专题6.6 简单几何体的再认识（高效培优讲义）高一数学北师大版必修第二册

专题6.6 简单几何体的再认识 教学目标 1. 回顾并深化棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，能准确区分易混淆几何体，掌握其核心性质的延伸应用 2. 理解简单组合体的构成方式（拼接、截割），能识别常见组合体的组成部分，分析其结构特点 3. 掌握简单几何体的截面画法与展开图应用，能利用展开图解决几何体的表面积、最短路径等问题 4. 熟练运用简单几何体的表面积、体积公式，解决多面体与旋转体的综合计算问题 5. 提升空间想象能力和几何直观素养，能结合平行、垂直关系分析简单几何体的结构与计算问题 教学重难点 1. 重点 （1）简单几何体结构特征的深化理解与辨析 （2）组合体的构成与结构分析 （3）简单几何体的截面、展开图应用 （4）几何体表面积与体积的综合计算 2. 难点：几何体的截面画法与分析、折叠与展开问题的转化、组合体的表面积与体积计算（剔除重叠部分）、空间最短路径问题 知识点01 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积 1．直棱柱的底面周长为c，高为h．直棱柱的侧面展开图是一些矩形．如图： 直棱柱的侧面积和表面积公式：____，． 2．正棱锥的底面周长为c，斜高为．正棱锥的侧面展开图是一些全等的三角形．如图： 正棱锥的侧面积和表面积公式：___，． 3．正棱台的上底面周长为，下底面周长为，斜高为．正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．如图： 正棱台的侧面积和表面积公式：____，． 【即学即练】 1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（    ） A． B．64 C．16 D．96 知识点02棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 S为棱柱的_____，h为棱柱的____ 棱锥 S为棱锥的_____，h为棱锥的____ 棱台 ，S分别为棱台的______，h为棱台的__ 【即学即练】 2．正三棱柱的侧面积为，体积为，则此棱柱的高为______，底面边长为_________． 知识点03圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 1．圆柱的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是矩形．如图： 圆柱的侧面积和表面积公式：__．____． 2．圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是扇形．如图： 圆锥的侧面积和表面积公式：_____．_____． 3．圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为l，侧面展开图是扇环．如图： 圆台的侧面积和表面积公式：_____，____． 【即学即练】 3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A． B． C． D． 知识点04圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径 圆锥 V圆锥＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径 圆台 V圆台＝ (S′＋＋S)h＝ S′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径 【即学即练】 4．圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是________. 知识点05 球体的体积与表面积 1.已知球的半径为R，则：（1）球的体积公式：________．（2）球的表面积公式：________． 2．球的性质 （1）球面上所有的点到球心的距离都__________，等于球的__________. （2）用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的__________. 3．平面截球 用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的________；若平面不经过球心，所得的截面称为球的________． 【即学即练】 5．球的体积是，则此球的表面积是（    ） A． B． C． D． 知识点06祖暅原理 我国数学家祖暅得出了“幂势既同，则积不容异”这一结论，意思是：夹在平行平面，之间的两个形状不同的几何体，被__________平面，的任意一个平面所截，如果截面和的面积__________，那么这两个几何体的体积相等（如图所示）． 题型01 立体图形的表面积计算 【典例1】已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的 A．4倍 B．3倍 C． 倍 D．2倍 【变式2】如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式4】侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（    ） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【变式5】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【变式6】《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，,,是的中点，过的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（   ） A．40 B． C．50 D． 题型02 立体图形的体积计算 【典例1】圆台的上、下底面的面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是，体对角线的长为，则这个长方体的体积是（    ） A．48 B．24 C．12 D．6 【变式3】圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式4】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【变式5】如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为：（     ）   A． B． C． D． 【变式6】将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（    ） A．cm B．6 cm C． cm D． cm 题型03 几何体的折叠与展开问题 【典例1】已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A． B． C． D． 【变式3】圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（    ） A．母线长是20 B．表面积是 C．高是 D．体积是 【变式4】圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的底面圆半径为_____ cm；圆锥的体积为_____ cm3. 【变式5】长方体ABCD－A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为________． 题型04 几何体的截面问题 【典例1】如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）    A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 【变式1】如图，底面为菱形的直棱柱的两个对角面和的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为________． 【变式2】用一个平面截半径为的球，截面面积是 ，则球心到截面的距离为_____cm． 【变式3】如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是_____. 【变式4】已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 题型05 简单的组合体 【典例1】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【变式1】已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为448+32(cm2)，则其体积为（    ） A．512+128(cm3) B．216+128(cm3) C．512+64(cm3) D．216+64(cm3) 【变式3】过某一圆锥的高的中点和一个三等分点（该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近），分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为（     ） A． B． C． D． 【变式4】在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式5】如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是　(　　) A．①③ B．①② C．②④ D．②③ 1．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 A． B． C． D． 2．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为，则它的体积是（ ） A． B． C． D． 3．如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ） A． B． C． D． 5．已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．正方体中，以顶点为顶点的正三棱锥的全面积为，则该正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 7．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 8．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 9．（多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 10．（多选）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 11．（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的体积为（   ） A． B． C． D． 12．（多选）如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（   ） A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B．若底面边长，则侧棱长 C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D．该正三棱柱的侧面积的最大值为 13．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 14．棱长都是3的三棱锥的侧面积S为________． 15．一个圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 ． 16．若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 17．已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 18．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________. 19．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________． 20．如图，正方体的棱长为1，E为线段 上的一点，则三棱锥的体积为 _____ 21．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油，假如它的两底面边长分别等于和，求它的深度为________ cm. 22．如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 23．如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 24．如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______； 25．正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______，体积为_____． 26．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 27．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 简单几何体的再认识 教学目标 1. 回顾并深化棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，能准确区分易混淆几何体，掌握其核心性质的延伸应用 2. 理解简单组合体的构成方式（拼接、截割），能识别常见组合体的组成部分，分析其结构特点 3. 掌握简单几何体的截面画法与展开图应用，能利用展开图解决几何体的表面积、最短路径等问题 4. 熟练运用简单几何体的表面积、体积公式，解决多面体与旋转体的综合计算问题 5. 提升空间想象能力和几何直观素养，能结合平行、垂直关系分析简单几何体的结构与计算问题 教学重难点 1. 重点 （1）简单几何体结构特征的深化理解与辨析 （2）组合体的构成与结构分析 （3）简单几何体的截面、展开图应用 （4）几何体表面积与体积的综合计算 2. 难点：几何体的截面画法与分析、折叠与展开问题的转化、组合体的表面积与体积计算（剔除重叠部分）、空间最短路径问题 知识点01 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积 1．直棱柱的底面周长为c，高为h．直棱柱的侧面展开图是一些矩形．如图： 直棱柱的侧面积和表面积公式：____，． 2．正棱锥的底面周长为c，斜高为．正棱锥的侧面展开图是一些全等的三角形．如图： 正棱锥的侧面积和表面积公式：___，． 3．正棱台的上底面周长为，下底面周长为，斜高为．正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．如图： 正棱台的侧面积和表面积公式：____，． 【答案】 【即学即练】 1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（    ） A． B．64 C．16 D．96 【答案】B 【详解】设正方体的棱长为，则，，故体积为.故选：B 知识点02棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 S为棱柱的_____，h为棱柱的____ 棱锥 S为棱锥的_____，h为棱锥的____ 棱台 ，S分别为棱台的______，h为棱台的__ 【答案】底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 【即学即练】 2．正三棱柱的侧面积为，体积为，则此棱柱的高为______，底面边长为_________． 【答案】/ 10 【详解】设底面边长为，高为，则，且，解得，． 故答案为：；10. 知识点03圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积 1．圆柱的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是矩形．如图： 圆柱的侧面积和表面积公式：__．____． 2．圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是扇形．如图： 圆锥的侧面积和表面积公式：_____．_____． 3．圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为l，侧面展开图是扇环．如图： 圆台的侧面积和表面积公式：_____，____． 【答案】 【即学即练】 3．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C. 知识点04圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径 圆锥 V圆锥＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径 圆台 V圆台＝ (S′＋＋S)h＝ S′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径 【答案】 【即学即练】 4．圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是________. 【答案】π 【详解】上底半径r=1,下底半径R=2.因为S侧=6π,设母线长为l,则π(1+2)·l=6π.所以l=2,所以高h==.所以V=π·(1+1×2+2×2)=π. 知识点05 球体的体积与表面积 1.已知球的半径为R，则：（1）球的体积公式：________．（2）球的表面积公式：________． 【答案】 2．球的性质 （1）球面上所有的点到球心的距离都__________，等于球的__________. （2）用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的__________. 【答案】 相等 半径 半径 3．平面截球 用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的________；若平面不经过球心，所得的截面称为球的________． 【答案】 大圆 小圆 【即学即练】 5．球的体积是，则此球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积.故选： 知识点06祖暅原理 我国数学家祖暅得出了“幂势既同，则积不容异”这一结论，意思是：夹在平行平面，之间的两个形状不同的几何体，被__________平面，的任意一个平面所截，如果截面和的面积__________，那么这两个几何体的体积相等（如图所示）． 【答案】 平行于 总相等 题型01 立体图形的表面积计算 【典例1】已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】不妨设圆柱的底面半径为，由底面积为，故可得；因为侧面展开图是正方形，故可得圆柱的高，故可得.故圆柱的侧面积为.故选：. 【变式1】轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的 A．4倍 B．3倍 C． 倍 D．2倍 【答案】D 【详解】圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，则它的底面积为πr2；圆锥的侧面积为：2rπ•2r＝2πr2；圆锥的侧面积是底面积的2倍．故选D． 【变式2】如图，扇形的圆心角为，半径为1，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得：以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，其中半球的半径为1，故半球的表面积为：.故答案为C 【变式3】若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成角，则这个圆台的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：则圆台的高，上底面半径，下底面半径，即，母线，即， 在中，，，易知在正方形中，，则，即，综上，，圆台的侧面积.故选：B. 【变式4】侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（    ） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【答案】A 【详解】如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，  △ABC为等边三角形，AB＝a，∴，∴表面积为.故选：A. 【变式5】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长，所以，解得.故选：D. 【变式6】《九章算术.商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，,,是的中点，过的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为（   ） A．40 B． C．50 D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点N，连结，易知平面为过的平面，则所得的三棱台为，其中上下底面均为等腰直角三角形，三个侧面均为梯形，各个面的面积：，，,, ，据此可知三棱台的表面积为.本题选择B选项. 题型02 立体图形的体积计算 【典例1】圆台的上、下底面的面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，母线长为l，高为h,由圆台的上、下底面的面积分别是，，得所以，，由圆台侧面积公式可得，所以，所以，所以该圆台的体积.故选：D. 【变式1】把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设大铁球的半径为，则有，解得．故选：B. 【变式2】已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是，体对角线的长为，则这个长方体的体积是（    ） A．48 B．24 C．12 D．6 【答案】A 【详解】由题意可设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为a，2a，3a，则有， 即，解得，∴长方体的过一个顶点的三条棱长分别为2，4，6，∴这个长方体的体积是，故选：A. 【变式3】圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，，即，由题意得，侧面积，解得，，圆锥的高，圆锥的体积，故选：A． 【变式4】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D. 【变式5】如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为：（     ）   A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示：用两个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱，则圆柱的体积为，故所求几何体的体积为10π.故选：D.   【变式6】将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（    ） A．cm B．6 cm C． cm D． cm 【答案】B 【详解】由圆柱体体积公式知，水的体积为（cm3）．当水倒入圆锥形器皿之后，体积不变．设倒圆锥形器皿的水面半径，则，即，解得，所以水面高度为：.故选：B. 题型03 几何体的折叠与展开问题 【典例1】已知正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】正方形ABCD的边长为1，沿对角线AC将△ADC折起，当AD与平面ABC所成的角最大值时， 平面ADC与底面ABC垂直，此时棱锥的高为：，底面面积为：．所以三棱锥D﹣ABC的体积：．故选：A． 【变式1】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，则该圆柱的表面积与侧面积的比是，选A. 【变式2】（多选）一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C；当截面过正方体的体对角线时可得D；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得A；但无论如何都不能截得B．故选：ACD 【变式3】圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（    ） A．母线长是20 B．表面积是 C．高是 D．体积是 【答案】ABD 【详解】如图所示，  设圆台的上底面周长为，因为扇环的圆心角为，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高， 体积，表面积.故选：ABD． 【变式4】圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的底面圆半径为_____ cm；圆锥的体积为_____ cm3. 【答案】 1 / 【详解】因为圆锥的侧面展开图扇形的弧长为2π cm，半径为cm，故圆锥的底面周长为2πcm，母线为cm，设圆锥的底面圆的半径为cm，则，解得，高， 则圆锥的体积.故答案为：1；. 【变式5】长方体ABCD－A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为________． 【答案】 【详解】把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.由此可见图(2)是最短路线，其路程的最小值为.故答案为：. 题型04 几何体的截面问题 【典例1】如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）    A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 【答案】C 【详解】设正方体的边长为，则表面积，因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．则面对角线长为，三棱锥D1­AB1C的表面积，所以.故选：C 【变式1】如图，底面为菱形的直棱柱的两个对角面和的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为________． 【答案】20 【详解】设底面边长为x，高为h，则有，，∵底面为菱形，∴与互相垂直平分，∴，∴，∴侧面积为.故答案为：20 【变式2】用一个平面截半径为的球，截面面积是 ，则球心到截面的距离为_____cm． 【答案】 【详解】由截面圆面积为，可得截面圆半径为15，由勾股定理得球心到截面距离为.故答案为：20 【变式3】如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是_____. 【答案】a/1.5a 【详解】在图②中，水所占部分为四棱柱，四棱柱底面积为，高为，所以四棱柱的体积为，设图①中容器内水面的高度为h，则，解得，故答案为： 【变式4】已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点为因为，直四棱柱的棱长均为2，所以为等边三角形，所以，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，又在平面内，故，因为侧面，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，取的中点为的中点为，连接、，则，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，则，所以，根据弧长公式可得. 题型05 简单的组合体 【典例1】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由球的体积为，可得球的半径满足，解得，因为正方体的所有顶点在一个球面上，则有正方体的体对角线长度为，设正方体的棱长为，则有，解得，故选：C. 【变式1】已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．    【变式2】如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为448+32(cm2)，则其体积为（    ） A．512+128(cm3) B．216+128(cm3) C．512+64(cm3) D．216+64(cm3) 【答案】A 【详解】设正方体的棱长为a cm，则5a2+2a2+a2×2=448+32，解得a=8 cm.该几何体的体积为a3+a2·a=512+128(cm3).故选：A. 【变式3】过某一圆锥的高的中点和一个三等分点（该三等分点距圆锥顶点比距圆锥底面圆心更近），分别作平行于该圆锥底面的平面，圆锥被分割成三个部分，则这三个部分的侧面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设底面半径为,母线长为,则圆锥被分割成的三个圆锥的侧面积分别为,, ，故圆锥被分割成三个部分的侧面积分别为, ,，故侧面积比为.故选C 【变式4】在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】  由题意可知旋转后的几何体如图: 直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为.故选C. 【变式5】如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是　(　　) A．①③ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】A 【详解】（1）当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如①图所示；（2）棱长都相等的正三棱锥的棱和球心不可能在同一个面上，所以②是错误的；（3）过三棱锥的一个顶点（不过棱）和球心所得截面如③图所示；（4）棱长都相等的正三棱锥和球心不可能在同一个面上，所以④是错误的．故选A． 1．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．故选D． 2．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为，则它的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵圆锥的底面周长为，∴圆锥的底面半径，双∵圆锥的母线长，∴圆锥的高为，∴圆锥的体积为.故选D. 3．如图，是体积为1的棱柱，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为棱锥与棱柱同底同高，棱柱体积为1，则棱锥的体积，故四棱锥的体积故选：C. 4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以，所以圆柱的表面积为，圆柱的侧面积为，所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是，故选：C 5．已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，在正方体中，三棱锥符合题目条件，且三棱锥的四个侧面全为等边三角形，设正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，所以正方体的表面积为，，即三棱锥的表面积为， 则三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为：．故选：B． 6．正方体中，以顶点为顶点的正三棱锥的全面积为，则该正方体的棱长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方体棱长为，则侧面的对角线长为，所以正三棱锥的棱长为， 其表面积为，可得，即.故选：A 7．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以． 8．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，，，所以，所以．故选：B 9．（多选）若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】球直径为，则半径为，则球的表面积为，正方体棱长为，则表面积为．由，因为，所以，即，故A正确，C错误；又，，因为，所以，即．故B错误，D正确；故选：AD. 10．（多选）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边， 所以所形成的几何体的表面积是.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1， 所以写成的几何体的表面积.综上可知形成几何体的表面积是或.故选：AB. 11．（多选）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】圆锥轴截面是边长为a的正三角形，所以圆锥的底面半径为，高为，体积为，圆柱的轴截面是边长为a的正方形，所以圆柱的底面半径为，高为a，体积为，故选：CD. 12．（多选）如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（   ） A．正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B．若底面边长，则侧棱长 C．若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D．该正三棱柱的侧面积的最大值为 【答案】ABD 【详解】由已知球表面积为得半径， 对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确； 对于B，由几何关系得，即， 代入，得，故B正确； 对于C，若，则，体积，故C错误； 对于D，由得， 侧面积， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，故D正确． 13．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】对于A，由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为，，，故，又，则，故，解得， 因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，，即，故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确，对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，，又平面，平面， 故平面，平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C，取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故， 故，又，、平面，故平面， 又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误； 对于D，若平面，因为平面，平面， 故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 14．棱长都是3的三棱锥的侧面积S为________． 【答案】/ 【详解】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以.故答案为：. 15．一个圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则半圆的弧长πl为圆锥的底面周长2πr． 依题意得方程组，即，解之得3r2＝a，所以r＝(m)， 16．若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 【答案】 【详解】解析：．故答案为： 17．已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 【答案】 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则，，，．又，，，． 故答案为： 18．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________. 【答案】 【详解】解方程x2－9x＋18＝0得x=3或x=6，∴棱台的上下底面边长分别为3，6．设棱台的斜高为h，， 则 ，∴h=．即答案为． 19．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________． 【答案】 【详解】试题分析：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵，∴，它们的侧面积相等，∴，∴．故答案为． 20．如图，正方体的棱长为1，E为线段 上的一点，则三棱锥的体积为 _____ 【答案】 【详解】　以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故 21．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油，假如它的两底面边长分别等于和，求它的深度为________ cm. 【答案】75 【详解】，cm. 22．如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 【答案】96 【详解】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使，所以V几何体＝V三棱柱.故答案为：. 23．如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成．，，∴斜高．因此，． 故答案为：； 24．如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______； 【答案】 【详解】如图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，所以圆柱的下底面积为；圆柱的侧面积为；圆锥的母线，所以圆锥的侧面积为，所以该模型的表面积为．故答案为：． 25．正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______，体积为_____． 【答案】 【详解】∵正三棱锥的高为1，底面边长为，，设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥．又正三棱锥的斜高为，，． ，体积．故答案为：；. 26．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【详解】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，，所以，，所以，在中，如果，则，在中，，构不成直角三角形，因为，所以不可能为直角，所以，则，中，，，所以，即为直角三角形，符合题意，所以则的中点到四个顶点的距离都相等即为球心，所以三棱锥的四个顶点都在球上，且半径为，所以球的表面积为．故答案为：. 27．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm. 【答案】4 【详解】设球半径为r，则由,可得，解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $