新疆生产建设兵团第二师八一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高二年级期中数学试卷涵盖数列、函数、排列组合等核心知识，解答题结合社会实践情境（如第15题服务点学生安排）与函数极值分析（如第17题），考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配高二学段综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列基本量、函数极值点、二项式常数项|第3题通过导函数图象判断原函数图象，考查几何直观| |多选题|3/18|数列概念、二项式展开式、函数性质|第11题结合方程根讨论函数最值，体现推理能力| |填空题|3/15|等差数列通项、切线方程、组合数计算|第13题求切线方程，强化运算能力| |解答题|5/77|排列组合应用、等比数列与等差数列证明、函数单调性与恒成立问题|第15题以社会实践分组为情境，第19题讨论含参函数单调性，突出数学语言表达与创新意识|

八一中学2025-2026学年高二年级第二学期期中考试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1．等差数列中，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 2．已知函数的极值点为0，则（    ） A．0 B． C． D． 3．函数的导函数的部分图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．16 D．240 5．某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C．4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有（   ） A．72种 B．36种 C．24种 D．64种 6．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 7．若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9．下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列与数列是同一个数列 B．数列的通项公式为，则120是该数列的第11项 C．在数列中，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共7项 B．所有项的系数之和为2187 C．项系数为280 D．所有项的二项式系数之和为128 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．e是函数定义域内的极小值点. B．的单调减区间是. C．若方程（）有两个不同的实根，则. D．在定义域内无最小值，无最大值. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于_____________． 13．函数f（x）＝x（1+lnx）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为 　 　 ． 14．已知，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15、（13分）某职业中学外贸专业高二（1）班有学生7人，高二（2）班有学生9人，高二（3）班有学生10人参加技能兴趣选拔赛． （1）如果选一人当组长，那么有多少种选法？ （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ （3）如果推选两名学生参加市技能大赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 16．（15分）在正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，证明是等差数列，并求的前项和． 17．（15分）已知函数在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值． 18．（17分）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年4月27日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D B B D D CD BCD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】直接根据等差中项的性质计算可得. 【详解】因为等差数列中，，所以由等差中项的性质得. 故选：B. 2．C 【详解】函数，导数. 因为，所以. 当时，，， 当时，，单调递增.当时，，单调递减. 且，符合题意. 3．B 【分析】由导函数的部分图象可得和的解集，进而可得函数的单调性，从而结合选项选择即可. 【详解】设的零点分别为，其中， 当时，，当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 只有选项B符合条件. 故选：B. 4．D 【分析】由二项式展开通式直接计算即可. 【详解】由展开式的通项得， 令，得，常数项为. 5．B 【分析】先把4人分成3组，再把3组分到3个不同的社会实践服务点即可. 【详解】先从4名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余2名学生安排到3个不同的服务点，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 故选：B 6．B 【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列. 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 7．D 【分析】利用关系求通项公式. 【详解】当，则， 而，显然不满足上式，所以. 故选：D 8．D 【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，则在上恒成立，结合函数单调性得最值，即可得的取值范围. 【详解】若函数在区间单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立； 又函数在上递减，所以恒成立，则 故的取值范围是. 故选：D. 9．CD 【分析】A根据数列单调性即可判断；B令判断11是否是方程的解；C、D根据数列的特征写出一个满足特征的通项公式即可判断. 【详解】A：由为递增数列，而为递减数列，显然不是同一数列，错； B：令，则，显然11不是方程的解，错； C：由数列可改写为， 即数列通项为，所以第8个数是，对； D：数列3，5，9，17，33，…可改写为， 所以一个通项公式为，对. 故选：CD 10．BCD 【分析】根据的展开式有项，判断A的真假；令可得展开式中所有项的系数和，判断B的真假；计算的系数，判断C的真假；利用所有项的二项式系数和为判断D的真假. 【详解】选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误； 选项B：令，则所有项的系数和为，故B正确； 选项C：展开式的项为，故C正确； 选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，数形结合判断D. 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e， 当时，，当时，，当时，， 简图如下，由图可知，方程（）有两个不同的实根，则，C正确； 对于D，由选项C可知，在定义域内无最小值，也无最大值，D正确 12． 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 13．函数f（x）＝x（1+lnx）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为 　2x﹣y﹣1＝0　 ． 【分析】根据导数的几何意义可知，函数f（x）＝x（1+lnx）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1），再利用直线方程的点斜式求解． 【解答】解：函数f（x）＝x（1+lnx）， 则f′（x）＝（1+lnx）+x2+lnx， 所以函数f（x）＝x（1+lnx）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）＝2， 又因为f（1）＝1，所以切点坐标为（1，1）， 所以函数f（x）＝x（1+lnx）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0． 故答案为：2x﹣y﹣1＝0． 【点评】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．14． 【详解】， 设，则， 解得， 设，则， 解得， 则. 15．某职业中学外贸专业高二（1）班有学生7人，高二（2）班有学生9人，高二（3）班有学生10人参加技能兴趣选拔赛． （1）如果选一人当组长，那么有多少种选法？ （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ （3）如果推选两名学生参加市技能大赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【分析】直接根据分步和分类计数原理可得． 【解答】解：（1）一共7+9+10＝26人，从中选一人当组长，共有26选法． （2）每班选一名副组长为一步，故有7×9×10＝630种， （3）分三类，1班和2班，或1班和3班，或2班和3班， 故推选两名学生参加市技能大赛，要求这两人来自不同的班级，有7×9+7×10+9×10＝223种． 【点评】本题考查了分步和分类计数原理，属于基础题． 16．(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）设的公比为，然后根据题意列方程可求出，从而可求出； （2）由（1）可得，从而可证得是以为首项，为公差的等差数列，进而可求出. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，， 由可得，整理化简得， 解得或（舍去），故. （2）由（1）可知，，则． 因为，所以是以为首项，为公差的等差数列， 故． 17．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）根据函数的极值点求出，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【详解】（1）由，得 由题意得，即，解得， 故，定义域为， ， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，           1      + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，． 又，， 故在区间上的最大值为2，最小值为． 18．(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，列出方程即可求出的通项公式，利用即可求出的通项公式； （2）利用错位相减求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 解得，，所以． 由已知，① 当时，，得， 当，时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以． （2）数列． 则 所以 故 所以． 19．(1)当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）求导即可分析的单调性； （2）将变换为，令，求导研究的极值即可． 【详解】（1）因为，其中， ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得，由可得， 由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为． （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则，其中，恒成立， 所以由可得，由可得， 故函数的减区间为，增区间为， 所以，即，故的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $