精品解析：山东省聊城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1、本试卷满分150分、考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上. 2、回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若，则 D. 长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 3. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于（ ） A B. － C. － D. 5. 若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知=(2,2),=(cos α,sin α),则的模的最大值是(　　) A 3 B. 3 C. D. 18 7. 在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图像如图所示则（ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ） A. 当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B. 船垂直到达对岸所用时间最少 C. 船垂直到达对岸时航行的距离最短 D. 沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 10. 已知外接圆圆心在上，则（ ） A. B. C. D. 11. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 函数图像的一个对称中心为 B. 函数图像的一条对称轴为直线 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数的图像向左平移个单位后的图像关于y轴对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为_____. 13. 已知函数，，则的单调递减区间为_____. 14. 在△AOB中，，AD与BC交手M点，设，在线段AC上取一点F，在线段BD上取一点E，使EF过M点，使，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，，，求实数的值. 16. 已知，，，. （1）求的值； （2）求出的值. 17. 如图，在中，，，分别是，的中点. （1）设，，试用，表示，； （2）若，求. 18. 某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （千辆） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 31 5.0 3.1 经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象. (1)根据以上数据，求函数的近似解析式； (2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？ 19. 定义向量 的“伴随函数”为. 函数. 的“伴随向量”为 （1）在 中，已知 点M 为边AB上的点，且 求出向量 的“伴随函数”， 并直接写出的最大值； （2）已知向量 函数 求函数的“伴随向量” 的坐标； （3）已知 向量 的“伴随函数”分别为、， 设 且 的“伴随函数”为，其最大值为m. 求证： 向量 的充要条件为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学试题 注意事项： 1、本试卷满分150分、考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上. 2、回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标运算公式计算出，再根据向量平行列出方程，求出. 【详解】由已知得， 又，所以，解得： 故选：B. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若，则 D. 长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量、共线向量的定义及零向量的性质判断各项的正误即可. 【详解】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错； B：若为零向量时，不一定共线，错； C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错； D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对. 故选：D 3. 设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的概念确定正确答案. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底. 其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底. 故选：C 4. 设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于（ ） A B. － C. － D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析的范围，确定象限，利用cos2＝求解即可. 【详解】由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以 cos<0.所以cos＝－. 故选：B 5. 若向量，满足，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解. 【详解】因为，，即，，求得，所以向量与的夹角为. 故选：B 6. 已知=(2,2),=(cos α,sin α),则的模的最大值是(　　) A. 3 B. 3 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求向量的坐标，应用坐标公式法求模，最后根据正弦函数性质的最值. 【详解】由 则， 所以. 故选：B 7. 在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 【详解】由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题. 8. 已知函数的部分图像如图所示则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象及已知求得、，再将自变量代入解析式求函数值. 【详解】由图知，则， 所以，则，，又，故， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ） A. 当船速的方向与河岸垂直时用时最少 B. 船垂直到达对岸所用时间最少 C. 船垂直到达对岸时航行的距离最短 D. 沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 【答案】AC 【解析】 【分析】根据速度的合成判断船速的方向与河岸垂直、船垂直到达对岸对应用时、航行距离情况，即可得. 【详解】根据速度的合成知， 当船速的方向与河岸垂直时，垂直河岸方向的速度最大，故用时最少， 当船垂直到达对岸时，航行的距离即为河的宽度，此时航行距离最短. 故选：AC 10. 已知外接圆圆心在上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知有为的中点，且，结合向量加法、数乘的几何意义判断A、B；再应用向量数量积的定义、运算律判断C、D. 【详解】由题设，如下图示，为外接圆的直径，故，即，A对； 易知为的中点，则，B对； ，C错； 若为的中点，则且， ，D错. 故选：AB 11. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 函数图像的一个对称中心为 B. 函数图像一条对称轴为直线 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数的图像向左平移个单位后的图像关于y轴对称 【答案】AC 【解析】 分析】化简得到，根据对称中心对称轴判断A，B选项，根据单调性判断C选项，根据平移判断D选项. 【详解】 ，故A正确； 对选项B：当时，，故的图像不关于对称，B错误； ，函数在区间上单调递增，C正确； 将函数的图像向左平移个单位后得到，D错误. 故选: AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将自变量代入解析式求值即可. 【详解】由时，. 故答案为： 13. 已知函数，，则的单调递减区间为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质判断的单调性和值域，再结合正弦函数及复合函数的性质确定原函数的单调减区间. 【详解】由在上单调递减，且， 根据正弦函数的性质时，单调递增， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 14. 在△AOB中，，AD与BC交手M点，设，在线段AC上取一点F，在线段BD上取一点E，使EF过M点，使，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】设，分别利用三点共线和三点共线求出，再利用三点共线和平面向量基本定理可求得结果 【详解】解：设， 因为三点共线，所以存在非零实数，使得， 所以， 所以，得， 因为三点共线，所以存在非零实数，使得， 所以， 因为， 所以，所以， 由和，解得，所以， 因为三点共线， 所以存在非零实数，使得， 因为， 所以，消去，得， 所以7， 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，，，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用向量加减法的运算律化简即可； （2）由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求参数. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 ， ， 即，解得， 所以实数k的值为. 16. 已知，，，. （1）求的值； （2）求出的值. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】 （1）由三角函数的基本关系式，求得，再两角和的正切公式，即可求解； （2）由，，得到，结合，即可求解. 【详解】（1）由，，可得， 所以， 所以. （2）因为，，所以， 又由，所以. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 17. 如图，在中，，，分别是，的中点. （1）设，，试用，表示，； （2）若，求. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，，结合向量的减法运算得出，； （2）由求出，再由数量积公式得出. 【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以， 所以， （2）因为，所以，所以 化简整理得，又因为，所以即 所以即，所以. 18. 某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （千辆） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1 经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象. (1)根据以上数据，求函数的近似解析式； (2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？ 【答案】（1） （2） 8个小时 【解析】 【分析】（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得； （2）解不等式可得． 【详解】(1)根据表格中的数据可得: 由， ,解得： 由当时，有最大值，则 即，得. 所以函数的近似解析式 （2）若车流量超过4千辆时，即 所以，则 所以，且. 所以和满足条件. 所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行． 【点睛】本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题． 19. 定义向量 “伴随函数”为. 函数. 的“伴随向量”为 （1）在 中，已知 点M 为边AB上的点，且 求出向量 的“伴随函数”， 并直接写出的最大值； （2）已知向量 函数 求函数的“伴随向量” 的坐标； （3）已知 向量 的“伴随函数”分别为、， 设 且 的“伴随函数”为，其最大值为m. 求证： 向量 的充要条件为 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意写出伴随函数，并用辅助角公式整理成正弦型函数，求出最大值； （2）由三角恒等变换得到 从而求得“伴随向量”坐标； （3） 设 则 先证明充分性，再证明必要性. 【小问1详解】 因为点M 为边上的点， 且，则 即得， 由题意得，， 因，其中 因，故. 【小问2详解】 因， 故函数的“伴随向量”为 . 【小问3详解】 设 因为 所以 下证充分性： 因，当且仅当存在使得： 时，成立，其中 所以 则 于是，故有，； 再证必要性：当 时， 所以 当且仅当 时，等号成立， 故有，. 综上：向量 的充要条件为 【点睛】关键点点睛：本题主要考查由函数新定义引出的平面向量与三角恒等变换的综合问题，属于难题. 解题的关键在于，要熟练掌握向量和三角函数知识，依题设出伴随向量，，求出伴随函数，再根据函数的值域要求进行探究，先证明充分性，再证明必要性即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $