精品解析：辽宁省辽阳市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

高一考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则是（ ） A. 第一或第三象限角 B. 第二或第四象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】根据角所在的象限，表示所在的象限. 【详解】由题意可知是第二象限角，， 则,则是第一或第三象限角． 故选：A 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入投影数量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影数量是． 故选：C 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合三角函数图象平移逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：可得，不合题意，故A错误； 对于选项B：可得，符合题意，故B正确； 对于选项C：可得， 不合题意，故C错误； 对于选项C：可得，不合题意，故D错误； 故选：B. 4. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦距离可得，利用向量夹角公式可得，即可由余弦二倍角公式求解. 【详解】由于P，Q的余弦距离为，所以，故， ， 所以，因此， 故选：D 5. 已知函数的一个零点是，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合零点的定义，有，解方程即可. 【详解】函数的一个零点是，则有， 即，则，即， 所以当时，有最小值. 故选：A. 6. 中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图（扇形AOB截去扇形COD剩余的部分），已知，，，则 （ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求向量的模和向量的夹角，再代入向量的数量积公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，且， 所以. 故选：B 7. 已知函数，若是偶函数，则图象的对称轴方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求函数，根据偶函数的性质求，再代入函数的对称轴方程，即可求解. 【详解】函数是偶函数， 则，得， 令 , 解得 . 因为，则，经验证只有D选项满足题意，此时. 故选：D 8. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据垂直关系以及模长公式即可求解或，即可判断A,根据模长公式即可求解BD，根据夹角公式即可求解C. 详解】对于A,设，则，解得， 由于，故或，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，，，故C正确， 对于D，，D正确， 故选：BCD 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换，化简求值. 【详解】A. ，故A正确； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D. ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值域是 C. 存在，使得是奇函数 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析可知是的周期，取一个周期，结合三角函数性质和三角恒等变换整理的解析式，进而结合周期性可得的图象，结合图象逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为， 可知是的周期， 令，即， 则，解得； 令，即， 则，解得； 结合周期性可取和， 若，则； 若，则； 综上所述：， 可得的图象，如图所示： 结合周期性可得：图象，如图所示： 对于选项A：由的图象可知，的最小正周期是，故A正确； 对于选项B：由的图象可知，的值域是，故B正确； 对于选项C：由的图象可知，没有对称中心， 所以不存在，使得是奇函数，故C错误； 对于选项D：因为，由周期性可知：等价于， 由图象可知：在上单调递减， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：根据周期性取，可得的图象和解析式，进而数形结合分析求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式，化简求值. 【详解】， . 故答案为： 13. 若函数在上的值域是，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数的定义域求的范围，再根据函数的定义域确定右端点的取值范围. 【详解】当，， 由函数的值域为，可知， 解得：. 故答案为： 14. 设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则__________；若，，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，延长交于点D，由三点共线可得，再由重心定理可得，列出方程，即可求得，再由向量数量积运算即可得到结果. 【详解】 延长交于点D，则D是线段的中点，故． 因为三点共线，所以． 因为P是的重心，所以， 所以解得． 因为， 所以． 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 已知，且__________． （1）若，且，求的值； （2）求的值． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用同角三角函数基本关系式求解或，再代入两角和的余弦公式，即可求解； （2）首先利用诱导公式化化简，再转化为正切表示的式子，根据（1）的过程，即可求解. 【小问1详解】 若选①，已知，且，则， 若，且，则， 所以， 如选②已知，且，则， 若，且，则， 所以， . 【小问2详解】 ， 由（1）可知，不管选择①②，都可以得到， 代入上式原式. 16. 已知向量，． （1）若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若向量，且，求向量，夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示求出，再求出投影向量的坐标. （2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求出，再求出向量夹角的余弦. 【小问1详解】 由，，得，， 由，得，即，则， 所以向量在向量上的投影向量为，其坐标为． 【小问2详解】 依题意，，由，得，解得， 则，，，， 所以. 17. 如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． （1）若，米，求该扇形环面展台的周长； （2）若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 【答案】（1）米 （2）元 【解析】 【分析】（1）利用弧长计算公式计算即可； （2）设，米，利用扇形环面的展台周长，表示出与的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得. 【小问1详解】 弧的长度，弧的长度， 所以扇形环面展台周长为：米； 【小问2详解】 设，米， 则弧的长度，弧的长度， 因为该扇形环面的周长为米，所以，即， 整理得， 则该扇形环面展台的面积：平方米， 所以布置该扇形环面展台的总费用为：元. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）当时，关于x的方程有两个不同的实根，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象得出及，根据求得，再根据五点法作图，求得； （2）设，则，方程有两个不同的实根即为函数与有两个交点，数形结合，再根据余弦函数的对称性及图象即可求得最小值． 【小问1详解】 因为，所以， 因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 当时，则， 设，则，的图象如图所示， 则方程有两个不同的实根即为函数与有两个交点，设交点横坐标为，且，， 由题可知，，即， ，即，则 所以，， 故当，即时，取得最小值． 19. 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为． （1）求二阶行列式的值； （2）求不等式的解集； （3）若存在，使得，求m的取值范围． 【答案】（1）7 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二阶行列式计算公式直接计算即可； （2）根据二阶行列式计算公式得到，求出解集； （3）根据二阶行列式计算公式，令，则，求出，分，和三种情况，得到答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 故，故， 解得， 不等式的解集为； 【小问3详解】 ， 令，则， 其中， 因为，所以，， 故， 当时，无解，不合要求， 当时，， 其中在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为2，故； 当时，， 其中在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为-2，故， 因为存在，使得，所以或， m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一考试数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则是（ ） A. 第一或第三象限角 B. 第二或第四象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第三或第四象限角 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影数量是（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的一个零点是，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图（扇形AOB截去扇形COD剩余的部分），已知，，，则 （ ） A. B. C. 8 D. 7. 已知函数，若是偶函数，则图象的对称轴方程可能是（ ） A B. C. D. 8. 已知，，且，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 向量，的夹角是 D. 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的值域是 C. 存在，使得是奇函数 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________． 13. 若函数在上的值域是，则m的取值范围是__________． 14. 设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则__________；若，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. ①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 已知，且__________． （1）若，且，求的值； （2）求的值． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个计分． 16. 已知向量，． （1）若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标； （2）若向量，且，求向量，夹角的余弦值． 17. 如图，这是一个扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）展台，米． （1）若，米，求该扇形环面展台的周长； （2）若该扇形环面展台的周长为米，布置该展台的平均费用为元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用． 18. 已知函数部分图象如图所示． （1）求解析式； （2）当时，关于x的方程有两个不同的实根，且，求的最小值． 19. 行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为． （1）求二阶行列式值； （2）求不等式的解集； （3）若存在，使得，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$