专题 11.1 不等式（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 11.1 不等式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】不等式的定义 1 【题型 1】不等式的判断 1 【题型 2】列不等式 3 【知识点二】不等式的基本性质 4 【题型 3】不等式的基本性质辨析 5 【题型 4】不等式的基本性质的应用 7 二.综合培优题型精析 9 【题型 5】不等式的基本性质的证明 9 【题型 6】运用求差法比较大小 13 【题型 7】数轴上不等式的基本性质的运用 16 三.同步检测 19 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 25 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】不等式的定义 用不等号（，，，）表示数量之间关系的式子叫作不等式。 【要点提示】（1）含有不等号是不等式的标志，不含不等号的式子一定不是不等式；（2）常见不等号:“、、、、”均属于不等关系符号；（3）式子范围：不等号两边可以是数、字母、代数式，无需是等式、有固定数值。 【题型 1】不等式的判断 【例题1】（25-26七年级下·上海虹口·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式是用不等号（，，，，）连接，表示不等关系的式子判断即可． 解：A、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； B、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误； C、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误； D、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等号表示下列关键词：低于_______，不大于_______，最低_______，不超过_______，至少_______． 【答案】 【分析】此题考查了不等号的意义，根据不等号的意义进行解答即可． 解：低于用表示，不大于用表示，最低用表示，不超过用表示，至少用表示， 故答案为：，，，， 【变式2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 解： ①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③，用等号连接，是等式，不是不等式； ④，是代数式，无不等号连接，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ∴不等式共有3个． 【变式3】（24-25七年级下·河北唐山·月考）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 解：不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选：C． 【题型 2】列不等式 【例题2】（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河南焦作·月考）据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是，最高气温是得到取值范围即可． 解：明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； 根据交通标志上的限速信息确定车速的取值范围即可． 解：由题可知，车在中间车道， 根据图片中的车速范围可知： 故答案为： 【知识点二】不等式的基本性质 1：不等式的传递性 如果，，那么；如果，，那么； 2：不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变. 即：如果那么. 3：不等式的基本性质2： 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果那么. 如果那么. 【要点提示】（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向始终不变，操作不受数的正负影响；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，核心前提是乘数或除数为正；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，这是解不等式的高频易错点。 【题型 3】不等式的基本性质辨析 【例题3】（25-26八年级下·江西九江·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：对于选项A：∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴一定成立，不符合要求； 对于选项B：∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴一定成立，不符合要求； 对于选项C：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴一定成立，不符合要求； 对于选项D：举反例：当，时，满足，但，，此时，因此不一定成立，符合要求． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）若的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会改变。我们需要根据解集反推出系数的符号，从而求出的取值范围． 解：已知的解集为． 根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变． 由此可得，系数， 解得：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是牢记“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，并能根据解集的变化反推系数的符号． 【变式2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到正确结果． 解：A、，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，A错误； B、举反例：若，满足，此时，，B错误； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，，C错误； D、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，D正确． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）如果，那么________，________．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ ＞ 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 由已知不等式，两边同除以（负数），不等号方向改变，得到；然后利用不等式的性质，分别判断与、与的大小关系即可． 解：， ． ，根据不等式性质，两边同乘正数，不等号方向不变， ，两边同乘，不等号方向改变， ； ∵两边同时加上，不等号方向不变， ∴． 故答案为：，． 【题型 4】不等式的基本性质的应用 【例题4】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·月考）某商场促销方案： 方案一：买2件商品送1件； 方案二：每件商品打8折． 若购买3件原价均为x元的商品，哪种方案更优惠？ 【答案】方案一 【分析】本题考查列代数式，不等式的性质．先分别表示出两种方案的总价，再进行比较即可解答． 解：方案一：3件总价为元， 方案二：3件总价为（元）， ∵， ∴， ∴方案一更优惠． 【变式1】（24-25九年级·江苏苏州·自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．根据已知得出，推出，求出，两边都除以2即可得出答案． 解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）某公司拟聘请一名技术型人才，现有甲乙两人进入最后的评选，评选采取笔试和面试相结合的方式，笔试成绩占，面试成绩占，甲笔试成绩a分，面试成绩b分；乙的笔试成绩b分，面试成绩a分．已知，根据综合成绩高的优先录用的原则，该公司应录取_________进入公司． 【答案】乙 【分析】可求甲的最终成绩：分，乙的最终成绩：分，用作差法比较大小，即可求解． 解：由题意得：甲的最终成绩为： 分， 乙的最终成绩： 分， ； ， ， ， ， ， 乙的最终成绩较高， 应录取乙； 故答案：乙． 【点拨】本题考查了整式加减，作差法比较大小，掌握求法是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． （1）若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） （2）若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 【答案】（1）他获利元； （2）他这次买卖是赚钱了，理由见分析． 【分析】此题主要考查了列代数式以及整式的加减运算，正确表示出获利是解题关键． （1）利用进价与利润之间的关系得出总的利润即可； （2）利用已知表示出总的出售钱数再减去总的进价，求出利润，进而得出答案． 解：（1）解： 答：他获利元． （2）解： ∵， ∴， 答：他这次买卖是赚钱了． 二.综合培优题型精析 【题型 5】不等式的基本性质的证明 【例题5】（2026九年级下·福建福州·专题练习）已知实数a，b，c，m，n满足，，且时，求证： 【答案】见分析 【分析】本题利用完全平方公式的非负性证明不等式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先根据完全平方公式得到，得到，即可得到结论． 解：证明：， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质证明即可． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） （1）若，求证：； （2）已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【答案】（1）见分析 （2） 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 解：（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 的最小值是． 【变式3】（24-25八年级下·全国·期中）阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 （1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． （2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 【答案】（1）不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变 （2）见分析 【分析】（1）根据不等式的基本性质进行分析即可； （2）仿照（1）的方法进行求解即可． 解：（1）解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变）， 合并同类项可得：， 即：得证． 故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变； （2）解：，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变）， 合并同类项，得， 即：，得证． 【点拨】本题主要考查不等式的基本性质，解答的关键是熟记不等式的基本性质． 【题型 6】运用求差法比较大小 【例题6】（24-25七年级下·河南南阳·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，，请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求差法比较大小的应用及不等式的性质，熟练掌握整式的运算及不等式的性质是解题的关键． （1）利用求差法比较大小即可； （2）利用求差法及不等式的性质即可得出答案． 解：（1）解：由题意，得， ， ， ； （2）， ，， ，， ． ． 【变式1】（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： （1）设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． （2）设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1），见分析； （2），见分析． 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． （1）【理解】若，比较代数式和的大小； （2）【运用】若，试比较的大小． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 解：（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 【变式3】（24-25八年级下·江西抚州·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： （1）方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； （2）已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 （2） 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 解：（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 【题型 7】数轴上不等式的基本性质的运用 【例题7】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出，的相反数的位置； （2）假设，且，化简． 【答案】（1）图见分析 （2） 【分析】（1）根据相反数的定义即可得解； （2）先判断、、的正负号，再化简即可． 解：（1）解：根据相反数的定义，在数轴上表示出，的相反数的位置如下： （2）解：，，， ，，， ，，， ． 【点拨】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上的点表示有理数，不等式的性质，化简绝对值，整式的加减等知识点，确定、、的正负性是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、绝对值、有理数加减运算、不等式的性质等知识点，理解绝对值、不等式的性质是解题的关键． 根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且，再根据绝对值、相反数的意义、有理数加减运算、不等式的性质逐项判断即可． 解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，因此A选项正确； B．由，则，因此B选项错误； C．由，则，因此C选项错误； D．由，则，因此D选项错误． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则_____（填“>”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较大小，不等式的性质，由题意可得，，，可得，进一步可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点A，B到原点距离之和的最小值． 【答案】（1）过4秒或6秒 （2）3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是： （1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可； （2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可． 解：（1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级下·山西太原·月考）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最高气温和最低气温的实际含义，气温不低于最低气温，不高于最高气温，包含端点值，即可得到正确结果． 解：∵当天太原市的最高气温是，最低气温是， ∴气温（单位）满足：不低于最低气温，不高于最高气温可得． 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合不等式性质对各选项逐一判断即可． 解：∵，， A项：不等式两边同时除以负数c，不等号方向改变，可得，故A错误； B项：不等式两边同时加c，不等号方向不变，可得，故B错误； C项：不等式两边同时乘负数c，不等号方向改变，可得，故C正确； D项：不等式两边同时减c，不等号方向不变，可得，故D错误． 4．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 解：A．∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴，A说法正确． B．∵，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变， ∴，B说法正确． C．∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得， 不等式两边再同时减，不等号方向不变，可得， 与选项中不符，C说法不正确． D．∵，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴，D说法正确． 5．（2026·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件，对变形，逐一推导各选项的结论，即可判断正误． 解：∵， ∴，，． ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； 将代入得：， 整理得，即，故选项A正确，不符合题意； ， 即，故选项D正确，不符合题意； ∵，且， ∴， 移项得， ∴，故选项B错误，符合题意． 6．（25-26七年级下·重庆·月考）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质对每个选项的变形逐一判断即可． 解：A、，根据等式性质，两边同时加3，可得，变形正确； B、，根据等式性质，两边同时乘3，可得，变形正确； C、，不等式两边同时除以时，若，不等号方向要改变，得到，题目未说明的符号，无法直接推出，故变形不正确； D、由得，根据不等式性质，两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，变形正确； 7．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·陕西西安·月考）的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 【答案】 解：根据题意，可列不等式为． 10．（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意写出的范围即可，理解题意是解题的关键． 解：∵不超过的最大整数是， ∴， 故答案为：． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可． 解：x与a的平方差不是正数可表示为： 故答案为： 12．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 【答案】 不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 解：∵， ∴， 推理的依据是：不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟悉不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，是解题的关键．将原不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，直接得到比较结果． 解：由，两边同时乘，得， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则_______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断字母的大小，不等式的性质．先求出a，b的大小，再不等式两边都除以即可． 解：由数轴可知，， 则， 两边都除以得，即． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握其性质是解题的关键． 利用不等式的性质进行逐项分析，即可判断作答． 解：若,当时，,则①错误， 若，那么，那么,则②正确， 若,当，时，那么，则③错误， 若，那么 ∵，两边同时除以得，则④正确， 若，，则， 整理得，由得， 那么，故异号， 那么，．则⑤正确， 故答案为：②④⑤． 16．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）若不等式对任意正整数都成立，且是正整数，求的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．先利用错位相减法，得到第n个式子的最大值，求得前n项和，然后求不等式的解． 解：设，， ， 的值随的增大而减少， 当时，有最大值，， ， ， 的最小值是． 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·江苏南通·期末）求证：当时，一定比小． 【答案】见分析 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 解：证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点拨】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 18．（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据不等式的性质进行解答即可； （2）根据不等式的性质进行解答即可． 解：（1）解：， 不等式两边同时加上1，得； （2）解：， 不等式两边同时减去1，得， 不等式的两边同时乘，得． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 【答案】见分析 【分析】本题考查根据数轴比较实数大小，建立不等式的能力，需结合点C的位置进行分类讨论． 解：当点C在点A的左边（不含点A）时，； 当点C与点A重合时，； 当点C在点A，B之间（不含端点A，B）时，； 当点C与点B重合时，； 当点C在点B的右边（不含点B）时，． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． （1）该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． （2）该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】（1）当时，；当时，；（2） 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 解：（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.1 不等式（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】不等式的定义 1 【题型 1】不等式的判断 1 【题型 2】列不等式 2 【知识点二】不等式的基本性质 2 【题型 3】不等式的基本性质辨析 3 【题型 4】不等式的基本性质的应用 4 二.综合培优题型精析 4 【题型 5】不等式的基本性质的证明 4 【题型 6】运用求差法比较大小 6 【题型 7】数轴上不等式的基本性质的运用 7 三.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 9 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】不等式的定义 用不等号（，，，）表示数量之间关系的式子叫作不等式。 【要点提示】（1）含有不等号是不等式的标志，不含不等号的式子一定不是不等式；（2）常见不等号:“、、、、”均属于不等关系符号；（3）式子范围：不等号两边可以是数、字母、代数式，无需是等式、有固定数值。 【题型 1】不等式的判断 【例题1】（25-26七年级下·上海虹口·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等号表示下列关键词：低于_______，不大于_______，最低_______，不超过_______，至少_______． 【变式2】（25-26八年级下·陕西宝鸡·月考）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式3】（24-25七年级下·河北唐山·月考）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 【题型 2】列不等式 【例题2】（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 【变式1】（24-25八年级下·河南焦作·月考）据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）假期里全家去旅游，爸爸开小型车走中间车道．如图，车速为，则的取值范围为__________． 【知识点二】不等式的基本性质 1：不等式的传递性 如果，，那么；如果，，那么； 2：不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变. 即：如果那么. 3：不等式的基本性质2： 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果那么. 如果那么. 【要点提示】（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向始终不变，操作不受数的正负影响；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，核心前提是乘数或除数为正；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变，这是解不等式的高频易错点。 【题型 3】不等式的基本性质辨析 【例题3】（25-26八年级下·江西九江·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）若的解集为，则的取值范围是________． 【变式2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元测试）如果，那么________，________．（填“＞”或“＜”） 【题型 4】不等式的基本性质的应用 【例题4】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·月考）某商场促销方案： 方案一：买2件商品送1件； 方案二：每件商品打8折． 若购买3件原价均为x元的商品，哪种方案更优惠？ 【变式1】（24-25九年级·江苏苏州·自主招生）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）某公司拟聘请一名技术型人才，现有甲乙两人进入最后的评选，评选采取笔试和面试相结合的方式，笔试成绩占，面试成绩占，甲笔试成绩a分，面试成绩b分；乙的笔试成绩b分，面试成绩a分．已知，根据综合成绩高的优先录用的原则，该公司应录取_________进入公司． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）李师傅下岗后，做起小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了50件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且． （1）若李师傅将甲种商品提价，乙种商品提价全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果） （2）若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？ 二.综合培优题型精析 【题型 5】不等式的基本性质的证明 【例题5】（2026九年级下·福建福州·专题练习）已知实数a，b，c，m，n满足，，且时，求证： 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） （1）若，求证：； （2）已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【变式3】（24-25八年级下·全国·期中）阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 （1）针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． （2）参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 【题型 6】运用求差法比较大小 【例题6】（24-25七年级下·河南南阳·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若，则；若，则；若，则．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请尝试用这种方法解决下面的问题： （1）比较与的大小； （2）若，，请比较与的大小． 【变式1】（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： （1）设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． （2）设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． （1）【理解】若，比较代数式和的大小； （2）【运用】若，试比较的大小． 【变式3】（24-25八年级下·江西抚州·月考）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： （1）方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； （2）已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【题型 7】数轴上不等式的基本性质的运用 【例题7】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）已知数，表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出，的相反数的位置； （2）假设，且，化简． 【变式1】（25-26七年级上·重庆渝北·期中）是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上两点对应的数分别为，则_____（填“>”、“”或“”）． 【变式3】（2024·山东威海·中考真题）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点A，B到原点距离之和的最小值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西太原·月考）惊蛰，古称“启蛰”，是二十四节气之一，标志着仲春时节的开始，气温转暖，渐有春雷，今年惊蛰这一天太原市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温t（）满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知，，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）下列说法不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2026·安徽合肥·一模）已知实数满足，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆·月考）下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·陕西西安·月考）的2倍与的差大于1，可列不等式：___________． 10．（24-25七年级下·上海松江·期中）不超过的最大整数是，试用不等式表示应满足的条件：______． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为__________． 12．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的取值范围是__________，你推理的依据是__________． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________．（填“＞”“＜”或“=”） 14．（24-25七年级下·全国·单元测试）实数a，b在数轴上的位置如下图所示，则_______（填“”“”或“”）． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 16．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）若不等式对任意正整数都成立，且是正整数，求的最小值为_____． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·江苏南通·期末）求证：当时，一定比小． 18．（2026七年级下·江苏·专题练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”的形式． （1）； （2）． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． （1）该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． （2）该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $