2026年福建省厦门市九年级中考数学模考预测练习试题

**基本信息** 以文化传承与现实应用为情境，覆盖初中数学核心知识，梯度设计适配中考模考需求，如港珠澳大桥测量、《九章算术》问题等体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|有理数、图形对称、解直角三角形等|第2题结合数学家命名图形，第4题榫卯结构体现文化传承| |填空题|6/24|函数意义、多边形内角、统计等|12题正九边形内角计算，15题机器人行程函数图像| |解答题|9/86|几何证明、二次函数、统计应用等|23题二次函数与动点综合，24题几何探究（基础巩固-尝试应用-拓展提升），25题圆内接四边形综合，体现推理能力与模型意识|

2026年福建省厦门市九年级中考数学模考预测练习试题（解析版） （ 试卷满分：150分；考试时间：120分钟 ） 一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．有理数的相反数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解. 【详解】解：的相反数是； 故选B 2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D． 斐波那契螺旋线 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法是解题的关键． 根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知， A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意， B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意， C、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意， D、原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意． 故选：C． 3．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构． 图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体的三视图，找到从左面看到的图形即可．会从不同方向看出几何体的图形是解题的关键． 【详解】解：图2的左视图为： ， 故选：B． 5．不等式组：的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】解不等式组得， 表示在数轴上，如图：    故选B． 6．为迎接2026年理化生实验操作考试，某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小组， 要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加， 则小华和小强都选取物理小组的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的简单计算，掌握概率计算公式是解题的关键． 直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案． 【详解】解：如图所示， 一共有9种可能，符合要求的有1种， 小华和小强都选取物理小组的概率是， 故选：A． 7.某港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程， 它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥， 其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度， 站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（    ）      A．80米 B．米 C．160米 D．米 【答案】B 【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点D，    根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，米． 即该主塔的高度是米． 故选：B 8．成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为： “今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤． 问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之， 聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤． 问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组的应用，找准等量关系是解题关键．根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：D． 9．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长， 与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（　 　） A． B．13 C． D．14 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，正切的定义，直径所对的圆周角是直角；连接，勾股定理求得，进而求得，根据切线的性质得出，根据同弧所对的圆周角相等，进而得出，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴ ∵的半径为5，，则 ∴ ∴ ∵是过点的切线，则 ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 故选：C． 10. 如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接， 将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象 如图所示，最高点为．则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，过点作的延长线于点，过点作于点，可证，得到，设，则，可得，利用抛物线的对称轴可得，即得到，最后把代入计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，过点作于点，则， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由图知，抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 当时，，即， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 12．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ． 【答案】140°． 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 13． 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F． 若，则与的面积之和为_______． 【答案】1 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 14．某市中招体育考试规定：除耐力类的长跑为必考项目外，考生还需在“A．掷实心球”“B．立定跳远”“C．1分钟跳绳”“D．50米跑”这四个项目中选考两项．为了解学生选考项目的选择情况，随机抽取部分九年级学生进行调查，并将调查结果绘制成了统计图（部分信息不完整），请问在被调查的学生中选择“1分钟跳绳”的人数是 ． 【答案】100 【分析】该题主要考查了扇形统计图和条形统计图结合，解题的关键是理解题意． 根据题意算出总人数，即可求解； 【详解】解：根据题意可得：总人数为人， 故在被调查的学生中选择“1分钟跳绳”的人数是人， 故答案为：100． 15．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键． 根据函数图象中的数据列式计算即可． 【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为， 聪聪的速度为 ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1， 斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】作CE⊥x轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE=OA=2，T通过证得△AOB∽△BEC，求得BE=4，进而得到D点坐标，代入y=，利用待定系数法求出k． 【详解】解：作CE⊥x轴于E， ∵AC∥x轴，OA=2，OB=1， ∴OA=CE=2， ∵∠ABO+∠CBE=90°=∠OAB+∠ABO， ∴∠OAB=∠CBE， ∵∠AOB=∠BEC， ∴△AOB∽△BEC， ∴，即， ∴BE=4， ∴OE=5， ∵点D是AB的中点， ∴D（，2）． ∵反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点D， ∴k=×2=5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共9个小题，86分）解答时须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形。 17（8分）．计算：． 【答案】6 【分析】先化简零次幂、绝对值、算术平方根、正切值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解：原式 ． 18（8分）．如图，在四边形中，，．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， 的长为2． 19（8分）.先化简，再求值：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 解：原式 乙同学 (1) 甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_________；（填序号） ① 等式的基本性质； ② 分式的基本性质； ③ 乘法分配律； ④ 乘法交换律． (2) 请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】异分母分式加减法、分式化简求值、利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的化简，异分母分式的加减法，分式的乘法，乘法分配律，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据分式的基本性质和乘法分配律作出判断即可； （2）选择甲，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再与括号外的分式相乘，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式即可解答． 【详解】（1）解：②；③，理由如下： 甲同学把括号里面的分式进行通分，变成同分母的分式，那么应用的是分式的基本性质， 乙同学把括号里面的每个分式都乘以括号外面的分式，那么可知乙同学应用的是乘法分配律． 故答案为：②；③； （2）解： 若选择甲同学的解法： ； 若选择乙同学的解法： ． 20（8分）．某校对九年级学生进行了一次“读名著诵经典”知识竞赛， 并随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析， 下面给出部分信息： 甲班成绩的频数分布直方图如图所示 （数据分为6组：A：，B：，C：，D：，E：， F：），其中90分以及90分以上的人为优秀； 甲班的成绩在这一组的是：71，72，72，73，74，75，76，77，77，78，78，78，79． 甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如下表： 平均数 中位数 优秀人数 甲班成绩 76 m 3 乙班成绩 73 72 5 根据以上信息，回答下列问题： (1) 统计图中组对应扇形的圆心角是________度； (2) 请补全条形统计图； (3) 表中m的值是________； (4) 如果该校九年级学生有名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据E组的条形统计图和扇形统计图的数据求出抽取的甲班学生人数，即可求解； （2）计算出组的人数即可求解； （3）中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）． （4）计算出样本中优秀人数所占比例即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抽取的甲班学生人数为：（人） ∴统计图中组对应扇形的圆心角是： 故答案为： （2）解：组的人数为：（人）， 组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：， 故答案为： （4）解：（人） 即：估计九年级学生成绩优秀的有人 21（8分）．2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊， 旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．． (1)求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）； (2)机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】(1) (2)在规定范围内，理由见解析 【分析】（1）作于E，则,由条件可知根据，计算即可； （2）作于E，则,适当解直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，作于E，则,由条件可知， ∴ 由题意可得：， ， ∴； 答：的长度约为． （2）解：在规定范围内，理由如下： 如图，作于E，则， 由（1）可得：， ∴， ， ∴ ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 22（10分）．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩． 某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1) 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2) 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件 （进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元． 服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 23（10分）．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 已知抛物线经过两点． (1) 求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2) 如图①，动点E从O点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动， 同时，动点F从A点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动， 当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接， 设运动时间为t秒，当t为何值时，为直角三角形？ (3) 如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处， 用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线上方的抛物线上移动， 动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？ 如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．    【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)或 (3)的面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得，，，然后分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （3）过点作轴，垂足为，交与点，设点的坐标为，则，根据，得到，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ， 解得． ∴抛物线的解析式为． 将点和点的坐标代入得，，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由题意得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， 当时，则是等腰直角三角形，， ∴， ∴，解得； 当时，同理可得 ∴，解得． 综上所述可知当或时，是直角三角形． （3）解：如图所示：过点作轴，垂足为，交与点．    设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴ ∴当时，的面积有最大值，最大值为， ∴． ∴的面积的最大值为，此时点的坐标为． 24（13分）．【基础巩固】 (1) 如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结， 若， 求证：． 【尝试应用】 (2) 如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点， 连结，若，求的长． 【拓展提升】 (3) 如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点， 连结，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析； (2)18； (3)． 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果； 【详解】（1）证明：∵， （2）解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， 设 ， 则 ， （舍去）， （3）解：如图， 延长 ，交于点 ， 设则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形 的边长为 25（13分）．如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明 ． （2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得 ． （3）利用（2）结论将周长转化为，通过相似三角形及三角函数、勾股定理求出的长，即周长为 ． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ． ， ． （2）证明：， ． ， ， 又， ， ， ． 由（1）知，， 又， ， ． ， ． ∵， ， ， ， ． （3）解：由（2）知，， 的周长为． 设，则． 由（2）可知，． 又， ， ， ， ． 又， ， ． 过点C作，垂足为P，则． 四边形是圆内接四边形， ， 又， ， ． 在中，，即． ， ， ， ． 在中，， ， 解得，或（舍去）． ． 的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福建省厦门市九年级中考数学模考预测练习试题 （ 试卷满分：150分；考试时间：120分钟 ） 一、选择题：本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．有理数的相反数是（   ） A． B． C． D．2026 2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D． 斐波那契螺旋线 3．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）． A． B． C． D． 4．榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构． 图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（    ） A． B． C． D． 5．不等式组：的解集在数轴上表示正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   6．为迎接2026年理化生实验操作考试，某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小组， 要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加， 则小华和小强都选取物理小组的概率是（    ） A． B． C． D． 7.某港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程， 它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥， 其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度， 站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（    ）      A．80米 B．米 C．160米 D．米 8．成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为： “今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤． 问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之， 聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤． 问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（　 　） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长， 与过点的切线相交于点，连接．若的半径为5，，则的长是（　 　） A． B．13 C． D．14 10. 如图，已知，，动点在线段上由向运动，连接， 将绕点逆时针旋转得，连接．设，的面积为，关于的函数图象 如图所示，最高点为．则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 ． 13． 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F． 若，则与的面积之和为_______． 14．某市中招体育考试规定：除耐力类的长跑为必考项目外，考生还需在“A．掷实心球”“B．立定跳远”“C．1分钟跳绳”“D．50米跑”这四个项目中选考两项．为了解学生选考项目的选择情况，随机抽取部分九年级学生进行调查，并将调查结果绘制成了统计图（部分信息不完整），请问在被调查的学生中选择“1分钟跳绳”的人数是 ． 15．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1， 斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，86分）解答时须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形。 17（8分）．计算：． 18（8分）．如图，在四边形中，，．    (1)求证：． (2)若，求的长． 19（8分）.先化简，再求值：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 解：原式 乙同学 (1) 甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_________；（填序号） ① 等式的基本性质； ② 分式的基本性质； ③ 乘法分配律； ④ 乘法交换律． (2) 请选择一种解法，写出完整的解答过程． 20（8分）．某校对九年级学生进行了一次“读名著诵经典”知识竞赛， 并随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析， 下面给出部分信息： 甲班成绩的频数分布直方图如图所示 （数据分为6组：A：，B：，C：，D：，E：， F：），其中90分以及90分以上的人为优秀； 甲班的成绩在这一组的是：71，72，72，73，74，75，76，77，77，78，78，78，79． 甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如下表： 平均数 中位数 优秀人数 甲班成绩 76 m 3 乙班成绩 73 72 5 根据以上信息，回答下列问题： (1) 统计图中组对应扇形的圆心角是________度； (2) 请补全条形统计图； (3) 表中m的值是________； (4) 如果该校九年级学生有名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？ 21（8分）．2025年春晚名为《秋BOT》的舞蹈，机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊， 旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．． (1)求肘关节点B与手绢旋转点O之间的水平宽度（的长度）； (2)机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点C在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点C与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留整数）（参考数据：） 22（10分）．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩． 某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1) 该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2) 第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件 （进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元． 服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 23（10分）．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 已知抛物线经过两点． (1) 求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2) 如图①，动点E从O点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动， 同时，动点F从A点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动， 当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接， 设运动时间为t秒，当t为何值时，为直角三角形？ (3) 如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处， 用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线上方的抛物线上移动， 动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？ 如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．    24（13分）．【基础巩固】 (1) 如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结， 若， 求证：． 【尝试应用】 (2) 如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点， 连结，若，求的长． 【拓展提升】 (3) 如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点， 连结，若，，求菱形的边长． 25（13分）．如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $