培优03 分布列、数字特征解答题7种重难题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

培优03 分布列、数字特征解答题 题型1 超几何分布与二项分布的综合 先判断抽样方式：不放回抽样用超几何分布，有放回或总体很大用二项分布。分清“取n件含k件次品”与“n次独立试验成功k次”的模型，按对应公式算概率、期望与方差。 题目常让对比两种分布或先后使用，先按场景拆分模型，分步计算概率再合并，注意区分参数N、M、n（超几何）与n、p（二项），不混用公式。 1．DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自部门．从这5名部门领导中随机选取2人． （i）求选取的2人中有1人来自部门的概率； （ii）记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 【答案】(1)（i）（ii）分布列见解析，期望为 (2) 【分析】 【详解】（1）（i） （ii）由题意可知，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 （2）法1：由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为培训合格的职工人数，则 所以 ，解得 则 从而 法2：由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为第个职工创造的年利润， 则 ， 所以 因为 所以 解得， 所以 ， 所以， 所以． 2．为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 (1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 【答案】(1)分布列见解析，，； (2)分布列见解析，，. 【分析】 【详解】（1）按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人， 所以X可能取值为0，1，2，，，， X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的期望为，； （2）由题意，则，，， 的分布列为： 0 1 2 P ，. 3．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， 的分布列为： ∴. （3）由题意得，，              ∴的分布列为： ∴. 4．为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. (1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)10道 【分析】 【详解】（1）X可能的取值为0，1，2，3. 有； ； ； . 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （2）设小王同学至少抢答n道题，这n道题中答对的题数为Y，有. 有，可得，故小王同学至少要抢答10道题. 5．某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）设从这个水果中随机抽取个，其为礼品果为事件，则， 现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则， 所以恰好有个水果是礼品果的概率为. （2）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个， 其中精品果有个，非精品果有个， 再从中随机抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，，，， 所以，， ，； 的分布列为： 0 1 2 3 则. 6．某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如图的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望： (2)每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”.以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析， (2)， 【分析】 【详解】（1）因为体育活动时间位于和的频率分别为和， 所以抽取的9名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 故，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （2）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： ， 则， ，. 题型2 决策问题 以期望与方差为核心判断依据：期望代表平均水平，方差代表稳定性，按题目要求选择更优方案。先计算各选项的概率、期望、方差，再结合“收益最大、风险最小、成本最低”给出明确结论。 遇到多阶段决策，用分步概率+期望递推，从后往前推导最优选择，必要时列出决策树，保证每一步选择都有数据支撑，不凭主观判断。 7．国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动.活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有1个小球上写着免门票.游客从盒子里摸出1个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票.然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖. (1)小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差； (2)现往盒子中再放入3个球，其中有1个写着免门票，当小王选好1个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会执行如下不同方案操作： 方案一：若小王保留第一次选择的球，则直接判定是否免门票； 方案二：若小王放弃初始选择的球，则工作人员先从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票； 方案三：若小王放弃初始选择的球，则工作人员先从盒子里拿出1个没有写免门票的球，并将小王初始选择的球放回盒中，再让小王从盒中的7个球中抽取1个来判定是否免门票. 请问小王按哪种方案摸球更容易免门票？请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析；数学期望；方差. (2)方案三，理由见解析； 【分析】 【详解】（1）因为4人相当于做了4次独立重复试验，每个人中奖的概率为； 又记这4人中免门票的人数为，所以随机变量服从二项分布，即； 可知， ；； ，； 因此随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 利用二项分布的期望和方差公式可得数学期望；方差. （2）依题意，可知再往盒子中再放入3个球，其中有1个写着免门票可知现在盒中共有8个球，其中2个写有免门票， 因此可知若采用方案一：若小王保留第一次选择的球， 则其免门票的概率为； 若采用方案二，有以下两种情况： 情况一： 若小王初始选择的球为免门票的，其概率为； 若工作人员从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，此时剩余4个球中全部是没有写免门票的球， 再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票，则其抽到免门票球的概率为0； 情况二： 若小王初始选择的球不是免门票的，其概率为； 若工作人员从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，此时剩余4个球中有3个是没有写免门票的球，1个写免门票的球， 再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票，则其抽到免门票球的概率为； 所以采取方案二小王抽到免门票球的概率为； 若采用方案三，无论小王初始选择的球是否为免门票球， 当工作人员从盒中拿出1个没有写免门票的球，并将小王初始选择的球放回后，盒中都变为7个球，其中有2个写有免门票的球。 因此，小王再从中抽取1个球，抽到免门票球的概率为 显然易知， 所以小王按方案三摸球更容易免门票. 8．某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)的分布列为 0 1 2 (3)应选择方案二 【分析】 【详解】（1）因为在内频数为60，频率为，则， 且在内频数为30，则， 则在内频数为，频率. （2）因为综合得分为和的人数比为， 则在综合得分为内抽取人数为，在综合得分为内抽取人数为， 可知随机变量的可能值为0，1，2，则有： ，，， 所以的分布列为 0 1 2 的期望为. （3）方案一：该公司员工的人均综合得分； 方案二：该公司员工的人均综合得分； 因为，所以应选择方案二. 9．某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】(1)，，， (2) 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【分析】 【详解】（1），， ， （2）方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 10．甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1) (2)方案一 【分析】 【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件 于是，与为互斥事件， 由于， 则，即甲最终获胜的概率为. （2）由（1）可知， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取 则的分布列为： 5 则 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取3，0 则的分布列为： 3 0 则 所以 答：方案一始终更优 11．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图． 注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望； (2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值； (3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)5 (3)应选择方案A． 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为， 即抽取1个产品为合格品的概率为，从产品中随机抽取4个，合格品的个数的所有可能取值为，且， 则，， ，， ． 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 则的数学期望． （2）从产品中随机抽取个产品，全是合格品的概率为， 依题意得， 又在定义域上单调递减，，，， 所以，故的最大值为． （3）设按方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是， 则随机抽取15个产品，不合格品个数； 设按方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是，则随机抽取25个产品，不合格品个数． 依题意得，，所以． 因为，所以应选择方案． 12．2024年11月12日至17日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举办．珠海市某高级中学为了加深同学们对我国综合国防实力及军民融合成果的了解，举行了全校性的航空航天知识比赛．比赛分初赛和决赛两轮，初赛规则：先用分层随机抽样的方法确定高一、高二、高三各年级参加决赛的人数，然后在全校进行笔试普选，最后按笔试成绩由高到低确定最终人选．决赛规则：选手从3道航空类试题和2道航天类试题中随机抽取3道题作答，且抽取的试题中至少要包含1道航空类试题，最后按得分排名．评分规则：对于航空类试题，每道题若作答正确得10分，否则得0分；对于航天类试题，若只能正确作答1道得20分，若能正确作答2道得50分，若作答错误得0分． (1)已知该校高一年级有320名学生，高二年级有360名学生，高三年级有400名学生，若按照规则高一年级有8名学生获得参加决赛的资格，求全校获得参加决赛资格学生的总人数； (2)已知同学甲进入了决赛，他能正确作答每道航空类试题的概率均为，能正确作答每道航天类试题的概率均为，且每道试题能否正确作答相互独立，若以最终得分的数学期望为依据，则甲应选择怎样的方案参赛？请说明理由． 【答案】(1)27 (2)甲应选择方案3，即选择1道航空类试题和2道航天类试题参赛，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设全校获得参加决赛资格学生的总人数为， 则，解得， 即全校获得参加决赛资格学生的总人数为27； （2）由题意，甲的参赛方案有三种： 方案1：选择3道航空类试题， 方案2：选择2道航空类试题和1道航天类试题， 方案3：选择1道航空类试题和2道航天类试题， 对于方案1：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为， 且，所以， 对于方案2：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为，30，40， 则， ， ， ， ，所以， 对于方案3：设甲的最终得分为， 由题意得的所有可能取值为，50，60， 则， ， ， ， ， ，所以． 因为， 所以甲应选择方案3，即选择1道航空类试题和2道航天类试题参赛． 题型3 二项分布的最大概率问题 设最大，列不等式组，代入二项分布公式化简求解。利用组合数性质约去公共项，得到关于的不等式，解出整数即为最可能取值。 若解为区间，取整数端点；若出现等号，存在两个相邻最大概率点。计算时保留整数约束，不直接用小数结果，验证边界值确保正确。 13．某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次． (1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； (2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值． 【答案】(1) 0 1 2 3 4 ​ ​ ​ ​ ​ (2)6 【分析】 【详解】（1）由题意，每次抽奖抽到奖品的概率为， 由4位员工抽奖是独立重复试验，因此， 即， 则，​ ，​ ，​ ， ， 因此的分布列为： 0 1 2 3 4 ​ ​ ​ ​ ​ 由二项分布期望公式，数学期望． （2）由题意，， 则， 作商得：，， 当，即时，，即； 当，即时，，即，数列递减， 因此为最大项，即． 14．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； (2)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【分析】 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为7人和3人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 70 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 15．2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 16．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； (2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1)分布列见解析， (2)或40或41 【分析】 【详解】（1）由， 所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. 所以的方差为. （2）由已知，女生有100人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为60人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为90人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， （） 因为在时取得最大值，所以， 令， 解得， 因为，所以或40或41. 17．近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． (1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； (2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； (3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 3 期望为 (2) (3)6人 【分析】 【详解】（1）分层抽样比例为，因此，甲省抽取人，乙省抽取人， 丙省抽取人，其他省抽取人，从10人中选4人，设乙省人数为， 丙省人数为，，可取，可取，且. 时，； 时，； 时，； 时，； 所以分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）记事件：表示甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏； 事件：表示最后完成游戏的游客是乙省游客； 事件：表示最后完成游戏的游客是丙省游客； 所以. . （3）设丙省游客被抽到的人数为，丙省游客的概率是， 则， 当，即时，， 当，即时，， 所以 所以当时，最大. 故丙省游客最有可能被抽取到6人. 18．高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)25元. (2)3号球槽中落入19或20个小球的概率最大 【分析】 【详解】（1）的取值可能为. ， . 因为，所以的取值可能为. ， . 的分布列为 0 5 10 15 ， 则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元， 所以该商品的最低定价约为25元. （2）由（1）得. 进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则. . 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当时，，此时这两项概率均为最大1. 故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大. 题型4 比赛问题 抓住比赛停止规则：先达指定胜场则结束，按胜负分步拆分，用互斥事件求和。每一局视为独立重复试验，按二项分布计算某方在特定局数获胜的概率，注意比赛总场数不固定。 多局制先确定获胜所需胜场，再分类讨论“第n局胜且前n-1局胜m场”，分步算概率再相加。区分“打满n局”和“提前结束”，不漏掉任何一种获胜路径。 19．已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 3 4 5 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由已知可得，则的可能取值为0，1，2，3，，4，5，对应的概率为： ，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望. （2）决出最终胜负时，共进行了6场比赛，则进行5场比赛后，可能的比分为， 最后一场的获胜者一定是原来的领先方，可分为以下两种： ①前5场比赛中，乙队:甲队是或，第六场乙获胜，结束比赛， 则； ②前5场比赛中，甲队:乙队是或，第六场甲获胜，结束比赛， 则； 则决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率为. （3）甲队赢得最终胜利分为以下几种： ①甲前5场直接获胜，则； ②甲在前5场未决出胜负，进行一场双打即可获胜， 则； ③甲在前5场未决出胜负，进行两场双打中需连续打赢两场或第一场未赢第二场赢即可获胜， 则 ， 依题意可知，最多进行两场双打即可分出胜负， 则甲队赢得最终胜利的概率为. 20．申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ (2)小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 【答案】(1)想法错误； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析. 【分析】 【详解】（1）小总出手次，命中次，则小总命中率为， 小总出手次，命中次，则小总命中率为， ，小B为校MVP，小C想法错误； （2）（ⅰ）证明：若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 可得“小第一次投篮，小获胜概率大”； （ⅱ）若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 其中，， 随着的增大而增大， ， 当也就是时， 当也就是时， 综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大． 21．甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)； (3)证明见解析； 【分析】 【详解】（1）（1）解：的可能取值为. ； . 的分布列为 1 3 5 . （2）当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. （3）（3）证明：由全概率公式得 . 所以. 当时，. . 因为，所以，即. 22．某一场体育比赛由局比赛组成，若赢局则积分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利.特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负.假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局. (1)已知甲、乙两人在过往局比赛的练习中，甲赢局，若以此频率估计甲每局获胜的概率，当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率. (2)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为和，，甲可以选择的值（其中），则对于甲而言，选择为哪个值更为有利？说明理由. (3)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求. 【答案】(1) (2)更有利，理由见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，甲每局赢的概率为， 当时，记事件甲以的比分获得整场比赛胜利， 则甲第四局赢，前三局赢两局，输一局，故. （2）当时，设甲赢得比赛的概率为，当时，设甲赢得比赛的概率为， 当时，则， 当时，若甲赢，则甲以或赢得比赛， 则， 所以，则， 对于甲而言，更有利. （3）当时，因为每局甲赢或乙赢的概率都为， 由对称性可知，甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率相等，都为， 所以若甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为， 则只需在甲赢得比赛的所有情况中，除去甲进行第局时才赢得比赛， 若甲进行第局时才赢得比赛，则第局甲赢，前局比赛中，甲赢局， 故. 23．针对赛制对“强者”和“弱者”的影响进行建模分析． 设参赛人数为n（为2的幂次，如4，8，16），假设每场比赛只有两种可能结果：胜或负（忽略平局）．各场比赛的结果相互独立． 赛制一、单败淘汰制：参赛者两两对决，胜者晋级，负者直接淘汰，直到决出冠军． 赛制二、双败淘汰制：参赛者随机分组进行初赛，胜者组、负者组分别组内随机抽签比赛，胜者组失败者掉入负者组，负者组失败者被淘汰，胜者组冠军和负者组冠军进行总决赛． 以4人为例，如图： 赛制三、单循环赛制：每位参赛者与其他所有参赛者都进行一场比赛．最终按总积分（或胜场数）排名．总积分（或胜场数）最高者为冠军（若积分相同再比较其他规则）． 假设在强者（只有一人）与弱者单场比赛中，p为“强者”战胜“弱者”的概率．弱者实力均等，他们之间比赛时胜率均为r．表示“强者”最终赢得冠军的概率． (1)当，，时，求赛制一、赛制二相应的； (2)针对赛制三，、分别表示“强者”、“弱者”的胜场数，写出、；当，，时，计算并说明“强者”稳定夺冠的因素； 【答案】(1)0,49； (2)1.6，答案见解析 【分析】 【详解】（1）单败淘汰赛中，任何一场失利都意味着出局， 强者必须赢得其参加的所有场比赛才能夺冠， 当，时，． 双败淘汰制中，当，时，参赛者中不妨设强者为， 其赢得冠军有三种情况： 情况1、全胜（不输任何一场）夺冠，赢下参加的三场比赛：第一轮初赛、胜者组决 赛、总决赛，概率为； 情况2、在小组初赛输一次，但后面比赛中全胜，概率为； 情况3、在小组初赛胜，在胜者组初赛输一次，但在后面比赛中全胜，概率为， 所以． （2）强者一共打场比赛，，； 一个弱者打场比赛，对阵强者，赢的概率为，对阵其他个弱者（弱者之间 比赛胜率为），所以． 当，，时， ， 对于强者，，所以，即总是成立的． 强者要稳定夺冠，需要显著大于，实力差距越大，参赛人数越多， 强者预期胜场领先优势就越大． 24．某校举行网络反诈知识大赛，各参赛队均由2名同学组成，比赛分为资格赛与决赛两个阶段．资格赛阶段由各参赛队派出1名同学参加，随机抽取3道试题，若3道均答错，直接取消决赛资格，最终成绩记0分；若至少答对1道试题，则可进入决赛．决赛阶段由参赛队的另一名同学参加，也是随机抽取3道试题，每道试题答对得10分，答错得0分，决赛的成绩记为该队的最终成绩．已知某队的同学答对每一道试题的概率均为，同学答对每一道试题的概率均为，每一道试题答对与否互不影响，且． (1)若，，同学参加资格赛，求该队最终成绩不低于10分的概率． (2)若该队想要最终成绩取得30分的概率最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? (3)要使该队最终成绩的期望最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? 【答案】(1) (2)应先派出同学参加资格赛 (3)应先派出同学参加资格赛 【分析】 【详解】（1）该队最终成绩不低于10分的概率，即为同学资格赛至少答对一道试题，同学决赛至少答对一道试题的概率， 所以． （2）若同学参加资格赛，则该队的最终成绩为分的概率为， 若同学参加资格赛，则该队的最终成绩为分的概率为， 因为， 所以 ， 即，所以应先派出同学参加资格赛． （3）若先派出同学参加资格赛，则该队最终成绩的所有可能取值为，，，， 所以． 若先派出同学参加资格赛，则该队最终成绩的所有可能取值为，，，， 同理，． 所以． 因为，则，， 则，即， 所以应先派出同学参加资格赛． 题型5 检测疾病问题 25．近两年肆虐全球的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，若有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：四个样本混合在一起化验； 方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验. 在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若按方案一，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率； (2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？并说明理由. 【答案】(1) (2)选择方案一最“优”，理由见解析 【分析】 【详解】（1）（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则 由题意可知，. （2）方案一：逐个检验，检验次数为4； 方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，， 所以随机变量的分布列为 1 5 所以 方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为； 若呈阳性则检测次数为3次，其概率为. 设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为， 所以随机变量的分布列为 2 4 6 所以. 由上可知， 故选择方案一最“优”. 26．有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． (1)若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； (2)用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； (3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设小组中有酶的人数为X，则． 已知混合样本阳性，即，则恰有2人有酶的概率为 ． （2）设每组检测次数，则的分布列为 1 p 期望为 则总检测次数的期望； （3）若分组检测，检测次数的期望为． 总成本期望为， 若逐一检测，则总成本为．由节省50%以上得． 代入，，，得， 整理得，因此，，故的取值范围是． 27．某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 (1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； (2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； (3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 【答案】(1)0.94 (2) (3)超过，理由见解析 【分析】 【详解】（1）由题意知，使用该试剂盒进行一次检测共有100人，其中检测结果正确的共有94人， 所以使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率估计为. （2）设事件：患者检测结果正确，事件：非患者检测结果正确“， 事件：该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误； 根据题中数据，可估计为可估计为 该地区的患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 该地区的非患者中抽取2人进行一次检测，恰有一人检测结果错误的概率为 所以， 所以. 因此恰有一人检测结果错误的概率为 （3）此人患该疾病的概率超过0.2.理由如下： 由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次， 那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为900. 若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为. 28．2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望； (3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值． 【答案】(1)， (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知，． （2）样本中患病者在指标为区间的人数是，未患病者在指标为区间的人数是，总人数为5人． 可能的取值为0，1，2． ，，． 随机变量的分布列为 0 1 2 随机变量的期望为． （3）由题，， 时，令 所以，关于的一次函数系数为，故单调递增，则即时取最小值 29．在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为．根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优．现对每组的3个样本给出下面两种化验方法： 方法1：逐个化验； 方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验．若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这3个样本均为阴性． (1)若，用随机变量表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出的分布列并计算． (2)若，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？ (3)若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析； (2)方法2更优 (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可知：随机变量， 若，则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 可得． （2）方法1：3个样本需要试验次数为3次； 方法2：以实验次数为随机变量，则的可能取值为1或4， 且， 所以， 因为，所以方法2更优． （3）采用方法2，设3个样本完成化验筛查的实验次数为随机变量， 则的可能取值为1或4，且， 由已知得 解之得． 所以的取值范围为． 题型6 概率与导数的结合 先建立概率函数或期望函数，把概率问题转化为函数最值问题，再用导数求单调性与极值。对含参数的概率表达式求导，找临界点，判断区间增减性，确定最值点与最值。 注意定义域约束：概率，变量取整数时用导数找趋势，再验证附近整数点。把“最大概率、最大期望”全部转化为函数最值，用导数工具统一求解。 30．某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． (1)当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； (2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； (3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 【答案】(1) (2) (3)应选方案一． 【分析】 【详解】（1）由题意，机器人第一轮巡检成功检测到2台或3台设备， 所以机器人无需进行第二轮巡检的概率为 （2）由题意得，， ， 所以， 所以． （3）应选方案一，理由如下： 记为机器人巡检的检测总费用，为人工巡检的检测总费用， 由题意得，， 令， 则， 因为，所以，即在上单调递减， 所以， 所以， 故选用智能机器人巡检的检测平均总费用更低，应选方案一． 31．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记20件产品中的次品件数为X，由题设知， 则问题可理解为求的最大值， 因此. 令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的最大值点为； （2）由（1）知，. 令表示余下的180件产品中的不合格品件数， 依题意知，， 即. 所以（元）. 32．某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规则如下： 环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务，每项任务最多执行一次，每项任务执行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下： 任务 单次执行成功率 0.9 0.5 0.8 任务成功后得分/分 10 25 15 环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标服从正态分布，企业自主设定指标阈值，当时，模型成功商用，收益为万元：当时，模型不可商用，收益为万元：若未进入性能测试，则收益为万元. (1)求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序； (2)记，两个环节结束后模型总收益的数学期望为. （i）在第（1）问的执行顺序下，请用和表示； （ii）求当为何值时，取得最大值. 参考数据：当时，. 【答案】(1)或 (2)（i）万元；（ii） 【分析】 【详解】（1）由题意，记环节一（任务执行）获得的总分为，下求不同顺序的值， 要使，至少要保证执行成功，否则不可能进入环节二，讨论如下： 以的顺序执行任务时， 当成功时，， 当不成功时，， 以或的顺序执行任务，则， 故进入性能测试的概率最大值为0.4，则最优执行顺序为或. （2）（i）由题意因为， 由（1）可知执行顺序为或， 此时进入性能测试的概率均为0.4，则未进入性能测试的概率为0.6， 在进入环节二条件下，模型成功商用的概率为，模型不可商用的概率为. 则两个环节结束后模型总收益为的概率是0.6， 模型总收益为的概率是，模型总收益为的概率是. 则 万元， （ii）由（i）可知，，其中， 满足正态分布，则， 在时不断递减，则在上恒成立， 在上单调递减. 在上单调递减. 又， 而，则， 在上恒成立， 则在上单调递减，故当时，取得最大值. 33．在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 【答案】(1)（i）分布列见解析；（ii） (2) 【分析】 【详解】（1）（i）由题意可知，，则的可能取值为， 则；； ；， ∴分布列为 0 1 2 3 （ii）设事件表示“比赛恰好进行4场”，事件表示“甲队获胜”. 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为. 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜，概率为. 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜，概率为. ∴甲队获胜的概率为. 甲队获胜且比赛恰好进行4场的概率为. ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为. （2）甲队本次比赛的成长值得分的可能取值为3，2，1，0. ； ； ； . ∴ . 令， 则， ∵，∴， 再令， ，判别式， 的两根为，， 由可得，则在上单调递减，则， 所以时，，， 因此函数在上单调递增， 又，当趋近于1时，，则， 故的取值范围是. 34．为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【分析】 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 35．在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为，乙选到最粗的甘蔗的概率为. (1)若，求和； (2)若最粗的甘蔗是第棵，求； (3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取） 【答案】(1)； (2)； (3)的最大值为，此时的值为. 【分析】 【详解】（1）由题意可知. 依题意，5棵甘蔗的位置从第1棵到第5棵排序， 有种情况，同学乙要取到最粗的甘蔗，有以下两种情况： 最粗的甘蔗是第4棵，其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况； 最粗的甘蔗是第5棵，第二粗的甘蔗在第1个或第2个或第3个位置， 其他的甘蔗随意在哪个位置，有种情况. 因此，. 故. （2）法1：若考虑全部这一列甘蔗排序，最粗的甘蔗是第棵，共有!种排法， 先从其余棵甘蔗中选（）棵甘蔗出来，其中最粗的甘蔗在前个位置，剩下的全排列，共有!种排法，剩下的棵甘蔗全排列， 所以 . 法2：若最粗的甘蔗是第棵，则乙游客能选到最粗的甘蔗，只需要前棵甘蔗中最粗的那棵排在前棵，所以. （3）记事件表示最粗的甘蔗被乙游客取到，事件表示最粗的世蔗排在第个位置，则， 由全概率公式可知. 当，即最粗的甘蔗在前个位置中，此时， 当时，最粗的甘蔗被乙游客取到当且仅当前棵甘蔗中最粗的一棵在前棵之中，此时， . 令，则， 由，可得， 当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 题型7 概率中的新定义问题 36．袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为，经过2次变换后的函数记为，…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换． (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】 【详解】（1）第一次从袋中摸出的是白球，把函数变换为， 第二次从袋中摸出的是红球，把函数变换为， 所以. （2）经过3次变换后，有4种情况: 若摸出的3个球都是白球，则； 若摸出的3个球为2个白球、1个红球，则； 若摸出的3个球为1个白球、2个红球，则； 若摸出的3个球都是红球，则； 所以随机变量的可能取值为. 因为从袋中随机摸出1个球，是白球的概率为，是红球的概率为， 故， ， ， . 所以所求随机变量的分布列为 所以，. 37．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意，样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 因此样本中，观看了这场苏超联赛的频率为， 所以从全市居民中随机抽取1人，估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）由（1）得， 因此； 又， 因此，所以. 38．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 所以. （3）由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则， 所以 ， ， . 所以. 39．现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. (1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率； (2)在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （i）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为，试利用这组样本并结合（i）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】 【详解】（1）记抽到的4个数字互不相同为事件， 则事件包含的基本事件个数是. 甲同学随机抽取4次的不同结果个数是 故抽到的4个数字互不相同的概率； （2）（i）依题意的可能取值为 且且， 所以，.. 依题意的可能取值为 且且， 所以 . （ii）依题意样本数据为期望（平均数）为， 则为期望（平均数）为 消去得 整理得 又因为 所以 40．为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． (1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见详解；（ⅱ），随机变量之间具有负相关关系 【分析】 【详解】（1）记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件A，样本空间为， 则，， 所以. （2）由题意可知：随机变量的可能取值为0,1,2,4， 则， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 4 由题意可知：，即， 因为，则， 令， 可知随机变量的可能取值为， 则， 可得随机变量的分布列为 0 可得， 因为，所以随机变量之间具有负相关关系. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 分布列、数字特征解答题 题型1 超几何分布与二项分布的综合 先判断抽样方式：不放回抽样用超几何分布，有放回或总体很大用二项分布。分清“取n件含k件次品”与“n次独立试验成功k次”的模型，按对应公式算概率、期望与方差。 题目常让对比两种分布或先后使用，先按场景拆分模型，分步计算概率再合并，注意区分参数N、M、n（超几何）与n、p（二项），不混用公式。 1．DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自部门．从这5名部门领导中随机选取2人． （i）求选取的2人中有1人来自部门的概率； （ii）记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 2．为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 (1)从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记X为成绩有进步的学生人数，求X的分布列及数学期望和方差． (2)用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记Y为成绩有进步的学生人数，求Y的分布列及数学期望、方差． 3．某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 4．为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. (1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 5．某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. (1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 6．某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如图的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望： (2)每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”.以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数的均值和方差. 题型2 决策问题 以期望与方差为核心判断依据：期望代表平均水平，方差代表稳定性，按题目要求选择更优方案。先计算各选项的概率、期望、方差，再结合“收益最大、风险最小、成本最低”给出明确结论。 遇到多阶段决策，用分步概率+期望递推，从后往前推导最优选择，必要时列出决策树，保证每一步选择都有数据支撑，不凭主观判断。 7．国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动.活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有1个小球上写着免门票.游客从盒子里摸出1个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票.然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖. (1)小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差； (2)现往盒子中再放入3个球，其中有1个写着免门票，当小王选好1个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会执行如下不同方案操作： 方案一：若小王保留第一次选择的球，则直接判定是否免门票； 方案二：若小王放弃初始选择的球，则工作人员先从盒子里拿出2个没有写免门票的球和1个写免门票的球，再让小王从剩余4个球中抽取1个球来判定是否免门票； 方案三：若小王放弃初始选择的球，则工作人员先从盒子里拿出1个没有写免门票的球，并将小王初始选择的球放回盒中，再让小王从盒中的7个球中抽取1个来判定是否免门票. 请问小王按哪种方案摸球更容易免门票？请说明理由. 8．某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 (1)求的值； (2)现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； (3)该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 9．某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 10．甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响． (1)当时，求甲最终获胜的概率； (2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 11．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图． 注：尺寸数据在内的零件为合格品，频率作为概率． (1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为，求的分布列与期望； (2)从产品中随机抽取个，全是合格品的概率不小于，求的最大值； (3)为了提高产品合格率，现提出两种不同的改进方案进行试验．若按方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数的期望是2；若按方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数的期望是4．你会选择哪种改进方案？ 12．2024年11月12日至17日第十五届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举办．珠海市某高级中学为了加深同学们对我国综合国防实力及军民融合成果的了解，举行了全校性的航空航天知识比赛．比赛分初赛和决赛两轮，初赛规则：先用分层随机抽样的方法确定高一、高二、高三各年级参加决赛的人数，然后在全校进行笔试普选，最后按笔试成绩由高到低确定最终人选．决赛规则：选手从3道航空类试题和2道航天类试题中随机抽取3道题作答，且抽取的试题中至少要包含1道航空类试题，最后按得分排名．评分规则：对于航空类试题，每道题若作答正确得10分，否则得0分；对于航天类试题，若只能正确作答1道得20分，若能正确作答2道得50分，若作答错误得0分． (1)已知该校高一年级有320名学生，高二年级有360名学生，高三年级有400名学生，若按照规则高一年级有8名学生获得参加决赛的资格，求全校获得参加决赛资格学生的总人数； (2)已知同学甲进入了决赛，他能正确作答每道航空类试题的概率均为，能正确作答每道航天类试题的概率均为，且每道试题能否正确作答相互独立，若以最终得分的数学期望为依据，则甲应选择怎样的方案参赛？请说明理由． 题型3 二项分布的最大概率问题 设最大，列不等式组，代入二项分布公式化简求解。利用组合数性质约去公共项，得到关于的不等式，解出整数即为最可能取值。 若解为区间，取整数端点；若出现等号，存在两个相邻最大概率点。计算时保留整数约束，不直接用小数结果，验证边界值确保正确。 13．某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次． (1)设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望； (2)该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值． 14．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； (2)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 15．2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 16．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； (2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 17．近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． (1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； (2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； (3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 18．高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 题型4 比赛问题 抓住比赛停止规则：先达指定胜场则结束，按胜负分步拆分，用互斥事件求和。每一局视为独立重复试验，按二项分布计算某方在特定局数获胜的概率，注意比赛总场数不固定。 多局制先确定获胜所需胜场，再分类讨论“第n局胜且前n-1局胜m场”，分步算概率再相加。区分“打满n局”和“提前结束”，不漏掉任何一种获胜路径。 19．已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 20．申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ (2)小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 21．甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. (1)时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 22．某一场体育比赛由局比赛组成，若赢局则积分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利.特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负.假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局. (1)已知甲、乙两人在过往局比赛的练习中，甲赢局，若以此频率估计甲每局获胜的概率，当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率. (2)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为和，，甲可以选择的值（其中），则对于甲而言，选择为哪个值更为有利？说明理由. (3)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求. 23．针对赛制对“强者”和“弱者”的影响进行建模分析． 设参赛人数为n（为2的幂次，如4，8，16），假设每场比赛只有两种可能结果：胜或负（忽略平局）．各场比赛的结果相互独立． 赛制一、单败淘汰制：参赛者两两对决，胜者晋级，负者直接淘汰，直到决出冠军． 赛制二、双败淘汰制：参赛者随机分组进行初赛，胜者组、负者组分别组内随机抽签比赛，胜者组失败者掉入负者组，负者组失败者被淘汰，胜者组冠军和负者组冠军进行总决赛． 以4人为例，如图： 赛制三、单循环赛制：每位参赛者与其他所有参赛者都进行一场比赛．最终按总积分（或胜场数）排名．总积分（或胜场数）最高者为冠军（若积分相同再比较其他规则）． 假设在强者（只有一人）与弱者单场比赛中，p为“强者”战胜“弱者”的概率．弱者实力均等，他们之间比赛时胜率均为r．表示“强者”最终赢得冠军的概率． (1)当，，时，求赛制一、赛制二相应的； (2)针对赛制三，、分别表示“强者”、“弱者”的胜场数，写出、；当，，时，计算并说明“强者”稳定夺冠的因素； 24．某校举行网络反诈知识大赛，各参赛队均由2名同学组成，比赛分为资格赛与决赛两个阶段．资格赛阶段由各参赛队派出1名同学参加，随机抽取3道试题，若3道均答错，直接取消决赛资格，最终成绩记0分；若至少答对1道试题，则可进入决赛．决赛阶段由参赛队的另一名同学参加，也是随机抽取3道试题，每道试题答对得10分，答错得0分，决赛的成绩记为该队的最终成绩．已知某队的同学答对每一道试题的概率均为，同学答对每一道试题的概率均为，每一道试题答对与否互不影响，且． (1)若，，同学参加资格赛，求该队最终成绩不低于10分的概率． (2)若该队想要最终成绩取得30分的概率最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? (3)要使该队最终成绩的期望最大，则应该先派出哪名同学参加资格赛? 题型5 检测疾病问题 25．近两年肆虐全球的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，若有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：四个样本混合在一起化验； 方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验. 在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若按方案一，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率； (2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？并说明理由. 26．有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． (1)若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； (2)用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； (3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 27．某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了一次检测，结果如下： 抽样人群 阳性人数 阴性人数 患者 36 4 非患者 2 58 (1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率； (2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率； (3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由. 28．2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率． (1)当临界值时，求漏诊率和误诊率； (2)从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望； (3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值． 29．在一个地区筛查某种疾病，由以往经验可知该地区居民得此病（血液样本化验呈阳性）的概率为．根据需要，居民每三人一组进行化验筛查，为节约资源，化验次数越少，则方法越优．现对每组的3个样本给出下面两种化验方法： 方法1：逐个化验； 方法2：3个样本各取一部分混合在一起化验．若混合样本呈阳性，就把这3个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判断这3个样本均为阴性． (1)若，用随机变量表示3个样本中检测呈阳性的个数，请写出的分布列并计算． (2)若，现要完成化验筛查，请问：哪种方法更优？ (3)若要完成化验筛查，且已知“方法2”比“方法1”更优，求的取值范围． 题型6 概率与导数的结合 先建立概率函数或期望函数，把概率问题转化为函数最值问题，再用导数求单调性与极值。对含参数的概率表达式求导，找临界点，判断区间增减性，确定最值点与最值。 注意定义域约束：概率，变量取整数时用导数找趋势，再验证附近整数点。把“最大概率、最大期望”全部转化为函数最值，用导数工具统一求解。 30．某智慧园区需要对3台设备进行巡检，现有以下两个巡检方案： 方案一：采用智能机器人巡检，在第一轮巡检中，对3台设备逐一进行检测，若机器人成功检测2台或3台设备，则直接完成巡检，无需进行第二轮巡检；若机器人成功检测的设备少于2台，则进行第二轮巡检．第二轮巡检只需对第一轮未成功检测的设备再次逐一进行检测，无论第二轮检测结果如何都结束巡检．机器人每次成功检测每台设备的概率为，且每台设备检测互不影响，每次检测也互不影响，每台设备检测一次的费用为18元． 方案二：采用人工巡检，对3台设备逐一进行检测，仅需巡检一轮即可完成，每台设备检测一次的费用为30元． (1)当时，求机器人无需对设备进行第二轮巡检的概率； (2)记机器人巡检结束时对所有设备检测的总次数为，求的数学期望（用表示）； (3)若以检测的平均总费用为决策依据，在方案一和方案二之中选其一，应选用哪个？ 31．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点. (2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求. 32．某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规则如下： 环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务，每项任务最多执行一次，每项任务执行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下： 任务 单次执行成功率 0.9 0.5 0.8 任务成功后得分/分 10 25 15 环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标服从正态分布，企业自主设定指标阈值，当时，模型成功商用，收益为万元：当时，模型不可商用，收益为万元：若未进入性能测试，则收益为万元. (1)求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序； (2)记，两个环节结束后模型总收益的数学期望为. （i）在第（1）问的执行顺序下，请用和表示； （ii）求当为何值时，取得最大值. 参考数据：当时，. 33．在乒乓球亚洲杯的决赛场上，中国队队员王楚钦击败了日本队队员张本智和并夺得金牌，重庆市育才中学高三的学生们深受鼓舞，在冲刺高考的同时，利用课余时间积极地进行乒乓球运动.甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜.已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立. (1)当时. （i）记比赛开始的前三场的中甲获胜的场数为X，求的分布列； （ii）求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)若比赛结果为或者时胜方的成长值记3分，负方记0分，比赛结果为时胜方的成长值记2分，负方记1分，求甲队本次比赛的成长值得分的期望，并求的取值范围. 34．为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 35．在一次旅游中，导游为增加旅游乐趣，组织游客到甘蔗园里选甘蔗，要求游客只能在排成一列的棵粗细不同的甘蔗中选一棵最粗的甘蔗，期间只能选一次，且只能向前走，不能回头.在某处若游客选到最粗的甘蔗，则该游客活动结束，回到旅游车中，否则继续向前走，以此类推，直至看到第棵甘蔗结束.游客甲认为最粗的甘蔗一定是最后一棵，决定始终选择最后一棵甘蔗.游客乙采用了如下策略：不取前棵甘蔗，自第棵甘蔗开始，只要发现比他前面见过的每一棵甘蔗都粗的甘蔗，就选择这棵甘蔗，否则就取最后一棵甘蔗.设甲选到最粗的甘蔗的概率为，乙选到最粗的甘蔗的概率为. (1)若，求和； (2)若最粗的甘蔗是第棵，求； (3)当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值.（取） 题型7 概率中的新定义问题 36．袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义变换为：若摸出的球是白球，则把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）；若摸出的是红球，则将图象上所有的点向上平移1个单位，函数经过1次变换后的函数记为，经过2次变换后的函数记为，…，经过次变换后的函数记为．现对函数进行连续的变换． (1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求； (2)记，求随机变量的分布列及数学期望． 37．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； 38．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 39．现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次. (1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率； (2)在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计. （i）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：） （ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为，试利用这组样本并结合（i）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数） 40．为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． (1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $