图形专项突破03：四大立体图形的表面积和体积（讲义）-2026年小升初数学复习讲练测

2026年小升初数学复习讲练测 图形专项突破03：四大立体图形的表面积和体积 （考点典例讲解+知识总结+变式练习+同步训练） 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 考点02：长方体表面积 考点03：长方体的体积 考点04：正方体的表面积 考点05：正方体的体积 考点06：圆柱的侧面积 考点07：圆柱的表面积 考点08：圆柱的体积（容积） 考点09：圆锥的体积（容积） 知识点01：长方体、正方体有关棱长的应用 1.计算公式 （1）长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 （2）正方体棱长总和＝棱长×12 2.解题关键： （1）注意题目中“框架”“棱长和”等关键词，可能涉及 铁丝长度、包装带长度等实际问题。 （2）若题目中给出部分棱长关系（如长、宽、高的比），需先设未知数，再利用棱长总和公式求解。 知识点02：长方体、正方体的表面积 1.计算公式 （1）长方体表面积计算公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2，其中a为长，b为宽，h为高。 （2）正方体的表面积计算公式为S＝6a2，其中a为正方体的棱长。 2.解题关键 （1）先判断物体是否有顶面、底面或侧面缺失（如鱼缸、抽屉、通风管等）。 （2）单位换算需注意：1m2＝100dm2＝10000cm2。 （3）正方体6个面完全相同，若题目中给出“占地面积”，即底面积＝棱长的平方，可先求棱长。 知识点03：长方体、正方体的体积 1.计算公式 （1）长方体的体积公式：V＝abh，其中a为长，b为宽，h为高。 （2）正方体体积公式：V＝a3，其中a为正方体的棱长。 （3）统一公式：长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算，即V＝Sh，其中S为底面积，h为高。 2.解题关键 （1）体积单位换算：1m3＝1000dm3＝1000000cm3，1L＝1dm3，1mL＝1cm3。 （2）容器厚度忽略不计，容积≈体积。 知识点04：圆柱的侧面积 1.计算公式 （1）圆柱侧面积＝底面周长×高＝2πr2 （2）推导原理：圆柱侧面展开是长方形，长为底面周长，宽为高。 2.解题关键 （1）注意题目中“侧面包装纸”“通风管”等关键词，直接用侧面积公式。 （2）单位统一：半径（r）、直径（d）、高（h）单位需一致。 知识点05：圆柱的表面积 1.计算公式 （1）圆柱的表面积公式为S＝2πr2 ＋2πrh，其中r为底面半径，h为高。 （2）无盖圆柱表面积＝侧面积＋1个底面积（如圆柱形水桶） 2.解题关键 （1）先求侧面积，再求底面积，最后相加。 （2）注意“熔铸”“锻造”等问题中，物体形状改变但体积不变，表面积可能变化。 知识点06：圆柱的体积（容积） 1.计算公式：圆柱的体积计算公式为V＝πr2h，其中r为底面半径，h为高。 2.解题关键 （1）容积问题中，从内部测量长、宽、高（或半径、高），计算方法与体积相同。 （2）圆柱与圆锥等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍。 知识点07：圆锥的体积（容积） 1.计算公式：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的，计算公式为V＝πr2h，其中r为底面半径，h为高。 2.解题关键 （1）必须乘以，易与圆柱体积混淆，需特别注意！ （2）已知圆锥体积和底面积（或高），求高（或底面积）时，需先乘3再计算。 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 【典型例题】网购已经成为大家生活中常用的购物方式之一，为保障消费者的购物安全，防止物品破损，每个快递都包装得很严实。一个长、宽、高分别是65厘米、40厘米和32厘米的长方体快递箱，要在它的所有棱上粘一层透明的胶带，至少需要多少厘米长的胶带？（接头处忽略不计） 【答案】548厘米 【分析】本题考查长方体棱长总和的实际应用。根据题意，要在长方体快递箱的所有棱上粘胶带，求胶带的长度即求长方体的棱长总和。长方体有12条棱，包括4条长、4条宽和4条高，根据长方体棱长总和公式“（长＋宽＋高）×4”列式计算即可。 【详解】（65＋40＋32）×4 ＝137×4 ＝548（厘米） 答：至少需要548厘米长的胶带。 【变式训练1】用一根铁丝恰好可以焊成棱长6cm的正方体框架，如果用这根铁丝焊接成长9cm、宽6cm的长方体框架，高是（ ）cm。 【答案】3 【分析】根据正方体棱长总和＝棱长×12，算出这根铁丝的长度；再除以4算出长方体一组长、宽、高的和；再减去长减去宽即可。 【详解】6×12＝72（cm） 72÷4－9－6 ＝18－9－6 ＝3（cm） 【变式训练2】一个长10dm，宽8dm，高4dm的长方体盒子，最多能放下（     ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子厚度忽略不计） A．10 B．18 C．40 D．320 【答案】C 【分析】将长方体的长、宽、高分别除以正方体的棱长，求出各方向能摆放的个数，再将三个方向的数量相乘得到总个数。 【详解】10÷2＝5（个） 8÷2＝4（个） 4÷2＝2（个） 总共能放的数量：5×4×2＝40（个） 所以最多能放下40个棱长是2dm的正方体木块。 考点02：长方体表面积 【典型例题】一块长23厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 【答案】720毫升 【分析】做成长方体盒子的长是（23－4×2）厘米，宽是（20－4×2）厘米，高是4厘米，根据长方体体积公式，再把体积单位转化为容积单位即可。 【详解】（23－4×2）×（20－4×2）×4 ＝15×12×4 ＝180×4 ＝720（立方厘米） 720立方厘米＝720毫升 答：这个盒子的容积是720毫升。 【变式训练1】体育馆修建一个长50米，宽30米、深1.5米的游泳池。如果要在游泳池的内四壁和底部贴上瓷砖，需要贴多少平方米的瓷砖？ 【答案】1740平方米 【分析】求需要贴瓷砖的面积，就是求这个长方体游泳池五个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】50×30＋（50×1.5＋30×1.5）×2 ＝1500＋（75＋45）×2 ＝1500＋120×2 ＝1500＋240 ＝1740（平方米） 答：需要贴瓷砖1740平方米。 【变式训练2】把下面这个展开图围成一个长方体。 （1）如果面是下面，那么________面是上面。 （2）已知图中三条边的长度，围成的长方体的表面积是________cm2。 【答案】（1）F （2）298 【分析】（1）根据长方体的特征可知，相对的面完全相同。想象把这个展开图围成一个长方体，如果A是下面，则B是前面，C是右面，D是后面，F是上面，E是左面，据此解答。 （2）已知围成的长方体的长为15cm，宽为7cm，高为2cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出它的表面积。 【详解】（1）如果面是下面，那么F面是上面。 （2）（15×7＋15×2＋7×2）×2 ＝（105＋30＋14）×2 ＝149×2 ＝298（cm2） 已知图中三条边的长度，围成的长方体的表面积是298cm2。 考点03：长方体的体积 【典型例题】一根长96厘米的钢条焊成一个长、宽、高比为5∶4∶3的长方体框架，这个长方体的体积是（     ）立方厘米。 A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【分析】长方体框架的棱长和为96厘米，棱长和÷4＝长、宽、高的和，长看作5份，则宽为4份，高为3份，长、宽、高的和除以长、宽、高的份数和等于1份的长度，1份的长度分别乘长、宽、高的份数求出长、宽、高的长度，长方体的体积＝长×宽×高，据此即可求出长方体的体积。 【详解】96÷4÷（5＋4＋3） ＝24÷12 ＝2（厘米） 2×5＝10（厘米） 2×4＝8（厘米） 2×3＝6（厘米） 10×8×6＝480（立方厘米） 所以，这个长方体的体积是480立方厘米。 【变式训练1】把一根长2米的长方体木材锯成两段（如下图），表面积增加1.6平方分米，这根木材的体积是（ ）立方分米。 【答案】16 【分析】锯成两段增加2个侧面的横截面，所以2个侧面的横截面面积为1.6平方分米，除以算出1个侧面的横截面面积，统一单位后，根据横截面面积×长计算体积即可。 【详解】1.6÷2＝0.8（平方分米） 2米＝20分米 0.8×20＝16（立方分米） 【变式训练2】一个长方体玻璃容器，从里面量长为40厘米，宽为30厘米，高为35厘米。苗苗向空容器里注水，当容器内的水体出现正方形面时，容器里有水（     ）升。 A．36 B．36000 C．49 D．56 【答案】A 【分析】长方体容器内注水，形成的水体也是长方体。要使水体出现正方形面，水的高度需等于容器的长或宽。结合容器本身的高度限制，排除不可能的高度，确定水的实际高度，再根据长方体体积公式计算水的体积，最后进行体积单位换算。 【详解】容器的长为40厘米，宽为30厘米，高为35厘米，水体出现正方形面，则水的高度可能为40厘米或30厘米； 因为容器的高为35厘米，40厘米大于35厘米，水不能溢出，所以水的高度不能是40厘米。 所以水的高度只能是30厘米。 水的体积为：（立方厘米） 立方厘米升 考点04：正方体的表面积 【典型例题】一个正方体的表面积是96dm2，它的占地面积是（ ）平方分米，它的棱长总和是（ ）分米。 【答案】 16 48 【分析】占地面积指的是正方体底面积，用表面积÷6即可求出底面积；根据正方形面积＝边长×边长，确定正方体棱长，再根据正方体棱长总和＝棱长×12，列式计算即可。 【详解】正方体底面积即占地面积为：96÷6＝16（平方分米）； 根据正方形面积＝边长×边长，16＝4×4，所以正方体棱长为4分米； 正方体棱长总和：4×12＝48（分米） 【变式训练1】每年的4月1日为“国际爱鸟日”，护鸟小组制作了一个正方体形状的鸟笼，棱长总和是60厘米，那么这个鸟笼的占地面积是（ ）平方厘米；表面积是（ ）平方厘米。 【答案】 25 150 【分析】正方体的棱长总和÷12＝正方体的棱长。据此算出这个鸟笼的棱长。 鸟笼的占地面积是一个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，代入计算。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入计算即可。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5＝25（平方厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 所以，这个鸟笼的占地面积是25平方厘米，表面积是150平方厘米。 【变式训练2】用4个同样的正方体拼成一个长方体（如图），表面积减少了8cm2，每个小正方体的表面积是（ ）cm2、体积是（ ）cm3。 【答案】 6 1 【分析】拼成长方体，减少了8cm2，就是减少了8个小正方形的面积，用减少的面积÷8，求出一个正方形的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，求出1个小正方体的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。 【详解】8÷8＝1（cm2） 1×1＝1，所以小正方体的棱长是1cm。 1×1×6＝6（cm2） 1×1×1＝1（cm3） 考点05：正方体的体积 【典型例题】永城泥塑是永城地区传统民间工艺之一，以造型生动、色彩鲜艳、制作精细而著称。乐乐酷爱捏泥塑，他将一个棱长为6cm的正方体彩泥捏成了一个长8cm，宽3cm的长方体，捏成的长方体的高是（ ）cm。 【答案】9 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，正方体彩泥的体积和长方体彩泥的体积相等，先求出正方体彩泥的体积，然后除以长方体彩泥的长和宽即可求出长方体彩泥的高。 【详解】6×6×6÷8÷3 ＝216÷8÷3 ＝27÷3 ＝9（cm） 所以捏成的长方体的高是9cm。 【变式训练1】一个正方体的底面周长是16厘米，它的表面积是（ ），体积是（ ）。 【答案】 96 64 【分析】先用底面周长除以4求出正方体的棱长，再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值即可解答。 【详解】棱长：16÷4＝4（cm） 表面积：4×4×6＝96（cm2） 体积：4×4×4＝64（cm3） 【变式训练2】两个完全一样的正方体木块拼成一个长方体，表面积减少18平方厘米，原来每个正方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】27 【分析】两个完全一样的正方体木块拼成一个长方体后减少了2个小正方体的面积，所以可得一个小正方体的一个面的面积为：18÷2＝9（平方厘米），由此即可求得这个小正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】18÷2＝9（平方厘米） 因为3×3＝9，所以小正方体的棱长为3厘米，所以小正方体的体积为： 3×3×3＝27（立方厘米） 考点06：圆柱的侧面积 【典型例题】国家速滑馆“冰丝带”采用了二氧化碳跨临界直接制冰技术，节能环保。制冰管道呈现规则的圆柱形，已知管道底面直径为0.05米，长100米，单根管道的侧面积是（ ）平方米。（厚度忽略不计） 【答案】15.7 【分析】制冰管道为圆柱形，管道的侧面积即为圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式S＝πdh，代入底面直径和管道长度（圆柱的高），直接计算即可。 【详解】单根管道的侧面积： 3.14×0.05×100 ＝0.157×100 ＝15.7（平方米） 【变式训练1】用一张边长8分米的正方形铁皮卷成一个最大的圆柱（接头处忽略不计），这个圆柱的高是（ ）分米，侧面积是（ ）平方分米。 【答案】 8 64 【分析】由题意可知，圆柱的高等于正方形的边长，圆柱的侧面积等于正方形的面积，根据正方形面积＝边长×边长，据此解答。 【详解】圆柱的高是8分米。 圆柱侧面积：8×8＝64（平方分米） 【变式训练2】做两个无盖的圆柱形水桶，每个水桶的底面周长是18.84分米，高是7分米，至少需要铁皮多少平方分米？（用“进一”法保留整数） 【答案】321平方分米 【分析】无盖圆柱形水桶的表面积由侧面积和一个底面积组成。先根据“半径＝底面周长÷π÷2”得到底面半径；侧面积＝底面周长×高，底面积＝分别计算侧面积和底面积，相加得到一个水桶所需的铁皮面积，最后乘2得到两个水桶的总面积。结果采用“进一法”保留整数即可。 【详解】底面半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 一个水桶需要的铁皮面积： 18.84×7＋3.14×3² ＝131.88＋28.26 ＝160.14（平方分米） 两个水桶需要的铁皮面积： 160.14×2≈321（平方分米） 答：至少需要铁皮321平方分米。 考点07：圆柱的表面积 【典型例题】如图，一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要贴上瓷砖，水池底面直径8米，池深1.5米，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】求贴瓷砖的面积就是求圆柱的表面积，因为只贴水池内壁和底面，所以只需计算圆柱的侧面积和一个底面积，根据“”求出需要贴瓷砖的面积。 【详解】3.14×8×1.5＋3.14×（8÷2）2 ＝3.14×8×1.5＋3.14×42 ＝3.14×8×1.5＋3.14×16 ＝3.14×（8×1.5＋16） ＝3.14×（12＋16） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：贴瓷砖的面积是87.92平方米。 【变式训练1】一根圆柱形木料的底面半径是1dm，长是20dm。如下图，将它截成4段，这些木料的表面积比原木料增加了（     ）。 A．6dm2 B．18.84dm2 C．25.12dm2 【答案】B 【分析】把圆柱截成4段后，表面积比原来增加了6个圆柱的底面积，根据圆柱的底面积公式S＝πr2（π取3.14）求出圆柱的底面积，再乘6，即可解答。 【详解】3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝18.84（dm2） 这些木料的表面积比原木料增加了18.84dm2。 【变式训练2】做一个蚊帐（底面无薄纱）至少需要多少平方米的薄纱？（结果保留一位小数） 【答案】4.9平方米 【分析】观察示意图可知，两个半圆形底面可以拼成一个完整的圆，薄纱的面积＝圆柱底面积＋侧面积÷2，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。结果根据四舍五入法保留近似数即可。 【详解】3.14×（1.2÷2）2＋3.14×1.2×2÷2 ＝3.14×0.62＋3.768 ＝3.14×0.36＋3.768 ＝1.1304＋3.768 ≈4.9（平方米） 答：至少需要4.9平方米的薄纱。 考点08：圆柱的体积（容积） 【典型例题】某科研团队为山区设计了一个圆柱形储水窖，用于收集雨水解决饮水问题。已知储水窖内壁底面周长是12.56米，深4米。内壁和底部需要涂抹水泥砂浆，每平方米需要材料费35元。 （1）这个储水窖的最大储水量是多少立方米？ （2）涂抹内壁和底部一共需要材料费多少元？ 【答案】（1）50.24立方米 （2）2198元 【分析】（1）先根据底面周长公式C＝2πr（π取3.14），求出底面半径，再根据圆的面积公式S＝πr2求底面积，最后根据圆柱体积公式V＝Sh，求出体积。 （2）根据题意，涂抹部分为圆柱的侧面积（侧面积＝2πrh）和一个底面积之和，求出总面积后，乘每平方米的材料费即可求出总费用。 【详解】（1）底面半径：12.56÷（2×3.14） ＝12.56÷6.28 ＝2（米） 底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 储水量：12.56×4＝50.24（立方米） 答：这个储水窖的最大储水量是50.24立方米。 （2）侧面积：12.56×4＝50.24（平方米） 涂抹水泥的总面积：50.24＋12.56＝62.8（平方米） 材料费：62.8×35＝2198（元） 答：涂抹内壁和底部一共需要材料费2198元。 【变式训练1】将一段长1米的圆柱形钢材截成3段小圆柱，表面积增加了50.24平方厘米。这段钢材原来的体积是（     ）立方厘米。 A．1256 B．125.6 C．12.56 【答案】A 【分析】圆柱形钢材截成3段，需要截2次，每截1次会增加2个底面积，一共增加了2×2＝4个底面积。已知表面积增加了50.24平方厘米，所以圆柱的底面积为50.24÷4＝12.56平方厘米，钢材长是1米，换算成厘米是100厘米，也就是圆柱的高是100厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh求钢材原来的体积即可。 【详解】2×2＝4（个） 50.24÷4＝12.56（平方厘米） 1米＝100厘米 12.56×100＝1256（立方厘米） 将一段长1米的圆柱形钢材截成3段小圆柱，表面积增加了50.24平方厘米。这段钢材原来的体积是1256立方厘米。 【变式训练2】一个圆柱形油桶底面直径是6分米，高10分米，这个油桶最多装多少升油？（油桶的厚度忽略不计） 【答案】282.6升 【分析】根据半径＝直径÷2，圆柱的容积公式V＝πr2h，据此计算圆柱的容积，再把单位转化为升即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（立方分米） 282.6立方分米＝282.6升 答：这个油桶最多装282.6升油。 考点09：圆锥的体积（容积） 【典型例题】用一个圆锥形的容器往与它等底的圆柱形容器里倒水，共倒了6次才倒满，已知圆柱形容器高12cm，那么这个圆锥形容器的高是（     ）cm。 A．4 B．5 C．6 D．36 【答案】C 【分析】根据题意可知，圆锥的底面积等于圆柱的底面积，圆锥的体积底面积×高×；圆柱的体积底面积×高；已知圆锥和圆柱等底（底面积S相等），倒6次圆锥的水装满圆柱，所以6圆锥的体积圆柱的体积。根据公式可以知道圆锥的高和圆柱的高的关系，解答即可。 【详解】底面积圆锥的高底面积 底面积圆锥的高底面积 底面积圆锥的高底面积底面积底面积 圆锥的高 圆锥的高 圆锥的高 那么这个圆锥形容器的高是cm。 【变式训练1】等底等高的一个圆锥和一个圆柱的体积之和是28立方分米，圆柱的体积是（ ）立方分米。 【答案】21 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥的3倍，可将圆锥体积看作1份，圆柱体积就是3份，两者体积和是4份。用总体积除以总份数，得到1份的体积，再乘3就是圆柱的体积。 【详解】28÷（3＋1）×3 ＝28÷4×3 ＝7×3 ＝21（立方分米） 【变式训练2】台山大米是全国农产品地理标志，是江门市第三项通过农产品地理标志登记保护的产品。某台山大米种植户把收获的稻谷堆成了近似圆锥形，底面周长是12.56米，高是0.6米。 （1）这堆稻谷的体积是多少立方米？ （2）如果每立方米稻谷重620千克，这堆稻谷重多少千克？ 【答案】（1）2.512立方米 （2）1557.44千克 【分析】（1）首先根据圆锥的底面周长求出底面半径，公式为。再利用圆锥体积公式计算稻谷堆的体积。 （2）根据“总质量＝体积×单位体积质量”求出稻谷的总重量。 【详解】（1） （米） （立方米） 答：这堆稻谷的体积是2.512立方米。 （2）2.512×620＝1557.44（千克） 答：这堆稻谷重1557.44千克。 一、选择题 1．如图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据展开图确定长方体的长、宽、高，再利用长方体表面积公式计算其表面积。 长方体表面积公式＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 【详解】从展开图可知，长方体的长是8cm，宽是6cm。 从图中可知，两个高加一个长是16cm，所以长方体的高为（16－8）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 长方体的表面积：（8×6＋8×4＋6×4）×2 ＝（48＋32＋24）×2 ＝104×2 ＝208（cm2） 这个长方体的表面积是208cm2。 2．一个正方体礼盒的棱长总和是48厘米，包装这个礼盒至少需要（     ）平方厘米的彩纸。 A．144 B．96 C．64 D．48 【答案】B 【分析】正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体礼盒的棱长，求包装这个礼盒需要多少彩纸就是求这个正方体礼盒的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【详解】48÷12＝4（厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 包装这个礼盒至少需要96平方厘米的彩纸。 3．一个长11cm、宽10cm、高8cm的长方体木块最多可以切成（     ）个棱长为2cm的小正方体木块。 A．60 B．80 C．100 D．110 【答案】C 【分析】分别计算长、宽、高方向能切的个数，然后再用长方向的个数×宽方向的个数×高方向的个数＝总数即可。 【详解】长方向的个数：11÷2＝5（个）……1（cm） 余下的1cm不够再切一个棱长2cm的正方体，所以只能取整数部分5个； 宽方向的个数：10÷2＝5（个） 刚好整除，取5个； 高方向的个数：8÷2＝4（个） 刚好整除，取4个； 总数：5×5×4＝25×4＝100（个） 4．把一个长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的长方体等分成2个相同的长方体，增加的表面积最大是（     ）cm2。 A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．无法确定 【答案】B 【分析】把一个长方体切成两个相同的长方体，会增加两个切面的面积。要使增加的表面积最大，切面必须平行于长方体最大的面。据此先分别计算长方体三个不同面的面积，找出最大值，再乘2即可求出增加的最大表面积。 【详解】三个不同面的面积： 长×宽的面：5×4＝20（cm2） 长×高的面：5×3＝15（cm2） 宽×高的面：4×3＝12（cm2） 因为20＞15＞12，所以最大的面的面积是20 cm2。 平行于最大的面切割，增加的表面积最大，为：20×2＝40（cm²） 5．甲、乙两个圆柱高的比是，底面半径的比是，甲、乙两个圆柱的侧面积的比是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】甲、乙两个圆柱高的比是，底面半径的比是，设甲圆柱的高为h，底面半径为r，则乙圆柱的高为4h，底面半径为r，根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch＝2πrh分别表示出甲、乙两个圆柱的侧面积，求比即可。 【详解】设甲圆柱的高为h，底面半径为r，则乙圆柱的高为4h，底面半径为r， 则甲圆柱的侧面积是：2πrh； 乙圆柱的侧面积是：2π×r×4h＝4πrh； 所以甲圆柱的侧面积∶乙圆柱的侧面积＝2πrh∶4πrh＝2∶4＝1∶2 6．一个圆柱和一个圆锥的体积和底面半径都相等，其中圆柱的高为6厘米，则圆锥的高为（     ）。 A．6厘米 B．12厘米 C．18厘米 D．2厘米 【答案】C 【分析】一个圆柱和一个圆锥底面半径相等说明圆柱与圆锥的底面积也相等。根据圆柱与圆锥关系：当一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积相等时，圆锥的高是这个圆柱高的3倍，据此解答即可。 【详解】一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积相等时，圆锥的高是这个圆柱高的3倍。 已知圆柱高6厘米，所以圆锥的高是：6×3＝18（厘米）。 7．一个圆柱和一个圆锥的底面半径的比是2∶1，它们高的比是1∶5，那么圆柱和圆锥的体积比是（     ）。 A．4∶5 B．8∶5 C．12∶5 D．14∶5 【答案】C 【分析】根据圆柱和圆锥的底面半径的比是2∶1，可以设圆柱的底面半径是2cm，圆锥的底面半径是1cm； 根据圆柱和圆锥的高的比是1∶5，可以设圆柱的高是1cm，圆锥的高是5cm； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱和圆锥的体积； 再根据比的意义写出圆柱和圆锥的体积比，并化简比。 【详解】设圆柱的底面半径是2cm，圆锥的底面半径是1cm；圆柱的高是1cm，圆锥的高是5cm； 圆柱的体积：π×22×1＝π×4×1＝4π（cm3） 圆锥的体积：×π×12×5＝×π×1×5＝π（cm3） 4π∶π ＝4∶ ＝（4×3）∶（×3） ＝12∶5 即圆柱和圆锥的体积比是12∶5。 8．把2m长的圆柱形木料截成5个相同的小圆柱，表面积增加，这个圆柱形木料原来的体积是（     ）。 A．0.48 B．0.6 C．6 D．48 【答案】B 【分析】截的次数＝段数－1，每截一次，增加两个面，求出增加的面数；根据增加的表面积÷增加的面数＝截面的面积（底面积），木料长相当于圆柱的高，圆柱体积＝底面积×高，注意统一单位。 【详解】5－1＝4（次） 4×2＝8（个） 240÷8＝30（dm2） 30dm2＝0.3m2 0.3×2＝0.6（m3） 所以这个圆柱形木料原来的体积是0.6m3。 9．如图，要把下面左边瓶子里的饮料倒在右边的圆锥形玻璃杯里，可以倒满（     ）杯。（相关数据从容器里面测得） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】分别计算出圆柱形容器中果汁的体积和圆锥形玻璃杯的容积，再用果汁体积除以玻璃杯容积即可得到能倒满的杯数。圆柱体积公式V＝πr2h和圆锥体积公式V＝πr2h。 【详解】底面半径：10÷2＝5（cm） 果汁体积：3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（cm3） 玻璃杯体积：×3.14×52×6 ＝×3.14×25×6 ＝×6×3.14×25 ＝2×3.14×25 ＝6.28×25 ＝157（cm3） 能倒杯数：942÷157＝6（杯） 可以倒满6杯。 10．一个底面积为314平方分米，高为5分米的圆锥形木料，如果沿着高垂直切成相等的两半，表面积增加了（     ）平方分米。 A．20 B．100 C．5 D．10 【答案】B 【分析】把圆锥形木料沿着高垂直切成相等的两半，表面积比原来增加了2个切面的面积，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，先根据“”求出半径的平方，再求出圆锥的底面半径，然后根据“”求出一个切面的面积，最后乘2就是增加的表面积。 【详解】314÷3.14＝100（平方分米） 因为100＝102，所以圆锥的底面半径是10分米。 10×2×5÷2×2 ＝20×5÷2×2 ＝100÷2×2 ＝100（平方分米） 表面积增加了100平方分米。 二、填空题 11．一个无盖正方体水槽的表面积是45dm2，这个水槽的底面积是（     ）dm2，容积是（     ）L。 【答案】 9 27 【分析】已知无盖正方体水槽有5个面（少上面），5个面的面积之和是45dm2，用除法求出一个面的面积，也是这个水槽的底面积；根据正方形的面积公式S＝a2，进而推导出正方体水槽的棱长；再根据正方体的容积公式V＝Sh，以及进率“1dm3＝1L”，求出它的容积。 【详解】这个水槽的底面积： 45÷5＝9（dm2） 因为9＝3×3，所以正方体水槽的棱长是3dm； 这个水槽的容积： 9×3＝27（dm3） 27dm3＝27L 12．将一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸卷成一个圆柱体，这个圆柱体的侧面积是（ ）平方厘米。 【答案】80 【分析】圆柱的侧面展开是一个长方形，所以卷成圆柱后，长方形纸的面积就是圆柱的侧面积，直接用长方形面积公式计算即可。 【详解】10×8＝80（平方厘米） 13．一个长方体木箱，长6分米，宽5分米，高4分米，它的占地面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】 30 120 【分析】占地面积即为长方体的底面积，利用长×宽计算即可；长方体体积＝长×宽×高。 【详解】占地面积：6×5＝30（平方分米） 体积：6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方分米） 14．如图是一个长方体，如果高减少3厘米，就变成了一个正方体，这时表面积比原来减少了60平方厘米，原来长方体的高是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 8 200 【分析】高减少3厘米变成正方体，说明原来长方体的长和宽相等。减少的表面积是4个相同的长方形的面积和，每个长方形的高是3厘米，用减少的总面积除以4，再除以3，就能算出正方体的棱长（即原长方体的长和宽），再加上3厘米就是原长方体的高，最后用长×宽×高算出体积。 【详解】减少的每个面面积：60÷4＝15（平方厘米） 正方体棱长：15÷3＝5（厘米） 原长方体高：5＋3＝8（厘米） 体积：5×5×8 ＝25×8 ＝200（立方厘米） 15．王叔叔把一根长2m的长方体木料横截成3段，表面积增加了100dm2，则原木料的体积是（ ）dm3。 【答案】500 【分析】把长方体木料横截成3段，表面积增加了4个截面的面积，增加的表面积÷增加的截面个数＝截面的面积，根据长方体体积＝截面的面积×长，求出原木料的体积。注意统一单位。 【详解】2m＝20dm 100÷4×20＝500（dm3） 16．一个长方体，长、宽、高分别是8cm、5cm和4cm，从中截去一个最大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）cm，剩下的体积是（ ）cm3。 【答案】 4 96 【分析】正方体的棱长都相等，以高的长度为正方体的棱长；根据长方体的体积＝长×宽×高，算出长方体的体积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体的体积；用长方体体积减去正方体体积就是剩下的体积。 【详解】4＜5＜8 这个正方体的棱长是4cm。 8×5×4－4×4×4 ＝160－64 ＝96（cm3） 17．一辆压路机的前轮是圆柱形，直径是1.6m，宽是2m。这辆压路机的前轮每分转动20周，这辆压路机一直向前开，5分后前轮压过的路面是（ ）m2。 【答案】1004.8 【分析】压路机前轮转动一周，压过的路面是圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式：S＝πdh，这里的高就是宽（2m），把数据代入计算后再乘20，之后再乘5计算即可解答。 【详解】3.14×1.6×2＝10.048（m2） 10.048×20＝200.96（m2） 200.96×5＝1004.8（m2） 18．一个圆柱的底面半径是3分米，高是4.5分米，它的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】 141.3 127.17 【分析】根据圆柱表面积公式S＝2πr2＋2πrh，圆柱体积公式V＝πr2h，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】表面积：2×3.14×32＋2×3.14×3×4.5 ＝2×3.14×9＋2×3.14×3×4.5 ＝56.52＋84.78 ＝141.3（平方分米） 体积：3.14×32×4.5 ＝3.14×9×4.5 ＝28.26×4.5 ＝127.17（立方分米） 19．一个圆柱的底面周长是12.56分米，高是5分米，它的底面半径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米；与它等底等高的圆锥体积是（ ）立方分米（结果保留一位小数）。 【答案】 2 62.8 20.9 【分析】根据圆的周长公式：周长＝2πr，π取3.14，反推出半径＝周长÷2÷π，求出圆柱的底面半径；根据圆柱的体积公式：体积＝πh，求出圆柱的体积；根据“当圆柱与圆锥等底等高时，​”，得到圆锥的体积。用四舍五入法保留一位小数，得到小数的近似值。 【详解】12.56÷2÷3.14 ＝6.28÷3.14 ＝2（分米） 3.14××5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） ×62.8≈20.9（立方分米） 所以，它的底面半径是2分米，体积是62.8立方分米；与它等底等高的圆锥体积是20.9立方分米。 20．一个直角三角形，两条直角边分别为6厘米和3厘米，如果以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是（ ）立方厘米，如果以较短的直角边所在直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是（ ）立方厘米。 【答案】 56.52 113.04 【分析】如果以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥，圆锥的底面半径是3厘米，高是6厘米，根据“”求出圆锥的体积；如果以较短的直角边所在直线为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥，圆锥的底面半径是6厘米，高是3厘米，根据“”求出圆锥的体积。 【详解】 ＝ ＝ ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） ＝ ＝ ＝36×3.14 ＝113.04（立方厘米） 21．如图，把一个高是7cm的圆柱切开，平均分成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了84，这个圆柱的体积是（ ）。 【答案】791.28/791.28立方厘米 【分析】把圆柱拼成一个近似的长方体，长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，近似长方体的表面积比圆柱的表面积多了左右两个面的面积，先根据增加的表面积求出长方体的宽，即圆柱的底面半径，再根据“”求出这个圆柱的体积。 【详解】84÷2÷7 ＝42÷7 ＝6（cm） 3.14×62×7 ＝3.14×36×7 ＝113.04×7 ＝791.28（） 22．如下图，一个高是7cm的圆柱，沿着底面直径和高把它分成两个半圆柱，表面积增加了84cm2。这个圆柱的底面周长是（ ）cm。 【答案】18.84 【分析】把圆柱沿底面直径和高切成两个半圆柱时，表面积会增加两个完全相同的长方形切面，每个长方形的长等于圆柱的高，每个长方形的宽等于圆柱的底面直径。用增加的表面积除以2求出每个长方形的面积，长方形面积＝长×宽，用长方形的面积除以长求出宽，即为圆柱的底面直径；最后根据圆的周长公式C＝πd，代入数值计算即可。 【详解】84÷2÷7 ＝42÷7 ＝6（cm） 3.14×6＝18.84（cm） 23．将一个圆柱形木块削去14立方厘米，得到一个与它等底等高的圆锥。原来圆柱形木块的体积是（ ），得到的圆锥体体积是（ ）。 【答案】 21立方厘米/21cm3 7立方厘米/7cm3 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积看作3份，则削去部分的体积占（3－1）份；用削去的体积除以（3－1）份，求出一份数，也就是圆锥的体积；再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 【详解】圆锥的体积： 14÷（3－1） ＝14÷2 ＝7（立方厘米） 圆柱的体积： 7×3＝21（立方厘米） 24．把圆柱的侧面沿高剪开，得到一个边长是6.28分米的正方形，这个圆柱的高是（ ）分米，底面周长是（ ）分米。 【答案】 6.28 6.28 【分析】圆柱侧面沿高剪开，得到一个正方形，则圆柱的高等于正方形的边长，圆柱的底面周长等于正方形的边长，据此解答。 【详解】根据分析可知，把圆柱的侧面沿高剪开，得到一个边长是6.28分米的正方形，这个圆柱的高是6.28分米，底面周长是6.28分米。 25．学校自来水管的内直径是2厘米，水管内水流速度是10厘米/秒。如果一位同学忘记关水龙头，那么1分钟可浪费（ ）升水。 【答案】1.884 【分析】将水流形状看作圆柱，水管口看作圆柱底面积，流出水的长度看作圆柱的高，根据圆柱体积＝底面积×高，计算即可。 【详解】1分钟＝60秒 3.14××60×10 ＝3.14×1×600 ＝1884（立方厘米） 1884立方厘米＝1884毫升＝1.884升 26．小红用3个棱长为2厘米的正方体拼成了一个长方体，这个长方体的棱长之和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 40 56 24 【分析】根据题意，用3个棱长是2厘米的正方体拼成一个长方体，只有一种拼法，一字排列，那么这个长方体的长是3×2＝6厘米、宽是2厘米、高是2厘米；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【详解】2×3＝6（厘米） 拼成的长方体的长是6厘米、宽是2厘米、高是2厘米。 棱长之和：（6＋2＋2）×4 ＝10×4 ＝40（厘米） 表面积：（6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米） 体积：6×2×2 ＝12×2 ＝24（立方厘米） 27．一个长方体容器里装满水，沿着容器边缘从左侧将水倒出一些（如图所示，单位：厘米），倒出了（ ）立方厘米的水，还剩（ ）立方厘米的水。（容器的厚度忽略不计） 【答案】 100 380 【分析】通过观察图形可知，倒出水的体积相当于一个长8厘米、宽5厘米，高5厘米的长方体的体积的一半；根据长方体体积=长×宽×高，代入数据，求出倒出水的体积；剩下水的体积等于这个长方体容器的体积减去倒出水的体积，据此解答。 【详解】8×5×5÷2 ＝40×5÷2 ＝200÷2 ＝100（立方厘米） 8×5×12－100 ＝40×12－100 ＝480－100 ＝380（立方厘米） 三、解答题 28．晓丽从信阳旅游回来，买了如图所示的两盒茶叶，如果用包装纸包在一起变成一个大长方体，表面积最少是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 【答案】20平方分米；6立方分米 【分析】两个长方体拼接成大长方体时，重合的面的面积越大，拼接后减少的表面积越多，最终得到的大长方体表面积就越小；拼接前后总体积不变，等于两个小长方体的体积之和。注意统一单位；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出结果。 【详解】15厘米＝1.5分米，要使拼接后表面积最小，需将两个小长方体面积最大的面重合拼接，拼接后大长方体的长为2分米，宽为1.5 分米，高为：1＋1＝2（分米） 大长方体的表面积： （2×1.5＋2×2＋1.5×2）×2 ＝（3＋4＋3）×2 ＝10×2 ＝20（平方分米） 大长方体的体积： 2×1.5×2 ＝3×2 ＝6（立方分米） 答：表面积最少是20平方分米，体积是6立方分米。 29．顾客买的物品用一个棱长是25厘米的正方体盒子装着，阿青给这个盒子系上彩带，如下图，打结处要用20厘米。3.5米长的彩带够用吗？ 【答案】3.5米长的彩带够用。 【分析】已知正方体盒子有6个面，每个面用的彩带相当于两个棱长的长度，已知盒子的棱长，用盒子的棱长×2×6，再加上打结处的长度，最后统一单位比较即可解答。 【详解】25×2×6＋20 ＝50×6＋20 ＝300＋20 ＝320（厘米） 320厘米＝3.2米 3.2米＜3.5米 答：3.5米长的彩带够用。 30．在综合实践课堂上，小明制作了一个长方体木盒，已知这个长方体的表面积是184平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【分析】长方体的表面积等于两个底面积加上侧面积。据此用表面积减去两个底面积，先求出侧面积；再根据长方体的侧面积＝底面周长×高，用侧面积除以底面周长求出高；最后根据长方体的体积＝底面积×高，即可求出体积。 【详解】长方体的侧面积： （平方厘米） 长方体的高：（厘米） 长方体的体积：（立方厘米） 答：长方体的体积是160立方厘米。 31．如图是一个无盖的长方体铁盒。 （1）制作这个铁盒至少需要多少平方分米的铁板？ （2）如果给这个铁盒的内外每个面都涂上颜色，每平方分米需颜料0.08千克，至少要准备多少千克颜料？ 【答案】（1）54平方分米 （2）8.64千克 【分析】（1）铁板的面积等于长方体铁盒的下、左右、前后5个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：铁板的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式计算； （2）先用（1）中求出的铁板的面积乘2即可求出需要涂色的面积，再乘每平方分米需要的颜料质量即可解答。 【详解】（1）6×3＋6×2×2＋3×2×2 ＝18＋12×2＋6×2 ＝18＋24＋12 ＝42＋12 ＝54（平方分米） 答：制作这个铁盒至少需要54平方分米的铁板。 （2）54×2×0.08 ＝108×0.08 ＝8.64（千克） 答：至少要准备8.64千克颜料。 32．池塘是人工湿地的一种，既可蓄水使田地旱涝保收，又能养殖水产发展养殖业。李叔叔计划在一个圆柱形池塘养殖甲鱼，在一幅比例尺是1∶100的图纸上，量得这个池塘的深是80毫米，池塘的底面半径与深的比是15∶4。这个池塘的实际容积是多少？ 【答案】22608立方米 【分析】根据“图上距离∶实际距离 ＝ 比例尺”，已知图上深度和比例尺，可求出实际深度。注意单位换算，将毫米换算成米；已知池塘底面半径与深的比是 15∶4，利用实际深度，根据比的意义求出实际底面半径；根据圆柱的体积公式 ，代入实际底面半径和实际深度进行计算。 【详解】80毫米＝0.08米 池塘的实际深度： 0.08×100＝8（米） 池塘的实际底面半径： 8÷4×15＝2×15＝30（米） 池塘的实际容积： 3.14××8 ＝3.14×900×8 ＝2826×8 ＝22608（立方米） 答：这个池塘的实际容积是22608立方米。 33．把一个底面半径是4分米，高是6分米的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是6分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】8分米 【分析】圆柱形铁块熔铸成圆锥形铁块，体积保持不变。先根据圆柱的体积公式（体积＝底面积×高）求出圆柱形铁块的体积，即圆锥形铁块的体积；再根据圆锥的体积公式（体积＝底面积×高×），推导出圆锥的高＝体积×3÷底面积，代入数据计算即可求出圆锥的高。底面积＝πr2。 【详解】3.14×4²×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方分米） 301.44×3÷（3.14×62） ＝301.44×3÷（3.14×36） ＝301.44×3÷113.04 ＝904.32÷113.04 ＝8（分米） 答：这个圆锥的高是8分米。 34．把一个长、宽、高的比是的长方体削成一个体积最大的圆柱体，削去的体积是243立方分米，削成的圆柱的体积是多少立方分米？（π取3） 【答案】729立方分米 【分析】根据长、宽、高的比，可以将长、宽、高分别看作4份、3份、3份。要削成一个体积最大的圆柱体，需比较不同放置方式下的圆柱体积。当圆柱的底面直径等于长方体的宽（3份），高等于长方体的长（4份）时，体积最大，长方体的体积＝长×宽×高。分别计算出长方体和圆柱体体积所占的份数，求出削去部分体积对应的份数。已知削去的体积是243立方分米，可求出每一份代表的体积，进而求出圆柱的体积。 【详解】长方体的长、宽、高分别为4份、3份、3份。 长方体的体积份数：4×3×3 ＝12×3 ＝36 圆柱的底面半径份数： 3÷2＝1.5 圆柱的体积份数：3×1.52×4 ＝3×2.25×4 ＝6.75×4 ＝27 削去的体积份数：36－27＝9 削成的圆柱的体积：243÷9×27 ＝27×27 ＝729（立方分米 ） 答：削成的圆柱的体积是 729 立方分米。 35．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是2米，高是2.2米，装满一车沙，卸沙后堆成一个高是2米的圆锥，沙堆的底面积是多少平方米？ 【答案】26.4平方米 【分析】本题考查长方体体积和圆锥体积公式的灵活运用。解题的关键是抓住沙子的体积不变这一条件。首先根据长方体体积公式求出沙子的体积，再根据圆锥体积公式可知，圆锥的底面积，代入数据计算即可求出沙堆的底面积。 【详解】沙子的体积： 4×2×2.2 ＝8×2.2 ＝17.6（立方米） 圆锥形沙堆的底面积： 17.6×3÷2 ＝52.8÷2 ＝26.4（平方米） 答：沙堆的底面积是26.4平方米。 36．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】47.1米 【分析】先将圆锥形沙堆的体积转化为长方体路面的体积。首先根据圆锥底面周长求出底面半径，再利用圆锥体积公式计算出沙堆的体积。接着将路面厚度的单位换算成米，最后逆用长方体体积公式（体积＝长×宽×高），用体积除以公路的宽和高（厚度），求出能铺路面的长度。 【详解】4厘米＝0.04米 沙堆的底面半径：18.84÷3.14÷2＝3（米） 沙堆的体积： （立方米） 能铺路面的长度： 18.84÷（10×0.04） ＝18.84÷0.4 ＝47.1（米） 答：能铺47.1米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学复习讲练测 图形专项突破03：四大立体图形的表面积和体积 （考点典例讲解+知识总结+变式练习+同步训练） 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 考点02：长方体表面积 考点03：长方体的体积 考点04：正方体的表面积 考点05：正方体的体积 考点06：圆柱的侧面积 考点07：圆柱的表面积 考点08：圆柱的体积（容积） 考点09：圆锥的体积（容积） 知识点01：长方体、正方体有关棱长的应用 1.计算公式 （1）长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 （2）正方体棱长总和＝棱长×12 2.解题关键： （1）注意题目中“框架”“棱长和”等关键词，可能涉及 铁丝长度、包装带长度等实际问题。 （2）若题目中给出部分棱长关系（如长、宽、高的比），需先设未知数，再利用棱长总和公式求解。 知识点02：长方体、正方体的表面积 1.计算公式 （1）长方体表面积计算公式为S＝（ab＋ah＋bh）×2，其中a为长，b为宽，h为高。 （2）正方体的表面积计算公式为S＝6a2，其中a为正方体的棱长。 2.解题关键 （1）先判断物体是否有顶面、底面或侧面缺失（如鱼缸、抽屉、通风管等）。 （2）单位换算需注意：1m2＝100dm2＝10000cm2。 （3）正方体6个面完全相同，若题目中给出“占地面积”，即底面积＝棱长的平方，可先求棱长。 知识点03：长方体、正方体的体积 1.计算公式 （1）长方体的体积公式：V＝abh，其中a为长，b为宽，h为高。 （2）正方体体积公式：V＝a3，其中a为正方体的棱长。 （3）统一公式：长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算，即V＝Sh，其中S为底面积，h为高。 2.解题关键 （1）体积单位换算：1m3＝1000dm3＝1000000cm3，1L＝1dm3，1mL＝1cm3。 （2）容器厚度忽略不计，容积≈体积。 知识点04：圆柱的侧面积 1.计算公式 （1）圆柱侧面积＝底面周长×高＝2πr2 （2）推导原理：圆柱侧面展开是长方形，长为底面周长，宽为高。 2.解题关键 （1）注意题目中“侧面包装纸”“通风管”等关键词，直接用侧面积公式。 （2）单位统一：半径（r）、直径（d）、高（h）单位需一致。 知识点05：圆柱的表面积 1.计算公式 （1）圆柱的表面积公式为S＝2πr2 ＋2πrh，其中r为底面半径，h为高。 （2）无盖圆柱表面积＝侧面积＋1个底面积（如圆柱形水桶） 2.解题关键 （1）先求侧面积，再求底面积，最后相加。 （2）注意“熔铸”“锻造”等问题中，物体形状改变但体积不变，表面积可能变化。 知识点06：圆柱的体积（容积） 1.计算公式：圆柱的体积计算公式为V＝πr2h，其中r为底面半径，h为高。 2.解题关键 （1）容积问题中，从内部测量长、宽、高（或半径、高），计算方法与体积相同。 （2）圆柱与圆锥等底等高时，圆柱体积是圆锥的3倍。 知识点07：圆锥的体积（容积） 1.计算公式：圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的，计算公式为V＝πr2h，其中r为底面半径，h为高。 2.解题关键 （1）必须乘以，易与圆柱体积混淆，需特别注意！ （2）已知圆锥体积和底面积（或高），求高（或底面积）时，需先乘3再计算。 考点01：长方体、正方体有关棱长的应用 【典型例题】网购已经成为大家生活中常用的购物方式之一，为保障消费者的购物安全，防止物品破损，每个快递都包装得很严实。一个长、宽、高分别是65厘米、40厘米和32厘米的长方体快递箱，要在它的所有棱上粘一层透明的胶带，至少需要多少厘米长的胶带？（接头处忽略不计） 【变式训练1】用一根铁丝恰好可以焊成棱长6cm的正方体框架，如果用这根铁丝焊接成长9cm、宽6cm的长方体框架，高是（ ）cm。 【变式训练2】一个长10dm，宽8dm，高4dm的长方体盒子，最多能放下（     ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子厚度忽略不计） A．10 B．18 C．40 D．320 考点02：长方体表面积 【典型例题】一块长23厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 【变式训练1】体育馆修建一个长50米，宽30米、深1.5米的游泳池。如果要在游泳池的内四壁和底部贴上瓷砖，需要贴多少平方米的瓷砖？ 【变式训练2】把下面这个展开图围成一个长方体。 （1）如果面是下面，那么________面是上面。 （2）已知图中三条边的长度，围成的长方体的表面积是________cm2。 考点03：长方体的体积 【典型例题】一根长96厘米的钢条焊成一个长、宽、高比为5∶4∶3的长方体框架，这个长方体的体积是（     ）立方厘米。 A．240 B．360 C．480 D．600 【变式训练1】把一根长2米的长方体木材锯成两段（如下图），表面积增加1.6平方分米，这根木材的体积是（ ）立方分米。 【变式训练2】一个长方体玻璃容器，从里面量长为40厘米，宽为30厘米，高为35厘米。苗苗向空容器里注水，当容器内的水体出现正方形面时，容器里有水（     ）升。 A．36 B．36000 C．49 D．56 考点04：正方体的表面积 【典型例题】一个正方体的表面积是96dm2，它的占地面积是（ ）平方分米，它的棱长总和是（ ）分米。 【变式训练1】每年的4月1日为“国际爱鸟日”，护鸟小组制作了一个正方体形状的鸟笼，棱长总和是60厘米，那么这个鸟笼的占地面积是（ ）平方厘米；表面积是（ ）平方厘米。 【变式训练2】用4个同样的正方体拼成一个长方体（如图），表面积减少了8cm2，每个小正方体的表面积是（ ）cm2、体积是（ ）cm3。 考点05：正方体的体积 【典型例题】永城泥塑是永城地区传统民间工艺之一，以造型生动、色彩鲜艳、制作精细而著称。乐乐酷爱捏泥塑，他将一个棱长为6cm的正方体彩泥捏成了一个长8cm，宽3cm的长方体，捏成的长方体的高是（ ）cm。 【变式训练1】一个正方体的底面周长是16厘米，它的表面积是（ ），体积是（ ）。 【变式训练2】两个完全一样的正方体木块拼成一个长方体，表面积减少18平方厘米，原来每个正方体的体积是（ ）立方厘米。 考点06：圆柱的侧面积 【典型例题】国家速滑馆“冰丝带”采用了二氧化碳跨临界直接制冰技术，节能环保。制冰管道呈现规则的圆柱形，已知管道底面直径为0.05米，长100米，单根管道的侧面积是（ ）平方米。（厚度忽略不计） 【变式训练1】用一张边长8分米的正方形铁皮卷成一个最大的圆柱（接头处忽略不计），这个圆柱的高是（ ）分米，侧面积是（ ）平方分米。 【变式训练2】做两个无盖的圆柱形水桶，每个水桶的底面周长是18.84分米，高是7分米，至少需要铁皮多少平方分米？（用“进一”法保留整数） 考点07：圆柱的表面积 【典型例题】如图，一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要贴上瓷砖，水池底面直径8米，池深1.5米，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【变式训练1】一根圆柱形木料的底面半径是1dm，长是20dm。如下图，将它截成4段，这些木料的表面积比原木料增加了（     ）。 A．6dm2 B．18.84dm2 C．25.12dm2 【变式训练2】做一个蚊帐（底面无薄纱）至少需要多少平方米的薄纱？（结果保留一位小数） 考点08：圆柱的体积（容积） 【典型例题】某科研团队为山区设计了一个圆柱形储水窖，用于收集雨水解决饮水问题。已知储水窖内壁底面周长是12.56米，深4米。内壁和底部需要涂抹水泥砂浆，每平方米需要材料费35元。 （1）这个储水窖的最大储水量是多少立方米？ （2）涂抹内壁和底部一共需要材料费多少元？ 【变式训练1】将一段长1米的圆柱形钢材截成3段小圆柱，表面积增加了50.24平方厘米。这段钢材原来的体积是（     ）立方厘米。 A．1256 B．125.6 C．12.56 【变式训练2】一个圆柱形油桶底面直径是6分米，高10分米，这个油桶最多装多少升油？（油桶的厚度忽略不计） 考点09：圆锥的体积（容积） 【典型例题】用一个圆锥形的容器往与它等底的圆柱形容器里倒水，共倒了6次才倒满，已知圆柱形容器高12cm，那么这个圆锥形容器的高是（     ）cm。 A．4 B．5 C．6 D．36 【变式训练1】等底等高的一个圆锥和一个圆柱的体积之和是28立方分米，圆柱的体积是（ ）立方分米。 【变式训练2】台山大米是全国农产品地理标志，是江门市第三项通过农产品地理标志登记保护的产品。某台山大米种植户把收获的稻谷堆成了近似圆锥形，底面周长是12.56米，高是0.6米。 （1）这堆稻谷的体积是多少立方米？ （2）如果每立方米稻谷重620千克，这堆稻谷重多少千克？ 一、选择题 1．如图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是（     ）。 A． B． C． D． 2．一个正方体礼盒的棱长总和是48厘米，包装这个礼盒至少需要（     ）平方厘米的彩纸。 A．144 B．96 C．64 D．48 3．一个长11cm、宽10cm、高8cm的长方体木块最多可以切成（     ）个棱长为2cm的小正方体木块。 A．60 B．80 C．100 D．110 4．把一个长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的长方体等分成2个相同的长方体，增加的表面积最大是（     ）cm2。 A．30cm2 B．40cm2 C．50cm2 D．无法确定 5．甲、乙两个圆柱高的比是，底面半径的比是，甲、乙两个圆柱的侧面积的比是（     ）。 A． B． C． D． 6．一个圆柱和一个圆锥的体积和底面半径都相等，其中圆柱的高为6厘米，则圆锥的高为（     ）。 A．6厘米 B．12厘米 C．18厘米 D．2厘米 7．一个圆柱和一个圆锥的底面半径的比是2∶1，它们高的比是1∶5，那么圆柱和圆锥的体积比是（     ）。 A．4∶5 B．8∶5 C．12∶5 D．14∶5 8．把2m长的圆柱形木料截成5个相同的小圆柱，表面积增加，这个圆柱形木料原来的体积是（     ）。 A．0.48 B．0.6 C．6 D．48 9．如图，要把下面左边瓶子里的饮料倒在右边的圆锥形玻璃杯里，可以倒满（     ）杯。（相关数据从容器里面测得） A．2 B．3 C．4 D．6 10．一个底面积为314平方分米，高为5分米的圆锥形木料，如果沿着高垂直切成相等的两半，表面积增加了（     ）平方分米。 A．20 B．100 C．5 D．10 二、填空题 11．一个无盖正方体水槽的表面积是45dm2，这个水槽的底面积是（     ）dm2，容积是（     ）L。 12．将一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸卷成一个圆柱体，这个圆柱体的侧面积是（ ）平方厘米。 13．一个长方体木箱，长6分米，宽5分米，高4分米，它的占地面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 14．如图是一个长方体，如果高减少3厘米，就变成了一个正方体，这时表面积比原来减少了60平方厘米，原来长方体的高是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 15．王叔叔把一根长2m的长方体木料横截成3段，表面积增加了100dm2，则原木料的体积是（ ）dm3。 16．一个长方体，长、宽、高分别是8cm、5cm和4cm，从中截去一个最大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）cm，剩下的体积是（ ）cm3。 17．一辆压路机的前轮是圆柱形，直径是1.6m，宽是2m。这辆压路机的前轮每分转动20周，这辆压路机一直向前开，5分后前轮压过的路面是（ ）m2。 18．一个圆柱的底面半径是3分米，高是4.5分米，它的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 19．一个圆柱的底面周长是12.56分米，高是5分米，它的底面半径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米；与它等底等高的圆锥体积是（ ）立方分米（结果保留一位小数）。 20．一个直角三角形，两条直角边分别为6厘米和3厘米，如果以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是（ ）立方厘米，如果以较短的直角边所在直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是（ ）立方厘米。 21．如图，把一个高是7cm的圆柱切开，平均分成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了84，这个圆柱的体积是（ ）。 22．如下图，一个高是7cm的圆柱，沿着底面直径和高把它分成两个半圆柱，表面积增加了84cm2。这个圆柱的底面周长是（ ）cm。 23．将一个圆柱形木块削去14立方厘米，得到一个与它等底等高的圆锥。原来圆柱形木块的体积是（ ），得到的圆锥体体积是（ ）。 24．把圆柱的侧面沿高剪开，得到一个边长是6.28分米的正方形，这个圆柱的高是（ ）分米，底面周长是（ ）分米。 25．学校自来水管的内直径是2厘米，水管内水流速度是10厘米/秒。如果一位同学忘记关水龙头，那么1分钟可浪费（ ）升水。 26．小红用3个棱长为2厘米的正方体拼成了一个长方体，这个长方体的棱长之和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 27．一个长方体容器里装满水，沿着容器边缘从左侧将水倒出一些（如图所示，单位：厘米），倒出了（ ）立方厘米的水，还剩（ ）立方厘米的水。（容器的厚度忽略不计） 三、解答题 28．晓丽从信阳旅游回来，买了如图所示的两盒茶叶，如果用包装纸包在一起变成一个大长方体，表面积最少是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 29．顾客买的物品用一个棱长是25厘米的正方体盒子装着，阿青给这个盒子系上彩带，如下图，打结处要用20厘米。3.5米长的彩带够用吗？ 30．在综合实践课堂上，小明制作了一个长方体木盒，已知这个长方体的表面积是184平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 31．如图是一个无盖的长方体铁盒。 （1）制作这个铁盒至少需要多少平方分米的铁板？ （2）如果给这个铁盒的内外每个面都涂上颜色，每平方分米需颜料0.08千克，至少要准备多少千克颜料？ 32．池塘是人工湿地的一种，既可蓄水使田地旱涝保收，又能养殖水产发展养殖业。李叔叔计划在一个圆柱形池塘养殖甲鱼，在一幅比例尺是1∶100的图纸上，量得这个池塘的深是80毫米，池塘的底面半径与深的比是15∶4。这个池塘的实际容积是多少？ 33．把一个底面半径是4分米，高是6分米的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是6分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 34．把一个长、宽、高的比是的长方体削成一个体积最大的圆柱体，削去的体积是243立方分米，削成的圆柱的体积是多少立方分米？（π取3） 35．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是2米，高是2.2米，装满一车沙，卸沙后堆成一个高是2米的圆锥，沙堆的底面积是多少平方米？ 36．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面，能铺多少米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $