上海市南洋模范中学2025-2026学年高三下学期周测5数学试卷

2025-2026学年上海市南洋模范中学高二年级下学期周测数学试卷5 2026.4 一、填空题 1.过P(1,2),以i=(3,4)为法向量的点法向式直线方程为。 2.曲线 x=-1+（1为参数)与y轴的交点坐标是 [y=t 3.已知直线1：4x-3y+6=0和直线l,:x=0,抛物线y2=4x上一动点P到直线l和直线2 的距离之和的最小值是· 4.已知圆C的方程为方程x2+y2+4ar-2ay+4a2+2a=0,则圆心C的轨迹方程是_ 5.设双曲线父上=1的右顶点为A,右焦点为F过点F平行于双曲线的一条渐近线的直 916 线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为一· 6如图，A,B是直线I上的两点，且AB=2。两个半径相等的动圆分别与1相切与A,B点， C是这两个圆的公共点，则圆弧AC,CB,与线段AB围成图像面积S的取值范围是 7.已知抛物线F:y=x.三角形ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB,BC, 4 CA所在直线的斜率分别为kB,kc、kc4,若点A在坐标原点，求kB-kc+kc,的值 8若曲线y=Vx2-41与直线y=x+m恰好有两个交点，则实数m的取值范围是 9.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A、B、M是该椭圆 上的任意三点（异于椭圆顶点）若存在锐角日，使OM=cos0OA+sin0OB，则直线OA、 OB的斜率乘积为一· 10.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(c>0)到直线1：x-y-2=0的距离为 ，设P为直线1上的点，过点P作越物线C的两条切线A,P8,其中，B为切点 32 当点P在直线I上移动时，求|AF川BF|的最小值 二、选择题 1.直线y= 2x绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x-2)+y2=3的位置关系是 3 () A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心 C.直线与圆相切 D.直线与圆无公共点 12.如图，OA是双曲线实半轴，OB是虚半轴，F是焦点，且 ∠B40=30,从=6-3)，则双击线的方程是() x2y2 B =1 C. -=1 D.y =1 39 93 33 35 y 0 13.点P在直线1：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点，且|PA曰AB1, 则称点P为“名点”，那么下列结论中正确的是() A直线1上的所有点都是“名点” B直线/上仅有有限个点是“名点” C直线1上的所有点都不是“名点” D直线1上有无穷多个点（点不是所有的点）是“B点” 14.已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF,|EF=2,长为4的线段AB的两端点 分别在直线a、b上运动，则AB中点的轨迹为() A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.以上都不是 三、解答题 15.(1)求抛物线y=ax2的焦点坐标： (2)求过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程. 16.在平面直角坐标系中，直线L:y=x+3-4m,meR恒过一定点，且与以原点为圆心的 圆C恒有公共点. (1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程： (2)已知定点Q(-4,3),直线L与(2)中的圆C交于M、N两点，试问QM·QN,tan∠MQN 是否存在最大值，若存在则求出该最大值，并求出此时直线L的方程，若不存在请说明理由。 17.已知椭圆C:x+y2 日京+京=1(a>b>0)的左右焦点分别为5(-1,0)，E,0),点P在椭圆 C上，PR,⊥x轴，且点，到直线PR的距离为 6 (1)求椭圆C的方程： (2)已知A,B分别为椭圆C的左右顶点，过F,作直线/与椭圆C交于M,N两点（不与 A,B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为k,k,证明为定值 【附加题】 18如图，已知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C:y=x2上存在不同的两点A、B 满足PD=DA,PE=1EB,其中1为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M (1)若P点坐标为(L,-2),1=3时，求弦AB所在的直线方程； (2)在(1)的条件下，如果过A点的直线！与抛物线C只有一个交点，过B点的直线！与 抛物线C也只有一个交点，求证：若l和1，的斜率都存在，则1，与，的交点N在直线PM上： (3)若直线PM交抛物线C于点Q,求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值. 4 2025-2026学年上海市南洋模范中学高二年级下学期周测数学试卷5 2026.4 一、填空题 1.过P1,2),以万=(3,4)为法向量的点法向式直线方程为 【答案】3(x-1)+4(y-2)=0 【解析】设直线上任一点的坐标M(x,y). 根据法向量的概念，易得：PM⊥n, 根据向量垂直的条件得：PM·n=0, 即3(x-1)+4y-2)=0, 点法向式直线方程为3(x-1)+4(y-2)=0. x=-1+t2 2.曲线 (t为参数)与y轴的交点坐标是 y=t 【答案】(0,1)，(0，-1) 【解析】令x=-1+2=0→t=±1，则与y轴的交点坐标是(0,1)，(0，-1) 3.已知直线1：4x-3y+6=0和直线1，：x=0,抛物线y2=4x上一动点P到直线！和直线2 的距离之和的最小值是。 【答案】1 【解析】设抛物线上的一点P的坐标为(a2,2a,则P到直线2：x=0的距离d,=a2: P到直线1：4x-3y+6=0的距离d=4-6a+6 5 则d+d,-4o2-6a+6+ad=9a-6a+6 5 5 当a=时，P到直线1和直线1，的距离之和的最小值为1. 4.已知圆C的方程为方程x2+y2+4ar-2y+4a2+2a=0,则圆心C的轨迹方程是 【答案】x+2y=0(x<-4或x>0) 【解析】圆方程化简为标准方程为 (x+2a}+(y-a)}2=a2-2a,则圆心为(-2a,a),且a2-2a>0→a>2,a<0, 设圆心坐标为(x,y),则x=-2a,y=a→x=-2y, 则圆心的轨迹方程为x=-2y(x<-4或x>0) 第1页（共11页） 5设双曲线广=1的右顶点为4，右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直 916 线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为 【客案1治 【解析】a2=9,b2=16,故c=5, .A(3,0),F(5,0), 不妨设BF的方程为y=x-5), 4 代入双曲线方程解得： .um 12.32=32 1515 6.如图，A,B是直线1上的两点，且AB=2。两个半径相等的动圆分别与1相切与A,B点， C是这两个圆的公共点，则圆弧AC,CB,与线段AB围成图像面积S的取值范围是一· B 【答案】 02- 【解析】如图，当O与O,外切于点C时，S最大， 此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO,O,的面积减去两扇形面积， 1 ∴Smx=2x×1-2× ×πx12 4 2 第2页（共11页） 随着圆半径的变化，C可以向直线1靠近， 当C到直线I的距离趋向于0时，面积趋向于0， 则se0,2-2 C B 7.已知抛物线F:y=x.三角形ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB,BC, CA所在直线的斜率分别为kB,kc、kc4,若点A在坐标原点，求kB-kc+kc,的值 【答案】0 【解析】设B(x,y),C(x2,y2), x2=4y,x22=4y2, 会实+空4*=0 8.若曲线y=x2-41与直线y=x+m恰好有两个交点，则实数m的取值范围是 【答案】(-2,0U2U22) 【解析】由y=Vx2-41,得y2x2-4|, 当x2-4≥0时，化为x2-y2=40y≥0)， 当x2-4<0,化为x2+y2=4(y≥0)， 图象如图所示， 直线与半圆相切时，m=2√2，双曲线的渐近线为y=±x, .实数m的取值范围是(-2,0儿U2孔U22. 第3页（共11页） 9以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，A、B、M是该椭圆 上的任意三点（异于椭圆顶点)，若存在锐角B,使OM=cos0OA+sin0.OB,则直线OA、 OB的斜率乘积为 【答案】-1或-2 2 【解析】由题意可设椭圆方程为 y2 26+6=1， 又设A(x,),B(x2,2) OM cos0.04+sin 0.0B M(cos.x+sin0-x2,cose.y +sin0.y2) 因为M点在该椭圆上， (cossncossin 2b2 b2 cossn+2sincoscossin+2sin cosy=1 2b2 b2 cos2 )+sin)2sin dcos 2sindcos. 2 262+62 2b2 又因为A、B点在也该椭圆上， +=1，+ 2b2b2 ,+登=1 2sin8cos0-x￥+2sin6cos8yy=0→y=-】 2b2 即直线OA、OB的斜率乘积为- 2 同理当精图方程为六+卡=1时直线01、08的斜率乘积为-2】 10.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(c>0)到直线1：x-y-2=0的距离为 3W2 设P为直线1上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. 2 当点P在直线I上移动时，求|AF·BF|的最小值 【等划 【解析】~抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(c>0)到直线1：x-y-2=0的距离为 V2.a_0-c-232 √2 23c=1,6=-5(舍) .抛物线C的方程为x2=4y. 第4页（共11页） 设A(x,),B(x2,y2),P(,o) 由=4y,即y=,得y, :抛物线C在A处的切线PA的方程为y-片=(x-x), 2 即y=等x+-2, 12 2 %=4,y=衫-男， 1 2 P(6w)在切线上，六%=之-① 同理，%=受与为，② 综合①②，得，点A(x,y),B(飞22)的坐标都满足方程=-y, :经过A(x,y),B(x2,y2)两点的直线是唯一的， 直线4B的方程为%艺-少，即-2y-2=0, 由抛物线定义知：|AF=y+1,|BF=y2+1, AF川BF=(y+1y2+I)=y+2+y2+1, 联立 x-2y-2%=0'消去x,得)y2+(2%-6y+2=0, x2=4y y+2=x02-2%,yy2=y%2, x-y%-3=0,AFBF=y2-2y+x2+1 =-2%+1=23%5=2%+- 1 :当o=-5时，|AFBF取得最小值 二、选择题 1.直线y=5 x绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线与圆(x-2)2+y2=3的位置关系是 3 () A.直线过圆心 B直线与圆相交，但不过圆心 C.直线与圆相切 D.直线与圆无公共点 【答案】C 第5页（共11页） 【解析】因为直线的方程为y= x,所以直线的斜率k=tana= 2，得到直线的倾斜角 3 3 a=30°， 将直线y= 3 x绕原点逆时针方向旋转30°后所得直线的倾斜角为60°，所以所得直线的方 程为y=√5x, 由圆的方程(x-2)2+y2=3,得到圆心坐标为(2,0)，半径r=√5 所以圆心到直线y=V3x的距离d=25 2=5=r, 2 则该直线与圆的位置关系是相切 故选：C 12.如图，OA是双曲线实半轴，OB是虚半轴，F是焦点，且 ∠B40=30,5r号6-35)，则区油线的方程是（） x2 y2 A. =1 B.y x2 y2 =1 39 ”93 31 3√5 =1 B 07 A F 学X 【答案】B tan30=3b 3 a a=3 【解析】由题意知 e-ab=6-3同 b=5 2 c2=a2+b2 c=2V3 故选B 13.点P在直线1：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A,B两点，且|PA曰AB|, 则称点P为“名点”，那么下列结论中正确的是() A直线1上的所有点都是“名点” B.直线1上仅有有限个点是“名点” 第6页（共11页） C直线1上的所有点都不是“名点” D直线1上有无穷多个点（点不是所有的点）是“名点” 【答案】A 【解析】设A(m,m),P(x,x-1)则，B(2m-x,2n-x+1), A,B在y=x2上，.n=m2且2n-x+1=(2m-x)2, 消去n,整理得关于m的方程2m2-4mx+x2+x-1=0, △=8x2-8x+8>0恒成立， ∴方程恒有实数解 即对于任意的P点，都存在m,使得|PA曰AB|, .故选：A. 14.已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF,|EF=2,长为4的线段AB的两端点 分别在直线a、b上运动，则AB中点的轨迹为() A.椭圆 B.双曲线 c.圆 D.以上都不是 【答案】A 【解析】设EF的中点为O,过O作EF的垂面a,则AB的中点P必在平面u内， 设A,B在a上的射影分别为M,N, .AP=BP=2,AM=BN=1,MN=2V3 以O为原点，以∠MON的平分线所在直线为x轴， 在平面a内建立平面坐标系xOy, 设P(x,y),OM=m,ON=n,则由余弦定理可得 m2+n2-mn=12..① 2x- 2m+）m= 2x → *2 代入@可得+”=1 2-a-0 .2x 9 n= ∴P的轨迹椭圆. 故选：A. 三、解答题 15.(1)求抛物线y=ax2的焦点坐标 (2)求过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程 第7页（共11页） 【答案】(1) 0, (2)见解析 '4a 【解析】(1)y=ax2化为标准方程为x2=二y,则焦点坐标为 (2)①设直线1的斜率等于k,则当k=0时，直线I的方程为y=1,满足直线与抛物线 y2=2x仅有一个公共点， 当k≠0时，直线1是抛物线的切线，设直线1的方程为y=c+1, 代入抛物线的方程可得： 1 kt+(2k-2x+1=0,根据判别式等于0，求得k=2,故切线方程为)=2x+1. 2 ②当斜率不存在时，直线方程为x=0,经过检验可得此时直线也与抛物线y2=2x相切. 故所求的直线方程为：y=1,或x=0,或x-2y+2=0 16.在平面直角坐标系中，直线L:y=x+3-4m,m∈R恒过一定点，且与以原点为圆心的 圆C恒有公共点. (1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程； (2)已知定点Q(-4,3),直线L与(2)中的圆C交于M、N两点，试问2M·2N·tan∠M@N 是否存在最大值，若存在则求出该最大值，并求出此时直线L的方程，若不存在请说明理由. 【答案】(1)x2+y2=25;(2)2x-y-5=0 【解析】(1)由题意，要使圆C的面积最小，定点T(4,3)在圆上， 所以圆C的方程为x2+y2=25 (2)OM.ON.tan∠MgW 2MIQN|-cos∠MgN.tan∠MgN 2MloN1-sin∠M@N=2S.Mevl0分) 由题意得直线L与圆C的一个交点为M(4,3),又知定点2(-4,3)， 直线Lwo:y=3,1Mg=8,则当N(0,-5)时Swov有最大值32. 即QM·ON×tan∠MQN有最大值为64， 此时直线L的方程为2x-y-5=0. 第8页（共11页） 17.已知椭圆C:+y a+分-=1(a>b>0)的左右焦点分别为E(-1,0),R(L,0),点P在椭圆 C上，PR上x轴，且点乃到直线PR的距离为 6 (1)求椭圆C的方程； (2)已知A,B分别为椭圆C的左右顶点，过F,作直线I与椭圆C交于M,N两点（不与 A,B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为k,k,证明上为定值 k 【答案】(1) 43 【解析】(1)由题意知，c=1,则a2=b2+1 令x=c, 则导+若1 则P」三6，由椭圆的定义可知P石/=2。 a 因为点E到直线PF的距离为号F2c=2, 所以5ws2FHPE-PR号 即462=3a2,又a2=b2+1,得a2=4,b2=3, 故椭圆的方程为 y2 431. (2)A(-2,0),B(2,0), 设1：x=+1,M(5,y),N(x,),则k=),k=22 x+21 -21 x2.y2 联立4+3=1，消去x可得4+32)y+60-9=0, x=y+1 61 +y2=- 且△=3612+36(4+32)=144(2+1>0，则 4+312 9 yy2=- 4+32 第9页（共11页） 3 所以=0y+乃)，代入得 飞=名+2=9+3=(-卫=9丛-4 k2业2y2(,+3)少y+3y2 x2-2 y2-1 6+小月 13 2出 21 23+2)+3y2 39 3 2+2为 为定值. 【附加题】 18.如图，己知点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C:y=x2上存在不同的两点A、B 满足PD=DA,PE=1EB,其中为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M, (1)若P点坐标为(1，-2)，2=3时，求弦AB所在的直线方程； (2)在(1)的条件下，如果过A点的直线1与抛物线C只有一个交点，过B点的直线1，与 抛物线C也只有一个交点，求证：若l和1，的斜率都存在，则1与I,的交点N在直线PM上； (3)若直线PM交抛物线C于点9，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值. 94 【答案】(1)2x-y+3=0:(2)x=1;(3)1+2 【解析】(1)设A(x,),B(x2,2),由PD=3DA,PE=3EB, 可得0当，2,2 4 由D点在C上可得：2年3=中5，化简得：片-2x-3=0,同理可得：号-2%-3=0， 4 :A、B两点不同，不妨设A(3,9),B(-1,1), 第10顶（共11页） :.弦AB所在的直线方程为2x-y+3=0. (2)证明：由(1)可知，A3,9),B(-1,1),设1：y-9=k(x-3), 与C:y2=x联立，并令△=0，可得k=6,同理12的斜率k2=-2, .1:6x-y-9=0,12:2x+y+1=0, 解方程组得：交点N(L,-3),而直线PM的方程为x=1,得证. (3)证明：设P(,),,),B5,),由PD=DA,得D+,为+)， 1+2’1+元 代入y=x2，化简得：元x2-21xx+(1+2)y。-x=0, 同理可得：x3-2xx2+(1+2)y-x=0, 显然x≠x2,x、2是方程2x2-2xx+(1+2)%,-x号=0的两个不同的根， 六+=2x,x%=+0-发， xM=十3=名，即直线PM的方程为x=X, 2 :w=,E-0+22+0弧，6=， 2 %%-+0+,6-=6-为， 线段P0与QM的比为定值+2 λ M 第11页（共11页）