专题6.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（高效培优讲义）高一数学北师大版必修第二册

专题6.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 教学目标 1. 理解平面的概念、表示方法，掌握平面的三个基本事实及推论，能运用基本事实解决空间图形的共面、共线、共点问题 2. 掌握空间点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能准确判断各类位置关系 3. 理解异面直线的定义，掌握异面直线所成角的定义、范围及计算方法 4. 培养空间想象能力和逻辑推理能力，能结合图形分析空间位置关系，解决简单的综合问题 5. 掌握空间位置关系的符号表示，能规范书写空间几何相关语句 教学重难点 1. 重点 （1）平面的三个基本事实及推论的应用 （2）空间点、直线、平面之间的位置关系判断与符号表示 （3）异面直线所成角的定义与计算 2. 难点：异面直线的判断与所成角的计算、平面基本事实的综合应用、空间位置关系的逻辑推理 知识点01平面 1.平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周_______的. 2.平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即_______表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成_______ 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成_______ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_______ 图示          【即学即练】 1．下列说法：①书桌面是平面；②有一个平面的长是，宽是；③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确说法的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 知识点02 平面的基本性质 1.基本事实1 ①文字语言：过______的三个点，有且只有一个平面． ②符号语言：三点不共线⇒存在唯一的使______． ③图形语言： 2.基本事实2 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． ②符号语言：______，______，且，______． ③图形语言： 3.基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的______． ②符号语言：______，且，且______． ③图形语言： 4.三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论1亦可说成：直线及其外一点______一个平面． 推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面． 【即学即练】 2．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点 知识点03平行直线的传递性 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线_____ 判断空间两条直线平行的依据 这一基本事实表述的性质通常叫做平行线的_____. 知识点04 等角定理及其推论 （1）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角______； （2）等角定理的推论 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角______； 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）______． 5．空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____ 图形语言    作用 判断或证明两个角相等或互补 【即学即练】 3．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　） A．60° B．120° C．30° D．60°或120° 知识点05 空间中直线与直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有三种： 相交直线：在同一平面内，有且只有_____公共点， 平行直线：在同一平面内，_____公共点； 异面直线：不同在_____，没有公共点． 知识点06 异面直线 1．异面直线的定义与画法： （1）定义：我们把_____的两条直线叫做异面直线． （2）画法：如果直线为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图． 2．异面直线所成的角：如图 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任意一点P，作直线， 结论 我们把与所成的______叫作异面直线a与b所成的角 范围 记异面直线a与b所成的角为，则______ 特殊情况 当时，异面直线a，b互相垂直，记作______ 【即学即练】 4．判断正误． （1）两条直线无公共点，则这两条直线平行．( ) （2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( ) （3）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( ) （4）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( ) 5．在长方体中，下列各线段所在直线的位置关系分别为：（填写：相交、平行或异面） （1）和是______直线；（2）和是______直线； （3）和是______直线；（4）和是______直线． 知识点07 直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 _________ _________ _________ 符号表示 图形表示 【即学即练】 6．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． A． B．    C． D． （1），：______； （2），且：______； （3），：______； （4），，，：______． 知识点08 两个平面的位置关系 位置关系 平行 相交 图示 表示法 公共点个数 _________ _________ 知识点09 常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系 文字语言 符号语言 图形语言 在上 ________ 在外 ________ 在内 ________ 在外 ________ 在内 ________ 在外 ________ 或 相交于 ________ 相交于 ________ 相交于 ________ 【即学即练】 7．用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，观察长方体中的点、线、面，用适当的符号或字母填空：   （1）点B______直线BC；（2）点A______直线BC；（3）点D______平面ABCD； （4）点______平面ABCD；（5）直线直线______；（6）直线平面______； （7）直线______平面． 题型01 平面基本事实的应用 【典例1】已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（    ） A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不对 【变式1】两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 【变式2】一条直线和直线外的三点所确定的平面有（   ） A．1个或3个 B．1个或4个 C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个 【变式3】如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必经过（   ） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【变式4】下列命题中正确的是 A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若A、B、C、D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 【变式5】下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 (　　) A． B． C． D． 题型02 空间位置关系的判断与辨析 【典例1】如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【变式1】一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　) A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行 【变式2】若直线和没有公共点，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【变式3】下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知点，直线，平面，以下叙述中正确的个数是（   ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5】如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是______． 题型03 异面直线所成角的计算 【典例1】如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是____． 【变式2】在正方体中，异面直线与所成角的大小为__________. 【变式3】在直三棱柱中，，为的中点，，则异面直线与所成的角是_______． 【变式4】如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）   A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【变式5】已知为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 题型04 线面、面面位置关系的综合应用 【典例1】如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，，不共面 C．，，，不共面 D．，，，共面 【变式1】在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（    ） A．P一定在直线上 B．P一定在直线上 C．P在直线或上 D．P既不在直线上，也不在直线上 【变式2】下列叙述中，正确的是（   ）． A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，，所以 D．因为，，所以 【变式3】在平行六面体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为________. 【变式4】已知平面与平面，都相交，则这三个平面可能的交线有(　　) A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 题型05 截面与平面性质的综合 【典例1】正方体中，分别是棱和上的点，，那么正方体中过的截面图形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式1】已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【变式2】一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4】在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（   ） A． B． C． D． 1．能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 2．在下列命题中，不是公理的是（　　） A．平行于同一个平面的两个平面平行 B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 3．以下四个命题中，正确命题的个数是（    ） ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 4．空间四点共面但不共线，那么这四点中 A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线 5．已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（    ） A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒ C．A∈，A∈β⇒ D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合 6．在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 7．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，（ ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，不为定值 D．不为定值，为定值 11．(多选)以下四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 12．(多选)下列命题中，错误的是（   ） A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面 B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面 C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 13．(多选)以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点共面，点共面，则共面 C．若直线共面，直线共面，则直线共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 14．(多选)如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面． 16．如图，在四面体中作截面，若的延长线交于点的延长线交于点，的延长线交于点．则三点的位置关系是_______． 17．空间中的五个点，其中有四个点在同一平面上，但没有任何三点共线，这样的五个点确定的平面最多有______个． 18．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______. 19．在正方体中，下列说法正确的是_________.（填序号） （1）直线在平面内；（2）设正方形与的中心分别为，，则平面与平面的交线为；（3）由确定的平面是；（4）由确定的平面与由确定的平面是同一个平面. 20．已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 21．已知正方体的棱长为2，为的中点，为上靠近的四等分点，则过点，，的平面截该正方体得到的截面图形的周长为______. 22．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 23．E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是________.    24．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 教学目标 1. 理解平面的概念、表示方法，掌握平面的三个基本事实及推论，能运用基本事实解决空间图形的共面、共线、共点问题 2. 掌握空间点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能准确判断各类位置关系 3. 理解异面直线的定义，掌握异面直线所成角的定义、范围及计算方法 4. 培养空间想象能力和逻辑推理能力，能结合图形分析空间位置关系，解决简单的综合问题 5. 掌握空间位置关系的符号表示，能规范书写空间几何相关语句 教学重难点 1. 重点 （1）平面的三个基本事实及推论的应用 （2）空间点、直线、平面之间的位置关系判断与符号表示 （3）异面直线所成角的定义与计算 2. 难点：异面直线的判断与所成角的计算、平面基本事实的综合应用、空间位置关系的逻辑推理 知识点01平面 1.平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是向四周_______的. 2.平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即_______表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成_______ 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成_______ 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成_______ 图示          【答案】 无限延展 平行四边形 横向 竖向 虚线或不画 【即学即练】 1．下列说法：①书桌面是平面；②有一个平面的长是，宽是；③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确说法的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【详解】对于①：因为平面是无限延展的，故①错误；对于②：因为平面是无限延展的，不可能有长和宽，故②错误；对于③：根据平面的性质可得，平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念，故③正确.故选：A 知识点02 平面的基本性质 1.基本事实1 ①文字语言：过______的三个点，有且只有一个平面． ②符号语言：三点不共线⇒存在唯一的使______． ③图形语言： 2.基本事实2 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． ②符号语言：______，______，且，______． ③图形语言： 3.基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的______． ②符号语言：______，且，且______． ③图形语言： 4.三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论1亦可说成：直线及其外一点______一个平面． 推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面． 【答案】不在一条直线上 公共直线 确定 相交 平行 【即学即练】 2．下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点 【答案】C 【详解】A，不在同一直线上的三个点，确定一个平面，所以A错误.B，四边形可能是空间四边形，不一定是平面图形，所以B错误.C，梯形有一组对边平行，所以是平面图形，所以C正确.D，当时，两个平面没有公共点.故选：C 知识点03平行直线的传递性 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线_____ 判断空间两条直线平行的依据 这一基本事实表述的性质通常叫做平行线的_____. 【答案】 互相平行 传递性 知识点04 等角定理及其推论 （1）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角______； （2）等角定理的推论 推论1：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角______； 推论2：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）______． 【答案】 相等 相等或者互补 相等 5．空间等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角_____ 图形语言    作用 判断或证明两个角相等或互补 【答案】相等或互补 【即学即练】 3．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　） A．60° B．120° C．30° D．60°或120° 【答案】D 【详解】两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补，所以为或，故选D. 知识点05 空间中直线与直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有三种： 相交直线：在同一平面内，有且只有_____公共点， 平行直线：在同一平面内，_____公共点； 异面直线：不同在_____，没有公共点． 【答案】 一个 没有 任何一个平面 知识点06 异面直线 1．异面直线的定义与画法： （1）定义：我们把_____的两条直线叫做异面直线． （2）画法：如果直线为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图． 【答案】不同在任何一个平面内 2．异面直线所成的角：如图 定义 前提 两条异面直线a，b 作法 经过空间任意一点P，作直线， 结论 我们把与所成的______叫作异面直线a与b所成的角 范围 记异面直线a与b所成的角为，则______ 特殊情况 当时，异面直线a，b互相垂直，记作______ 【答案】 锐角或直角 【即学即练】 4．判断正误． （1）两条直线无公共点，则这两条直线平行．( ) （2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( ) （3）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( ) （4）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( ) 【答案】 × √ × × 5．在长方体中，下列各线段所在直线的位置关系分别为：（填写：相交、平行或异面） （1）和是______直线；（2）和是______直线； （3）和是______直线；（4）和是______直线． 【答案】 异面 相交 异面 平行 知识点07 直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 _________ _________ _________ 符号表示 图形表示 【答案】 无数个 1个 0个 【即学即练】 6．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． A． B．    C． D． （1），：______； （2），且：______； （3），：______； （4），，，：______． 【答案】 C D A B 知识点08 两个平面的位置关系 位置关系 平行 相交 图示 表示法 公共点个数 _________ _________ 【答案】 0个 无数个 知识点09 常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系 文字语言 符号语言 图形语言 在上 ________ 在外 ________ 在内 ________ 在外 ________ 在内 ________ 在外 ________ 或 相交于 ________ 相交于 ________ 相交于 ________ 【答案】 【即学即练】 7．用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 8．如图，观察长方体中的点、线、面，用适当的符号或字母填空：   （1）点B______直线BC；（2）点A______直线BC；（3）点D______平面ABCD； （4）点______平面ABCD；（5）直线直线______；（6）直线平面______； （7）直线______平面． 【答案】 题型01 平面基本事实的应用 【典例1】已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（    ） A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不对 【答案】B 【详解】设点在同一个平面内，若，则五点共面，若，且，则五点不共面，即若B，C，D三点不共线，则一定五点共面，若B，C，D三点共线，则不一定五点共面.故选：B 【变式1】两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（    ） A．全等 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 【答案】B 【详解】由题意知，根据等角定理，这两个三角形的三个角对应相等，所以这两个三角形相似.故选：B. 【变式2】一条直线和直线外的三点所确定的平面有（   ） A．1个或3个 B．1个或4个 C．1个，3个或4个 D．1个，2个或4个 【答案】C 【详解】若三点在同一条直线上， 且与已知直线平行或相交，即该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点中有两点的连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面，故选：C 【变式3】如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必经过（   ） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【详解】∵直线，过三点的平面记作，，∴与的交线必通过点和点，故选：D． 【变式4】下列命题中正确的是 A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若A、B、C、D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 【答案】B 【详解】试题分析：对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；对于B，三角形三条直线两两相交，有不共线的三点，因此一定是平面图形，故B正确；对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，故选B 【变式5】下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D． 题型02 空间位置关系的判断与辨析 【典例1】如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，，故选：A 【变式1】一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　) A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．平行 【答案】C 【详解】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C. 【变式2】若直线和没有公共点，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【答案】D 【详解】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D. 【变式3】下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确；对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确；对D，符合画法原则，故D正确，故选：D 【变式4】已知点，直线，平面，以下叙述中正确的个数是（   ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】①不正确，如；②不正确，“”表述错误；③不正确，如图所示， ，但；④不正确，“”表述错误. 【变式5】如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是______． 【答案】平行或相交 【详解】如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是平行或相交.故答案为：平行或相交 题型03 异面直线所成角的计算 【典例1】如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，，，设异面直线与所成的角为,，则,所以.故选：C 【变式1】如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是____． 【答案】 【详解】在四棱柱中，，并且与的方向相同， 因此，又四边形、四边形都是平行四边形，则， 所以与相等的角是.故答案为： 【变式2】在正方体中，异面直线与所成角的大小为__________. 【答案】 【详解】连接，设，，四边形为平行四边形，即，即为异面直线与所成角，，，故答案为： 【变式3】在直三棱柱中，，为的中点，，则异面直线与所成的角是_______． 【答案】 【详解】取的中点，连结，∵是异面直线与所成的角， ∵，∴中，，正方形中，，∴中，，∴异面直线与所成的角是． 【变式4】如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）   A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【详解】将平移到，平移到，所以点作与异面直线与所成的角都是的直线，即过点作与异面直线与所成的角都是的直线，因为异面直线与所成的角为，所以的角平分线平分角为或，若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是，此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条，若的角平分线平分角为，即角平分线与异面直线与所成的角都是，则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线，此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条，综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 【变式5】已知为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设平面上两条直线分别满足，则相交，设交点为，且夹角为，如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为，则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线，当时，这样的直线只有一条，当时，这样的直线有两条，当时，这样的直线有三条，当时，这样的直线有四条，当时，这样的直线只有一条.所以的范围为.故选：A. 题型04 线面、面面位置关系的综合应用 【典例1】如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．，，，不共面 C．，，，不共面 D．，，，共面 【答案】A 【详解】如图，连接，，因为，所以，，，四点共面，所以平面. 因为，所以平面.又因为平面，所以点在平面与平面的交线上.同理，点，也在平面与平面的交线上，所以，，三点共线，故A正确，BC错误，因为所以四点共面，又，平面，所以直线平面，所以平面，故D错误.故选：A. 【变式1】在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（    ） A．P一定在直线上 B．P一定在直线上 C．P在直线或上 D．P既不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【详解】由题意知：面，又交于一点P，∴面，同理，面，又面面，由公理3知：点P一定在直线上.故选：B. 【变式2】下列叙述中，正确的是（   ）． A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，，所以 D．因为，，所以 【答案】D 【详解】A：因为，所以，故A错误； B：因为，所以或，故B错误； C：因为，所以，故C错误； D：因为，所以，故D正确. 故选：D 【变式3】在平行六面体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为________. 【答案】5 【详解】解：如图，满足条件的有，，，，，故答案为：5.   【变式4】已知平面与平面，都相交，则这三个平面可能的交线有(　　) A．条或条 B．条或条 C．条或条 D．条或条或条 【答案】D 【详解】由题意，当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面和平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线；故选：D. 题型05 截面与平面性质的综合 【典例1】正方体中，分别是棱和上的点，，那么正方体中过的截面图形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.设直线相交于点E，直线相交于点F，连接交直线于点P，交直线于点Q，则五边形为所求截面图形. 【变式1】已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【详解】延长，交的延长线于，连接，交于，延长，交的延长线于， 连接，交于，最后依次连接，所得截面，即为所求.故选：B 【变式2】一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点，延长交的延长线于点，连接交于点，连接，如图所示，可得正方体的截面图形为五边形．由与相似得，所以，与相似得，所以．由勾股定理得，，，，，所以截面图形的周长为． 【变式3】在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图，因为正方体中，分别是棱的中点，所以，所以四点共面.由正方体的棱长为2，可得，，所得截面周长为，故选：B. 【变式4】在长方体中，，现有一个动平面，且，当平面截此长方体所得截面边数最多时，截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，截面，由于，则， 设，则，，， 则，则周长为， 故选：A. 1．能确定一个平面的条件是（    ） A．空间的三点 B．一个点和一条直线 C．两条相交直线 D．无数点 【答案】C 【详解】对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确； 对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确； 对于C，根据基本事实的推论可知：两条相交直线可唯一确定一个平面，故C正确； 对于D，给出的无数个点不一定在同一个平面内，故D不正确 故选：C． 2．在下列命题中，不是公理的是（　　） A．平行于同一个平面的两个平面平行 B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【详解】：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的． B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A． 3．以下四个命题中，正确命题的个数是（    ） ①不共面的四点中，任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①假设任意三点共线，由于一条直线与直线外的一点确定一个平面，故四点共面，因此与不共面的四点矛盾，故假设不成立，即不共面的四点中，任意三点不共线，显然是正确的；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面，故不正确；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④空间四边形中四条线段不共面，故不正确．故正确的个数为1.故选：B. 4．空间四点共面但不共线，那么这四点中 A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线 【答案】B 【详解】若，则共面，但任何三点都不共线，故排除A，C；若直线与直线外一点A在同一平面内，且三点在直线上，则可排除D.故选B. 5．已知为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（    ） A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈，M∈β，N∈，N∈β⇒ C．A∈，A∈β⇒ D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共线⇒，β重合 【答案】C 【详解】，A∈β，，由基本事实可知为经过A的一条直线而不是A. 故的写法错误.故选：C 6．在正方体中，表面的对角线与成角的有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：和，所以，与夹角为的面对角线有：、、、，又因为，，，，根据平行关系可知、、、也与成角，可知满足题意的面对角线共有条，故选：C. 7．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点，若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把正四面体补为正方体，如图，根据题意可得截面为平行四边形，所以，，，，所以，， ，又因为，所以，所以所求截面面积，当且仅当时成立，故选：B 8．在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点，连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面，其中分别是的中点，故．，故，由勾股定理得，，同理可得，又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为．故选：A． 9．如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，延长交于点，则，即为的一个三等分点，连接，取的中点为，连接，则，所以四点共面，故梯形即为截面图形，显然为最长边，长度为． 故选：B. 10．如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，（ ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，不为定值 D．不为定值，为定值 【答案】D 【详解】由正方体的性质可知为正三角形，且其面积为，当平面过棱，，的中点时，且其面积由正方体的性质可得此时截面为正六边形，且其面积为， 当与棱的交点向靠近时，截面的面积为趋近，故截面面积是变动的，下证周长为定值，理由如下：作平行于，则易得四边形为平行四边形， 所以，，则，同理可得，，所以.故选：D. 11．(多选)以下四个命题中，正确的是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 【答案】AD 【详解】A正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾； B从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确； C不正确，共面不具有传递性，若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不在一个平面内； D正确，两两相交的直线有三个公共点，确定一个平面. 故选：AD. 12．(多选)下列命题中，错误的是（   ） A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面 B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面 C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 【答案】ACD 【详解】经过正方体两条异面的面对角线的平面不存在，A选项错误； 因为正方体的四条体对角线相交于同一点正方体的中心， 因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，B选项正确； 经过正方体异面的两条棱的平面不存在，C选项错误； 经过正方体一条体对角线和一条与之异面的面对角线的平面不存在，，D选项错误； 故选：ACD． 13．(多选)以下四个命题中，不正确的命题是（    ） A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点共面，点共面，则共面 C．若直线共面，直线共面，则直线共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】BCD 【详解】选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，正确； 选项：若三点共线，直线与直线异面，此时不共面，错误； 选项：共面，共面，此时可为异面直线，错误； 选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，错误. 故选：BCD 14．(多选)如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则（   ） A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【答案】ACD 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心，所以是的中点，所以在平面内，故A正确；对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥，因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确；对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥，因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确．故选：ACD. 15．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______个平面． 【答案】1或4 【详解】由题意知由两种情况：当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面； 当四点确定的两条直线异面时，四点不共面，则四个点确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点； 故答案为：1或4． 16．如图，在四面体中作截面，若的延长线交于点的延长线交于点，的延长线交于点．则三点的位置关系是_______． 【答案】共线 【详解】因为，直线平面，，直线平面，所以是平面与平面的一个公共点，所以在平面与平面的交线上．同理可证，也在平面与平面的交线上．所以三点共线．故答案为：共线 17．空间中的五个点，其中有四个点在同一平面上，但没有任何三点共线，这样的五个点确定的平面最多有______个． 【答案】7 【详解】∵空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，∴同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，∵由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面， 因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面．故答案为：7． 18．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_______. 【答案】1或4 【详解】其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面.故答案为：1或4 19．在正方体中，下列说法正确的是_________.（填序号） （1）直线在平面内；（2）设正方形与的中心分别为，，则平面与平面的交线为；（3）由确定的平面是；（4）由确定的平面与由确定的平面是同一个平面. 【答案】（2）（3）（4） 【详解】 （1）错误.如图①所示，点平面，所以直线平面. （2）正确.如图②所示.因为直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，所以平面与平面的交线为. （3）（4）都正确，如图③所示，因为且，所以四边形是平行四边形，所以共面. 20．已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意知,，又，故.则.当时，可知，又，则，故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)，当时，过点作的平行线交于点，可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图),当时，过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点，可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时,即的范围为. 21．已知正方体的棱长为2，为的中点，为上靠近的四等分点，则过点，，的平面截该正方体得到的截面图形的周长为______. 【答案】 【详解】如图，延长至，使得，连接交于，连接交于，连接， 取的中点，上一点，使，连接，，，因为且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，则.由，，得，则为的中点，则，所以.所以平面即为所求平面，又，，故，，所以，，则在中，；在中，； 在中，；在中，；在中，，所以过点，，的平面截正方体得到的截面图形的周长为：. 22．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 【答案】 【详解】如图：取棱的中点，连接，则多边形为截面图形. 因为且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为分别是的中点，由中位线定理得，再由，所以，即四点共面，而平面是过的截面，且三点不共线，所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2， 所以，所以截面的周长为.故答案为：. 23．E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是________.    【答案】五边形 【详解】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，连接AP交BC于M，连接AQ交A1D1于N，连接NF、ME，则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面；故答案为：五边形. 24．在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________. 【答案】/ 【详解】如图，取、、分别为、、的中点，、分别为、的中点，则且，在直三棱柱中，且，因为、分别为、的中点，则且，所以四边形为平行四边形，且， 且、分别为、的中点，则， 所以，四边形是等腰梯形，当不是中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个，取的中点，连接、，，，且点为的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，可得， 同理可得，所以，、、均为等边三角形，. 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $