精品解析：山东聊城市2025-2026学年高一第二学期期中教学质量检测数学试题

2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平行四边形中，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知，为单位向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知长方体的长、宽、高分别为，将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知梯形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的梯形，其中，，，若梯形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，为的重心，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若与反向，则 D. 若，则存在唯一的实数，使得 10. 设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则（ ） A. B. 若，则最大值为 C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 D. 若复数是关于的方程的一个虚根，则 11. 已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能存储舱（舱壁厚度忽略不计），内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上､下底面及所有母线都相切（即内切球），存储舱上底面直径，下底面直径，且，则下列说法正确的是（ ） A. 存储舱的高为 B. 存储舱的表面积为 C. 存储舱的体积为 D. 舱中另一个球半径最大时，它的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，则实数的值为__________. 13. 正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________. 14. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正八边形中. （1）建立适当的坐标系，求的坐标； （2）请用表示. 16. 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的体积． （2）求此旋转体的表面积． 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 18. 已知复数满足，且. （1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； （2）在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； （3）在（1）问条件下，求的值. 19. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平行四边形中，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用平行四边形法则计算求解. 【详解】因为平行四边形中， 则. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】复数，则的虚部为 3. 已知，为单位向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，即， 又因为，为单位向量，所以，即， 所以向量在向量上的投影向量为. 4. 已知长方体的长、宽、高分别为，将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，根据长方体的几何特征，我们可得两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案． 【详解】 设长方体的长、宽、高分别为，即，，， 由长方体，得两两垂直， 所以， 所以剩下的几何体体积． 5. 已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用模长公式及夹角范围得出数量积范围计算求解. 【详解】因为，所以，所以， 即得，，解得， 又因为为锐角，且， 所以且，即得且， 所以的取值范围是. 6. 已知梯形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的梯形，其中，，，若梯形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为梯形的面积为，则梯形的面积为， 又，且，，所以，解得， 又，所以，解得. 7. 已知中，为的重心，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，代换成基底向量可求的余弦值；结合重心性质全部代换成计算求解. 【详解】中，， 如图所示：由题意连接交于，分别为中点， 则， 同时平方得 ， 则， 又， 同时平方得， 则； . 所以. 8. 在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，，所以， 又因为，所以，所以为等腰直角三角形， 因为，所以， 因为，所以， 所以在中，，可得， 因为， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若与反向，则 D. 若，则存在唯一的实数，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量共线判断B，D，C，应用向量的数量积计算判断A. 【详解】当，则，但是或可能不成立，A选项错误； 若满足，但是可能不成立，B选项错误； 若与反向，则，C选项正确； 若，且是非零向量，则不存在唯一的实数，使得，D选项错误； 10. 设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则（ ） A. B. 若，则最大值为 C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 D. 若复数是关于的方程的一个虚根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A通过举反例判断复数平方与模平方不等；选项B、C利用复数模的几何意义转化为圆问题求解；选项D利用实系数方程虚根共轭性质及韦达定理推导． 【详解】设， 对于A，，，二者不相等，A错误； 对于B， 表示复平面内点在以为圆心，半径为的圆上， 表示点到点的距离． 圆心到的距离为，所以的最大值为，B正确； 对于C， 表示复平面内点在以为圆心、内半径、外半径的圆环内， 圆环面积，C正确； 对于D，实系数二次方程有虚根，则，解得， 实系数方程的虚根共轭成对，，，且， 由韦达定理得，，所以，， 因为，所以，D正确． 11. 已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能存储舱（舱壁厚度忽略不计），内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上､下底面及所有母线都相切（即内切球），存储舱上底面直径，下底面直径，且，则下列说法正确的是（ ） A. 存储舱的高为 B. 存储舱的表面积为 C. 存储舱的体积为 D. 舱中另一个球半径最大时，它的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，研究轴截面，设内切圆半径为，利用等面积法求出腰长，即求出高；对于B选项,利用侧面积公式直接计算存储舱表面积即可；对于C选项，应用圆台体积公式计算；对于D选项，在轴截面ABCD中，通过相似三角形求得另一个球半径最大值，最后应用球的表面积公式计算判断. 【详解】对于选项A，如图所示， 由题，存储舱的轴截面是上底为6,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图， 设内切圆半径为，则梯形两腰长为， 梯形面积公式可以用两种方式表示为 ， 故存储舱的高为，A错误； 对于选项B，侧面积公式为， 存储舱的表面积为，故B正确； 对于选项C，存储舱的体积为，故C正确； 对于选项D，当球与球、舱盖、舱壁均相切时，球的半径最大，设为， 如下图，在轴截面ABCD中，由， 则， 可求得它的表面积为，D选项正确； 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， 由可得，得. 13. 正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三棱锥的体积公式可得三棱锥的高，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示的正三棱锥，过点作平面, 所以，， 解得：，由于, 所以, 即该正三棱锥的侧棱长为 14. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】建立直角坐标系，将几何点转化为坐标，从而利用向量的数量积公式求解. 【详解】以为原点，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 因为为的中点，所以， 因为为边上靠近的三等分点，，所以， 的横坐标与相同，即， 又因为，所以， 所以， 设，所以， 设，所以， 所以， ，则， 则，所以， ，， . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知正八边形中. （1）建立适当的坐标系，求的坐标； （2）请用表示. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用向量的坐标表示及对称性得出向量坐标； （2）结合向量的坐标运算应用向量的基本定理得出向量. 【小问1详解】 如图，连接，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，正多边形的中心即为坐标原点， ， 所以，根据对称性可得， ，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 设可得， 即解得， 所以. 16. 如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体． （1）求此旋转体的体积． （2）求此旋转体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，由此能求出旋转体的体积； （2）先求出圆柱的侧面积、底面积，再求出圆锥的侧面积、底面积和旋转体上底面的面积，由此能求出结果. 【小问1详解】 旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥， ， 所以小圆锥的半径， 圆柱的体积 圆锥的体积 旋转体的体积； 【小问2详解】 圆柱的侧面积 圆锥的侧面积 圆柱的底面积， 圆锥的底面积 旋转体上底面的面积 旋转体的表面积. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 根据正弦定理及，得 ， ，即，， 在中，，，又. 【小问2详解】 ，. 由余弦定理得，. ，. 故的周长 18. 已知复数满足，且. （1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求； （2）在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围； （3）在（1）问条件下，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算得，即可求解； （3）根据条件，利用复数的运算及虚数单位的运算性质，即可求解. 【小问1详解】 设， ，即， 由，得，则， 又，则，解得， 又复数在复平面内对应的点在第二象限，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 因为复数在复平面内对应点在第三象限，所以，解得. 【小问3详解】 由（1）知， . 19. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【小问1详解】 ， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $