专题08 统计与概率（2大考点）（山东专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题08 统计与概率 2大考点概览 考点01统计 考点02概率 统计 考点01 1．(2026·山东省滨州市·一模)一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（    ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 2．(2026·山东省东营市利津县·一模)对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（    ） A．众数是3 B．中位数是4.5 C．平均数是5 D．方差是4 3．(2026·山东省聊城市冠县·一模)2024年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对10个地区“五一”假期的旅游人数进行了调查，获得了他们“五一”假期旅游人数（单位：百万）：12，16，12，16，18，17，17，20，17，15．则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．16、16 B．16.5、17 C．17、17 D．17、16 4．(2026·山东省青岛市·一模)求一组数据方差的算式为：由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 5．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 6．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)小张家准备购买一台电脑，小张将收集到的该地区和其它品牌电脑销售情况的有关数据统计如下：       根据上述三个统计图，请解答： (1)6至11月三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是___________，11月份B品牌电脑的销售量是___________； (2)11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖多少台？ (3)若小张打算购买C品牌电脑，那他的理由是什么？请写出你的猜测（写出一条猜测即可） 7．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动，普及健康生活方式．“少年强则国强”，关注青少年健康是头等大事．其中，青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表）， 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图（扇形统计图为男女生总人数）． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） (2)扇形统计图中A等级的圆心角度数为 ；将条形统计图补充完整； (3)若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数； (4)根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 8．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)践行文化自信，让中华文化走向世界．习近平指出，“提高国家文化软实力，要努力展示中华文化独特魅力”，要“把跨越时空、超越国度、富有永恒魅力、具有当代价值的文化精神弘扬起来，把继承传统优秀文化又弘扬时代精神、立足本国又面向世界的当代中国文化创新成果传播出去”．郑州市甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的中华文化知识水平，在同一次知识竞赛中，从两校各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分（如图）． 甲校：93 82 76 77 76 89 89 89 83 94 84 76 69 83 92 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 98 90 87 68 76 乙校：85 61 79 91 84 92 92 84 63 90 89 71 92 87 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90 (1)请根据乙校的数据补全条形统计图； (2)两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格： 平均数 中位数 众数 甲校 83.6 _______ _______ 乙校 83.2 86 92 (3)请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些．并根据（2）中的数据说明理由； (4)为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，请你提出一条合理化建议． 9．(2026·山东省青岛莱西市·一模)某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： (1)八年级成绩的中位数是___________； (2)若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； (3)小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 10．(2026·山东省临沂市郯城县·一模)近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行   B．自行车   C．电动自行车 D．私家车   E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 (1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 11．(2026·山东临沂沂水县·一模)为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 12．(2026·山东德州庆云县·一模)“松茸云岭玉盘中，香透千山诱客瞳．毒影暗藏欢宴里，胭脂红处是惊风．”野生菌虽美味，但也要注意食用安全．为增强学生食用野生菌的安全意识，某校甲、乙两班联合举办了“野生菌知识竞赛”，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生的成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制折线统计图如下： 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 乙班 82.25 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：______，______，____（填“”“”或“”）； (2)你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； (3)甲班有学生52人，乙班有学生48人，按竞赛规定；80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 13．(2026·山东省济宁市邹城市·一模)为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额． A类：安全类智能家居设备（智能门锁等）； B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）． 整理、描述、分析数据如下： 【整理数据】 ①设备数量 24户家庭A类设备数量（单位：台）： 0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 24户家庭B类设备数量（单位：台）： 0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4 ②消费金额频数分布表（单位：元） 类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数（户数） A类 2 4 a 7 3 B类 10 b 5 1 0 【描述数据】 根据A类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图． A类设备数量绘制不完整扇形统计图 B类消费金额不完整频数分布直方图 【分析数据】 组别 关于智能家居设备数量的统计量 平均数 中位数 众数 方差 A类 2.5 c 3 1.67 B类 2 2 d 1.75 【解决问题】 根据以上信息解决下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)计算扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数； (4)若该校共有学生家庭576户，估计： ①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有多少户？ ②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？ (5)结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由． 14．(2026·山东省聊城市·一模)某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：92，87，93，89，91，92，93，92，99，92． b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）： 数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 专业评委 92 92 m 大众评委 91 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①填空：m的值为__________，n的值位于大众评委打分数据分组的第__________组； ②补全频数分布直方图； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 95 93 94 91 乙 93 93 92 93 93 丙 94 90 91 95 95 通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁． （参考数据：，，） 15．(2026·山东省滨州市滨城区·一模)面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 概率 考点02 1．(2026·山东省德州市德城区·一模)某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 200 400 1000 2000 4000 10000 射中9环以上次数 150 330 780 1580 3210 8010 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________（精确到） 2． (2026·山东德州市天衢新区·一模)小明想知道图钉的钉尖朝上的概率大概是多少，以下做法正确的是（   ） A．画树状图求概率 B．列表格求概率 C．抛掷次，其中有次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率约为 D．抛掷次，钉尖朝上有次，则钉尖朝上的概率约为 3.(2026·山东日照市东港区开发区·一模)用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(2026·山东省淄博市·一模)如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 5．(2026·山东菏泽市牡丹区·一模)某基因数据分析平台对人类单双眼皮遗传规律开展建模研究：双眼皮由显性基因R控制，单眼皮由隐性基因r控制．基因型表现为双眼皮，表现为单眼皮．父母均随机将一对基因中的一个遗传给子女．若父母基因型均为，则子女为双眼皮的概率为（   ） A． B． C． D． 6．(2026·山东省淄博市·一模)甲，乙，丙，丁四位同学和老师共五人站在一起拍照，老师站在中间处（如图所示），其余位置同学随机站在处，则甲，乙两名同学相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 7．(2026·山东省沂市郯城县·一模)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 8．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模) 《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（   ） A． B． C． D． 第一次第二次 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 9．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 在数学活动课上，老师将6种生活现象制成如表所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（    ） 第一组 冰化成水 酒精燃烧 铁棒生锈 第二组 衣服晾干 牛奶变质 钢丝弯曲 A． B． C． D． 10．(2026·山东青岛市市南区·一模)实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为______． 11．(2026·山东德州市临邑县·一模)酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 12．(2026·山东省青岛莱西市·一模)小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜． (1)这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由； (2)将红球个数改成__________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的． 红 红 白 红 （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红） 13．(2026·山东青岛市市南区·一模)《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： (1)本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部； (2)请将条形统计图补充完整； (3)该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著； (4)小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 14．(2026·山东东营市利津县·一模)随着时代的发展，心理健康问题越来越受到人们的关注，为了解巴州区某学校学生对心理健康知识的认知情况，按“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类随机调查该校部分学生，并将调查结果绘制成下面两个统计图． (1)本次调查的学生共有______人，并补全条形统计图． (2)若该校共有1200名学生，请估计“不了解”的学生有______人． (3)“非常了解”的4人中有两名男生，两名女生．若从中随机抽取两人向全校做心理健康知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 2大考点概览 考点01统计 考点02概率 统计 考点01 1．(2026·山东省滨州市·一模)一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（    ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 【答案】A 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，故应注意众数的大小． 【详解】解：根据题意可得：经销商最感兴趣的是这组鞋号中哪个尺码最多，即这组数据的众数． 故选：A． 2．(2026·山东省东营市利津县·一模)对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（    ） A．众数是3 B．中位数是4.5 C．平均数是5 D．方差是4 【答案】D 【分析】本题考查众数、中位数、平均数、方差的计算，先将数据从小到大排序，再根据各统计量的定义计算，即可判断出错误的说法． 【详解】解：将数据从小到大排列为2，3，3， 6，7，9，共 个数据． ∵数据中 出现次数最多， ∴众数为 ，A正确，不符合题意． ∵ 个数据的中位数为第 个和第 个数据的平均数，即 ， ∴中位数为 ，B正确，不符合题意． ∵平均数 ， ∴平均数为 ，C正确，不符合题意． ∵方差， ∴D错误，符合题意． 3．(2026·山东省聊城市冠县·一模)2024年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对10个地区“五一”假期的旅游人数进行了调查，获得了他们“五一”假期旅游人数（单位：百万）：12，16，12，16，18，17，17，20，17，15．则这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．16、16 B．16.5、17 C．17、17 D．17、16 【答案】B 【分析】本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握相关定义是解题的关键． 根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：出现的次数最多， 众数为17． 将这组数据按照从小到大的顺序排列：12，12，15，16，16，17，17，17，18，20． 众数． 故选：B． 4．(2026·山东省青岛市·一模)求一组数据方差的算式为：由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 5．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解： ∵ ∴ 6．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)小张家准备购买一台电脑，小张将收集到的该地区和其它品牌电脑销售情况的有关数据统计如下：       根据上述三个统计图，请解答： (1)6至11月三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是___________，11月份B品牌电脑的销售量是___________； (2)11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖多少台？ (3)若小张打算购买C品牌电脑，那他的理由是什么？请写出你的猜测（写出一条猜测即可） 【答案】(1)A；234 (2)54台 (3)见解析 【分析】（1）根据第一张图，可得到三种品牌的销售总量；根据扇形图和折线图，通过比例关系，可以得到B品牌电脑的销量； （2）根据扇形图计算出其它品牌的销量，再作差计算即可； （3）可从销量，稳定性等多角度回答，理由不唯一． 【详解】（1）解：由条形图，可知三种品牌电脑销售总量最少的电脑品牌是A； 由扇形图可知，11月份A品牌占比，11月份B品牌占比，11月份C品牌占比， 结合折线图中数据可知，11月份A品牌销售270台，B品牌销售234台，C品牌销售275台； （2）解：由（1）可知，11月份共销售（台）， 由扇形图可知，11月份其它品牌共销售， ∴其它品牌共销售（台）， （台）， ∴11月份，电脑销售量最多的品牌比其它品牌多卖54台； （3）解：理由：C品牌的销量从6月到11月一直十分稳定，且销量较高（答案不唯一）． 7．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动，普及健康生活方式．“少年强则国强”，关注青少年健康是头等大事．其中，青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表）， 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图（扇形统计图为男女生总人数）． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： (1)若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） (2)扇形统计图中A等级的圆心角度数为 ；将条形统计图补充完整； (3)若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数； (4)根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 【答案】(1)B (2)36º，见解析 (3)“肥胖”的学生约为120人 (4)该校多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体．（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据体重指数公式计算即可判断出答案； （2）用等级的人数除以可得总人数，用总人数乘，再减去等级的男生人数，进而得出等级的女生人数，再补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体，可估计出全校体重指标为“肥胖”的学生人数； （4）答案不唯一，言之有理即可． 【详解】（1）解：，， 她的体重指数属于B等级； 故答案为：B； （2）解：本次调查的样本容量是：， A等级的圆心角度数为：， 等级的女生人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解： （人）． 答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为120人； （4）解：该校大多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体． 8．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)践行文化自信，让中华文化走向世界．习近平指出，“提高国家文化软实力，要努力展示中华文化独特魅力”，要“把跨越时空、超越国度、富有永恒魅力、具有当代价值的文化精神弘扬起来，把继承传统优秀文化又弘扬时代精神、立足本国又面向世界的当代中国文化创新成果传播出去”．郑州市甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的中华文化知识水平，在同一次知识竞赛中，从两校各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分（如图）． 甲校：93 82 76 77 76 89 89 89 83 94 84 76 69 83 92 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 98 90 87 68 76 乙校：85 61 79 91 84 92 92 84 63 90 89 71 92 87 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90 (1)请根据乙校的数据补全条形统计图； (2)两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示，请补全表格： 平均数 中位数 众数 甲校 83.6 _______ _______ 乙校 83.2 86 92 (3)请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些．并根据（2）中的数据说明理由； (4)为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，请你提出一条合理化建议． 【答案】(1)见解析 (2)87，89 (3)甲学校学生的中华文化知识水平更好一些 (4)在课后多开展中华文化知识活动 【分析】（1）根据表格中的数据可以得到乙校，70﹣79的和60﹣69的各有多少人，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据表格中的数据将甲校的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数和众数； （3）答案不唯一，理由需包含数据提供的信息； （4）答案不唯一，理由需支撑推断结论． 【详解】（1）解：由表格可得，乙校70﹣79的有5人，60﹣69的有2人， 补全条形统计图，如下图． （2）解：由条形统计图可得， 甲校数据按照从小到大排列是：54、68、69、76、76、76、77、79、82、83、83、84、84、87、87、87、88、88、89、89、89、89、89、90、92、92、92、93、94、98， ∴这组数据的中位数m87，众数n＝89； 故答案为：87；89； （3）解：甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好； （4）解：为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，建议在课后多开展中华文化知识活动． 9．(2026·山东省青岛莱西市·一模)某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： (1)八年级成绩的中位数是___________； (2)若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； (3)小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 【答案】(1) (2)七年级测试成绩的平均数为分； (3)七，理由见解析 【分析】本题考查了中位数，方差，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）利用中位数的意义解答即可． 【详解】（1）解：八年级A等级人数为：（人）， 把八年级20名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，83， 故中位数为， 故答案为：； （2）解：（分）， 答：七年级测试成绩的平均数为分； （3）解：七年级成绩的中位数位于C组，即低于80分，而小明的测试成绩为82分，高于七年级成绩的中位数，低于八年级成绩的中位数，小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，所以小明是七年级学生． 故答案为：七． 10．(2026·山东省临沂市郯城县·一模)近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题： 中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ㅤㅤ） A．步行   B．自行车   C．电动自行车 D．私家车   E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ㅤㅤ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段 (1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图； (2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； (3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】(1)36；135；图见解析 (2)450人 (3)见解析 【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，理清各部分数量与总数之间的关系． （1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图； （2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数； （3）根据统计图信息分析拥堵原因并提出合理建议． 【详解】（1）解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段12：00-12：10骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示： 故答案为：36；135； （2）解：估计用私家车接送孩子的家长人数为人； （3）解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵； 由条形统计图可知，在时间段12：00-12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00-12：10． 11．(2026·山东临沂沂水县·一模)为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 【答案】（1）不赞同，理由见解析；（2）见解析，；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查频数分布表，统计图，利用方差作决策： （1）根据分组方法，求出最大值与最小值的差，进而求出组数为5和组数为10的组距，进行判断即可； （2）根据分布表补全直方图，利用360度乘以D组所占的百分比，求出圆心角的度数即可； （3）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可； （4）利用相关数据进行说明即可。 【详解】解：（1）不赞同． 理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．若组数为5，则组距为4，是合适的．若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律． （2）补全直方图如图： D组对应的圆心角为 （3）试验田中长势良好的玉米株数为，占比； 对照田中长势良好的玉米株数占比为； 所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田； （4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．综合以上信息，试验田长势好于对照田． 12．(2026·山东德州庆云县·一模)“松茸云岭玉盘中，香透千山诱客瞳．毒影暗藏欢宴里，胭脂红处是惊风．”野生菌虽美味，但也要注意食用安全．为增强学生食用野生菌的安全意识，某校甲、乙两班联合举办了“野生菌知识竞赛”，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生的成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制折线统计图如下： 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 乙班 82.25 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：______，______，____（填“”“”或“”）； (2)你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； (3)甲班有学生52人，乙班有学生48人，按竞赛规定；80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 【答案】(1)84，80， (2)乙班成绩比较好；理由：甲乙两班平均数相同，但乙班中位数比甲班高 (3)人 【分析】本题考查了统计图与统计表，求中位数、众数与根据数据的波动程度比较方差，样本估计总体等知识，掌握这些知识是关键． （1）按照求中位数与众数的方法进行即可；根据两个班抽取学生成绩的波动程度可判断方差的大小； （2）从中位数考虑或方差考虑即可； （3）样本估计总体，求出甲班优秀人数与乙班优秀人数的和即可． 【详解】（1）解：将乙班学生成绩按高低排列，第4、5两个数分别为85、83，则； 甲班抽取的学生成绩中，80分出现的次数最多，则； 由折线统计图知，甲班的成绩波动程度小于乙班，则； 故答案为：，，； （2）解：乙班成绩比较好，理由：甲乙两班平均数相同，但乙班中位数比甲班高； （3）解：（人）， 答：这两个班获奖的总人数大约是人． 13．(2026·山东省济宁市邹城市·一模)为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额． A类：安全类智能家居设备（智能门锁等）； B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）． 整理、描述、分析数据如下： 【整理数据】 ①设备数量 24户家庭A类设备数量（单位：台）： 0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 24户家庭B类设备数量（单位：台）： 0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4 ②消费金额频数分布表（单位：元） 类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数（户数） A类 2 4 a 7 3 B类 10 b 5 1 0 【描述数据】 根据A类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图． A类设备数量绘制不完整扇形统计图 B类消费金额不完整频数分布直方图 【分析数据】 组别 关于智能家居设备数量的统计量 平均数 中位数 众数 方差 A类 2.5 c 3 1.67 B类 2 2 d 1.75 【解决问题】 根据以上信息解决下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)计算扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数； (4)若该校共有学生家庭576户，估计： ①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有多少户？ ②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？ (5)结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由． 【答案】(1)8，3，2 (2)补全频数分布直方图见详解 (3)扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为 (4)①全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有456户，②全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户 (5)该班学生家庭更偏好A类智能家居，理由见详解 【分析】（1）利用总调查人数减去其余消费金额频数可得到a，再利用中位数和众数的定义可求得c和d的值； （2）先求出b的值，再补全频数分布直方图即可； （3）先用A类2台频数除以调查数量得到2台的频率，再用频率，即可得到扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角； （4）①先用A类2台以上频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果； ②先用B类智能家居设备消费金额2000元及以上的频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果； （5）根据中位数、方差、众数和平均数的定义即可进行判断． 【详解】（1）解：， 在24户家庭A类设备数量中，第12个和13个数据均为3， ∴， 在24户家庭B类设备数量中，“2”一共出现6次，出现次数最多， ∴． （2）解：， 如图所示，补全频数分布直方图如下： （3）解：在24户家庭A类设备数量中，2台共出现5次， ∴， ∴扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为． （4）解：①（户）， ∴全校有2台及以上A类智能家居设备的家庭有456户； ②（户）， ∴全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户． （5）解：该班学生家庭更偏好A类智能家居， 理由：A类智能家居的平均数、中位数、众数均高于B类，方差低于B类，且24户家庭在A类智能家居产品消费金额多集中在高段，而B类智能家居产品消费金额多集中在低段． 14．(2026·山东省聊城市·一模)某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：92，87，93，89，91，92，93，92，99，92． b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）： 数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 专业评委 92 92 m 大众评委 91 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①填空：m的值为__________，n的值位于大众评委打分数据分组的第__________组； ②补全频数分布直方图； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 95 93 94 91 乙 93 93 92 93 93 丙 94 90 91 95 95 通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁． （参考数据：，，） 【答案】(1)①92，；②见解析 (2)甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲 【分析】（1）①根据中位数和众数的定义求解即可；②求出第5组的人数，再补全频数分布直方图即可； （2）先求出甲、乙、丙三个选手得分的平均数，结合方差比较即可得出结果． 【详解】（1）解：①由题意可得，专业评委打分中92出现的次数最多，故； 名大众评委打分数据的中位数是第个数据和第个数据的平均数，且，， 故n的值位于大众评委打分数据分组的第组； ②第5组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图所示． （2）解：甲选手得分的平均数为． 乙选手得分的平均数为． 丙选手得分的平均数为． ∵，，， ∴甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲． 15．(2026·山东省滨州市滨城区·一模)面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 【答案】(1)86，87 (2)八年级，理由见解析 (3)小凡 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数、众数、方差的意义即可判断； （3）根据加权平均数的公式分别计算小凡和小乐的最后成绩，再比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：将七年级的测试成绩从小到大排列，第8位的成绩为86分， ∴； 八年级的测试成绩出现次数最多的是87分，故众数为87分， ∴； （2）解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高； 从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高； 从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好； （3）解：小凡的最后成绩为， 小乐的最后成绩为， ∵， ∴小凡的最后成绩较高， 即最终入选的是小凡． 概率 考点02 1．(2026·山东省德州市德城区·一模)某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 200 400 1000 2000 4000 10000 射中9环以上次数 150 330 780 1580 3210 8010 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________（精确到） 【答案】0.8 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是理解：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率．利用频率估计概率即可． 【详解】解：计算各次试验射中9环以上的频率： ，，，，，， 观察频率变化可知，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率的原理，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率约为． 故答案为：． 2． (2026·山东德州市天衢新区·一模)小明想知道图钉的钉尖朝上的概率大概是多少，以下做法正确的是（   ） A．画树状图求概率 B．列表格求概率 C．抛掷次，其中有次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率约为 D．抛掷次，钉尖朝上有次，则钉尖朝上的概率约为 【答案】D 【详解】解：∵抛掷图钉时，钉尖朝上与钉尖朝下不是等可能事件， ∴不能使用画树状图或列表法求概率， ∴选项、不正确， ∵抛掷次，试验次数过少，频率不稳定，不能用来估计概率， ∴选项不正确， ∵抛掷次，属于大量重复试验，可以用该频率估计钉尖朝上的概率，， ∴选项正确． 3.(2026·山东日照市东港区开发区·一模)用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设①的面积为， 则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为． 故选：A． 4．(2026·山东省淄博市·一模)如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件概率的计算与电路通路的判断，关键是先确定所有闭合两个开关的等可能情况，再筛选出能使发光的情况，最后利用概率公式计算． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，所有等可能的情况为：、、，共3种，其中能让灯泡发光的情况只有， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：A． 5．(2026·山东菏泽市牡丹区·一模)某基因数据分析平台对人类单双眼皮遗传规律开展建模研究：双眼皮由显性基因R控制，单眼皮由隐性基因r控制．基因型表现为双眼皮，表现为单眼皮．父母均随机将一对基因中的一个遗传给子女．若父母基因型均为，则子女为双眼皮的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出子女所有等可能的基因型，再统计双眼皮对应的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵父母基因型均为，每人随机传递一个基因给子女，所有等可能的基因型组合为，共种， 又∵基因型表现为双眼皮，符合条件的结果共种， ∴子女为双眼皮的概率为． 6．(2026·山东省淄博市·一模)甲，乙，丙，丁四位同学和老师共五人站在一起拍照，老师站在中间处（如图所示），其余位置同学随机站在处，则甲，乙两名同学相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】解：画出树状图如下： 可知共12种情况，其中甲，乙两名同学相邻的情况有4种， ∴甲，乙两名同学相邻的概率是． 7．(2026·山东省沂市郯城县·一模)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 8．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模) 《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用树状图法或列表法，得到总的事件结果数和两次抽取的邮票图案名称相同的事件结果数，即可得到概率． 【详解】解：用字母A，B，C，D，分别表示抽取到圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带， 列表如下： 第一次第二次 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 如表，共有16个等可能的事件，其中两次抽取的邮票图案名称相同的事件有4个， 故概率为． 9．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 在数学活动课上，老师将6种生活现象制成如表所示看上去无差别的卡片，并分成两组，从每组中分别随机抽取一张，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为（    ） 第一组 冰化成水 酒精燃烧 铁棒生锈 第二组 衣服晾干 牛奶变质 钢丝弯曲 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将冰化成水、酒精燃烧、铁棒生锈分别记为，将衣服晾干、牛奶变质、钢丝弯曲分别记为，画出树状图，可得从每组中分别随机抽取一张的所有等可能的结果，再找出抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的结果，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将冰化成水、酒精燃烧、铁棒生锈分别记为，将衣服晾干、牛奶变质、钢丝弯曲分别记为， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，从每组中分别随机抽取一张共有9种等可能的结果，其中，抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的结果有2种， 所以抽中的2张卡片所反映的生活现象都是化学变化的概率为． 10．(2026·山东青岛市市南区·一模)实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为______． 【答案】100 【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由题意可得小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为0.5， 设该地形图的面积为， 则， 解得：， ∴该地形图的面积大约为， 故答案为：100． 11．(2026·山东德州市临邑县·一模)酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为_____． 【答案】 【分析】此题考查了列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求解概率的方法．将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表得出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有种结果， 所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为； 故答案为：． 12．(2026·山东省青岛莱西市·一模)小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜． (1)这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由； (2)将红球个数改成__________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的． 【答案】(1)游戏不公平，见解析 (2)3 【分析】（1）列表得出共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：这个游戏方案对双方不公平，理由如下： 列表如下： 红 红 白 红 （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红） 共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种， ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为， ∵， ∴小明胜的概率小刚胜的概率， ∴这个游戏方案对双方不公平； （2）解：将红球个数改成3个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种， ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为， ∴小明胜的概率小刚胜的概率， ∴这个游戏方案对双方公平， 故答案为：3． 13．(2026·山东青岛市市南区·一模)《简爱》《艾青诗选》《水浒传》《儒林外史》（分别编号为A，B，C，D）是九年级学生必读名著．某学校为了解学生对必读名著的阅读情况，就“四部必读名著你读完了几部”的问题在全校九年级学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： (1)本次调查一共抽取了_______名学生，中位数是_______部； (2)请将条形统计图补充完整； (3)该学校九年级有480名学生，估计约有________名学生至少阅读完2部必读名著； (4)小红和小颖两位同学分别从这四部必读名著中任选一部阅读，请用列表或画树状图的方法，求两人恰好阅读同一部名著的概率． 【答案】(1)80；2 (2)见解析 (3)288名 (4) 【分析】（1）用条形统计图中“2部”的人数除以扇形统计图中“2部”的百分比可得本次调查的学生人数；根据中位数的定义可得答案． （2）求出“1部”的人数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用480乘以样本中“2部”“3部”“4部”的学生人数所占的百分比之和，即可得出答案． （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是两人恰好阅读同一部名著的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：本次调查一共抽取了名学生， 80个数据从小到大排列后，处在中间位置的是第40个和41个数据，即为2和2， 故中位数为（部）． （2）解：读完一部的人数为：（人）， 将条形统计图补充如下： （3）解：（名）， ∴至少阅读2部名著的学生有288名． （4）解：画树状图如图所示： 由图可得所有等可能的结果数共有16种，两人恰好阅读同一本名著的结果数有4种， ∴两人恰好阅读同一本名著的概率为：． 14．(2026·山东东营市利津县·一模)随着时代的发展，心理健康问题越来越受到人们的关注，为了解巴州区某学校学生对心理健康知识的认知情况，按“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类随机调查该校部分学生，并将调查结果绘制成下面两个统计图． (1)本次调查的学生共有______人，并补全条形统计图． (2)若该校共有1200名学生，请估计“不了解”的学生有______人． (3)“非常了解”的4人中有两名男生，两名女生．若从中随机抽取两人向全校做心理健康知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)50，补全条形统计图见解析 (2)360 (3) 【分析】（1）根据图示，可由非常了解的人数和所占的百分比直接求解总人数，然后求出不了解的人数，最后补全统计图即可； （2）根据（1）中求出的不了解的人数占比乘以总人数即可得到答案； （3）根据题意画出树状图，然后求出总可能和“一男一女”的可能，再根据概率的意义求解即可． 【详解】（1）解：由统计图可知，“非常了解”的人数为4人，其占比为， ∴总人数（人）， ∴“了解”的人数（人）， “了解较少”的人数（人）， ∴“不了解”的人数（人）， 补全条形统计图如下： ； （2）解：“不了解”的人数占比， （人） ∴该校1200名学生中“不了解”的人数约为360人； （3）解：设两名女生为，，两名男生为，，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有8种， （恰好抽到一男一女）． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $