专题05四边形（6大考点）（山东专用）2026年中考数学一模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 ☆6大考点概览 考点01多边形 考点02平行四边形 考点03平行四边形 考点04菱形 考点05矩形 考点06正方形 考点01 多边形 1,(2026山东青岛市市南区一模)如图，直线l1l2,正五边形ABCDE的顶点A,B分别落在L1,L2上.若 ∠1=25°，则∠2的度数为() E 02 B A.47° B.58 C.61 D.75 2.(2026山东省青岛市市一模)在正五边形ABCDE的外部，以AB为边作正六边形.AB1C1D1FB,连接CF, 则∠BCF的度数为 B D B 3,(2026山东青岛市崂山区一模)如图，一个正六边形ABCDEP的边长为3，连接对角线AC,BD,交于点 P,则的值为 1/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02 平行四边形 4,(25-26山东日照东港区开发区中学.一模)点E是口ABCD对角线DB上一点，连接AE并延长至点F,使 AE=EF,交BC于点G,连接CP.若CG=3BG,DB=3,则CF的长为 G 5,(2026山东省德州市乐陵市一模)如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，点E在AD边上，AE=1, 点M、N在对角线BD上，MN=2,连接AM、EN,则AM+EN的最小值是 D B 6.(2026山东省济南市·一模)BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E,BF⊥CD于 点F,DE、BF相交于点H,直线BF交线段AD的延长线于点G,下列结论：①CE=BE;②LA=∠BHE;③ AB=BH;④∠BHD=2LBDG,其中正确的结论是 E F G O 7.(2026山东省青岛莱西市一模)如图，在口ABCD中，AB=2,BC=3,∠B=60°，P是BC边上的动点 (BP>1),将△ABP沿AP翻折得△ABP,射线PB与射线AD交于点E.下列说法(1)当AB'⊥AB时，B'A= BE;(2)当点B落在AD上时，.四边形ABPB是菱形；(3)在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2； 2/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)连接BB',则四边形ABPB'的面积始终等于AP·BB.其中正确的序号有· E D 8.(25-26山东日照东港区新营中学.一模)如图(1)，在口ABCD中，动点P,Q同时从点A出发，点P以每 秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q沿折线ADCB向终点B匀速运动，点P,Q同时到达终点 B,设运动时间为x秒，△APQ的面积为y,己知y与x之间的函数关系图象如图(2)所示，则下列结论中 正确的是() D 0 B 图1) 图(2) A.AB的长为6 B,点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C.四边形ABCD的面积为32 D,曲线WG段是函数y=-3x2+12x的图象的一部分 9,(2026山东青岛市市南区一模)己知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA,DC到点E,H,使得 BE=2AB,DH=2CD.连接EH,分别交AD,BC于点F,G. (I)求证：AF=CG; (②)连接BD交EH于点O,若EH⊥BD,则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正 方形？并说明理由、 10.(2026山东省青岛莱西市一模)如图1，在口ABCD中，E为BC上一点，使BE=BC,过点A作AFIBE交CE 的延长线于点F,连接DF, 3/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 (I)求证：△ABE兰△FDA; (2)如图2，连接AC交BE于点G,若BG=AF,求证：四边形CDFG是菱形. 11.(2026山东省青岛市·一模)如图，在口ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，DM‖AE,交EF的延长线 于点M. (I)求证：△AEF≌△DMF: (②)已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AEDM的形状，并证明你的结 论.（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分》 条件①：AE平分LBAD: 条件②：AD=2AB. 12.(2026山东青岛市市南区，一模)如图，已知：Rt△ABC,∠ABC-90°，AB=8cm,BC=6cm,D是AC边上 的中点，过点C作AC的垂线CE,过点D作BC的平行线，交CE于点E,点Q从点E出发沿ED方向往点D匀速运 动，速度为2cm/s,同时点P从点B出发沿BC方向往点C匀速运动，速度为1cm/s.连接PQ,过点Q作QH⊥CE 于点H,连接PH,F是线段CE的中点，设运动时间为t(s),解答下列问题： D Q H (I)当四边形QPCE为平行四边形时，求t的值； 4/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设△PQH的面积为S,求出S与t的函数关系式： (3)是否存在某一时刻t,使A,Q,F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由、 13.(2026山东省青岛市市一模)如图，已知平行四边形ABCD,BC=8,CD=10,DB⊥BC,延长CB到E, 使BE=AB,连接AE.点Q从C出发，沿CD方向匀速运动，速度为2单位长度/S,同时点P从E出发，沿EC 方向匀速运动，速度为3单位/s,连接P、Q,设运动时间为t(s)(0<t<5), D B 备用图 解答下列问题： (I)当△PQC是直角三角形时，求t的值； (2)连接AP、AQ,设△APQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式； (3)线段PQ与AB相交于M,在运动的过程中是否存在某一时刻t,使得∠PMB=120°，若存在，求出t;若不 存在，请说明理由， 14.(2026山东临沂沂水县一模)如图，在口ABCD中，AB=6,AD=8,∠B=60°.动点M,N分别在边 AB,AD上，且AM=AN,以MN为边作等边△MNP,使点P始终在口ABCD的内部或边上.当△MNP的面 积最大时，DN的长为 B 15.(2026山东省青岛市市一模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，延长BC到点E, 使得CE=BC,连接DE,点F是DE的中点，连接CF. B (I)求证：四边形ADEC是平行四边形； (②)条件：①四边形ABCD是矩形： ②四边形ABCD是菱形 5/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形0DFC的形状（两个都写以第一个为准）. 16.(2026山东省临沂市·一模)如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，∠CAB=∠ACB,过点B作 BE⊥AB交AC于点E. D (I)求证：AC⊥BD; (2)若AB=10,AC=16,求0E的长. 17.(2026九山东青岛南区，一模)己知：如图，在口ABCD中，AC与BD交于点O,AGIDB交CB的延长线于G, E为AG中点，连接BE. D (1)求证：△ADO兰△BGE; (2)若∠DAG=2LADB,BC=BD,请判断四边形AOBE的形状，并证明你的结论， 18.(2026山东临沂沂水县.一模)在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E,用纸片做一个三角形B1C1 E1,使得△B1C1E1兰△BCE.将三角形纸片B1C1E1和平行四边形ABCD进行如下操作：①将三角形纸片B1 C1E1置于平行四边形ABCD内部，使得点B1与点B重合，点E1在线段AB上，延长BC1交线段AD于点F,如图 1所示；②连接CC1,过点C作直线CN⊥CD交射线E1E于点N,如图2所示；③在边AB上取一点G,分别连 接BD,DG,FG,如图3所示. 请解决下列问题： D D E E B(B) E BB) B(B) 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：BF⊥AD; 6/28 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，求证：△CNM≌△C1E1M; (3)如图3，若AB=2V7,AD=V7,AF=1,FG BD,求∠AGD的度数. 考点03 菱形 1.(2026山东枣庄市一模)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE 沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() B A.2 B.6-3V2 C.2W2 D.6W2-6 2.(2026山东青岛通济实验学校一模)如图，在菱形ABCD中，AD=5,tanB=2,E是AB上一点，将菱形 ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B'、C',当LBEB'=90时，则点C到BC的距离是() B B A.5+V5 B.2V5+2 C.6 D.35 3.(2026山东淄博市淄川区一模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120,AB=V3,E是BC延长线上一点，AE 交CD于点F,连接BF并延长交DE于点G,则线段BG长度的取值范围是() D B A.V3<BG≤2B.9<BG≤2 C.1<BG≤2 D.号<BG≤1 4,(2026山东菏泽市巨野县.一模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=45°，AB=6,点E、F、G分别是AB、 BC、DC上的点，其中BE=DG=2,BF=1,点P从E点出发，以每秒2个单位长度沿折线EA-AD-DG 运动点Q以每秒1个单位沿折线FC-CG运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动，设△BPQ的 面积为S,点P,Q的运动时间为t秒，则S与t的函数关系的大致图象是() 7/28 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D P E B FO 2 2 0256 02 56 A B 2 2 2 2 0256t 0256t C. D 5.(2026山东济宁市泗水县一模)如图，菱形ABCD的边长为12，sin2BAC=?,则对角线BD的长为 A B 6.(2026山东枣庄市·一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=12,E是AB边上任意一点，F为BC边上 一动点，连接DE、EF,M、N分别为DE,EF的中点，则MN的最小值是 D E B 8/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026山东日照东港区新营中学.一模)如图，在菱形ABCD中，点P为DC边上一动点，作点D关于线段AP 的对称点E.取线段AE的中点F,连接DF,过点E作EG垂直射线CB于点G.若AD=6,∠ABC=120°，则 DF+EG的最小值为 Q G 8.(2026山东济宁市邹城市·一模)如图，己知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，进行如下操作第一次， 顺次连接菱形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1;第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点， 得到四边形A2B2C2D2;…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A.B.C.Dn的面积是 D D B B 9,(2026山东省淄博市·一模)如图，在菱形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点 F (I)求证：BC=FC, (②)若AB=2,且AE⊥CD,求AF的长. 10.(2026山东淄博高新区一模)如图，在口ABCD中，AB=AC,过点D作AC的平行线与BA的延长线相交 于点E. 9/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：四边形ACDE是菱形； (2)连接CE,若AB=5,tanB=2,求CE的长. 11.(2026山东省济南市·一模)如图1，菱形ABCD中，P是对角线BD上的点，点E在AB上，且PA=PE. (I)求证：PC=PE; (2)写出LCPE与∠ABC之间的数量关系，再说明理由 12.(2026山东聊城市冠县一模)如图在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋 转a交直线CD于点F. D A D E B 图① 图② (1)如图①.若四边形ABCD为菱形，∠B=60°，a=60°，则AE与AF之间的数量关系是 (2)如图②，若四边形ABCD为正方形，a=45°，连接EF,当点E在BC的延长线上时，试猜想线段BE、DF 与EF之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形ABCD为正方形，a=45,连接EF,当AB=4,BE=BC时，请直接写出EF的长. 13.(2026山东青岛南区一模)已知：在菱形ABCD中，AC与BD交于点0，AC=16cm,BD=12cm,点P 从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；同时，点E从点O出发，以1cm/s的速度沿OB向点B匀速 移动，E绕O点顺时针旋转的对应点Q恰好落在OA上；当P移动到B时停止移动，E也随之停止移动.延长PO 与DC交于点F,连接PQ,PE,EQ,EF,FQ,设移动时间为t(s). 10/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)当t为何值时，四边形APFD为平行四边形？ (2)设四边形PEFQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，EQ⊥PF? (4)当t为何值时，∠BAC=∠PQE? 考点04 矩形 1,(2026山东青岛市崂山区一模)如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,P是AB上的动点，PM1AC于 点M,PN⊥BD于点N,则PM+PN的值为() D A.3 B.5 c.35 D.5 2.(2026山东滕州滕南中学一模)在矩形ABCD中，P为对角线BD上与B,D不重合的一个动点，过点P作 PE⊥BC垂足为E,PF⊥DC垂足为F,连接EF,若AB=6,BC=8,则EF的最小值为 D B 3.(2026山东聊城市东阿县实验中学.一模)如图，在矩形ABCD中的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折， 使得C恰好落在AD边上点F处，在AF上取一点G,使得AG=DF,连接BG并延长交直线EF于点H,当△BHE 为等腰三角形时，则需的值为 11/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D B 4,(2026山东德州市临邑县一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B,D分 别在y轴上，AB交x轴于点E,AFx轴，垂足为F,若OE-3,EF=1,则点C的坐标是() B A.(-4,-2)B.(-4,-1) C.(-4,-V2) D.(-4,-3) 5.(2026山东省聊城市东阿县高集中学)如图，在矩形ABCD中，点E为边BC的中点，连接DE,△DCE沿 DE折叠，点C落在矩形内部，点C的对应点为F,连接BF,若AD=I0,tanBFE=2,则BF的长为() B A.2V5 B.2 C.4 D.V17 6.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD 沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是· y D E 7.(2026山东青岛市市南区一模如图，将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE,EF为折痕，AB=V3, ∠BAE=30°.折叠后，点B落在EC1边上的B1处，点C落在AD边上的C1处.则BC=· 12/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C E 8.(2026·山东省青岛市一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是BC边上一点，连接DE,把∠C沿 DE折叠，使点C落在点C'处，当△BEC'为直角三角形时，CE的长为 A D C B E 9.(2026山东济南市商河县·一模)在矩形ABCD中，AB=3,BC=8,点E在边BC上，且CE=3,将矩形沿 过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C'、D,折痕与边AD交于点F,当点B、C'、D'恰好在同一直 线上且∠FEC≤90时，DF的长为 D' ---D E 10.(2026山东德州市临邑县·一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AD=10,AB=8,将AB沿AE翻折，使 点B落在B处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB上的点C处，EF为折痕，连接A C'.若CF=3,则tanB'AC'=· B BL E 11.(2026山东德州市德城区一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=V2,AD=2,E为边AD的中点，点F在 边CD上，连接EF,将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D',连接BD'.若BD'=2,则DF=· A D B 13/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026山东济南市章丘区一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片0ABC的顶点C,A分别在x轴， y轴的正半轴上，点B的坐标为(4,6)，D是线段OA上的动点，连接BD,过点D作DE⊥BD与x轴相交于 E.将△DOE沿DE翻折，使点O落在点O'处，连接BO,当△BDO'为以BD为腰的等腰三角形时，点D的 坐标为· OE C 13.(2026山东省济南市市.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E,F分别在边AD,BC上， 将四边形ABFE沿EF翻折，点A的对应点是H,点B的对应点G恰好落在CD边上，连接BH,当3BH+4EF 取最小值时，FG的长为一· 14.(2026山东菏泽市东明县.一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上一个动点（不与点A、 B重合)，过点D作DENBC,DFIAC,分别交AC、BC于点E、F,连结EF, (I)求证：四边形ECFD是矩形： (②)若CB=2,CA=4,求EF的最小值. 15.(2026九山东青岛胶州李哥庄中学)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，CEAD,AE⊥AD, EF⊥AC E B D (I)求证：四边形ADCE是矩形； 14/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若BC=6,CE=4,求EF的长， 16.(2026山东德州市齐河县.一模)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE⊥DF, 垂足为点G,求证：△ADE一△DCF D D G G C 图1 图2 图3 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连 接DH.求证：∠ADF=∠H. 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°，求CF 的长， 17.(2026山东滨州市博兴县.一模)【教材再现】 (I)如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.求证：BE=DF, BE⊥DF. 【纵向探变】 (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得到△BEG,延 长DG和BC相交于点F,若CE=2DE,求FG的长. 【横向拓展】 (3)保持(2)中AB,AD的大小不变，扭动矩形，使得LA=120°，如图③所示.E是CD边上一点且满足 CE=2DE,点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G,当线段DF与射线BE所夹的锐角为60时，直 接写出DGDF的值. B 图① 图② 图③ 15/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(2026山东省青岛市一模)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6.点P从点A出发，沿AB方向以每秒1 个单位长度的速度向点B运动点Q同时从点B出发，沿BC方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动.当点 Q到达点C时，P,Q同时停止运动.设运动时间为t秒(0<t≤3).连接PQ,将线段PQ绕点P按逆时针方向 旋转90°得到线段PE,PE与AD相交于点F,连接EQ,FQ.解答下列问题： B B 备用图 (I)当EQ CD时，求t的值； (2)设四边形APQF的面积为S,求S关于t的函数表达式；并求出四边形APQF面积的最小值； (3)是否存在某一时刻t,使得线段EQ经过点D？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由， 19.(2026·山东省济南市一模)矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,设运动时间为t(单位：s). (1)如图1，若动点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C,图2是点P运动时，APC 的面积S(cm)随时间t(秒)变化的函数图象， ①点P的运动速度是_cm/s,m+n=_; ②若PC=2PB,求t的值； (2)如图3，若点P,Q,R分别从点A,B,C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q 到达点C(即点Q与点C重合)时，三个点随之停止运动；若点P运动速度与(1)中相同，且点P,Q, R的运动速度的比为2：4：3，是否存在t,使4PBQ与QCR相似，若存在，求出所有的t的值；若不存在， 请说明理由， D D R +4 图1 图2 图3 20.(2026山东省淄博市一模)如图，矩形ABCD中，AB=10,AD=17,点E是线段BC上异于点B的一个动 点，连接AE,把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处， 16/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 备用图 (I)【初步感知】如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC. (2)【深入探究】如图2，点M在线段CD上，CM=3,点E在移动过程中，求PM的最小值， (3)【拓展运用】如图3，点W在线段AD上，AN=4,点E在移动过程中，点P在矩形内部，当P、D、N是以 DN为斜边的直角三角形时，求BE的长， 21.(2026山东德州市天衢新区一模)综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究.将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD,BC分别交于点 E,F,点C的对应点记为C,点D的对应点记为D H E 图1 图2 图3 (I)【特例探究】 角的探究：如图1，连接BC,CD与AD交于点H,当点B,C,D三点共线时，与LBFC相等的角为 (写出一个即可)； (2)线段的探究：如图2，当F为BC的中点时，点C恰好落在AD边上 ①猜想AC,DE,FC三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长DC交AB于点G,连接GF,BC',判断GF与BC的位置关系，并说明理由. (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片ABCD更换为平行四边形、∠ABC=60°，AB=2,AD=4,F为BC的中点，当CD'所在 直线垂直于平行四边形ABCD的一边所在直线时，直接写出DE的值， 22,(2026山东青岛第三十九中学.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm,连接AC,点0为AC 的中点，点E为边BC上的一个动点，连接OE,作OF⊥OE,交边AB于点F.已知点E从点B开始，以1cm/s的 速度在线段BC上移动，设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题： 17/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D D 0 E B 的 备用图① 备用图② (1)当t为何值时，OE/AB? (2)连接EF,设△OEF的面积为y(cm2),求y与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S△oEFS矩形ABcD=51384?若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由； (4)连接0B,在运动过程中，是否存在某一时刻t,使0B恰好将△OEF分成面积比为1：2的两部分？若存 在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由 考点05 正方形 1,(2026山东滕州滕南中学一模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且 DF=DC,则AF的长为() D B A,210 9 B.210 C.41o D.40 5 15 9 2.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽 弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中，AB=20,下列三个结论： ①若tan4CBH-子，则GH=4;②若Rt△ADF的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点E是DF的三等分点：③ 将△ABG绕点A逆时针旋转90得到△ADG,则BG的最大值为10W5+10.其中正确的结论是() D B A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.(2026山东省淄博市·一模)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE=1,点F在边BC上，tan 18/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LBFE=2:将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD,点P在线段EF上运动（点P可与点E,点F重 合)，作矩形PMDN,其中M,N分别在边CD,AD上，有下列结论： ①当CM=2时，MP=3; ②矩形PMDN面积的最大值为12； ③CM有两个不同的值满足矩形PMDN的面积为10. 其中，正确结论的个数有() A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2026山东东营市利津县一模)如图，在正方形ABCD内一点E,连接BE,CE,过C作CF⊥CE与BE的延 长线交于点F,连接DF,DE,且CE=CF=1,DE=V6,下列结论中：①△CBE=△CDF;②BF⊥DF;③ 点D到CF的距离为V2;④S四边形DECF=V2+1. 其中正确的结论有() A D A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 5.(2026山东省东营市模拟)如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形 AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG.以下四个结论：①LEAB=LGAD;② △AFC一△AGD;③2AE2=AH·AC;④DG⊥AC,其中正确的个数为() D G B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026山东省聊城市模拟)如图，在正方形ABCD中，AD=4,点M是AB上一点，且AM:BM=1:V2,过 点A作AN,使AN⊥DM,分别交DM、BD、BC于点E,F,N,下列结论正确的是() M A.DE=DF B.点P为DM上任意一点，则PF+PC的最小值为32 C.S△ADF=62 D,BN2=EM·DM 7.(2026山东省青岛市市·一模)如图，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，且CE=CF,连接 AE、AF交BF,DE于G、H,己知G为BF的中点，下列结论正确的有（) ①BF=DE;②连接BD,0为BD的中点，则GHBD;③SAOGH=3.5S正方形ABcD 8 B E A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.(2026山东德州市齐河县一模)如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将△ADE绕点A顺时针 旋转90°至△ABF,连接EF,AH⊥EF于点H,交BC于点G,若BG=2,CG=1,则CE的长为 D F B 9,(2026山东青岛通济实验学校·一模)如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，DE=3EC,连接AE, 过点B作BF1AB,垂足为点R,连接CP,过点F作GF1CP,交AB于点G,则需=· 20/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B C 10.(2026山东青岛第三十九中学.一模)如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF IlAD,与AC、DC分别交于点G,F,H为CG的中点，连接DE,EH,DH,FH,下列选项说法正确的有 (填序号) ①EG=DF; ②LAEH+∠ADH=180°； ③△EHF≌△DHC; ④若福=子则SEDM=13Sac y E B 11.(2026山东济南市天桥区一模)在边长为1的正方形ABCD中，BE=子，连接CE,将△CBE沿CE折叠得到 △CGE,CG交BD于点M,延长CG交AD于点F,则点G到AB的距离是 F A D G M E B 12.(2026山东枣庄市一模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，Q是AD边上的一点，且AQ=1,点P为 对角线BD上一动点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF,给出下列结论： ①EF的最小值为2；②PB2+PD2=2PA2;③△APQ周长的最小值为6. 其中正确的结论有： ·(把你认为正确结论的序号都填上) 21/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y Q D F B E C 13,(2026山东青岛南区一模)如图，边长为2的正方形ABCD中，E是BC中点，以AE为斜边在正方形ABCD 内部作等腰直角△AEF,EF与AC交于点G,连接CF,DF,以下结论：①LADF=45;②△ADF≌△CDF; ③DF LAC,-④EG=FG:⑤S四边形DcEr=其中正确的是 ·(填写序号) D E 14.(2026山东菏泽市东明县.一模)如图，点P是正方形ABCD内一点，AP=1,BP=2V2,DP=V10, △ADP绕点A顺时针旋转得到△ABP',连接PP',延长AP与BC相交于点Q. D C B D (1)求线段PP'的长； (2)求角∠BPQ的大小： (3)求正方形ABCD的面积 15.(2025山东省济南市·一模)如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF,G 是CD与EF的交点. 22/28 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O G B (I)求证：△BCF≌△DCE; (2)求证：BF=DE,BF⊥DE; (3)若BC=5,CF=3,LBFC=90°，求DG:GC的值. 16.(2026山东省潍坊市.一模)如图，点B为线段AC上一点，以线段AB和BC为边分别在线段AC同侧作正方 形ABDE和正方形BCMN,连接AN和CD, D B B 备用图 (I)证明：AN⊥CD; (②在各用图中尺规作图：在线段BC上求作一点P,使得0=肥（保留作图痕迹，不写作法） 17.(2026山东省淄博市·一模)按要求解答问题： 【初步实践】 (I)如图1，在长方形ABCD中，若AC⊥BD,对角线AC与BD相交于点O,在线段OA上任取一点P(端点除 外)，连接PD,PB. 求证：△ABP兰△ADP; 图1 【问题探究】 23/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B落在DA的延长线上的点E处，当点P在线段OA上的位置发生 变化时，∠BPE的大小是否发生变化？请说明理由； B B O 图2 备用图 【迁移探究】 (3)请帮助小明探究AE与OP的数量关系，并说明理由， 18.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)【模型建立】 B B E 图1 图2 图3 (1)如图1，己知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD,用等式写出线段AE,DE, CD的数量关系，并说明理由， 【模型应用】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF,AE=EF,用等式写出线 段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由. 【模型迁移】 (3)如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF,AE=EF,用 等式写出线段BE,AD,DF的数量关系，并说明理由 19.(2026山东省聊城市一模)按要求完成下列各题： 24/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图1 图2 图3 (I)如图1，点E是正方形ABCD的边上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于点G,交边AB于点F, ①求证：AF+CE=AD; ②如图2，连接EP,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH.求得的值； (2)如图3，矩形ABCD中，AD=12,AB=10,点F是边AB的中点，连接DF,过点A作AE⊥DF于点G,交 边BC于点E,连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH,求CH的长 20.(2026山东省临沂市罗庄区一模)【问题再现】人教版《数学》八年级下册第68页有这样一个题： D B 如图ABCD是一个正方形，点E、F分别是AD,CD上的点，且DE=CF,问：AF=BE吗？为什么？ 我们可以通过证明△ADF兰△BAE,从而得出AF=BE.若把题中的DE=CF换成AF⊥BE,同样可以通过 证明△ADF兰△BAE,从而得出AF=BE, A E D D M 图1 图2 图3 备用图 (I)如图1，在正方形ABCD中，E,F,G分别是AD,CD,AB上的点，GF⊥BE,垂足为点M,求证： GF BE. (②)如图2，在5×6的正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB交CD于点M.则∠AMC的度数为 (3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP,BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF,连接 DE分别交线段BC,PC于点M,N. ①求∠DMC的度数； 25/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②连接AC交DE于点H,求证：BC=V2DH 21.(2026山东临沂市擲城县.一模)综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展 开探究. 特例研究 在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O. (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 k的值为 ； (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为a,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为点 E,F),使得点E落在OD上，点F落在BC上，求E的值 D D C D D 图1 图2 图3 备用图 类比探究 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针 旋转，旋转角为a,并放缩得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上，点F落 在BC上.猜想E的值是否与α有关，并说明理由； (4)若(3)中LABC=B,其余条件不变，探究BA,BE,BF之间的数量关系（用含B的式子表示）. 22.(2026山东济宁市邹城市一模)感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值. D D D 图1 图2 图3 图4 (I)【感知模型】如图1，已知△ABC一△ADE,求证：△ABD一△ACE; (②)【应用模型】如图2，四边形ABCD是正方形，点E和点F分别是边CD,AD上的动点，且∠EBF=45, 过点F作FG⊥BE,交边BC于点G,垂足为O,连接EG,试判断△EOG的形状，并证明你的猜想（方法不 唯一)； (3)【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作FP⊥BC,垂足为P,连接OP.求∠OPC的度 26/28 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数 (4)【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长PO交边CD于点Q,连接FQ.若△FPQ为等腰直 角三角形，请直接写出tanPFG的值 23.(2026山东济宁市曲阜市·一模)综合与探究 问题情境在正方形纸片ABCD中，点E是边AD的中点，点F是边CD上的一个动点，将△DEF沿EF折叠，点 D的对应点为D',FD'的延长线与边AB交于点G,连接AD', E D E D A D D D G C B C 图1 图2 备用 数学思考： (1)如图1，请判断△AGD'的形状，并说明理由； 拓展探究： 过点G再折出AD的平行线，与边CD交于点H,射线DD与GH交于点P. (②)如图2，若点P在DD'的延长线上，试判断线段GP与PH的数量关系，并说明理由； (3)若AD=4,在点F运动的过程中，是否存在某一时刻，使△PGD是等腰三角形？若存在，请直接写出DF 的长；若不存在，请说明理由. 24.(2026山东滕州市鲍沟中学.一模)数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题， 【问题初探】 如图1，在正方形ABCD中，E为CD边上一动点（不与点C,D重合），过点C作AE的垂线交AE的延长线于点 F,交AD的延长线于点G, 甲同学观察图1后发现结论：瓷=①， 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究。 如图2，在矩形ABCD中，E为CD边上一动点（不与点C,D重合），过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F, 交AD的延长线于点G.若AD=m,GD=m,则=②. 27/28 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 乐 图1 备用图 (1)上述材料中横线①处应填，横线②处应填 (2)【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题如图3，在图2的基础上，连接FD,过点A作FD 的垂线交FD的延长线于点H,求的值 (3)【问题解决】在(2)的基础上，若AD=2,CD=4,点E为射线CD上一点，且DE=2,请直接写出AH 的长 28/28 专题05 四边形 6大考点概览 考点01多边形 考点02平行四边形 考点03平行四边形 考点04菱形 考点05矩形 考点06正方形 多边形 考点01 1．(2026·山东青岛市市南区·一模)如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形外角的性质，可求得正五边形的每个内角为，进而求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知，正五边形的一个外角为， ∴正五边形的每个内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．(2026·山东省青岛市市·一模)在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【答案】/24度 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 3．(2026·山东青岛市崂山区·一模)如图，一个正六边形的边长为3，连接对角线，交于点P，则的值为________． 【答案】2 【分析】由正六边形的性质得，，可得，则，过点作于点，求得，，，可得，求出，即可得出结论． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， 过点作于点，如图， ∴，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 平行四边形 考点02 4．(25-26·山东日照东港区开发区中学·一模)点是对角线上一点，连接并延长至点，使，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】1 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点O，则，，然后证明出是的中位线，证明出，得到，设，则，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ，． ， 是的中位线，． ． ． ． 设，则， ． ， 解得． 故答案为：1． 5．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接，容易判断是等边三角形，则，，．容易证明，则，结合平行四边形的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，，从而计算出，，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，以、为边构造平行四边形，边交于点，连接，交于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 在直角中，， ∴的最小值为． 6．(2026·山东省济南市·一模)为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______． 【答案】②③ 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，结合对角对等边以及同角的余角相等，判断②，证明，判断①③，求出的度数，判断④． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ，故正确； 又， ， ，， ，故正确； 点不一定是的中点， 不一定等于， 不一定等于，故错误， ， ， ， ， ，故错误， 故答案为：． 7．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法：（1）当时，；（2）当点落在上时，．四边形是菱形；（3）在点运动的过程中，线段的最小值为2；（4）连接，则四边形的面积始终等于．其中正确的序号有_____． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】（1）画出图形，求出，根据等角对等边即可判断其正确； （2）画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确； （3）画出反例的图形，即可判断其错误； （4）画出图形，连接交于点，根据，即可判断其正确． 【详解】解：（1）如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）如图所示，当落在上时，点和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 故（2）正确； （3）如图所示， 当点靠近点时，在四边形外部，此时， ， 故（3）错误； （4）如图所示，连接交于点， 将沿翻折得， 垂直平分， ， 故（4）正确． 综上，正确的有（1）（2）（4）， 故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．(25-26·山东日照东港区新营中学·一模)如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（    ） A．的长为6 B．点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C．四边形的面积为32 D．曲线段是函数的图象的一部分 【答案】D 【分析】结合图象和平行四边形的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，由图（2）可知当点Q由点A到点D用时1秒，由点C到点B用时1秒，由点D到点C用时（秒）， ∴， ∴点Q的运动速度为每秒（个）单位长度， 由图（2）可知当点Q与点D重合时，此时， ∴边上的高为， ∴， 当点Q与点C重合时，的面积最大，此时，， ∴，， 当时， 当时，， ∴曲线段是函数的图象的一部分． 9．(2026·山东青岛市市南区·一模)已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得，．连接EH，分别交AD，BC于点F，G． (1)求证：； (2)连接BD交EH于点O，若，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到BE=2AB=DH=2CD=2AE=2CH，证明△AEF≌△CHG即可． （2）根据正方形性质，得到DE=BE=2AB，在直角三角形AED中，得到，计算即可． 【详解】（1）因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB=CD，AB∥CD，AD∥BC， 所以∠AEF=∠CHG，∠EAF=∠ADH=∠HCG． 因为，， 所以BE=2AB=DH=2CD=2AE=2CH， 所以△AEF≌△CHG， 所以AF=CG． （2）满足．理由如下： 若四边形BEDH是正方形， 所以DE=BE=2AB，AB=AE，∠AED=90°， 所以， 所以． 10．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行得到，，由得到，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形．得到，，再由得到，，即可证明四边形是平行四边形．结合得到，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， ，． ； ， ． ； ， 在和中， ． （2）证明：，， 四边形是平行四边形． ，， 四边形是平行四边形． ，， ， 四边形是平行四边形． ， ， 又， 平行四边形是菱形． 11．(2026·山东省青岛市·一模)如图，在中，E，F分别是，的中点，，交的延长线于点M． (1)求证：； (2)已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：平分； 条件②：． 【答案】(1)见解析 (2)选择条件①或②，四边形是矩形，见解析 【分析】（1）根据证明即可； （2）选择①，先证明四边形、是平行四边形，根据平行四边形的性质、等角对等边等可得到，即可得出结论；选择②，先证明四边形、是平行四边形，再推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵是的中点 ∴ ∴ （2）若选择条件①，四边形是矩形 由（1）可知， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 若选择条件②，四边形是矩形 由（1）可知， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是的中点 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 12．(2026·山东青岛市市南区·一模)如图，已知：，=，=，=，是边上的中点．过点作的垂线，过点作的平行线，交于点，点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，同时点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为．连接，过点作于点，连接，是线段的中点．设运动时间为（），解答下列问题：    (1)当四边形为平行四边形时，求的值； (2)设的面积为，求出与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使，，三点在同一条直线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由四边形为平行四边形，可得即，解方程即可； （2）延长交延长线于点，由四边形为平行四边形，，，过作于，过作于，利用等角三角函数值可求再求， ，由面积差可求 即可； （3）连接并延长，交延长线于点，过点作于，由勾股定理，利用中点可求 ，利用等角三角函数可求，可证，利用性质可得，求出，利用三角形全等（）可证，可求即可． 【详解】（1）解：依题意：，，， 四边形为平行四边形， 即， 解得， 当时，四边形为平行四边形． （2）延长交延长线于点， 四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， 过作于，过作于， ， ， ， ，    ， ， ， ， （3）当时，，，三点一线， 连接并延长，交延长线于点，过点作于， 在中由勾股定理， 点为中点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 解得， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 当时，，，三点一线．    13．(2026·山东省青岛市市·一模)如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为． 解答下列问题： (1)当是直角三角形时，求的值； (2)连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式； (3)线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）解直角三角形得到，由平行四边形的性质得到，则，根据题意可得，则，再分两种情况：和，讨论求解即可； （2）过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G，求出，由等面积法求出；解直角三角形得到；证明，根据，列式求解即可； （3）过点P作于点T，可求出；解直角三角形可得，，则，再解直角三角形得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，则， 当时，则， ∴， 解得（已检验）； 当时，则， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，t的值为或； （2）解：如图所示，过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G， 由（1）得，则，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作于点T， 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由（1）得，，， 由（2）得， 在中，， ， ∴， 在中，， ∴， 解得． 14．(2026·山东临沂沂水县·一模)如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 15．(2026·山东省青岛市市·一模)如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1)见解析 (2)选择①：四边形为菱形，证明见解析；选择②：四边形为矩形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再由，可得，即可求证； （2）选择①：根据矩形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答；选择②：根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：选择①：四边形为菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 选择②：四边形为矩形，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 16．(2026·山东省临沂市·一模)如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）可证，从而可证四边形是菱形，即可得证； （2）可求，再证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 17．(2026九·山东青岛南区·一模)已知：如图，在中，与交于点，交的延长线于，为中点，连接． (1)求证：≌； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形得到，，再利用平行线性质得到，即可证明全等； （2）先求出，结合角度关系证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，再证明矩形即可． 【详解】（1）由题意四边形是平行四边形， 则 ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ， ， 又， ， ， 在和中， ． （2）解：四边形是矩形． 证明如下： ， ，，则， ，解得， ，， ，， 是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 在平行四边形中，， ， ， 中，，， ， ， ， ， ， 平分， 是等边三角形， ， ， ，，， 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 18．(2026·山东临沂沂水县·一模)在平行四边形中，过点作于点，用纸片做一个三角形，使得．将三角形纸片和平行四边形进行如下操作：①将三角形纸片置于平行四边形内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图1所示；②连接，过点作直线交射线于点，如图2所示；③在边上取一点，分别连接，如图3所示． 请解决下列问题： (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，则可证明，得到，由全等三角形的性质可推出，则可证明，得到，即可证明； （2）先证明，再由全等三角形的性质得到，，即，则可证明，，证明是等腰直角三角形，，则可证明，进而可证明； （3）过点D作于点T，证明，解直角三角形得到，则可求出，；证明，可求出，则，据此可得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴，， ∴，； ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点D作于点T， ∴； 由（1）可得，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 菱形 考点03 1．(2026·山东枣庄市·一模)如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．(2026·山东青岛通济实验学校·一模)如图，在菱形中，，，是上一点，将菱形沿折叠，使、的对应点分别是、，当时，则点到的距离是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过作于，过作于，由菱形性质和正切定义求出，，再由折叠证明，得到，从而得到，则，则问题可解． 【详解】解：过作于，过作于，    由已知，，， ∴，， ∴设，则， ∴在中，， ， 解得， ∴，， 由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是． 故选：D． 3.(2026·山东淄博市淄川区·一模)如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，证明，，得出，，证明，得出，证明，说明B、C、G、D四点共圆，求出外接圆的直径为2，即可得出答案． 【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、G、D四点共圆， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴外接圆的直径为2， ∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴的最大值为2， ∵E是延长线上一点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 4．(2026·山东菏泽市巨野县·一模)如图，在菱形中，，，点E、F、G分别是、、上的点，其中，．点P从E点出发，以每秒2个单位长度沿折线运动；点Q以每秒1个单位沿折线运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动，设的面积为S，点P，Q的运动时间为t秒，则S与t的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，三种情形求出S与t的关系即可解决问题． 【详解】解：当时，点P在上，点Q在上， 过点P作于H， ∵， ∴， ∴； 当时，， 当时，点P在上，点Q在上， 过A作于M， 则， ∴， 当时，， 当时，点P、点Q在上， 同理可求， ∴， 当时，， 综上，故A正确． 故选：A． 5．(2026·山东济宁市泗水县·一模)如图，菱形的边长为12，，则对角线的长为________． 【答案】12 【分析】连接，交于点O，根据菱形对角线性质可得与互相垂直且平分，在中,由，可得，． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直且平分， ∵，， ∴， ∴． 6．(2026·山东枣庄市·一模)如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】连接，过点D作于G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，在菱形中，得到，则，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 7．(2026·山东日照东港区新营中学·一模)如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，，对称得到，进而得到，证明，进而得到，得到，进而得到当点三点共线时，的值最小，根据菱形的性质，易得关于对称，为等边三角形，三线合一得到，进而得到，进而得到当点移动到点时，点三点重合，此时的值最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，，，，则， ∵对称， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∵四边形为菱形， ∴，垂直平分， ∴，关于对称， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵点在上运动， ∴当点运动到点时，此时三点重合，的值最小为的长， 故的最小值为． 8．(2026·山东济宁市邹城市·一模)如图，已知菱形的边长为2，，进行如下操作：第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第次操作后，得到四边形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，涉及矩形和菱形的判定与性质，三角形的中位线性质，通过推导计算得到面积的变化规律是解答的关键．根据矩形和菱形的判定与性质，结合三角形的中位线性质得到每一次得到的四边形的面积与菱形的关系，进而得到变化规律即可． 【详解】解：连接，，，，    ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵第一次，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 依次可得，， 故答案为：． 9．(2026·山东省淄博市·一模)如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 10．(2026·山东淄博高新区·一模)如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点 E． (1)求证： 四边形是菱形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）设与交于点，证明，再由菱形的性质得，，，进而由锐角三角函数定义得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）如图，设与交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ， 即的长为． 11．(2026·山东省济南市·一模)如图，菱形中，是对角线上的点，点在上，且． (1)求证：； (2)写出与之间的数量关系，再说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）先证出，得，由于，得； （）由，得，由（）得，从而得，，进而即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： ∵， ∴， 由（）得（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．(2026·山东聊城市冠县·一模)如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 13．(2026·山东青岛南区·一模)已知：在菱形中，与交于点， ， ，点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；同时，点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，绕点顺时针旋转的对应点恰好落在上；当移动到时停止移动，也随之停止移动．延长与交于点，连接，设移动时间为 ． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)设四边形的面积为 ，求与之间的函数关系式； (3)当为何值时，？ (4)当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用菱形对角线互相平分且对边平行，证明，得；再由平行四边形判定得，从而推出，求． （2）先证，从而得，，；作、，用表示、，代入面积公式化简． （3）由旋转性质得为等腰直角三角形，；结合推出，得点到、的距离相等（），建立方程求解． （4）过作于，由结合求出、；由旋转性质得为等腰直角三角形，，结合推出为等腰直角三角形，得；再根据构造方程求解 ． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 过作于，于， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴ ； （3）解：过作于，于， 由（2）得，， ∵点绕顺时针旋转得，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴在中，， ∴， ∴点到、的距离相等，即， ∴ 解得； （4）解：如图，过点作于， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， ∵点绕顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得． 矩形 考点04 1．(2026·山东青岛市崂山区·一模)如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解． 【详解】解：如图，设相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．(2026·山东滕州滕南中学·一模)在矩形中，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理的应用．关键是通过矩形的性质将的长度转化为的长度，将求最小值的问题转化为求点到直线的最短距离，再利用面积法求解该垂线段长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 根据垂线段最短的性质，当时，的长度最小，此时的长度即为点到的距离； 设点到的距离为， ∵，又， ∴，解得， ∴的最小值为； 故答案为：． 3.(2026·山东聊城市东阿县实验中学·一模)如图，在矩形中的边上取一点E，将沿翻折，使得C恰好落在边上点F处，在上取一点G，使得，连接并延长交直线于点H，当为等腰三角形时，则的值为_______． 【答案】或 【分析】分三种情况进行讨论：若为等腰三角形，且时，若为等腰三角形，且时，若为等腰三角形，且时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：分三种情况讨论： ①若为等腰三角形，且时，如图1， ∵是由折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接， 则， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， 过点G作于点M， ∵，， ∴， 又∵， 设，， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴； ②若为等腰三角形，且时，如图2， ∵， ∴， ∵是由折叠得到， ∴， ∴， ∴， 与题意不符， ∴此种情况不可能； ③若为等腰三角形，且时，如图3， ∵， ∴， ∵是由折叠得到， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 连接， 由①知， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M为的黄金分割点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 答案为：或． 4．(2026·山东德州市临邑县·一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1，则点C的坐标是（    ） A．（－4，－2） B．（－4，－1） C．（－4，－） D．（－4，－） 【答案】C 【详解】∵AF⊥x轴于点为F，点D在y轴上，∴AF∥BO，∠OFA＝90°， ∴△AFE∽△BOE． ∵OE＝3，EF＝1，∴，∴OB＝3AF． ∵四边形ABCD是矩形，且它的对角线交于点O，∴OA＝OB＝3AF． ∵OF2＋AF2＝OA2，OF＝OE＋EF＝3＋1＝4， ∴42＋AF2＝（3AF）2，解得AF＝或AF＝－（不符合题意，舍去）． ∴A（4，）． ∵点C与点A（4，）关于原点对称， ∴点C的坐标是（－4，－）． 5．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学) 如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】过点E作于点G，由线段中点得，根据折叠可得，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在中利用即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点G，    ∵四边形为矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴． 6．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 【答案】/0.6 【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°， ∵∠B=90°， ∴∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF=， ∴cos∠EFC=， 故答案为：． 7．(2026·山东青岛市市南区·一模)如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____． 【答案】3 【分析】根据矩形的折叠证明为等边三角形，解求出，再由等边三角形的性质以及折叠可得，即可求解． 【详解】解：∵将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴由折叠得， 又矩形中，， ∴ 又 ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 8．(2026·山东省青岛市·一模)如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为____________． 【答案】或 【分析】分情况讨论：当时，当时，分别利用矩形的性质和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图1，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， ，，三点共线， ，， ， ， 解得， ； 如图2，当时， 矩形中，，， ， 把沿折叠，使点落在点处， ，，， ， 四边形是正方形， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 9．(2026·山东济南市商河县·一模)在矩形中，，，点E在边上，且，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为、，折痕与边交于点F，当点B、、恰好在同一直线上且时，的长为________． 【答案】1.5 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．由折叠的性质得，，，在中，由，得，连接，设，则，再利用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，， ∴点在的上方， ， 由， 得， 解得， 故． 10．(2026·山东德州市临邑县·一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 11．(2026·山东德州市德城区·一模)如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则______． 【答案】/ 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．(2026·山东济南市章丘区·一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为，D是线段上的动点，连接，过点D作与x轴相交于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为______． 【答案】或 【分析】先根据折叠的性质得，再根据矩形的性质得，然后分两种情况：当时，是等腰三角形，根据勾股定理得，求出解即可； 当时，是等腰三角形，再作，可根据等腰三角形的性质得，然后根据“角角边”证明，可得，接下来求出，则答案可得． 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵点，且四边形是矩形， ∴． 当时，是等腰三角形， ∴． 在中，， 即， 解得， 即， ∴点； 当时，是等腰三角形， 过点B作，于点F， ∴． ∵， ∴, ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点． 所以点D的坐标是或． 13．(2026·山东省济南市市·一模)如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，将四边形沿翻折，点A的对应点是H，点B的对应点G恰好落在边上，连接，当取最小值时，的长为______． 【答案】 【分析】连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作，证明，得到，则，则，当A、G、R共线时，有最小值，此时G为的中点，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，作点B关于的对称点R，连接，过点作， 由对称性可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 当A、G、R共线时，有最小值， ∵此时， ∴， ∴ ∴在中，设，， ， 解得， ∴的长为． 14．(2026·山东菏泽市东明县·一模)如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质和判定，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键． （1）首先证明出四边形为平行四边形，然后由即可由证明出四边形是矩形； （2）首先根据矩形的性质得到，然后判断出当时，取得最小值，取得最小值，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，连接 ∵四边形是矩形 ∴ ∴当最小时，最小 ∴当时，取得最小值 ∵，， ∴ ∴当时， ∴ ∴ ∴的最小值为，即的最小值为． 15．(2026九·山东青岛胶州李哥庄中学·)如图，在中，，D是的中点，，， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 16．(2026·山东德州市齐河县·一模)（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 17．(2026·山东滨州市博兴县·一模)【教材再现】 （1）如图①，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，． 【纵向探变】 （2）如图②，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点．若，求的长． 【横向拓展】 （3）保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图③所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出·的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）利用正方形性质，通过证明，得到；再通过角的等量代换，证明与的夹角为，从而证得． （2）先由折叠性质得垂直平分，再证明，利用相似比求出、的长度；接着在中，利用正切函数求出的长，最后用勾股定理算出，进而求得的长度． （3）分两种情况讨论： 当时，过作于，延长交延长线于，先求的长，证明得、的长，证明得，进而得、，再证明得，最后计算；当时，证明，结合相似性质求出、，进而计算． 【详解】（1）证明：延长交于点． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：延长交于点． ∵矩形中，，，， ∴，，，， 在中， ， ∵沿折叠得， ∴垂直平分，即，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，， ， ， ， ∵ 在中，，， ， ， ； （）解：由（）得，，． 情况：，则， 过点作交延长线于，延长交延长线于． ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ，  ， ∴，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∵， ∴ ∴ ， ∴， ∴ ∴ ∴， 情况：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上，的值为或． 18．(2026·山东省青岛市·一模)如图，在矩形中，，．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动；点同时从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达点时，，同时停止运动．设运动时间为秒（）．连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，与相交于点，连接，．解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)设四边形的面积为，求关于的函数表达式；并求出四边形面积的最小值； (3)是否存在某一时刻，使得线段经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当时，四边形的面积最小，最小值为 (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，结合旋转的性质，得到，用t表示两条线段的长，建立等式求解即可； （2）证明，得到，表示，利用二次函数的最值解答即可； （3）证明，得到，整理得到一元二次方程，求解即可； 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴当时， ∴ ∴ 即 解得 ； （2）∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即， ∴， ∴ ， ， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为． （3）解：假设存在合题意的，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，延长交于点 ∵，， ∴ ∴， ∴，，， ∵ ∴ ∴ 即， 解得，(舍) ∴当时，线段经过点． 19．(2026·山东省济南市·一模)矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，设运动时间为t（单位：s）． （1）如图1，若动点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时，ΔAPC的面积S（cm2）随时间t（秒）变化的函数图象． ①点P的运动速度是 cm/s，m+n= ； ②若PC=2PB，求t的值； （2）如图3，若点P，Q，R分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q到达点C（即点Q与点C重合）时，三个点随之停止运动；若点P运动速度与（1）中相同，且点P，Q，R的运动速度的比为2:4:3，是否存在t，使ΔPBQ与ΔQCR相似，若存在，求出所有的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①2，27；②t的值为或；（2）存在，t的值为或． 【分析】（1）①由图2可知，点P从B到C的运动时间为4s，故点P的运动速度为=2（cm/s）．再求出点P在AB的运动时间即可解决问题； ②证明∠PCB=30°，解直角三角形求出PB即可解决问题； （2）分两种情形：①当时，△PBQ与△QCR相似，②当时，△PBQ与△QCR相似，分别构建方程求解即可． 【详解】解：（1）①观察图2可知，点P从B到C的运动时间为4s，故点P的运动速度为=2（cm/s）． ∴m==3，此时n=×6×8=24， ∴m+n=3+24=27． 故答案为：2，27； ②当点P在直线AB上，∵∠B=90°，PC=2PB， ∴∠PCB=30°， ∴PB=BC•tan30°=（cm）， ∴PA=6-（cm）， ∴t==3-． 当点P在线段BC时，t=（6+）=， 综上所述，t的值为或； （2）∵点P的运动速度为2cm/s，且点P，Q，R的运动速度的比为2：4：3， ∴点Q的运动速度为4cm/s，点R的运动速度为3cm/s． 如图3中，由题意，PB=6-2t，BQ=4t，CQ=8-4t，CR=3t， ①当时，△PBQ与△QCR相似， ∴， 解得t=， 经检验，t=是分式方程的解，且符合题意． ②当时，△PBQ与△QCR相似， ∴， 解得t=或（舍弃）， 经检验，t=是分式方程的解，且符合题意． 综上所述，满足条件的t的值为或． 20．(2026·山东省淄博市·一模)如图，矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． (1)【初步感知】如图1，当为的中点时，延长交于点，求证：． (2)【深入探究】如图2，点在线段上，，点在移动过程中，求的最小值． (3)【拓展运用】如图3，点在线段上，，点在移动过程中，点在矩形内部，当P、D、N是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质可得，连接，由折叠的性质可得，，结合题意得出，再证明，即可得证； （2）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，结合题意可得点在以点为圆心，为半径的的弧上，连接、，由，得出当点在线段上时，有最小值，由勾股定理可得，即可得解； （3）过点作于，延长交于点，连接、，则，四边形为矩形，从而可得，，证明，得出，设，则，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，从而可得，求出，，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 如图，连接， ， ∵把沿直线折叠，使点落在点处， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵矩形中，，， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∵点在移动过程中，不变， ∴点在以点为圆心，为半径的的弧上， 如图，连接、， ， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图，过点作于，延长交于点，连接、， ， 则，四边形为矩形， ∴，， ∵P、D、N是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得：，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴，， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 解得． 21．(2026·山东德州市天衢新区·一模)综合与实践 【问题情境】 数学兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为． (1)【特例探究】 角的探究：如图1，连接，与交于点，当点，，三点共线时，与相等的角为______（写出一个即可）； (2)线段的探究：如图2，当为的中点时，点恰好落在边上． ①猜想，，三条线段的数量关系，并说明理由； ②延长交于点，连接，，判断与的位置关系，并说明理由． (3)【深入探究】 如图3，将矩形纸片更换为平行四边形、，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2) ，理由见解析； ，理由见解析； (3)的值为或． 【分析】（1）由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，由直角三角形的两个锐角互余，结合同（等）角的余角相等，即可求解； （2）由折叠可得，，，，由矩形的性质，可得，，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，结合已知可得，即可得，，三条线段的数量关系；由矩形的性质，可得，由折叠可得，，，可得，证明，可得，，点、在线段的垂直平分线上，即可判断与的位置关系； （3）按照，进行分类讨论，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为或． （2）解： ，理由： 由折叠可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． ，理由： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴． （3）解：当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于， ∵，四边形是平行四边形， ∴，，，， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，如图，垂足为点，延长交于点， 由折叠可得，，，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的值为或． 22．(2026·山东青岛第三十九中学·一模)如图，在矩形中，，，连接，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，作，交边于点．已知点从点开始，以的速度在线段上移动，设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）连接，设的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使恰好将分成面积比为的两部分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）；（3）或；（4） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式得方程，求解即可； （2）证明△，求得，分和两种情况，结合求解即可； （3）根据列出方程求解即可； （4）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 解得， ∴当时，； （2）取AB的中点M，BC的中点N，连接OM，ON，如图① ∵ ∴，， ∴∠，∠ ∴四边形OMBN是矩形 ∴∠ ∴∠，∠ ∴∠ ∴△ ∴ ∵， ∴ ①当时，，（如图①） ∴， ∴， ， ∴ = = ∴； ②当时，如图② 此时，，， ∴ ∴ ∴ = = ∴ 综上所述， （3）∵ ∴ 解得， ∴当或时，； （4）当时，即，作，如图③ ∵∠，∠ ∴△ ∴，则 ∴，则 ∵∠，∠ ∴ ∴，则 ∴ ∵ ∴ 解得， 当时，即，如图④， 同上可得，， ∵ ∴ 解得， 综上所述， 正方形 考点05 1．(2026·山东滕州滕南中学·一模)如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，在中，由勾股定理得，即可解题． 【详解】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴； ∵为的中点， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∵，， ∴， ∴； 在中，， ， ∴， 在中，由勾股定理得． 故选：B． 2．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的正切值，结合勾股定理可求出的值，即可判断；根据的面积与正方形面积之间的关系，得出关于和的方程，即可判断；得出点的运动轨迹，根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质即可判断． 【详解】解：在中， ， 设，，则， 四边形是正方形，， ， ，解得， ，， 外部的四个直角三角形全等， ， ，故正确． 的面积是正方形面积的倍， ， ， ， 整理得，， ，即， 解得（负值已舍去）， 点是的三等分点， 故正确． 由旋转可知， ， 点在以为直径的圆上，如图，取的中点，连接，， ， 在中， ． 当点，，共线时，取得最大值， 此时， 故正确． 综上，正确的结论是． 3．(2026·山东省淄博市·一模)如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据锐角三角函数的定义可以求出，，从而可知；设，把矩形的面积用含的代数式表示出来，根据二次函数的性质求出矩形面积最大值；当矩形面积为时，可以得到关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 正方形的边长为， ， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； 设，由①可知， 则，， 矩形的面积为， 整理得：， ，且， 当时，矩形面积有最大值，最大值为， 故结论②正确； 当矩形面积为时， 可得：， 解得：，(舍去)， 只有一个值满足矩形的面积为， 故结论③错误． 综上所述，结论正确的个数有2个． 4．(2026·山东东营市利津县·一模)如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】····本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四边形的面积，掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键；由正方形的性质可得，，进而得，由垂直得，即得，即可得，进而由得到，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即可得，得到，即可判断②；由勾股定理可得，进而得，过点作的延长线于点，则，，由勾股定理得，即可判断③；由计算即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 过点作的延长线于点，则，， ∴， ∴点到的距离为，故③正确； ， 故④错误； 综上，正确结论的为①②③， 故选：A． 5．(2026·山东省东营市·模拟)如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD ∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG ∴， 即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF ∴ ∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线 ∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF ∴△HAF∽△FAC ∴ 即 又∵AF=AE ∴ ∴③正确 ④由②知 又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45° ∴DG在正方形另外一条对角线上 ∴DG⊥AC ∴④正确 故选：D． 6．(2026·山东省聊城市·模拟)如图，在正方形中，，点是上一点，且，过点作，使，分别交、、于点，下列结论正确的是（   ） A． B．点为上任意一点，则的最小值为 C． D． 【答案】D 【分析】由为直角三角形，可得，故A不符合题意；证明，可得，再证明，可得，故D符合题意；证明，可得，求解，证明是的垂直平分线，如图，连接交于，连接，可得的最小值为，故B不符合题意；求解，可得，故C不符合题意． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∴，故A不符合题意； ∵四边形为正方形，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵点是上一点，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， 如图，连接交于，连接， ∴， ∴， ∴的最小值为，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意． 7．(2026·山东省青岛市市·一模)如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、交，于、，已知为的中点，下列结论正确的有（   ） ①；②连接为的中点，则；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】①用正方形的性质及全等三角形的判定定理证明即可得证．②证明，，证明分别为的中位线，利用三角形中位线定理及等腰直角三角形的判定定理即可解答．③设正方形边长为2，延长交的延长线于点，先证明，得到，设，则，利用求出，即可解答． 【详解】解：①在正方形中，， 在和中， ， ， ，故①正确． ②∵， ∴， ， ， ， 由①知， ∴， 在和中， ， ， ， 又 ∵为的中点，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴分别为的中位线， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③设正方形边长为2， 延长交的延长线于点，如图， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 设，则， ， 解得：， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 即，故③错误； 综上，正确结论共个． 8．(2026·山东德州市齐河县·一模)如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 9．(2026·山东青岛通济实验学校·一模)如图，在正方形中，点E是上一点，．连接，过点B作，垂足为点F，连接， 过点F作， 交于点G，则 _______． 【答案】/0.75 【分析】连接，利用四点共圆，，结合正切函数计算即可． 本题考查了正方形的性质，四点共圆，余角性质，正切函数，熟练掌握四点共圆，余角性质，正切函数是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 连接， ∵，， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为：． 10．(2026·山东青岛第三十九中学·一模)如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，．下列选项说法正确的有_________.（填序号） ①； ②； ③； ④若，则． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；①根据题意可知，则，则；②由证明，得到，从而；③同②证明即可；④若，则，可以证明，则且，则，为等腰直角三角形，过点作垂直于于点，设，则，，，则，，． 【详解】解：①四边形为正方形，， ，，， 为等腰直角三角形，， ，， ，故①正确； ②为等腰直角三角形，为的中点， ，， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ③为等腰直角三角形，为的中点， ，， 在和中， ， ，故③正确； ④ ， ， 为等腰直角三角形，为的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 过点作垂直于于点，如图所示： 设，则，，， 则，， ， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 11.(2026·山东济南市天桥区·一模)在边长为1的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、矩形的判定和性质和一元二次方程的求解，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据题意可知，，，过点作于，作于，证明四边形为矩形，设，，在和中，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知：，，， 过点作于，作于． ∵， ∴四边形为矩形， 设，． 在中， ， 在中， ， 联立得 ， 代入中得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 12．(2026·山东枣庄市·一模)如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定，矩形的性质与判定等等，连接，当时，即时，的最小值等于，即可判定①；延长交于点，由，，即可判定②；连接交于P，此时最小，最小值为长，则周长最小，利用勾股定理求出的长，即可求出周长最小值，即可判定③． 【详解】解：连接， ∵正方形 ∴，， ∴ ∵于点E，于点F， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴当最小时，最小， 则当时，即时， 的最小值等于，故①错误； 延长交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 在和中，，， ； 在和中，，， ，故②正确； 连接交于P，如图， ∵正方形， ∴点A与点B关于对称， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短可得，此时最小，最小值为长， ∵周长，， ∴最小时，周长最小， 在中，， ∴周长最小值． 故③正确． 故答案为：②③． 13．(2026·山东青岛南区·一模)如图，边长为的正方形中，是中点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，与交于点，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是__________．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形及等腰直角三角形的性质，得到、及，进而逐一判断正确与否即可. 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴且平分，③正确； ∵正方形中， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，④正确； 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，⑤错误； 14．(2026·山东菏泽市东明县·一模)如图，点是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点． (1)求线段的长； (2)求角的大小； (3)求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)13． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、正方形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据正方形的性质得、，再利用旋转的性质得，，于是可判断是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理即可解答； （2）由等腰直角三角形性质知，利用旋转的性质得，再根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形且，然后利用平角定义求得的度数； （3）如图：作，垂足为E，由、，求出，在中，再运用勾股定理求出，最后根据正方形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴、， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：∵是等腰直角三角形， ， 在中，，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形且， ∴． （3）解：如图：作，垂足为E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为． 15．(2025·山东省济南市·一模)如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，其中，G是与的交点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由四边形是正方形，是等腰直角三角形，易得，又由，利用即可证得； （2）首先延长交于H，由，根据全等三角形的对应边相等，即可得，又由全等三角形的对应角相等，易求得，则可得； （3）由，利用勾股定理即可求得的长，又由，即可得的长，，然后证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴． 在和中，， ∴； （2）证明：延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 16．(2026·山东省潍坊市·一模)如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和． (1)证明：； (2)在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长，交于，利用证明，得出，利用角的和差关系得出，即可得结论； （2）在右侧作，可得，根据平行线分线段成比例定理即可得出． 【详解】（1）证明：如图，延长，交于， ∵在线段同侧作正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． （2）解：如图，在右侧作，交于，点即为所求． ∵， ∴， ∴． 17．(2026·山东省淄博市·一模)按要求解答问题： 【初步实践】 (1)如图1，在长方形中，若，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． 求证：； 【问题探究】 (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； 【迁移探究】 (3)请帮助小明探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不发生变化，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先得出四边形是正方形，进一步得出， 再根据全等三角形的判定定理，即可得证； （2）先过点作于点，作于点，再根据正方形的性质和判定，角平分线的性质，旋转的性质，得出，最后根据全等三角形的性质以及推导角之间的关系，即可解答； （3）先作于点，作于点，作交于点，作 于点，再根据等腰直角三角形的判定和性质，得出，进一步得出，进而得出是等腰直角三角形，四边形是矩形，最后利用矩形的性质以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， 又， 四边形是正方形， ，． ， ． （2）解：的大小不发生变化，理由如下： 如图2，过点作于点，作于点， 四边形是正方形， 平分，， ． 又，， ，，， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形， ，． 由旋转得，， 又 ， ， ． ， ，即， 的大小不发生变化． （3）解：，理由如下： 如图3，作于点，作于点，作交于点，作 于点 由（1）（2）可知：，． ， ． ，， ， ． ， ， ， 即． ，， 是等腰直角三角形， ． ， 四边形是矩形， ， ． 18．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(2026·山东省聊城市·一模)按要求完成下列各题： (1)如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； (2)如图3，矩形中，，点F是边的中点，连接，过点A作于点G，交边于点E，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①结合正方形的性质证明，即可解答；②作交的延长线于M，结合平行四边形的性质可得，由（1）得，再证明，可得到是等腰直角三角形，即可解答； （2）证明，可得，，作交的延长线于N，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ， ∴， ， ∴， ； ②如图2，作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 由（1）得， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图3，作交的延长线于N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)【问题再现】人教版《数学》八年级下册第68页有这样一个题： 如图是一个正方形，点E、F分别是上的点，且，问：吗？为什么？ 我们可以通过证明，从而得出．若把题中的换成，同样可以通过证明，从而得出． (1)如图1，在正方形中，E，F，G分别是上的点，，垂足为点M，求证：． (2)如图2，在的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，交于点M．则的度数为______； (3)如图3，点P是线段上的动点，分别以为边在AB的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点M，N． ①求的度数； ②连接交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②见解析 【分析】（1）将线段向上平移至处，交于，由，可得进而根据【问题再现】的过程证明即可得出结论； （2）将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得，判断出，即可得出结果； （3）①平移线段至处，连接，证得，得出，证明，得出，即可得出结果； ②证明，得出即可． 【详解】（1）证明：将线段向上平移至处，交于，交于，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）将线段向右平移至处，使得点B与点D重合，连接，如图2所示： ∴， 设正方形网格的边长为单位1， 则由勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）①平移线段至处，连接，如图3所示： 则，四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如备用图所示： ∵为正方形的对角线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21． (2026·山东临沂市郯城县·一模)综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）． 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 22．(2026·山东济宁市邹城市·一模)感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． (1)【感知模型】如图1，已知．求证：； (2)【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； (3)【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； (4)【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)是等腰直角三角形，证明见详解 (3) (4)或 【分析】（1）利用相似三角形的性质得出，，再利用角度和差关系推出，从而证得结论； （2）过点F作交于点H，交于点K，连接，，利用正方形的性质结合直角三角形两锐角互余证明，，，结合已知条件证明是等腰直角三角形，得到，从而证得结论； （3）利用圆内接四边形和圆周角定理即可求得结果； （4）根据已知条件，由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆，此时分情况讨论：①当点Q在中点时；②当点Q与点D重合时；利用正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理设未知数，表示出相关线段的表达式，最终利用正切的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （2）解：是等腰直角三角形， 证明：如图，过点F作交于点H，交于点K，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵， ∴点A，B，O，F四点共圆， ∴为直径， ∵， ∴点P在圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴， 由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆， 由题意知，此时分情况讨论： ①如图，当点Q在中点时，过点Q作交于点M， 易证得：四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， 同理可证得：四边形是正方形， ∵为四边形是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 此时点F，P分别在，的中点， 设正方形的边长为， ∴， 过点O作交于点N， ∵， ∴点O为正方形对角线的中点， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴； ②如图，当点Q与点D重合时，则点E也与点D重合， 此时点F与点A重合，点P与点B重合，点G与点C重合， ∴点O为正方形对角线中点， ∴为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形， ∴， 综上所述，或． 23．(2026·山东济宁市曲阜市·一模)综合与探究 问题情境：在正方形纸片中，点是边的中点，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为，的延长线与边交于点，连接． 数学思考： (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； 拓展探究： 过点再折出的平行线，与边交于点，射线与交于点． (2)如图2，若点在的延长线上，试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析； (2)，见解析； (3)存在，的长为或 【分析】（1）根据折叠以及已知条件可得，则，而，可得，即可证明； （2）过点作的平行线，与的延长线交于点，根据等腰三角形的判定证明，而可证明平行四边形，则，即可利用证明，那么； （3）当点在的延长线上，当是等腰三角形，则，则设而，故，解得：，可得，则；当点在线段上，是等腰三角形，则，则设，而，则，解得：，则，同理可求． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 如图， ∵点是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作的平行线，与的延长线交于点，则， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，正方形中， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：存在， 当点在的延长线上， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴； 当点在线段上，如图： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰三角形，则 ∴， 设 ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 综上所述，存在某一时刻，使是等腰三角形，的长为或． 24．(2026·山东滕州市鲍沟中学·一模)数学活动课上，兴趣小组进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 【问题初探】 如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． 甲同学观察图1后发现结论：①． 乙同学思考后认为可以改变四边形的形状，再探究． 如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则②． (1)上述材料中横线①处应填____，横线②处应填_____． (2)【问题延伸】丙同学在乙同学的基础上进一步提出问题：如图3，在图2的基础上，连接，过点作的垂线交的延长线于点，求的值． (3)【问题解决】在（2）的基础上，若，，点为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2) (3)的长为或 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到； 根据矩形的性质，证明，得到． （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分类求解即可． 【详解】（1）①解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． （3）解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（1），知， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点， 如解图3，同理①，易得， ，， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $