a-xb)=0,即3(3-x)+x2=9-2x2 以a1=21=1.则uv=号经检验可以取到， 0,由0，得7-8赦选D 所以|a-u|=2v-u=√4p2-4u·v十u2= 4.A【解析】对于充分性，因为y=cosx在(0，π)上单 √4-2十1=√3.故选B. 调递减，且0<a<b<6+牙<，所以cosa> 二、多选题 9.ABC【解析】对于A,|a+b2=a2+b+2a·b= cos(十号)，充分性成立：对于必要性，取a=6=0 17+8cosa,b)≤25，当且仅当a与b同向时等号成 可知矛盾，必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要 立，故A正确；对于B,a+2b|2=a2+4a·b十4b= 20十4a·b=20,则a·b=0,所以a⊥b,故B正确；对 条件.故选A. 5.D【解析】因为cos(x十y)=2 sin xsin y-=cos rcos y 于C此时2-65-4x1 Xcox(o.b.则osa.b) -sin xsin y,所以3 tan xtan y=l,因为sin(x-y)= cos rsin y=sin xcos y-cos xsin y,所以tanx= 2,由a,b∈[0，，得(a,b)=号，故C正确：对于 2any,所以1amx=号.故选D, D此时}- F4cos(a,b,则cos(a,b)=1,由 6.B【解析】由题得f(x)=sin2x-(1-2sin2x)+1= (a,b》∈[0，π]得〈a,b》=0,故D错误.故选ABC. sin2x-cos2x+1=2sin(2x-平)+1，由x>0得 10.ACD【解析】对于A,B,由ox十p≠k+交，k∈Z, 2x->-，放由-受<2x-<受得区间 得≠怎+元品k∈7可得。=2p晋放A (一苓，：)是f)的单调递增区间，所以a的最大 正确，B错误；对于C,f(x)=tan(2x+) 值为故选B, an(2x-若)：则gx)=2f(2)=号tan(x- 7.C【解析】由勾股定理可得AB=√4+1=√I7, 石）由g()=0,得x一吾=kx,k∈乙则x=吾十 AC=√62+22-2√10，BC=√32+22=√13，由余 kπ，k∈Z,所以g(x)在区间(0,2π)上有且仅有2个 弦定理得cos∠ACB=AC+BCAB 2AC×BC 零点晋，，放C正确；对于D,h(x)=(x+子）十 x8×后由∠AB∈(o受)，得 40+13-17 1=tan(2a+受)+1，由h()=0,得an(2x+受)》 ·高一数学· 参考答案及解析 =-1.则2十受-经十∈Z.得=吾十经 ∈Z,所以h(x)在区间(0,2π)上有且仅有4个零点 吾否管，号，故D正确故选ACD, 1l.ACD【解析】由正弦定理得sin Acos A十 sin Beos B=simC,由二倍角公式得2sin2A十 合sm2B=simC.即sim2A十sm2B=2sinC因为 sin 2A sin 2B sin [(A+B)+(A-B)]+ any,得cosy-1 【解析】由anr=1 cos sin y4,即 sin[(A+B)-(A-B)]=2sin(A+B)cos(A-B), 4 sin xcos y=cos xsin y,设sin xcos y=a,则 在△ABC中，sin(A+B)=sinC,所以2 sin Ccos(A cos xsin y=4a,所以sin(x+y)=sin xcos y十 -B)=2sinC,又C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以 os sin y=a十4a=5a=}解得a=0,因此 cos(A-B)=simC=cos(交-C）,易知A-B∈ 1 sin xcos y=7 osny=4×0=吉·所以 (-,受-C∈(-受，)，则A-B=受-C sm6x》=mosy-csy=动-号 或A-B=C-,因为A+B+C=元，若A-B= 品故答案为一品 受-C,得B=平，若A-B=C-受，得A=年，不 四、解答题 失一般性，设A=冬，则B十C=不，放A正确：若B 15.解：(1)由题得b+c=(2k+4,6k+2), (2分) 因为a与b+c共线， =C=警则三个内角分别为冬警要两两之若 所以5(2k+4)=3(6k+2), (5分) 分别为0，苓，不存在等于牙的情况，故B错误：由 得8=14=子 (7分) (2)b=xa+c→(3x+4y,5x+2y)=(2,6),(8分) A=平知最小内角a≤平，故C正确；设最大内角为 则/2=3x+4 (11分) A若要则A+B+C<子+经+爱=：与内 (6=5.x+2y 8 角和定理矛盾，故≥故D正确.故选ACD, =9 解得 (13分) 三、填空题 y=-7 12.6【解析】由题可得AE在AB上的投影向量为 16.解：)由题得f(5）-sim(+）-0。 2A成，由勾股定理得AB=√AC-AD=2V3,所 则十9=kx,k∈Z。 (3分) 以A店·A花=号AB=6故答案为6， 由0<<交，得=1，则9=5 (4分) 13.2【解析】由五点作图法可得x0)=3g(爱》 (2)由(1)得f(x)=sin(2x+牙) (5分) =g(5)=0,g()=-3,g(）=3,g(x) 由fa)=0,得2a十零=kx,k∈Z, 3号，在同一坐标系中作出两曲线在区间0,0上的 图象，结合图象可知两曲线在区间(0，π)上有2个交 点.故答案为2 故a的最小值为否。 (7分) ·2 参考答案及解析 ·高一数学 3)gx)=sim(2x+号)+5sim[2(x+平)+号] 所以△ABC的周长L的取值范围为(12,18]. (11分) =sim(2x+号）+5cos(2x+号) (1)由余弦定理得c2=36=a2十b-2 abcos C =a2+b-ab≥2ab-ab=ab, =2sim(2x+g）, (9分) 当且仅当a=b=6时等号成立， (13分) 由2km-受<2x+≤2kx+吾，k∈Z。 则Sac=号-alxin C<9vg. 所以△ABC面积的最大值为9√3. (15分) 18.解：(1)cosx+c0sy=cos+),x-2+ 所以g)的单调递指区间为[登：板是]： 2 cos (xty)-(r-y) k∈Z, (12分) 2 由2kx+受<2x+≤2kx+经k∈Z。 2 2 2 2 得灰红一爱≤<十登乙。 2 所以g)的单调递政区间为[纸一意版+】 2 (3分) (2)证明一个引理：cos2A十cos2B+cos2C=一1 k∈Z. (15分) 4cos Acos Bcos C. 17.解：(1)因为c2+abcos C=bccos A+accos B+ 1 36, cos 2A+cos 2B+-cos 2C-2cos 2A2Bcos 2A2B 2 2 +cos 2(A+B) 所以由正弦定理得sinC十sin Asin Bcos C =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1 sin Bsin CeosAin Asin Ceos Bin Asin B =2cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]-1 -sin Csin(A+B)+sin Asin B =-1-2cos C.2cos A-B+A+B. 2 =sinC+号-sin Asin B. cos A-B-A-B 2 =-1-4cos Acos Bcos C, (5分) 则sin Asin BeosC=号sin Asin B. (4分) 所以simA+sir2B+sinC-3-cos2A-cos2B-os2C 2 由A,B.C∈0.x,得cosC=7,则C=号.(5分) =2+2cos Acos Bcos C=2+cos Acos B, (2)(ⅰ)由正弦定理得△ABC的周长 因为AcoB≠0.所以cosC=号 L-abc-c(sin At sin B)c sin C 又Ce(o,受）所以c-景 (7分) =6+45[sinA+sim(A+吾)门 (3)不妨记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a, =6+4(mA+osA b.c. (i)由余弦定理得c2=a2+b-2 abcos C=a2+b -ab, =6+12sim(A+若) (8分) 则ab=a2+b-c2=(a十b)2-c2-2ab, 由A=x-B-C--B<得A∈(0，）， 所以ab=(a十b)2-c2 (9分) 3 (9分) 记△ABC内切圆的半径为r, 则A+吾∈（否，）sim(A+)∈（合，1]， 则SAc=号。 。士> ·3 ·高一数学· 参考答案及解析 所以r=absin C ab √3 a+b+c 2 a+b+c 6 其中cosp= 23-3 cos 4,sin15-12cos a √3sina √15-12cosa u+b)2-c-5 (a十b-c)=3, 因为对任意实数x,cos(x十p)≤1恒成立， a+b+c 6 所以T≤√15-12cosa+2cosa. (9分) 所以a十b-c=6, (11分) 因为cosa∈[-1,1]， 由正弦定理得c=2X2√3sinC-6, 所以R=√15-12cosa∈[V5,33], 故△ABC的周长L=a十b+c=a+b-c+2c=18. (13分) R-15-12cos a.2cos a=15-R 6 (i)由(i)得c=a+b-6, 则c2=a2+b2-ab=(a+b-6)2 设R=R+15。R=-名R+R+号 6 =a2+b+2ab-12a-12b+36, (14分) =-名(R-3)+4, 所以4a十6=ab+12≤子(a十b)+12,当且仅当a 当R=3时，g(R)取得最大值4，此时cosa=之 =b时等号成立， 即(a+b)2-16(a+b)+48≥0， ∈[-1,1] (11分) 解得a十b≤4或a+b≥12， (16分) 所以T≤g(R)≤4，原不等式得证. 又a+b>6,所以a+b≥12， (3)不存在. (12分) 则c=a十b-6≥6， 假设存在满足条件的△ABC, 故AB的最小值为6. (17分) 使得2cosA十2V3cosB-√3cos(A-B)=4, 由(2)可知，若要取得最大值4，必须同时满足两个 19.解：(1)f(x)=2√5cosx-√5 cos rcos 取等条件：①R=√/15-12cosA=3,此时cosA= sin sin号） 1 :②cos(B+g)=1. (13分) -2/3cos 2cos +3 对于①，因为AE(0,x,0sA=之，所以A=受， =3V3 代入(2)，此时R=3, (3分) 则c0sp-25-3 cos Av5 因为对任意实数，恒有cos(x-)≤1，当且仅当 R 2, sin v3sin A1 x=否+2x(k∈Z)时取等， R 2 所以f(x)的最大值为3. (5分) 故p可取=天。 6 (15分) (2)令T=2cosa+2√5cosx-√3cos(a-x) 对于②，cos(B+p)=cos(B+F)=1, =2cosa+2√3cosx-√3(cos acos x-+sin asinx) =(2√3-√3cosa)cosx-√3 sin asin x+2cosa, 因为A=子所以B∈(，)： (7分) 则B+吾∈(g,),此时cos(B+)=1无解， R=√/(2√3-√3cosa)2+(-√3sina) 故条件②无法成立， =v12-12cos a+3cos'a+3sina 所以不存在满足条件的△ABC. (17分) =√/15-12cosa, 所以T=√/I5-12 cos a cos(x+p)+2cosa, 4