2026年九年级中考数学 专题三角函数提高训练

三角函数同步练习题 1.在△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B所对的两条直角边，c是斜边，则有( ) A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanA＝ D．cosB＝ 2、若∠A是锐角，且sinA=，则（ ） A、00<∠A<300 B、300<∠A<450 C、450<∠A<600 D、600<∠A<900 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（　　） 　 A. B. C. D. 4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(　　) A．2 B. C. D. 5．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为( ) A. B. 2 C. 1 D. 6.如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E满足AE∶CE= 2∶3，则tan∠ADE的值是（ ） A、 B、 C、 D、 7.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( ) A.＋1 B.＋1 C．2.5 D. 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（　　） A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx 10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为______． 11.▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，sin∠BAE=，则CF=　　． 12.如图，在△ABC中，若AC2－BC2＝AB2，∠A＝45°，则tanC＝____． 过点B作BD⊥AC于点D，设BD＝AD＝1，CD＝x，则AB＝，AC＝x＋1，BC2＝x2＋1，由AC2－BC2＝AB2，解得x＝，则tanC＝. 13.如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于____． 14.如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线.过点作，交射线于点，过点作，交于点.设，，则________. 15.如图：在直角三角形ABC中，∠ACB=90º,∠A﹤∠B,以AB边上的中线CM为折痕将ACM折叠，使点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则tan A=＿＿＿ 16．矩形对角线交于点，点在边上，___________________． 　 17．如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为． （1）点恰好为中点时，的值为______． （2）点在上且、、在同一条直线上时，的值为______． 18． 如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比) 19.如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝. 求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值． 20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=450，sinB=,AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 21.如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． （1）求证：；D A B C E F （2）如果，求的值． 22．如图，在正方形中，点在边上，连接，作于点，于点，连接、． （1）求证：； （2）设，，，求证：； 23．如图，中，分别是的高和中线，过点作的垂线交的延长线于点． （1）求证： （2）若，求的长． 24．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，并交反比例函数的图象交于点C，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，过点M作x轴的垂线，垂足为N，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P是y轴上一动点，是否存在这样的情况，使为最小值，如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，说明理由． 三角函数同步练习题答案 1.在△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A，∠B所对的两条直角边，c是斜边，则有( D ) A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanA＝ D．cosB＝ 2、若∠A是锐角，且sinA=，则（ A ） A、00<∠A<300 B、300<∠A<450 C、450<∠A<600 D、600<∠A<900 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（　　） 　 A. B. C. D. 解：设AD=x，则CD=x﹣3， 在直角△ACD中，（x﹣3）2+=x2， 解得，x=4， ∴CD=4﹣3=1， ∴sin∠CAD==； 故选A． 4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(　D　) A．2 B. C. D. 5．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为(C ) A. B. 2 C. 1 D. 6.如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC上有一点E满足AE∶CE= 2∶3，则tan∠ADE的值是（ B ） A、 B、 C、 D、 7.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1， 则，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， 故选： 8．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( B ) A.＋1 B.＋1 C．2.5 D. 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（　　） A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx 作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO，cos∠CDE，∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝D×cos∠CDE＝acosx，∴OE＝DE+OD＝acosx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acosx+bsinx；因此本题选 A． 10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为__2____． 11.▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，sin∠BAE=，则CF=　　． 考点： 平行四边形的性质；解直角三角形。1519412 分析： 由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，∠B=∠D，又由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，sin∠BAE=，可求得sin∠B=，tan∠B=2，继而求得AB，CD的长，然后求得DF的长，则可求得答案． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵AE=4，AF=6， 在Rt△ABE中，sin∠BAE=， ∴sin∠B=，tan∠B=2， ∵sin∠B==， ∴AB=3， ∴CD=3， ∵在Rt△ADF中，tan∠D=tan∠B==2， ∴DF=， ∴CF=CD﹣DF=． 故答案为：． 12.如图，在△ABC中，若AC2－BC2＝AB2，∠A＝45°，则tanC＝____． 过点B作BD⊥AC于点D，设BD＝AD＝1，CD＝x，则AB＝，AC＝x＋1，BC2＝x2＋1，由AC2－BC2＝AB2，解得x＝，则tanC＝. 13.如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于____． 解：如图ZD23－1，当B、E重合时α 最小，设FM＝x，易得DM＝EM＝8－x，则22＋x2＝(8－x)2，解得x＝，于是tanα＝. 14.如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线.过点作，交射线于点，过点作，交于点.设，，则________. 15.如图：在直角三角形ABC中，∠ACB=90º,∠A﹤∠B,以AB边上的中线CM为折痕将ACM折叠，使点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，则tan A=＿＿＿ 16．矩形对角线交于点，点在边上，___________________． 答案或 　 17．如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为． （1）点恰好为中点时，的值为______． （2）点在上且、、在同一条直线上时，的值为______． 答案2 18． 如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比) 解：过点E作EF⊥BC的延长线于点F，EH⊥AB于点H， 在Rt△CEF，中，∵i＝＝＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°， ∴EF＝CE＝10米，CF＝10米，BH＝EF＝10米， HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10)米，在Rt△AHE中， ∵∠HAE＝45°， ∴AH＝HE＝(25＋10)米， ∴AB＝AH＋HB＝(35＋10)米 19.如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝. 求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值． 解：(1)过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC＝，∴∠C＝45°. 在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴AE＝CE＝1. 在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，∴BE＝3AE＝3， ∴BC＝BE＋CE＝4　 (2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2， ∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE， ∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝ 20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=450，sinB=,AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 答案（1） （2） 21.如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． （1）求证：；D A B C E F （2）如果，求的值． 【解析】（1）在矩形中， ． （2）由（1）知 在直角中， 在直角中， 22．如图，在正方形中，点在边上，连接，作于点，于点，连接、． （1）求证：； （2）设，，，求证：； （1）见详解；（2）见详解 【详解】 （1）在正方形ABCD中，， 在和中 （2）在和中， 由①可知： 由①可知： 23．如图，中，分别是的高和中线，过点作的垂线交的延长线于点． （1）求证： （2）若，求的长． （1）见解析；（2）1 【详解】 解：（1）证明：， ， 又， ， 又是中线， ， 又 （2）解：由（1）知 又是的高，， ， 又， ， 又， ． 24．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，并交反比例函数的图象交于点C，过点A作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，过点M作x轴的垂线，垂足为N，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P是y轴上一动点，是否存在这样的情况，使为最小值，如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，说明理由． （1）；（2）存在，点P的坐标为． 【详解】 解：（1）∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， 时，；时，， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， ∵，轴，轴，点M在反比例函数的图象， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（经检验符合题意）， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵直线交反比例函数的图象交于点C， ∴，且， 解得，（舍去）， ∴C点的坐标为， ∵， ∴， 以y轴为对称轴，作点N的对称点，交y轴于点P， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则有， ∴， ∴直线的解析式为，此时取得最小值， 令x=0时，则有， ∴此时点P的坐标为． 试卷第2页，总2页 学科网（北京）股份有限公司 $