专题07 图形的变化（3大考点）（山东专用）2026年中考数学一模分类汇编

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07图形的变化 ☆3大考点概览 考点01图形的对称、平移与转 考点02尺规作图 考点03视图与投影 考点01 图形的对称、平移与旋转 1.(2026山东山东东营市利津县一模)下列汽车图标是中心对称图形的是() A. B D 2.(2026山东菏泽市牡丹区一模) 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现， 下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 杨辉三角 割圆术示意图 B 赵爽弦图 洛书 D.。◇ 3.(2026山东德州市乐陵市一模) 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产 代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春“立夏”“芒种“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形 的是() 个下 D 4.(2026山东青岛市市南区一模) “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产， 下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 5.(2026山东临沂市罗庄区一模)下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（) 6.(2026山东济宁市邹城市一模)下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（) 00 A. 0OB. 7.(2026山东青岛市崂山区一模)在直角坐标系中，将点A1,1)绕原点按顺时针方向旋转45°到A,则A的 坐标是() A.(1,0 B.(0,1) c.(2, D.(0,②) 8.(2026山东省青岛莱西市一模)如图，△ABC绕点A逆时针旋转64·得到△ADE,且DE经过点C, 己知∠ABC=38°，则∠ACB的度数为() B A.56 B.57o C.58 D.64° 9.(2026山东枣庄市·一模)如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B的对应点E落 在边CD上，且DE=EF,若AD=1,则弧CF的长为() A. B. C. D.罗 10.(2026山东省滨州市一模)如图，在△ABC中，∠C-90°，AC-BC-V2,将△4BC绕点A顺时针方向旋 转60°到△AB'C的位置，连接CB,则CB的长为() 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.1 B.V5-1 C.2 D.2V2-2 11.(2026山东省聊城市一模)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,以A、D为圆心，半径分别为1和方 画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是() D E B A.号 B.3 c. D.4 12.(2026山东省聊城市一模)嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点P(一2,1)开始， 第一次跳到与点P关于点O(0,0)对称的点P1处，第二次跳到与点P1关于点A0,1)对称的点P2处，第三次跳 到与点P2关于点B(0,一1)对称的点P处，第四次跳到与点P关于点0对称的点P4处，第五次跳到与点P4 关于点A对称的点P5处.按此规律跳下去，则点P2026的坐标为() A.(2,-5)B.(-2,5) C.(2-3) D.（-2,1 13.(2026山东省青岛市一模)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCD EFI的中心与原点0 重合，AB川x轴，交y轴于点P.将△OAP绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时， 点A的对应点的坐标为() A.（5,-1)B.（-1-5)C.(-3,-1)D.（-1,5) 14.(2026山东济宁市泗水县.一模)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 两两成120°角的叶片.如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，点A的坐 标为(4,3)，在一段时间内，叶片每秒绕原点0逆时针转动90°，则第2026秒时；点A的对应点的坐标为 15.(2026山东济宁市曲阜市·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转 一周得到△ABC,M是BC的中点，P是AB'的中点，连接PM,若AC=4y3,∠BAC=30°，在旋转 的过程中线段PM的最大值是 B C M B 16.(2026山东省济宁市曲阜市一模)若点A(3,m)与点B(n-2)关于x轴对称，则m+n= 17.(2026山东省德州市天衢新区一模)已知点A(2a,2-3b)关于原点的对称点为点B(2,2+b),则 b=. 18.(2026山东省临沂市郯城县.一模)在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一1,4），点B的坐标为 (3,1),P为x轴上的一动点，则PA与PB的差的最大值为· 19.(2026山东省德州市天衢新区一模)如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60·得到正方形AEFG ,若AB=1,则CF的长为· G 20.(2026山东省济南市一模)把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A=90°， 将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD,EC,设旋转角为(0°<a<360°)： 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (I)求证：△BAD兰△CAE (2)如图3，若点D在线段BE上，且BC=13,DE=7,求CE的长. (3)当旋转角&=时，△ABD的面积最大. 21.(2026山东省济南市商河县.一模)综合与探究【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以 下图片框内). 如图，△ABC,△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC,DE分别是底边，图中 的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ D 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化.如图1，在△ABC与△ADE中， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证：BD=CE B 图1 图2 图3 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E,F分别是CD,BC上的点，且DE=1·连接AE,AF ,EF,若∠EAF=45°，求BF的长. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=90·,AD=CD,AB=2N3,BD=V62 ,请直接写出BC的长。 22.(2026山东日照东港区开发区中学.一模)综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置， 固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，己知三角形纸片ABC和 DEC中，CB=CE=3,AB=DE=4,∠ABC=∠DEC=90°. B B B G D D 图1 图2 图3 【初步感知】(1)如图1，连接AD、BE,在纸片CDE绕点C旋转过程中，求BE:AD的值。 【尝试证明】(2)如图2，在纸片CDE绕点C旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的中线 BG的延长线上时，求证：BEICD 【深入探究】(3)如图3，在(2)的条件下，延长DE交AC于点F,求tan∠ECF 23.(2026山东东营市利津县.一模)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是直线BC上的一点， 连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90·得到线段AE 图1 图图2 备用图 【观察发现】： (I)如图1，当点D是BC的中点时，连接CE,试判断四边形ADCE的形状，并说明理由， 【深度探究】： (2)如图2，当点D在线段BC(D点不在BC中点)上时，连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,过点F作 FG⊥BC于点G,猜想线段FG与BD的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】： (3)当点D在线段BC或线段CB的延长线上时，连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,连接CF.若 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=2y2,∠FCA=60°，请直接写出线段BD的长 24.(2026山东省德州市乐陵市一模)几何综合 图① 图② 图③ 备用图 【方法尝试】 (I)如图①，矩形ABFC是矩形ADGE以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°所得的图形，CB,ED分 别是它们的对角线.求证：CB⊥ED; 【类比迁移】 (2)如图②，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=V21,AB=V万， AE=5,AD=1,将△DAE绕点A在平面内逆时针旋转，连接CE,BD ①请判断线段CE和BD的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当点B,D,E在同一直线上时，求线段CE的长： 【拓展延伸】 (3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6,过点A作AP‖BC,在射线AP上取一点D,连接 CD,使得tan∠ACD=,请直接写出线段BD的最大值， 25.(2026山东聊城市东阿县.一模)定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为 直菱四边形.例如，如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,AB⊥BC,则四边形ABCD为直菱四边形. 图1 图2 图3 图4 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是 (填序号)； ①平行四边形②矩形③菱形 ④正方形 (2)如图2，在等边△ABC中，点D为△ABC过点A的中线上一点，连接DC,将线段DC绕点D顺时针 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 旋转60°得到线段DE,连接BE,CE.求证：四边形ABEC是直菱四边形； (3)【深入探究】 如图3，已知，四边形ABCD是对角互补的直菱四边形，AB=AD,∠BCD=60°，以点A为顶点的 ∠EAF=60°，AE,AF与边BC,CD分别交于E,F两点.试探究EF,BE,FD之间的数量关系？并说明 理由； (4)【拓展应用】 如图4，四边形ABCD为直菱四边形，∠BCD=90。,AB=BC=V5,连接BD,若 ∠BDC=60°，BD=AD,作∠DAE=30°，且DE⊥AE,连接CE并延长交BD于点F,交AB于点M, 求CM的长. 26.(2026山东济宁任城区一模)综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形ABCD中. AD=AB=3,DC=BC=4. ∠D=∠B=90·,如图②，保持△ABC不动，将△ADC沿着AC方向向下平移，使得点A与AC边的中 点A重合，得到△ADC, 操作发现： (1)连接CD,试猜想CD和CC的数量关系，并说明理由； (2)如图③，在图②的基础上，再将△ADC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点 A,B,C在同一条直线上(B在A,C中间)，连接BD,试判断四边形AADB的形状，并证明你的结论； 实践探究： (3)如图④，在图②的基础上，按(2)中的旋转方式继续旋转△ADC.当AD第一次恰好与AC垂直时 停止旋转，设AD与BC交于点E,AC与AB交于点F,延长CB交CD于点H,连接AH交AB于点G,求线 段AH的长。 D 图① 图② 图③ 图④ 27.(2026山东省济南市市一模)根据题月条件，完成下列各题 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 图3 图4 (I)【拓展探究】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC, ∠ACB=90°，点D在AC边上，连接BD,将线段DB绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,连接CE.试 探究线段CE与AD,CD之间的数量关系， 如图2，小明同学解题思路和理由如下： 如图，在BC上截取CF=AD,连接DF, 在等腰Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， AC-AD=BC-CF, CD=① :DE=DB,∠BDE=90°， .∠DBF=90°-∠CDB=∠CDE, △DBF≌△EDC(SAS),.CE=DF. :CF2+CD2=DF2,.② 请完成填空：① ；② (②)【类比分析】老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化.为了帮助学生更好地 感悟转化思想，老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答 如图3，在等腰Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在AB边上，连接CD,将线段CD绕点D 逆时针旋转90·得到线段CE,连接DE交AC边于点F.求证：EF2+DF2=2CF2; (3)【学以致用】如图4，在☐ABCD中，AB=6,AD=10,∠B=60°，点E,F分别在边BCDC上， ∠EAP=60°，AE=2W7,求线段DF的长. 28.(2026青岛市西海岸新区一模)【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合， 那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 图3 【理解新定义】 (I)如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E,F分别在AB,AC上，且DEAC, DFAB.请写出图中的一对以BC所在的直线为“镜移轴的“镜移三角形”：一· 【应用新定义】 (2)如图2，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE,过点A作BC的垂线，垂足为F,交 DE于点M,过点E作BC的垂线，垂足为N,△ADM与△NPE互为镜移三角形”，若△PEN的面积 为2，则△ABF的面积为· 【拓展新定义】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E是CD的中点，F是AB的中点，那么△ADE与 △CBF互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线AB所夹的锐角为。；若“镜移轴”过EC的中点，则平 移的距离为 29.(2026山东济南市章丘区一模)图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方 法.为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究： D A M ◇ 图1 图2 图3 (I)【知识技能】 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边CDAD上的点，连接BE、BF、EF,且∠EBF=45°，将 △BCE绕点B按逆时针方向旋转90°至△BAM,则点M在DA的延长线上. ①证明△BFM兰△BFE,并判断AF+EC=EF是否成立； ②若DF=5,DE=12,请计算正方形ABCD的周长， 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)【教学理解】 如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF.连接AF、CE,M、N分别是线段 AF、CE上的点，连接BM、BN,MN,且∠MBN=45°（点E、F、M、N均不与端点重合）.请猜想线段 AM、MN、NC的数量关系，并说明理由. (3)【拓展研究】 如图3，BD是正方形ABCD的对角线，PQ分别为线段BD、BC上的点，且∠PQB=45°.将△BPQ绕 点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45·）至△BMN.连接ND,取线段ND的中点E,连接CE、CM, 求器的值. D M E B C 由旋转性质可得：△BCN≌△BAG, .∠CBN=∠ABG,CN=AG,∠BCN=∠BAG,BN=BG, ∴∠CBN+∠ABN=90°=∠ABG+∠ABN=∠GBN, :∠MBN=45°， .∠MBG=∠GBN-∠MBN=90°-45°=45o, .∠MBN=∠MBG, BM=BM,BN=BG, :.△BMN≌△BMG(SAS), :MN=GM, :AE=CF,AE‖CF, :.四边形AECF是平行四边形， CE‖AF, ∴∠BEC=∠BAM, :∠BCN+∠BEC=90o, ∴∠BAG+∠BAM=90°，即∠GAM=90°， AM2+AG2=GM2, AM2+NC2=MN2. 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D H :四边形ABCD是正方形， ∠DCB=90°，BC=DC,∠DBC=45°， :CH⊥BD, ∴H为BD中点，△BCH是等腰直角三角形， 脂=反， :E为DN的中点， :HE是△BDN的中位线， .BN=2HE,HE‖BN, :∠PQB=45°，∠DBC=45°， :△BPQ是等腰直角三角形， :将△BPQ绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45°）至△BMN, :△BMN是等腰直角三角形， ∠BNM=45°，BN=V2BM, ∴V2BM=2HB, “器=2， “器=器=2， :∠BNK=45o=∠DBC, ∠BNK+∠KBN=∠DBC+∠KBN,即∠BKM=∠DBN, HE BN, ∠DHE=∠DBN, ∴∠BKM=∠DHE, ∴.90o-∠BKM=90°-∠DHE,即∠MBC=∠EHC, ∴.△MBC△EHC, 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :器=脂=V2，,即器的值为2 考点02 尺规作图 1.(2026山东省德州市乐陵市·一模)观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是(). B D D 2.(2026山东省德州市临邑县一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=108°，分别以点A,C 为圆心，以大于号AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q,作直线PQ交BC于点D,连接AD,则 ∠BAD的度数是() A.65° B.70 C.72° D.78o 3.(2026山东德州庆云县.一模)如图，在△ABC中，O是边AB的中点.按下列要求作图： ①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D,交BC于点E; ②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F; ③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G,点G与点C在直线AB同侧： ④作直线OG,交AC于点M.下列结论不一定成立的是() 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E A.∠A0M=∠B B.∠0MC+∠C=180° C.AM=CM D.OM=AB 4.(2026山东东营市利津县.一模)如图，已知∠A0B,以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边 分别交于C,D两点，分别以点C,D为圆心，大于专CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P, 连接OP,过点P作直线PE‖OA,交OB于点E,过点P作直线PF‖OB,交OA于点F.若 ∠A0B=60°，OP=6cm,则四边形PF0E的面积是() D E B A.12v3 cm2 B.6v3cm2 C.3v3cm2 D.2v3cm2 5.(2026山东临沂市郯城县一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，以A为圆心， 适当长为半径画弧，分别交AC,AB于M,N.分别以M,N为圆心，大于专MN的长为半径画弧，两弧在 ∠BAC内交于点P,作射线AP交BC于D.E为AD的中点，EF⊥AD交AB于点F.若CD=2,则AF= () D M N F B A.3 B.4 C.5 D.6 6.(2026山东省聊城市东阿县.一模)如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径画 弧，分别与AB,BC交于点E,F,再分别以点E,F为圆心，以大于专EF的长为半径画弧，两弧交于点G 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,作射线BG,与边AD交于点H,最后以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点M.若AB=7.5, BH=12,则点A,M之间的距离为() H G M A.9 B.6 C.10 D.7 7.(2026山东省济南市莱芜区)如图，矩形ABCD中，分别以A,C为圆心，以大于专AC的长为半径作弧， 两弧相交于M,N两点，作直线MN分别交AD,BC于点E,F,连接AF和CE,若BF=3,DC=3V3, 以下4个结论正确的个数是() ①S四边形ArE=9V3, ②四边形AECF是菱形， ③∠FAC=∠ACF=30°，④EF=6. A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2026山东省济南市槐荫区·一模)如图，在△ABC中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在AB和BC上分别截取BM和BN,使BM=BN,分别以M,N为圆心，大于专MN的长为半径作弧， 两弧交于点O,作射线BO交AC于点D: ②分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q,作直线PQ分别交AC, BC于点E和点F. 根据以上作图，若∠A=54°，∠C=18°，AD=4,BC=10,则CF的长为() A D E F B 袒 A.4 B.号 c.9 D.5 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026山东省德州市天衢新区一模)如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM,CN,使CM=CN,分别以点M和N为圆心，以大于专MN的长为半径作 弧，两弧在∠ACB内交于点O,作射线CO交AB于点D, ②分别以点C和D为圆心，以大于号CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q,作直线PQ交AC于点E, 交BC于点F. 根据以上作图，若AD=4,DB=2,BC=3V2,则线段AE的长为() D A.15 B.号 C.5 3 D.4V2 10.(2026山东省聊城市冠县.一模)如图∠A0B=60°，以O为圆心，8Cm为半径作弧，分别交0A, OB于点C,D,再分别以C,D为圆心OC长为半径作弧，两弧交于点E,连接OE,则0E的长为 D B 11.(2026山东省济宁市任城区一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,以点B为圆心，适当长 为半径画弧，分别交BC,BD于点B,F,再分别以点B,F为圆心，大于EF长为半径画弧交于点P,作 射线BP,过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M,N,求DN的长. A 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026山东省山东日照市高新区一模)如图，平面直角坐标系中，正方形0ABC的顶点0为原点，点 B(2,2),对角线的交点为M,作以下操作：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交C0,CA于点E ,F:②分别以点E,F为圆心，以大于专EF的长为半径作弧，两弧交于点G:③作射线CG,交B0于点D ,交OA于点H.则点D的坐标为 E 13.(2026山东青岛市市南区一模)已知：∠A和∠A一边上的点B 求作：□ABCD,满足∠A是它的一个内角，且对角线BD⊥AD. A B 14.(2026山东省青岛莱西市一模)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹， 如图，己知点C是∠A0B的边OB上的一点，求作⊙P,使它经过O、C两点，且圆心在∠AOB的平分线 上. 结论： 15.(2026山东省青岛市市.一模)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 如图：四边形ABCD 求作：点P,使点P到AB、CD两边的距离相等且CP最短. 1/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 15.(2026山东省青岛市崂山区一模)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：线段a. 求作：矩形ABCD,使它的对角线AC,BD交于点O,且BD=a,∠A0D=120°. a 16.(2026山东临沂沂水县)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD. (1)作∠BAC的平分线，交BC于点E;(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接DE,证明AB⊥DE ch B 17.(2026山东省山东菏泽市巨野县.一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按以下步骤作图：① 以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB,AC于点M,N;②再分别以M,N为圆心，大于MN的长 为半径画弧，两弧交于点O,连接AO并延长交BC于点D;③分别以AD为圆心，大于AD的长为半径画 弧，两弧分别交于P,Q两点，作直线PQ,分别交AB,AC于点E,F. F B (1)判断四边形AEDF形状，并说明理由； (2)若AB=3,AC=4,求AE的长 18.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BEDC交AC的 延长线于点E. 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E (I)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹，不写 作法) (2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形 19.(2026山东省济宁市邹城市.一模)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，以点A为圆心，适 当长为半径作弧，分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M和点N为圆心，大于专MN的长为半径作 弧，两弧交于点P.连接AP并延长交BC于点D,以点C为圆心，以CD的长为半径作弧，交边AC于点E。 E M B (1)求∠ADB的度数： (2)若BD=2,求由线段AD,AE和DE围成的图形的面积. 20.(2026山东省临沂市罗庄区一模)如图，矩形ABCD中，AB<AD. D B (I)求作正方形EFGH,使得点E,G分别落在边AD,BC上，点F,H落在BD上；（要求：尺规作图，不写 作法，保留作图痕迹) (2)若AB=2,AD=4,求(1)中所作的正方形的边长 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 投影与视图 1.(2026山东临沂沂水县)在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见 “鼓舞”一词起源之早.如图所示，鼓的主视图是() B D 2.(2026山东省临沂市郯城县一模)中国古代数学著作《九章算术》卷五的第二十一题中，记载了一种称 为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有 一个如图所示的曲池及其俯视图，则其主视图是() 正面 俯视图 D 3.(2026山东省淄博市·一模)如图所示的几何体，从上面观察这个图形，得到的平面图形是() 正面 D 4.(2026山东省聊城市东阿县一模)如图是生活中常见的管件“三通”，它的左视图是（). 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 主视方向 5.(2026山东省淄博市·一模)如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是() 正面 D 6.(2026山东省聊城市冠县一模)如图是一种六角螺栓的示意图，其左视图为() 个正面 B D 7.(2026山东省青岛市崂山区一模)若一种机器零部件如图所示，则该零部件的左视图是() 正面 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D. 8.(2026山东省潍坊市.一模)如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为8Cm, 底面图的直径为10Cm,通孔的底面是边长为号cm的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的 是() 不 8cm 8cm 8cm 8cm 5cm c A. ←10cm B ←10cm C ←10cm D ←10cm 9.(2026山东省滨州市滨城区一模)方斗承礼，竹韵传心.某非遗工坊以传统竹编技艺制作四方收纳斗，造 型取自古代礼器“方斗”.如图，该收纳斗的形状可抽象为无上底面的正四棱台（上底面为大正方形，下底面 为小正方形，侧面为等腰梯形)，无额外底座，整体简约雅致.则这个正四棱台的俯视图是() 主视 A. C D 10.(2026山东省聊城市一模)高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到2000℃以上. 如图是一种高铝拱角砖的示意图，其形状为五棱柱.若其主视图为五边形，则它的左视图为() 正面 主视图 2/23 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A c. D.--- 11.(2026山东省聊城市东阿县一模)如图，该几何体的俯视图是() 正面 A B C. D 12.(2026山东省德州市乐陵市一模)六角井是我国常见的竖井样式，其结构示意图如图所示，则它的俯视 图是() A B D. 13.(2026山东省青岛市市南区一模)如图所示的几何体的俯视图是（) 正面 14.(2026山东省青岛莱西市.一模)如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为(） 正面 1/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 15.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是() 正面 B. C. D 16.(2026山东省临沂市罗庄区·一模)数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图 形是() D 17.(2026山东省东营市利津县一模)如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图 的面积为() 2/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8cm 8cm 主视图 左视图 俯视图 A.32πcm2 B.165πcm2 C.32W3πcm2 D.64πcm2 18.(2026山东省德州市临邑县.一模)某物体的三视图如图所示，则该物体可能是() 主视图 左视图 俯视图 C D 19.(2026山东省济宁市邹城市·一模)如图所示的几何体是由5个完全相同的棱长为1的小正方体搭成，其 左视图和俯视图的面积和是() 正面 A.5 B.6 C.7 D.8 1/23 专题07 图形的变化 3大考点概览 考点01图形的对称、平移与旋转 考点02尺规作图 考点03视图与投影 图形的对称、平移与旋转 考点01 1．(2026·山东山东东营市利津县·一模)下列汽车图标是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 2．(2026·山东菏泽市牡丹区·一模) 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3．(2026·山东德州市乐陵市·一模) 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解. 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 4．(2026·山东青岛市市南区·一模) “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 5．(2026·山东临沂市罗庄区·一模)下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形进行判定即可； 【详解】 解：既是中心对称图形也是轴对称图形； 既是中心对称图形也是轴对称图形； 是中心对称图形，不是轴对称图形； 既是中心对称图形也是轴对称图形； 6．(2026·山东济宁市邹城市·一模)下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 7．(2026·山东青岛市崂山区·一模)在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，，又根据旋转得，点落在轴的正半轴上，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵将点绕原点按顺时针方向旋转到， ∴，点落在轴的正半轴上， ∴． 8．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 9．(2026·山东枣庄市·一模)如图，将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点E落在边上，且，若，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，掌握弧长公式是解题的关键． 连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据旋转的性质、矩形的性质求出，即旋转角为，，即弧对应的半径为，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    由旋转可知，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，即旋转角为， ， 又， ， 弧的长为． 故选：B． 10．(2026·山东省滨州市·一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为(    )． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解． 【详解】解：如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D， 则BD⊥AB′， ∵∠C=90°，AC=BC=， ∴AB==2， ∴BD=2×=， C′D=×2=1， ∴BC′=BD-C′D=-1． 故选B． 11．(2026·山东省聊城市·一模)如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值，再利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值， ∵矩形中，，的半径为， ∴，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴最小值为． 12．(2026·山东省聊城市·一模)嘉嘉在平面直角坐标系中设计了一个跳棋游戏，将棋子从点开始，第一次跳到与点关于点对称的点处，第二次跳到与点关于点对称的点处，第三次跳到与点关于点对称的点处，第四次跳到与点关于点对称的点处，第五次跳到与点关于点对称的点处…按此规律跳下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用点对称的中点性质求出前几个点的坐标，找出坐标循环规律，再通过计算余数得到目标点的坐标． 【详解】解：∵若点关于对称的点为，根据对称中心是两点中点，可得，． 依次计算各点坐标：初始点， 第一次跳动得， 第二次跳动得， 第三次跳动得， 第四次跳动得， 第五次跳动得， 第六次跳动得， ∴坐标每次跳动为一个循环，回到初始坐标． ，余数为， 的坐标与相同，为． 13．(2026·山东省青岛市·一模)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，，然后利用解直角三角形求得点坐标，接着求出第1次旋转后，第2次旋转后，第3次旋转后，第4次旋转后，发现 4次为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵边长为2的正六边形的中心与原点重合， ，； ， 是等边三角形， ， ∵， ， ∵轴，， ∴， ，， ； ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第1次旋转，得，第2次旋转，得，第3次旋转，得，第4次旋转，得， 4次为一个循环， ， ∴第2026次旋转结束时，点的对应点的坐标与相同， 即为． 14．(2026·山东济宁市泗水县·一模)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片．如图以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点逆时针转动，则第秒时；点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质找到规律，点的坐标以每秒为一个周期依次循环，进而得出第秒，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图， ，叶片每秒绕原点逆时针转动， ，，，，…， 点的坐标以每秒为一个周期依次循环， ， 第秒时点的对应点的坐标为． 15.(2026·山东济宁市曲阜市·一模)如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转一周得到，是的中点，是的中点，连接，若，，在旋转的过程中线段的最大值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，锐角三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，在中，利用可求得，根据含角的直角三角形的性质可得，由旋转的性质可知，，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，，从而根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ，即， ， ， 由旋转的性质可得，，， 是的中点是的中点， ，， 又，即， 的最大值为6（此时P，C，M三点共线）． 16．(2026·山东省济宁市曲阜市·一模) 若点与点关于轴对称，则 _____． 【答案】5 【分析】根据关于轴对称的点的特征，得出、的值，求解即可． 【详解】解：根据关于轴对称的点的特征， 可得，， ∴． 17．(2026·山东省德州市天衢新区·一模) 已知点关于原点的对称点为点，则______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了负整数指数幂、关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数列式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ， 解得，， ∴． 故答案为：． 18．(2026·山东省临沂市郯城县·一模) 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，P为x轴上的一动点，则与的差的最大值为______． 【答案】5 【分析】根据坐标，求出，当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，易得；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点为x轴上的动点， 当点是直线与x轴的交点时，即三点共线，则；当点不是直线与x轴的交点时，即三点不共线，则在中，； 与的差的最大值为． 19．(2026·山东省德州市天衢新区·一模) 如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接、，由旋转的性质可得等边三角形，可得，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴． 20．(2026·山东省济南市·一模)把两个等腰直角和按如图1所示的位置摆放，，将绕点按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为． (1)求证：． (2)如图3，若点在线段上，且，，求的长． (3)当旋转角 时，的面积最大． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；掌握旋转的性质是解题关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，，，求得即可证明； （2）过点作于，由可得，由等腰三角形三线合一的性质可得，由求得，再由勾股定理求得即可解答； （3）根据点轨迹可得当时，面积最大，由旋转的性质求得即可． 【详解】（1）证明：，都是等腰直角三角形， ，，， 则， ， ； （2）解：如图，过点作于， 由（1）证明同理可得， ， 是等腰直角三角形，， 是斜边中线， ， 在中，，， ， 在中，， ， ； （3）解：点轨迹在以为圆心，为半径的圆上， 的长度为定值， 的长度为定值， 底边上的高， 当时，面积最大，即点在直线上， 如图当时，，面积最大， 如图，当时，，面积最大， 当为或时，面积最大； 故答案为：或． 21．(2026·山东省济南市商河县·一模) 综合与探究【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，，均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？    【初步探究】 （1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，，，．求证：．    【类比探究】 （2）如图2，在边长为3的正方形中，点，分别是，上的点，且．连接，，，若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）8 【分析】（1）证明即可； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图：证出，得出，然后设，利用勾股定理列方程解出x，即可得解； （3）如图，过作，且，连接，并延长交于，先证明，然后再求出，的值即可得解． 【详解】（1）， ， ，， ， ； （2）四边形是正方形， ， 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图： ， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即：， ，边长为3的正方形， ，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； （3）的长为8， 如图，过作，且，连接，并延长交于， ∴， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 22．(2026·山东日照东港区开发区中学·一模)综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接、，在纸片绕点C旋转过程中，求的值． 【尝试证明】（2）如图2，在纸片绕点C旋转过程中，当点E恰好落在的中线 的延长线上时，求证：． 【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理可得，再由，可得，然后根据，可得，即可求解； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可求证； （3）先证明，可得，从而得到，进而得到，再根据，可得，从而得到，在中，利用锐角三角函数解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 23．(2026·山东东营市利津县·一模) 在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 【观察发现】： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深度探究】： (2)如图2，当点在线段（D点不在中点）上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】： (3)当点在线段或线段的延长线上时，连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的长度为或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到、，由旋转的性质得到、，进而得到且，则四边形是平行四边形，利用、，得出四边形是正方形； （2）连接，易证明，则、，进而得到，进而得到，根据等腰直角三角形的性质得到，点F是的中点，进而得到是的中位线，即，从而得出结论； （3）分情况讨论：当①点D在线段的延长线上或②点D在线段的延长线上时，连接，过点A作于点M，同（2）可证明，根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而证得为等边三角形，利用角之间的和差关系求出，在中，，利用、、间的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下： ，，点是的中点， 、， ， 由旋转知，、， 、， ， 四边形是平行四边形， 、， 平行四边形是正方形； （2）解：，理由如下： 连接， 由（1）知，， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 即， ， ， ， 、， 点F是的中点， 是的中位线， ， ； （3）解：的长度为或，理由如下： ①当点D在线段的延长线上时， 如图，连接，过点A作于点M， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 由（1）知，， ， ， 、、， 、， 、点是中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ； ②当点D在线段的延长线上时， 如图，连接，过点A作于点M， 同①证明为等边三角形， ， ， ， 由①可知，， 在中，， ， ． 24．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 几何综合 【方法尝试】 (1)如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：； 【类比迁移】 (2)如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，． 请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 当点，，在同一直线上时，求线段的长； 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)见解析； (2) ，，见解析；线段的长为或； (3)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）延长交于点，由四边形是矩形，则，通过旋转的性质可知，可得，从而求证； （）延长分别交于点，交于点，证明，所以 ，，从而求解； 分当点落在线段上时，当点在线段上时两种情况求解即可； （）过点作，使得 ，取的中点，连接，，，，证明，则，所以，由勾股定理得，又，从而可得最大值为，当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，再代入即可求解 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴； （2）解： ，，理由： 如图，延长分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，； 如图，当点落在线段上时，设， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴； 如图，当点在线段上时， 设，则，， ∵， ∴， 整理得，， ∴，（舍去）， ∴， ∴综上所述，线段的长为或； （3）解：如图，过点作，使得，取的中点，连接，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即最大值为， ∴当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值， ∴． 25．(2026·山东聊城市东阿县·一模) 定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中， ，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是________（填序号）； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，在等边中，点D为过点A的中线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】 如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形， ，以点A为顶点的，与边分别交于E，F两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】 如图4，四边形为直菱四边形， ，，连接，若作，且，连接并延长交于点F，交于点M，求的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据直菱四边形的定义，逐个分析判断即可； （2）先推导出平分，得到，证明为等边三角形，进而推导出，得到，求出，即可解答； （3）先求出，将绕点A顺时针旋转得到，推导出，得到M，B，E三点共线，进而证明，得到，则，即可解答； （4）连接，作于点G，先求出，得到，推导出，证明，得到 ， ，求出，推导出点D，M，B，C共圆，得到，，可求出，，则，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：①平行四边形的邻边不一定相等，不符合直菱四边形的定义； ②矩形的邻边不一定相等，不符合直菱四边形的定义； ③菱形的四边相等，但内角不一定为直角，不符合直菱四边形的定义； ④正方形的四边相等，四个内角都为直角，根据新定义可得：正方形一定是直菱四边形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵点D为中线上一点， ∴平分， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴四边形是直菱四边形． （3）解：结论：． 理由如下： ∵四边形是对角互补的直菱四边形，， ∴． 如图1，将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴M，B，E三点共线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （4）解：如图2，连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， 即， ∴． ∵， ∴点D，M，B，C共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 26．(2026·山东济宁任城区·一模)综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．． ，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到． 操作发现： （1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由； （2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）四边形为平行四边形，见解析；（3） 【分析】（1）根据平移的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可； （2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． （3）证明是的中位线，，后利用正切函数，勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）理由如下：如解图， 是的中点，根据勾股定理，得， ， 由平移的性质，得， ， 为的中点， 又为直角三角形， ． （2）证明：四边形为平行四边形， 证明如下： 由旋转的性质，得， 在中， 是的中点， ， ． 由题图①得， ， 根据旋转的性质，可得， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：， ， ． ， ． ， ， ， 为的中点， 是的中位线， ， ， ， ． ， ． 由（1）知，， 则， ， ， ， 在中，由勾股定理得，． 27．(2026·山东省济南市市·一模)根据题目条件，完成下列各题 (1)【拓展探究】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系． 如图2，小明同学解题思路和理由如下： 如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴①______， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵，∴②______． 请完成填空：①______；②______； (2)【类比分析】老师发现小明同学通过构造全等三角形，将要证明的线段进行转化．为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师将图1进行变换，并提出下面的问题，请你解答． 如图3，在等腰中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接交边于点F．求证：； (3)【学以致用】如图4，在中，，，，点E，F分别在边上，，，求线段的长． 【答案】(1)①FB；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，则．进一步即可证明结论； （2）在上截取，连接．证明，则，，得到，根据即可得到结论； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，，证明，得到，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，在BC上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴②． 故答案为：①；② （2）证明：在上截取，连接． ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． ∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴∽， ∴， 设， 则， ∴，解得：， ∴． 28．(2026·青岛市西海岸新区·一模)【构建新定义】 在平面中，如果将一个三角形先进行一次轴对称，再进行一次平移变换后，与另一个三角形能完全重合，那么我们称这两个三角形互为“镜移三角形”，并将轴对称变换中的对称轴称为“镜移轴”． 【理解新定义】 (1)如图1，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，且，．请写出图中的一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”：____． 【应用新定义】 (2)如图2，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作的垂线，垂足为F，交于点M，过点E作的垂线，垂足为N，与互为“镜移三角形”，若的面积为2，则的面积为____． 【拓展新定义】 (3)如图3，在矩形中，，，E是的中点，F是的中点，那么与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为____；若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为____． 【答案】(1)与（答案不唯一） (2) (3)， 【分析】（1）根据“镜移三角形”的定义判断即可； （2）根据“镜移三角形”的定义和相似三角形的性质可得的面积； （3）两个三角形可以通过平移重合，首先两个三角形要是全等三角形，其次要两个三角形对应边平行且方向相同或者在一条直线上，或者是两个三角形对应点的连线平行且相等，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作与关于成轴对称，连接，连接交于点， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ， ∵，， ，， ， ∴点为中点，点为中点， ∵，点D是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：，， ∴，且对应点的连线互相平行且相等，即，， ∴将沿着方向平移的长度即可与重合， ∴与是一对以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”． （2）解：∵与互为“镜移三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接， ∵F是的中点，，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴与关于对称， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，、在同一条直线上， ∴与全等，且对应边平行且方向一致， ∴沿着方向平移4即可与重合， ∴与是以所在的直线为“镜移轴”的“镜移三角形”， ∵四边形是正方形， ∴， ∴与的其他“镜移轴”都与平行，即与的“镜移轴”与直线所夹的锐角为， 取的中点，作交于， ∴即为与过的中点的“镜移轴” 过作交于点，过作交延长线于， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴关于对称， 同理：关于对称， ∴作与关于对称，点、点在直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴与全等，且对应边平行方向相同或者在同一条直线上， ∴沿着方向平移的长度即可与重合， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． 综上：与互为“镜移三角形”，则其“镜移轴”与直线所夹的锐角为，若“镜移轴”过的中点，则平移的距离为． 29．(2026·山东济南市章丘区·一模) 图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． (1)【知识技能】 如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，请计算正方形的周长． (2)【教学理解】 如图，在正方形中，分别是边上的点，．连接分别是线段上的点，连接，且（点均不与端点重合）．请猜想线段的数量关系，并说明理由． (3)【拓展研究】 如图，是正方形的对角线，分别为线段上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接，求的值． 【答案】(1)①见解析，成立；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）①用旋转构造全等，把旋转为，通过角度和边的等量关系，用证，得出；②结合勾股定理算出，利用①的结论和边长关系求出正方形边长的2倍为30，进而得到周长为； （）通过旋转构造全等，将旋转为，证得，得到；再利用平行四边形性质推得，结合勾股定理，最终证得； （）借助正方形与等腰直角三角形的性质，结合中位线定理得到线段关系，再通过旋转构造等腰直角三角形，利用角度推导证明三角形相似，最终得出的结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转至， ∴， ∴， ∴点在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②解：∵， ， ∴， ∴， ∴正方形的周长为． （2）解：，理由如下： 将绕点逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：过作于，连接，设交于，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴为中点，是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即的值为． 尺规作图 考点02 1．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)观察下列作图痕迹，所作为的边上的中线是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图的痕迹，逐个选项分析即可． 【详解】解：对于选项A：由作图痕迹可知，是边上的高线，故A错误； 对于选项B：由作图痕迹可知，点是的中点，即是边上的中线，故B正确； 对于选项C：由作图痕迹可知，是的角平分线，故C错误； 对于选项D：作图痕迹不满足基础作图要求，故D错误． 2．(2026·山东省德州市临邑县·一模)如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得出，再根据线段垂直平分线的性质，得出，进一步得出，最后根据角的和差关系，进行解答即可． 【详解】解： ，， ． 由题意可知，垂直平分， ， ， ． 3．(2026·山东德州庆云县·一模)如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 4．(2026·山东东营市利津县·一模) 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M，    由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 5．(2026·山东临沂市郯城县·一模) 如图，在中，，，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N．分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点P，作射线交于D．E为的中点，交于点F．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】如图，过点D作于点G，连接，由角平分线得到，，然后由三线合一得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点G，连接 由作图得，平分 ∴ ∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 6．(2026·山东省聊城市东阿县·一模) 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（    ） A．9 B．6 C．10 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的关键． 连接、，设交于点，根据题意证明四边形是菱形，从而得出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，设交于点， 由题意可知，是的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以为圆心，长为半径画弧，交于点， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 故选：A． 7．(2026·山东省济南市莱芜区·)如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交，于点E，F，连接和，若，，以下4个结论正确的个数是（   ） ①，        ②四边形是菱形， ③，    ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设交于点，根据矩形的性质得到，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，即可判断②；在中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求出进而判断①；解直角三角形得到，即可判断③；然后菱形面积求出，即可判断④． 【详解】解：设交于点 四边形是矩形， ，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ，，，， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确； 在中，， ∴，故①错误； ∴， ∴ ∴，故③正确； ∴， 是的垂直平分线， ∵ ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的个数是3． 8．(2026·山东省济南市槐荫区·一模) 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 9．(2026·山东省德州市天衢新区·一模) 如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．(2026·山东省聊城市冠县·一模) 如图，以O为圆心，为半径作弧，分别交，于点C，D，再分别以C，D为圆心长为半径作弧，两弧交于点E，连接，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，以及勾股定理，灵活运用菱形的性质和判定是解题的关键． 先判定出四边形是菱形，借助菱形的性质推出，，进而得出，最后再利用勾股定理和菱形性质即可求出． 【详解】解：连接，交于点F， 由题可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴ 故答案为：． 11.(2026·山东省济宁市任城区·一模) 如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，求的长． 【答案】2 【分析】由矩形的性质得到，，，则由勾股定理可得，证明，得到，证明，得到，据此代入数值求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， ， 由作图过程知平分，则， ， ， 又 ， ， ， ∴， ， ， ，即， ． 12．(2026·山东省山东日照市高新区·一模) 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点作于点，通过正方形的性质，证明为等腰直角三角形，得到，接着通过证明，得到，则可得求得，即求得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由作图可知：平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．(2026·山东青岛市市南区·一模)已知：和一边上的点B 求作：，满足是它的一个内角，且对角线． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作垂线、作平行四边形，熟练掌握尺规作图和平行四边形的判定是解题关键． 先过点作另一边的垂线，使得，再分别以点、为圆心，、为半径画弧，两弧在的内部交于点，连接，可得，则四边形是平行四边形，由此即可得． 【详解】解：如图，即为所求． ． 14．(2026·山东省青岛莱西市·一模)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 【答案】见解析 【分析】本题考查基本作图，首先作出的角平分线，再作出的垂直平分线，两线的交点就是圆心，再以为圆心，长为半径画圆即可．掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键． 【详解】解：如图所示： 15．(2026·山东省青岛市市·一模)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图：四边形 求作：点，使点到、两边的距离相等且最短． 【答案】见解析 【分析】延长交于点Q，作的平分线，过点C作的垂线交于点P，即可． 【详解】解：点P即为所求． 15．(2026·山东省青岛市崂山区·一模) 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：矩形，使它的对角线，交于点O，且，． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质，结合，得到为等边三角形，作线段的中点，作线段，以为圆心，为半径画圆，确定点，再以为圆心，为半径画圆，与的交点，确定点，点，连接，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形，即可得到矩形. 【详解】解：如图，矩形即为所求； 16．(2026·山东临沂沂水县·)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，连接DE，证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据证明得到，进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，为所作的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由(1)知： 在和中 ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 17．(2026·山东省山东菏泽市巨野县·一模) 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；③分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，作直线，分别交，于点． (1)判断四边形形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是正方形，见解析 (2) 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键； （1）先证明，从而证明四边形是菱形，进而证明结论； （2）先证明，设正方形的边长为，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： 由作法得垂直平分平分， 垂直平分， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形． （2）解：四边形是正方形， ， ， ， 设正方形的边长为， ， ， 解得，即． 18．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模) 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：如图，   ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 19．(2026·山东省济宁市邹城市·一模) 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E． (1)求的度数； (2)若，求由线段，和围成的图形的面积． 【答案】(1) (2)所求图形面积为 【分析】（1）结合已知条件利用三角形内角和定理求出的度数，再由作图可得平分，得到，最后利用三角形外角的性质即可得解； （2）利用解含30度的直角三角形得到，结合已知条件利用勾股定理求得的长度，由可得出，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式即可得解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由作图可得平分， ， ，， ． （2）解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ∴所求图形面积． 20．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模) 如图，矩形中，． (1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求（1）中所作的正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形； （2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形． 由作图可知，，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）由（1）知：，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ． ， ． 又， ， ，即， ． 在中，， ， ∴正方形EFGH的边长为． 投影与视图 考点03 1．(2026·山东临沂沂水县·)在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 2．(2026·山东省临沂市郯城县·一模) 中国古代数学著作《九章算术》卷五的第二十一题中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池及其俯视图，则其主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 根据主视图定义即可求解． 【详解】 解：其主视图为：， 故选：C． 3．(2026·山东省淄博市·一模)如图所示的几何体，从上面观察这个图形，得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解即可． 【详解】解：由图可知：从上面观察这个图形，得到的平面图形是： ； 故选D． 4．(2026·山东省聊城市东阿县·一模) 如图是生活中常见的管件“三通”，它的左视图是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，三通的左视图为． 5．(2026·山东省淄博市·一模)如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 6．(2026·山东省聊城市冠县·一模)如图是一种六角螺栓的示意图，其左视图为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 【详解】解：从左面看，底层是两个相邻的矩形，上层中间是一个矩形． 故选：D． 7．(2026·山东省青岛市崂山区·一模)若一种机器零部件如图所示，则该零部件的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图是从左面看到的图形，进行求解即可． 【详解】解：该零部件的左视图为： 8．(2026·山东省潍坊市·一模)如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 9．(2026·山东省滨州市滨城区·一模)方斗承礼，竹韵传心．某非遗工坊以传统竹编技艺制作四方收纳斗，造型取自古代礼器“方斗”．如图，该收纳斗的形状可抽象为无上底面的正四棱台（上底面为大正方形，下底面为小正方形，侧面为等腰梯形），无额外底座，整体简约雅致．则这个正四棱台的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得答案． 【详解】解：从上面看的图形是一个正方形，该正方形的中间还有一个正方形，且两个正方形的对应顶点之间有实线连接，即看到的图形如下： ． 10．(2026·山东省聊城市·一模)高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到以上．如图是一种高铝拱角砖的示意图，其形状为五棱柱．若其主视图为五边形，则它的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据左视图的定义即从物体左边看到的平面图形，中间线段看不到，故为虚线． 【详解】解：该几何体的左视图为： 11．(2026·山东省聊城市东阿县·一模)如图，该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是指从上面往下面看到的图形进行分析，作答即可． 【详解】 解：依题意，该几何体的俯视图是， 故选：C． 12．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)六角井是我国常见的竖井样式，其结构示意图如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：图形的俯视图为． 13．(2026·山东省青岛市市南区·一模)如图所示的几何体的俯视图是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由立体图形的特点及三视图的特点分析即可求解．注意立体图形中存在的线段，看得见的用实线，看不见的用虚线表示． 【详解】解：根据俯视图是从上往下看，可知几何体的俯视图如下， ，故选项D符合题意． 14．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定即可． 【详解】解：从正面看，主视图为 15．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 16．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 17．(2026·山东省东营市利津县·一模)如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的周长为，由勾股定理求得圆锥的母线长，进而即可求解． 【详解】提示：该物体为圆锥，底面周长为， 母线长为， 侧面展开图的面积为． 18.(2026·山东省德州市临邑县·一模)某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，该物体可能是 故选B． 19．(2026·山东省济宁市邹城市·一模)如图所示的几何体是由5个完全相同的棱长为1的小正方体搭成，其左视图和俯视图的面积和是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】画出它的左视图和俯视图，进而求出左视图和俯视图的面积和，即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 俯视图为： ， 其左视图和俯视图的面积和是． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $