第6章 立体几何初步 章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学单元复习讲义围绕直观想象、逻辑推理、数学运算三大核心素养构建知识体系，通过“空间几何体结构特征”“线面平行垂直证明”“表面积体积计算”等专题梳理知识脉络，突出空间几何重难点及内在联系。 讲义亮点在于结合高考真题设计例题，如圆柱侧面展开求最短距离培养直观想象，四点共面证明强化逻辑推理，补形法求体积提升数学运算素养。基础题与综合题结合，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

一、直观想象 　　直观想象在本章中主要体现在空间几何体的识别与应用问题中. 培优一｜空间几何体的结构特征 【例1】　（1）如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1的夹角为，AB＝2，则棱AA1，CC1的夹角为（　D　 ） A.　　　　B. C.　　　　D. 解析：由棱台的定义可知，分别延长AA1，BB1，CC1，DD1交于点P，连接AC， 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1的夹角为，AB＝2，所以△PAB是边长为2的等边三角形，所以PA＝PC＝2.又在正方形ABCD中，AB＝2，则AC＝2，所以AC2＝PA2＋PC2，所以PA⊥PC，所以棱AA1，CC1的夹角为，故选D. （2）（2022·北京高考9题）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T＝{Q∈S｜PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（　B　） A. B.π C.2π D.3π 解析：设O为△ABC的中心，连接PO，AO，在正三角形ABC中，AO＝××6＝2，在Rt△POA中，PO＝＝＝2，当PQ＝5时，连接OQ，根据勾股定理可得OQ＝＝1，易知Q的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，由于集合T＝{Q∈S｜PQ≤5}，故集合T表示的区域的面积为π，故选B. 培优二｜与几何体有关的最值问题 【例2】　如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为 平面图形——矩形，如图所示，连接AB'，则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离. ∵AB＝A'B'＝2，AA'为底面圆的周长，且AA'＝2π×1＝2π， ∴AB'＝＝＝2， 即蚂蚁爬行的最短距离为2. 二、逻辑推理 　　逻辑推理在本章中主要体现在线面关系的平行与垂直的证明问题中. 培优三｜几何体中共点、共线、共面问题 【例3】　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. 求证：（1）E，F，G，H四点共面； 证明：∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD.又EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面. （2）GE与HF的交点在直线AC上. 证明：∵G，H不是BC，CD的中点， ∴EF≠GH. 又EF∥GH，∴EG与FH不平行， 则必相交，设交点为M. ⇒M∈平面ABC且M∈平面ACD⇒M在平面ABC与平面ACD的交线上， 又平面ABC∩平面ACD＝AC⇒M∈AC， ∴GE与HF的交点在直线AC上. 培优四｜空间线、面平行关系的判定与证明 【例4】　如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点.求证：EF∥平面ABC. 证明：法一（面面平行）　如图①，连接DB，取DB的中点G，连接EG，FG. ∵F为CD中点，∴FG为△DBC的中位线，∴FG∥BC， ∵FG⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴FG∥平面ABC， ∵E，G分别为AA1和DB的中点，∴EG为梯形ABDA1的中位线， ∴EG∥AB， ∵EG⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴EG∥平面ABC， ∵FG∩EG＝G，FG⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABC， ∵EF⊂平面EFG， ∴EF∥平面ABC. 法二（线面平行）　如图②，连接DB，取CB的中点M，取AB的中点O，取AO的中点H，连接EH，FM，MH，A1O. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝AB， ∴四边形OBDA1是平行四边形， ∴DB∥A1O且DB＝A1O， ∵F，M分别为CD和CB中点， ∴FM为△DBC的中位线， ∴DB∥FM且FM＝DB， 同理可证EH∥A1O且EH＝A1O， ∴EH∥FM且EH＝FM， ∴四边形EFMH为平行四边形， ∴EF∥MH， ∵EF⊄平面ABC，MH⊂平面ABC， ∴EF∥平面ABC. 【例5】　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由. 解：当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝PB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点， ∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD. 又MA∥PB且MA＝PB， ∴PF∥MA且PF＝MA， ∴四边形AFPM是平行四边形， ∴AF∥PM. 又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD， ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD. 培优五｜空间线、面垂直关系的判定与证明 【例6】　〔多选〕如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是（　　） 解析：BC　由三垂线定理易知B、C正确. 【例7】　（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. （1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； 解：证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC. 因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC. 因为AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. （2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高. 解：如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD. 因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD. 因为BC⊥平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1. 因为BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD， 所以AA1⊥平面BCD. 因为CD⊂平面BCD，所以AA1⊥CD. 因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1. 又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C. 因为AA1＝2，所以CD＝1. 易知AA1∥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1. 三、数学运算 　　数学运算在本章中主要体现在空间几何体的表面积与体积的计算以及空间角的求值问题中. 培优六｜空间几何体的表面积与体积的计算问题 【例8】　（2023·全国甲卷10题）在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（　　） A.1 B. C.2 D.3 解析：A　取棱AB的中点D，连接PD，CD.∵PA＝PB＝2，CA＝CB＝AB＝2，∴PD＝CD＝.又∵PC＝，∴PC2＝PD2＋CD2，则PD⊥DC.又∵PD⊥AB，DC，AB⊂平面ABC，AB∩DC＝D，∴PD⊥平面ABC，∴VP-ABC＝S△ABC·PD＝××2××＝1.故选A. 【例9】　〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷9题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则（　　） A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π C.AC＝2 D.△PAC的面积为 解析：AC　如图，连接PO.在△PAB中，PA＝PB＝2，∠APB＝120°，且点O是AB的中点，∴PO⊥AB，∠APO＝60°，∴PO＝1，OA＝，即圆锥的高h＝1，底面圆的半径r＝.对于A，该圆锥的体积V＝πr2h＝π×（）2×1＝π，则A正确；对于B，该圆锥的侧面积S＝×2πr×PA＝π××2＝2π，则B不正确；对于C，取AC的中点D，连接OD，PD.由OA＝OC，得OD⊥AC.又∵PA＝PC，D为AC的中点，∴AC⊥PD，∴∠PDO为二面角P-AC-O的平面角，则∠PDO＝45°.又在Rt△POD中，PO＝1，∴OD＝1，∴AC＝2＝2＝2，则C正确；对于D，在Rt△POD中，PO＝1，∠PDO＝45°，∴PD＝，∴△PAC的面积S＝×AC×PD＝×2×＝2，则D不正确.故选A、C. 培优七｜空间角的计算问题 【例10】　（2024·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为（　　） A.　　　　B.1 C.2　　　　D.3 解析：B　法一（直接法）　如图，分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝，可知S△ABC＝×6×3＝9，＝×2×＝，设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，则＝（9＋＋）h＝，解得h＝，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，设AM＝x，则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x，可得DD1＝＝，结合等腰梯形BCC1B1可得B＝（）2＋D，即x2＋＝（2－x）2＋＋4，解得x＝，所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD＝＝1. 法二（补形法）　如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为＝＝，则＝，可知＝VP-ABC＝，则VP-ABC＝18，设正三棱锥P-ABC的高为d，则VP-ABC＝d××6×3＝18，解得d＝2，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO＝2，所以PA与平面ABC所成角的正切值tan∠PAO＝＝1.故选B. 【例11】　如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，且AB＝2PO＝2. （1）求异面直线PC与OE所成的角的大小； 解：∵PO是圆锥的高， ∴PO⊥底面圆O， 根据中点条件可以证明OE∥AC， ∠PCA或其补角是异面直线PC与OE所成的角， AC＝＝＝2，PC＝PA＝＝＝2， ∴∠PCA＝，故异面直线PC与OE所成的角是. （2）求二面角P-AC-E的余弦值. 解：如图，取AC中点为D，连接PD，OD， 由（1）知，PA＝AC＝PC， ∴PD⊥AC， ∵OA＝OC，∴OD⊥AC， 又E为劣弧CB的中点，即有E∈底面圆O， ∴二面角P-AC-E的平面角即为∠PDO， ∵C为半圆弧AB的中点， ∴∠AOC＝90°， 又直径AB＝2，∴OD＝AC＝1， ∵PO⊥底面圆O且OD⊂底面圆O， ∴PO⊥OD， 又PO＝， ∴在Rt△PDO中，PD＝， ∴cos∠PDO＝＝， ∴二面角P-AC-E的余弦值是. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $