专题04 三角形（5大考点）（山东专用）2026年中考数学一模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形 ☆5大考点概览 考点01几何初步 考点02三角形及其全等 考点03等腰三角形 考点04相似 考点05解直角三角形 考点01 几何初步 1.(2026山东济宁市泗水县.一模)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过 光心0的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为() A.45° B.50° C.55 D.60° 2.(2026山东聊城市冠县一模)如图，ab,一个三角尺的直角顶点在直线b上，∠1=51°，∠2=60°，则∠3 的大小为() b A.159° B.151° C.120° D.119° 3,(2026山东省聊城市：一模)已知直线m‖n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边 BC与直线n交于点D.若∠1=20°，则L2的度数为() 1/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 2 C D B A.50° B.65 C.70° D.80° 4,(2026九山东淄博高新区一模)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的 方式摆放，其中点A,E,C,F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD II BC 时，∠ADE的大小为() A.5 B.15° C.25° D.35° 5.(2026山东省临沂市·一模)小华将一副三角板(LC=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45)按如图所示的方 式摆放，其中ABIEF,则∠1的度数为() B A.45° B.60° C.75 D.105° 6.(2026山东滨州市阳信县一模)如图，AB/DE,那么∠BCD=() B工1 -A 2 E D A.180°+∠1-∠2B.∠1+∠2 C.∠2-∠1 D.180°+∠2-2∠1 7.(2026山东省青岛市·一模)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则41的度数为 2/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30 45 8.(2026山东德州庆云县一模用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1=20°，则22的度数为 9,(2026山东省淄博市一模)如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD,EF分别表示北回归线和 南回归线.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD 的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为43°，此时∠DOB= G 北回归线 D 赤道 0 南回归线 10.(2026山东东营市利津县.一模)如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB,CE,DE分别为前叉、下 管和立管（点C在AB上），EF为后下叉.已知AB II DE,AD IEF,∠BCE=67°，∠CEF=133°，则∠ADE 的度数为() B A.57 B.66 C.67° D.74° 11.(2026山东省济南市·一模)如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在点M、N的位置，若 ∠EFB=66°，则∠AEN的度数为一· A D M 12.(2026山东省淄博市.一模)如图，∠ABE+∠DCF=180°，DE平分∠ADC,AF平分∠BAD, ∠ADC=2∠E 3/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (1)证明：ADIEF; (2)若LE=50°，求LF的度数. 考点02 三角形及其全等 1.(2026山东省济南市·一模)如图，己知△ABC兰△AED,LA=75°，∠B=30°，则∠ADE的度数为() D A.105° B.80° C.75° D.45° 2.(2026山东德州市德城区一模)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，点F是线段DE上的点， 且∠AFB=90°，若AB=5,BC=8,则EF的长为() A.1 B.1.5 C.1.6 D.2 3.(2026山东省潍坊市·一模)如图，在△ABC中，AB≠AC,点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连 接DE、EF、FD、AF,AF与DE交于点O,则下列结论不正确的是() D A.DE=FC B.OA=OF C.∠BDF=∠FEC D.∠BAF=∠CAF 4,(2026山东省潍坊市·一模)如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已 4/31 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（) H 螺 纹 度 螺纹间距 A盟 B.53 16 c. D. 5.(2026山东省聊城市·一模)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm,BC=5cm,线段PQ=AB,P,Q两 点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP=时，才能使△ABC和△APQ全等. X B P 6.(2026山东省潍坊市：一模)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5dm、3dm、1dm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从A点沿着台阶面爬到B点，其爬行的最短距离是 dm. B 7.(2026山东省青岛莱西市一模)如图，AB II CD,∠BCD=90°，AB=1,BC=CD=2,E为AD上的中点， 则BE= E 8.(2026山东滨州滨城区·一模)课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题： 如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1,S2,S3满足的数量关系是 5/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲=6，S乙=5，S丙=4，则△ABC的面积是一 E 分 D E S1 S2 B Se S 图① 图② 9.(2026山东青岛通济实验学校一模)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,点E为边AC上的 动点，点F为边AB上的动点，则EF+EB的最小值是 E B 10.(2026山东滨州市滨城区一模)如图，线段AB=20,C是线段AB上的动点，以AC,CB为边在AB上方作 等边△ACD和等边△CBE,△CDE的周长的最小值为 E D ⊙ 11.(2026山东省滨州市.一模)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E,F分别为AB,AC的中点，G为边BC 上一点，∠EGB=∠FDC,连结EF,若tanB=5,tanC=2,BC=14,则GD的长为一 A B G 12.(2026山东滕州滕南中学.一模)明明用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=4,BC=3,他在边AB上找一点D,在边BC上找一点E,沿直线DE折叠△BDE,得到 △FDE,点B的对应点为F,改变D,E的位置，始终让点F落在边AC上，当△ADF为直角三角形时，BD的 长为 6/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 门.- B E 13.(2026山东东营市利津县一模)如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，D为BC的中点，P在AD上， 点M在AB上，PM IAC,将线段PM绕着点P旋转，使点M落在射线AC上点N处，则LANP=: B4 D 14.(2026山东济宁市邹城市.一模)如图，点P和点Q分别是等边三角形ABC的边AB和AC上的动点，且 AP=CQ,若BC=2,则PQ的最小值为 B 15,(2026山东省德州市乐陵市·一模)如图，在等腰Rt△ABC中，直角边AB=AC=1,D为BC的中点，E 为AB边上的动点，DF⊥DE交AC于点F,M为EF的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为 M E B D 16.(2026山东临沂市擲城县.一模)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD, ∠ACB=∠ADB,点F在ED上，∠BAF=∠EAD 7/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△ABC兰△AFD; (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD. 考点03 等腰三角形 1.(2026山东德州市天衢新区一模)如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=13,BD=10, CD=11,E,F分别是AC,BD的中点，则EF的长为() A.12 B.10 C.13 D.11.5 2.(2026山东省临沂市罗庄区一模)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC上 的点E满足ED⊥AC.若DE=V3,则BC的长是 D B E 3,(2026山东济宁任城区一模)如图，△ABC为等边三角形，AB=4,AD⊥BC,点E为线段AD上的动点， 连接CE,以CE为边作等边△CEF,连接DF,则线段DF的最小值为· B 4.(2026山东省淄博市.一模)如图，已知：∠M0N=30°，点A1、A2、A3在射线0N上，点B1、B2、B3在 射线0M上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4.均为等边三角形，若0A1=1,则△A2025B2025A2026的 8/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边长为 B:M B2 B 04 A A2 A3 5,(2026山东省青岛莱西市·一模)综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”， 图1 图2 图3 (I)如图1，△ABC和△ADE互为“哥俩三角形”，点A为重合的顶角顶点，则BD与CE之间的大小关系为 ； (2)如图2，在△ABC中，AB=AC=3V2,∠BAC=90°，D,F分别为BC,AC边上的点，且△FDC和△ADE 互为“哥俩三角形”，∠CDF=∠ADE=90°， ①若CD=2,求△ACE的面积；（注意运用(1）的结论) ②如图3，若B,F,E三点在一条直线上，则△AEF的面积为 考点04 相似 1.(2026山东省德州市乐陵市.一模)如图，口0ABC的顶点C在x轴正半轴上，AB=3,以原点O为位似中 心将口0ABC缩小，使得到的图形与原图形的相似比为1：2，则点C的对应点C的坐标为() o A.(1,1.5) B.(6,0) C.(1.5,0)或(-1.5,0) D.(1,1.5)或(-1，-1.5 2.(2026山东省淄博市一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,CD=4,设AD=x,BD=y, 则y与x的函数关系可以用图象()表示 9/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA D.O2 3,(2026山东省济宁市兖州区·一模)如图，在五边形ABCDE中，AEIBC,延长BA,BC,分别交直线DE于点 M,N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE一△DCN,则这个条件是() M B A.∠B+∠4=180° B.CDIAB C.∠1=∠4D.∠2=∠3 4.(2026山东省德州市德城区一模)如图，直角梯形ABCD中，ADBC,∠ABC=90°，AB=3,AD=2, BC=4.P是直线AB上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 5.(2026山东省济宁市兖州区一模)如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是 10/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y B 6.(2026山东省临沂市罗庄区一模)如图，在四边形ABCD中，ADIBC,∠B=90°，AB=8,BC=4,点E 在边AB上，AE=3,连接CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF若DF=DC,则线段CF的 长为一 A B 7.(2026山东省淄博市一模)如图，点A的坐标为(4,3)，点M为直线y=-1上的一个动点，点B的坐标为 (0,a),-1<a<3,AB⊥MB于点B,连接AM,若直线AM与x轴的正半轴所夹的锐角为a,则当sina的值 最大时，△ABM的面积为 人 =-1 8.(2026山东德州庆云县一模)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点 G在DE的延长线上，DG=FC. 11/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B (I)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和AC的长. 9.(2026山东省济南市济南高新技术产业开发区一模)【基础巩固】 (1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B,求证：AC2=ADAB, D B 图1 【尝试应用】 (2)如图2，在口ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=LA.若BF=4,BE=3, 求AD的长. 图2 【拓展提高】 (3)如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EFIAC,AC=2BEF,∠EDF- ∠BAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长. 12/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图3 10.(2026山东省济宁市金乡县一模)某校九年级数学兴趣小组借助等腰直角三角形模型进行了探究活 动 【模型应用】 如图1，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为AB的中点，连接CD,作AE⊥CD,垂足为E,连接BE. 【解决问题】 D E B B 图1 图2 (I)求tanzBAE的值； (2)求证BE2=AE·CE; 【拓展探究】 (3)在图1基础上，兴趣小组又进行了下面操作： 如图2，以AB,AC为邻边作正方形ABFC,连接AF交BC于点G,过点A作AH⊥BE,交BE的延长线于点H, 连接EG,HG 此时，小组成员甲说：“当EH=EG时，四边形AEGH是平行四边形”. 你赞同小组成员甲的说法吗？请说明你的理由， 11.(2026山东济南市平阴县·一模)在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A的对 应点D落在边AB上，连接BE. 13/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△BCE一△ACD; (2)如图2，当BC=2,AC=1时，求BE的长； (3)如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F,过点B作AC的平行线交EF于点G,DE与BC交于点 K.求证：AC=CF. 12.(2026山东滨州滨城区·一模)阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务. 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形. B 图1 图2 如图1，△ABC中，点E,H分别在AB,AC边 上，点F,G在BC边上，且四边形EFGH是正方形，则称正方形EFGH是△ABC中BC边上 的内邻正方形 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形， 情形1：如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=3,BC=4.正方形BCMN在BC下 方，利用正方形BCMN可以画出△ABC的一个内邻正方形. 画法：①连接AN交边BC于点D. ②过点D作DE⊥BC交边AB于点E,过点E作EF⊥AC于点F,则四边形CDEF为△ABC的 个内邻正方形. 理由：由作法可知，点D,E,C,F均在直角三角形ABC的边上. DE⊥BC,EF⊥AC,∠EDC=90°，∠EFC=90°， ∠ACB=90°，·四边形CDEF为矩形， 14/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由条件易得：△ACD一△AMN,“MN=AN, CD AD △ADE-△ANB,÷D= CD ED NB AN' MN=BN 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形BCMN,然后将正方形BCMN缩小得到 所求作的图形.进一步分析图2，可得正方形CDEF与正方形MNBC是以点A为中心的位似 图形，其相似比为 ,正方形CDEF的边长为 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容： 13.(2026山东省威海市·模拟)如图1，AC=4,O为AC中点，点B在AC上方，连接AB,BC, E B 图1 图2 (I)尺规作图：作点B关于点O的对称点D(保留作图痕迹，不写作法)，连接AD,DC,并证明：四边形ABCD 为平行四边形； (2)如图2，延长AC至点F,使得CF=AC,当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E, 连接EA,EB,EC,EF,若LAEC=45°，且△ABC一△FCE. ①求证：△ABC~△CBE; ②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 14.(2026山东省淄博市桓台县一模)【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学 习，△ABC中，AB=AC=2.同学们在边BC上取点D,连接AD,将△ACD以点A为中心旋转，由于同学们 所取点D的位置不同，∠BAC的角度大小不同，产生了以下两种方案. 15/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B(C H B(C)H C 图1 图2 图3 【探究感悟】 小明方案：取LBAC=90°，旋转△ACD使点D的对应点D'落到线段BC上； (①)如图1，小明发现，此时点C的对应点C与点A的连线恰好平分LBAC,则线段CD的长是； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转△ACD使点C的对应点C'落到点B上，折叠△ABC使点B与点D重合，折痕为EH; (2)在图2中找出与LADE相等的角，并证明： ()③如图3，F为线段AD上的点，EFABC,若EF=BE,求CD的长. 15.(2026山东枣庄市第十五中学.一模)某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究. 图① 图② 图③ (1)【问题发现】 如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP=2,连接AP,以AP为边作等边△APQ,连接 CQ.则CQ的长为 ； (2)【问题提出】 如图②，在等腰△ABC中，AB=BC,点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ,使 AP=PQ,∠APQ=∠ABC,连接CQ.试说明LABC=LACQ; (3)【问题解决】 如图(3)，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF,点Q是正方形APEF的对称 中心，连接CQ.若CQ=4,求BP的长， 16.(2026山东省济南市槐荫区一模)【先导问题】 16/31 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M- 图1 图2 图3 ()如图1，△ABC中，∠B=60,∠BAG=∠CAD,若号=%，则∠D= 度； (2)【提炼模型】如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAG=∠CAD,且满足AD·AC=AB·AG,求证： ∠D=90°； (3)【识别模型、应用模型】如图3，直线MN上有一定点B,∠ABN=45°，AB=2N2,点C为直线MN上一点， 连接AC,∠CAD=90°，且满足AD·AC=8,求BD的最小值. 17.(2026山东省德州市德城区一模)在∠AOB中，点C是∠A0B的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为 点D,过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G. B D 图1 图2 (1)观察猜想 如图1，当LAOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系： (2)类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明 (3)拓展应用 当0°<LA0B<180,且LA0B≠90时，若部=3，请直接写出%的值。 18.(2026·山东省潍坊市一模)【问题提出】 在Rt△ABC中，A=90,AB=AGC,D是BC边上一点，且需-片n为正整数)，E是AB边上的动点，连 接DE,过点D作DE的垂线交直线AC于点F.探究BE、CF、BC之间的数量关系. 17/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 【特例探究】 (①)如图1，当n=1时，证明：BE+CF=号BC: (2)如图2，当n=2时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取CD的中点G,过点G作GHIAC,分别交AB、DF于点H、M. 易得△BHG为等腰直角三角形，由(I)可得BE+MG=BG,进而由MG=CP,BG=BC,推导得BE、 2 CF、BC之间的数量关系是： (3)如图3，当n=3时，探究BE、CF、BC之间的数量关系，并说明理由. 【问题解决】 (4)当n=k时，写出BE、CF、BC之间的数量关系：· 19.(2026山东省日照市高新区一模)综合与探究：如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D在射线 AC上，连接BD,将DB绕点D逆时针旋转a得到线段DE,连接BE,CE. B E 图 图2 备用图 (I)当点D落在线段AC上时， ①如图1，当a=60时，请直接写出线段CE与线段AD的数量关系是_； ②如图2，当a=90时，请判断线段CE与AD的数量关系，并给出证明； (②)当a=90时，过点A作ANIDE交BD于点N,若AD=2CD,猜想CE与AN的数量关系并说明理由. 20.(2026山东省聊城市东阿县高集中学.一模)探究解题： D B 图1 图2 备用图 18/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图，等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE,使∠DAE=90°， AD=AE,连接CE.判断LABC和LACE数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图2，在等腰△ABC中，AB=BC,点D是BC边上任意一点（不与点B,C重合），在AD的右侧作等腰 △ADE,使AD=DE,∠ADE=∠ABC,连接CE,则(I)中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 (3)在(2)的条件下，若AB=BC=5,AC=3,点D是直线BC上任意一点，请直接写出当CD=2时CE的 长 21.2026山东德州市临邑县.一模)△ABC是直角三角形，∠ACB=90°点E是斜边AB上的动点，连接CE,过 点C作CE的垂线，过点B作AB的垂线，两条垂线交于点F,连接EF. B B 图1 图2 备用图 (I)如图1，若三角形ABC为等腰直角三角形，求证：CE=CF; (2)如图2，若∠A=30°， ①求的值； ②点M是EF的中点，连接BM,CM,若AC=4V3,则当△CBM是直角三角形时，求CF的长. 22.(2026山东菏泽市巨野县.一模)【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： (1)如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在边BC上，且∠DAE=45°，小红对小 波说：“图中线段BD、DE和EC有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把△ABD绕点A逆时针转90°得到△ACF,连接EF,就能证出BD2+E C2=DE2”,小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指、 【解决问题】 ①若AB=6V2,EC=4,则BD=: ②请你帮助小波证明他的结论， 【情境理解应用】 (2)小波接着对小红说：“如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90度，AB=AD,∠ACD=45°， 若AB=5V2,BC=6,你知道AC的长吗？”，小红会意点了头，请帮小红求出AC的长度， 19/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 23.(2026山东济宁市泗水县一模)【综合与实践】如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与 点A不重合，连接CD,以CD为直角边在CD的右侧梢造Rt△CDB,∠DCE=90,连接BE,需-号 m 【特例感知】 (1)如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是，数量关系是： 【类比迁移】 (2)如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 (3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF.如图3.已知AC=4,设AD=x,四 边形CDFE的面积为y ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF=1时，请直接写出AD的长度， 图1 图2 图3 24.(2026山东省青岛莱西市一模)如图，四边形ABCD中，AB II CD,∠ADC=90°，对角线AC⊥BC,AB=2 5cm,BC=20cm,点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s;同时点Q从点A出发沿AB方向匀速 运动，速度为2cms.0为AQ中点，AC与D0交于点E.设运动时间为t(s)(0<t≤)，解答下列问题： →Q (备用图) 20/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)t取何值时，点O在AD和BC夹角的平分线上？ (2)设五边形PQ0DC的面积为s(cm),求s与t之间的函数关系式： 3)是否存在某一时刻t,使五边形PQ0DC的面积为151cm2?若存在求出t的值，若不存在，说明理由； (4)t取何值时，∠AEQ是直角？ 25.(2026·山东青岛通济实验学校.一模)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=8cm,线 段EF与BC重合（E与B重合，F与C重合)，EF从BC位置出发，沿射线AC方向匀速运动，速度为1cm/s;同 时，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s.将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段DF,连 接ED交BC于点G,连接PG,PD,设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题： B 4 2 E D D C M D 图① 图② (I)当t为何值时，点G在线段DF的垂直平分线上？ (2)连接GF,设四边形PDFG的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式； (3)如图②，点H与点D关于点P中心对称，连接AH,HB,是否存在某一时刻t,使点H在△ABC外角LBAM 的平分线上？若存在，直接写出t值；若不存在，请说明理由 考点05 解直角三角形 1.(2026山东日照东港区日照港中学一模)如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的 顶点均为格点，点A,B,C都在格点上，若∠ADB=60°，则tanBAC的值为() A. B.号 c D.9 2.(2026山东省聊城市一模)如图，边长为1的正方形网格中，AB与CD交于E点，则sinzAEC的值为() B D A,2 B. C.v5 5 D. 5 5 21/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026山东滨州市滨城区·一模)如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则cos∠BAC 的值为 4.(2026山东省临沂市罗庄区一模)某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成 员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 C 【步骤一】设计测量方案 - 小组成员讨论后，画出如图① 的测量草图，确定需测的几何 -E 量 B D 图① 【步骤二】淮备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定 在半圆形量角器的圆心处，细 线的另一端系一个小重物，制 成一个简单的测角仪，利用它 图② 可以测量仰角或俯角，如图② 所示淮备皮尺 【步骤三】实地测量并记录数 据如图③，王朵同学站在离古 树一定距离的地方，将这个仪 读数为50 器用手托起，拿到眼前，使视 图③ 图④ 线沿着仪器的直径刚好到达 a= 22/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 古树的最高点， 如图④，利用测角仪，测量后 AB=1.54m. 计算得出仰角α. BD =10m. 测出眼睛到地面的距离AB, 测出所站地方到古树底部的 距离BD 【步骤四】计算古树高度CD.(结果精确到0.1m) (参考数据：sin40°=0.643，cos40°=0.766，tan40°=0.839) 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】， 5.(2026山东省淄博市.一模)某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台AM 的高为3.04米，如图所示.左侧步道AB的长度为42米，倾斜角为38°，右侧步道DE的倾斜角为28°，支架 AC,NF都与地面垂直，AN,MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为2米（点B,C,F,E在同一条直线 上) AN ▣D B CF (I)求右侧步道DE的长度； (2)两步道的底端分别为B,E,求BE的长.（结果精确到0.1.参考数据sin38°≈0.62，cos38°≈0.78，tan 38°≈0.78，sin28°≈0.46，cos28°≈0.88，tan28°≈0.52) 6.(2026山东省青岛市一模)为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等 固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用.如图，小明想测量斜 坡CB上树EP的高度，测得树根部E到坡脚B的距离BE为5米，斜坡BC的坡度为好，小明在距离B点1米远 的D处测得树顶点F的仰角为53°，树EF,斜坡BC的剖面，点D在同一平面上，树EF与地面AD垂直，求 树EF的高度.（结果精确到0.1米.）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 23/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SD 7.(2026山东德州市临邑县.一模)如图，小明从点A出发，沿着坡度i(即tanA)为1：2.4的坡道AB向上走了130 m到达点B,再沿着水平平台BC向前走了80m到达点C,最后沿着坡角为36.8的坡道CD向上走了150m到达 点D. D B 1:2.4 C36.8 (1)当小明到达点B时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点A,D间的水平距离AE的长，（参考数据：sin36.8°≈0.6，cos36.8°≈0.8，tan36.8°≈0.75） 8.(2026山东德州市天衢新区一模)如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头.洗手盆及水龙头 示意图如图2，开启前把手AM与水平线平行，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为47°，此时把手端点 A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底EH的夹角(LACE)为60°，AM=10cm, ME 28cm. B 60° 图1 图2 ()水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求EC的长.（结果精确到0.1cm,参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07，V3≈1.73） 9.(2026山东临沂市郯城县一模)某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大 街最北端的“北水门”高度进行了实地测量.操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为23.5°.在测角仪和大门之间水平光滑的地 面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位 于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得 CE=2米.己知测角仪的高度CD=1米，点A,B,C,D,E在同一竖直平面内，且点B,E,C在同一条 24/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 水平直线上.求北水门AB的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92，tan 23.5°≈0.43) 23.5cD 、 B E C 10.(2026山东省淄博市·一模)综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度、 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离，如图所示，要测 量物体MN的高度，可以按下列步骤进行： E a N B (1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角a. (2)在测点A与物体MN之间的B处安置测倾器(A,B与N在同一条直线上)，测得此时M的仰角B. (3)量出测倾器的高度AC=BD=α，以及测点A和测点B之间的水平距离AB=b.根据测量数据，请求 出物体MN的高度， 11.(2026山东省聊城市东阿县高集中学.一模)如图，M为某物流中心，N,P,Q为三个驿站，N在M的正南 方向4.8km处，Q在M的正东方向，P在Q的南偏西35°方向2km处，N在P的南偏西60°方向.（参考数据：sin 35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，V3≈1.73) M D 60° (1)求驿站P与驿站W之间的距离（结果精确到0.1km); (2)购物节期间，派送员从物流中心M出发，以30km/h的速度沿着M→N-→P→Q的路线派送快递到各个驿站， 派送员途经W,P两个驿站时各停留5min存放快递，请通过计算说明派送员能否在40min内到达驿站Q, 12.(2026山东德州庆云县.一模)如图1，一扇推拉式窗户，AB为固定的窗框底边，AC为该窗户开启的下沿 25/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一边，可绕点A旋转一定角度，MN为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边AC上的点M处，另一端点N在 窗框底边AB上滑动（窗户关闭时，AC,MN叠合在AB边上），支撑杆MN的长度固定不变.窗户打开一定角 度后，AM即与AN构成一个旋转角∠MAN,其侧视图如图2所示，窗户旋转角LMAN的大小控制在一定范围 内(0°≤∠MAW≤160)，其中MN=20cm. M M' N B A N 图1 图2 图3 图4 (1)如图3，窗户旋转角∠MAN=90时，测得LMNA=45°，求此时AM和AW的长（结果保留根号）； (2)在(1)的基础上，继续打开窗户，旋转角∠MAW从90继续增大，旋转到点M,N的对应点分别为点M', N',∠M'N'A=37时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到0.1cm), (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，V2≈1.41,14≈3.74) 13.(2026九下·山东临沂沂水县.一模)如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线1 于点B,D,AB=19分米，CD>AB.在点A,C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米，一件连衣 裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MW⊥L. E(M) B D 777777177777771777774 577TTT1T17T/77> 图1 图2 (1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线1时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该 连衣裙MW的长度； (②)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若 ∠BAE=76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线1的距离约为多少分米？ (结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04) 14.(2026山东省日照市高新区一模)综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全，图2是小桌板展开后的侧 面示意图，其中OA为支架，AB为桌面的宽，调节椅背OP不会改变OA与AB的位置，AB与地面保持平行且 L0AB=127°.当椅背垂直于地面时，0A与0P的夹角为0 26/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (sin37≈2cos37≈手an37sin53≈手cos53≈an53°≈ 3 EO 图1 图2 图3 图4 (1)求0的度数： (Q)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为200小N,F与9满足F=品。，其中m是物体的质量， g=10N/kg.求小桌板能放置物体的最大质量： (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板ABCD上的俯视图，底面圆心为点Q,点Q到AD的距离为10cm;图4 是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径QE=4cm,支架0A=40cm,当椅背0P向后调节30°至0P'处时，在 水杯不被碰倒的情况下，其最大高度EF是多少？ 15.(2026山东济宁市邹城市一模)如图1，小明家在天花板上的点0处安装了一个智能监控摄像头（将摄 像头视为一个点)，某一时刻，竖直站立在地面O'C上的小明位于图中MN所示的位置（将小明视为线段 MN),摄像头的视角上限OA恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限OB交地面所在直线O'C于点B, 若摄像头吊装离地距离00'=2.8米(00'垂直于地面所在直线0'C),其视角∠A0B=50°，摄像头的视角下 限0B与OO'形成的夹角∠B00'=22°，小明身高MN为1.8米. D P (A)M M (AM M ① B N'O B N'O 图1 图2 3 (1)求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区△0B0(参考数据：tan72°≈ 0 tan22 (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线0'C的天花板OD上的点P处加装一个 同款摄像头，使得新摄像头的视角∠OPB完全覆盖(1)中的视野盲区△OBO'(∠0PB=∠AOB=50),则 点P到点O的距离0P至少要为多少米？（参考数据：tan22≈系tan40°≈ 27/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(2026山东青岛市市南区一模)湛山寺位于青岛市湛山西南、太平山东麓，在寺庙的后方东侧，有一座 八角七级砖塔（图1所示)，被称为“药师塔”. 课 测量药师塔的高度 题 测 量 测角仪等 工 测 量 示 意 图 图1 图2 测 如图2，为了测量药师塔BC的高度，采用了如下的方法：先从与塔底B在同一水平 量 线上的A点出发，沿斜坡AD行走25米至坡顶D处，再从D沿水平方向继续前行若干 过 米后至点E,在E点测得塔顶C的仰角为72°，塔底B的俯角为45° 程 说 点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=7:24.要求结果精确到1 明 m.(参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.07) (I)求坡顶D到AB的距离； (2)计算药师塔BC的高度. 17.(2026山东省青岛莱西市·一模)火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消 防车是消防救援的主要装备、某种消防车云梯侧面示意图如图2所示，点D,B,O在同一直线上，D0可绕 着点O旋转，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，AB为云梯的液压杆，点O,A,C在同一水平线上，在某 种工作状态下测得液压杆AB=3m,∠BAC=53,∠D0C=37.(参考数据：sin37≈，an37°≈是sn 53≈，tan53≈手sin64≈0.90，cos64≈044 28/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 (1)求0B的长； (2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m,云梯D0绕着点O顺时针旋转一定的角度， 消防人员发现云梯末端点D的铅直高度升高了3m,求云梯OD旋转的度数， 18.(2026山东德州市天衢新区一模)“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建 一种天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树干EF上 的点E处，使得A,D,E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕的开合，AC=AD=2m,BF=3 m. D B (1)天晴时打开“天幕”，若La=65°，求遮阳宽度CD(结果精确到0.1m); (2)下雨时收拢“天幕”，∠a从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m). (参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，V2≈1.41) 19.(2026山东省德州市乐陵市·一模)根据以下材料，完成任务 如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地 材料1 小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点A距离地面3m,AB与水平面的 材料2 夹角为16° 29/31 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .16-12A 45 D 一E 材料3 当太阳光线AD与地面CE的夹角为45时，阴影CD的长约为2.8m 任务1 求出大树的树枝AB的边缘点A到树干BC的距离 任务2 求出大树的树枝AB的长度（保留整数） 备注 参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29 20.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图.路 灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN,且它们之间的水平距离BC=2m,折臂底座高 CD=1.5m,上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED=88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，下折臂 端点E到地面MN距离是4.5m, D 图1 图2 (I)求下折臂DE的长； (2)求路灯AB的高. (结果精确到0.1m,参考数据：sin43°=0.68cos43°≈0.73，tan43°≈0.93y2≈1.41) 21.(2026山东济南市商河县一模)如图1是一种路灯的实物图，由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，图2 是它的示意图，灯杆AB与地面垂直，灯管支架BC与灯杆AB的夹角，∠ABC=127°，在路灯正前方的点D处 测得.∠ADB=37°，∠ADC=45°，AD=400cm.（结果精确到1cm,参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75) 30/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B A y D 图1 图2 (1)求灯杆AB的长度， (2)求灯管支架BC的长度. 31/31 专题04 三角形 5大考点概览 考点01几何初步 考点02三角形及其全等 考点03等腰三角形 考点04相似 考点05解直角三角形 几何初步 考点01 1．(2026·山东济宁市泗水县·一模)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    故选：C． 2．(2026·山东聊城市冠县·一模)如图，，一个三角尺的直角顶点在直线b上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，邻补角；由直角三角形的性质可求得的度数，由三角形外角的性质可求得的度数，由邻补角即可求得的大小． 【详解】解：如图，由于三角尺是直角三角形，且， 则， ， ； ， ； 故选：A． 3．(2026·山东省聊城市·一模)已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据计算即可． 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．(2026九·山东淄博高新区·一模)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5．(2026·山东省临沂市·一模)小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：设交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6.(2026·山东滨州市阳信县·一模)如图，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作CF∥AB，由AB∥DE可知，AB∥DE∥CF，再由平行线的性质可知，∠1=∠BCF，∠2+∠DCF=180°，故可得出结论． 【详解】解：过点C作CF∥AB，如图： ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠BCF=∠1①，∠2+∠DCF=180°②， ∴①+②得，∠BCF+∠DCF+∠2=∠1+180°，即∠BCD=180°+∠1-∠2． 故选：A． 7．(2026·山东省青岛市·一模)将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为________． 【答案】/75度 【分析】此题考查平行线的性质，利用三角板的特征求得的度数，再根据平行线的性质，即可解答，关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：如图，∵一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 8．(2026·山东德州庆云县·一模)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________．    【答案】/度 【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案． 【详解】解：如图，先标注点与角，    由对折可得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 9．(2026·山东省淄博市·一模)如图，是地球的示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为，此时______． 【答案】 【分析】首先求出的度数，最后根据南北回归线关于赤道对称的性质，得出的度数． 【详解】解：是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵分别表示北回归线和南回归线，表示赤道， ∴． ∴． 故答案为． 10．(2026·山东东营市利津县·一模)如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 11．(2026·山东省济南市·一模)如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置．若，则的度数为_____． 【答案】48°/48度 【分析】根据平行线的性质可求得∠DEF=66°，由折叠的性质，结合平角的定义可求解． 【详解】解：在长方形ABCD中，ADBC， ∴∠DEF=∠EFB， ∵∠EFB=66°， ∴∠DEF=66°， 由折叠可知：， ∵， ∴． 故答案为：48° 12．(2026·山东省淄博市·一模)如图，，平分，平分 ． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义，结合已知得到，然后根据平行线的判定可得结论； （2）先求得，再证明，利用平行线的性质求得，再根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分 ； （2）解： ， 平分 ． 三角形及其全等 考点02 1．(2026·山东省济南市·一模)如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形的内角和定理求出，利用全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 2．(2026·山东德州市德城区·一模)如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ∵， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 3．(2026·山东省潍坊市·一模)如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，连接、、、，与交于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，结合为中点可判断A；由及为中点，利用平行线分线段成比例推论可判断B；由，利用平行线性质可判断C；根据等腰三角形三线合一性质及已知可判断D． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ，， 点是边的中点， ， ，故A正确； ，即， 点是边的中点， ∴，则，故B正确； 点、、分别是边、、的中点， 是的中位线， 是的中位线， ， ， ， ， ，故C正确； 点是边的中点， 是的中线， 若，则也是的角平分线， 根据等腰三角形“三线合一”性质，此时应有， 但这与已知条件矛盾， ，故D不正确． 4．(2026·山东省潍坊市·一模)如图是某种螺丝钉的螺纹的示意图，图中的虚线均为水平线或铅垂线，图中已标注有关角度、水平线间或铅垂线间的距离，则该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据题意得出是等边三角形，求出螺纹间距，再求出螺纹深度，即可得解． 【详解】解：如图，作， 由题意可知，，， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ， ，即螺纹间距为， 螺纹深度， 该螺丝钉的螺纹深度与螺纹间距的比是． 5．(2026·山东省聊城市·一模)在中，，，，线段，，两点分别在和的垂线上移动，则当_____时，才能使和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定(定理)，关键是分两种情况讨论直角边的对应关系，结合斜边相等的条件确定的长度． 【详解】解：∵，， ∴，即与均为直角三角形，且斜边． 若，则与为对应边， ∵， ∴； 若，则与为对应边， ∵， ∴． 故答案为：或． 6．(2026·山东省潍坊市·一模)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于、、，和是这个台阶的两个相对的端点，一只蚂蚁从点沿着台阶面爬到点，其爬行的最短距离是________dm． 【答案】 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从点到点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ，， ， 即蚂蚁爬行的最短线路为． 7．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，为AD上的中点，则BE＝______．    【答案】 【分析】延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可. 【详解】解：延长BE交CD于点F, ∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE， 又E为AD上的中点，∴AE=DE, 所以. ∴ ∴ 在直角三角形BCF中，BF==. ∴.    8．(2026·山东滨州滨城区·一模)课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是_____. 现将△ABF向上翻折，如图②，已知，，，则△ABC的面积是_____. 【答案】 7 【分析】（1）由图①可知， ，，，根据勾股定理可知，继而可得出三者间的关系； （2）由图②可得出，，化简代入数值即可． 【详解】解：（1）根据勾股定理可知， 由图①可知， ，，， ∴，，满足的数量关系是：． （2）由图②可得出， 整理可得： 代入数据得出：． 故答案为：；7． 9．(2026·山东青岛通济实验学校·一模)已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】延长至，使,则可得点和B点关于对称．过点作交于E点，交于F点，连接．由“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长．根据面积法求出的长，即可得的最小值． 本题考查了轴对称的性质，勾股定理，“垂线段最短”，利用“垂线段最短”求线段之和最小．熟练掌握以上知识，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 10.(2026·山东滨州市滨城区·一模)如图，线段，C是线段上的动点，以，为边在上方作等边和等边，的周长的最小值为______． 【答案】30 【分析】过点作的垂线，设垂足为，过点作于点，由等边三角形的性质可得，则，将的周长转化为求解即可． 【详解】解：过点作的垂线，设垂足为，过点作于点 则四边形为矩形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ， 当点与的中点重合时取等， 即周长最小值为． 11．(2026·山东省滨州市·一模)如图，在中，于点D，E，F分别为，的中点，G为边上一点， ，连结．若，，，则的长为_____．    【答案】3 【分析】先根据三角形中位线定理得出，，再利用直角三角形斜边上的中线的性质，得到，进一步推得，从而判定，得出四边形是平行四边形，因此，然后设，利用三角函数的定义得到，，最后列出方程即可求解答案． 【详解】E，F分别为，的中点， 是的中位线， ，， ，F为的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 即， ， 故答案为：3． 12．(2026·山东滕州滕南中学·一模)明明用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图，在中，，，，他在边上找一点，在边上找一点，沿直线折叠，得到，点的对应点为，改变，的位置，始终让点落在边上，当为直角三角形时，的长为__________． 【答案】或 【分析】由折叠的性质得到，当为直角顶点时，，当为直角顶点时，，根据三角形对应边成比例求解即可； 【详解】在中，，，， ， 由翻折可知， ， 当为直角顶点时，如图， ，， ， ， ， ； 当为直角顶点时，如图， ，， ， ， ， ， 当为直角三角形时，的长为或． 13．(2026·山东东营市利津县·一模)如图，中，，，D为的中点，在上，点在上，，将线段绕着点旋转，使点落在射线上点处，则_____． 【答案】或 【分析】满足条件的N点有、两个．①当时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，作于E点，于F点，根据角平分线的性质可得，再根据可得，进而可得，由平行线的性质及三角形外角的性质可得，从而可得，进而可得．②当时，结合可得，进而可得，从而可得解． 【详解】解：根据旋转的性质可得．如图，满足条件的N点有、两个． ①当时， ∵中，，，D为的中点， ∴是的平分线， ∴， 作于E点，于F点， 则，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上，为或． 14．(2026·山东济宁市邹城市·一模)如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 【答案】1 【分析】在上取一点D，使得，连接，，证明，，从而得出，再过点P作交于点H，设，，利用勾股定理和解30度直角三角形求得的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，在上取一点D，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴，即是等边三角形， 过点P作交于点H， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为1， ∴的最小值也为1． 15．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 如图，在等腰中，直角边，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为__________． 【答案】/ 【分析】连接，根据勾股定理得，，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得，即可得点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，则为点M所经过的路线长，然后说明是的中位线，并根据中位线的性质得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，且，点D是的中点， ∴，． ∵，点M是的中点， ∴，且， 在中，， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上，交于点G，交于点H，，交于点O， ∴为点M所经过的路线长，． ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． 所以点M所经过的路线长为． 16．(2026·山东临沂市郯城县·一模)如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 等腰三角形 考点03 1．(2026·山东德州市天衢新区·一模)如图，在中，点D在上，，，，E，F分别是的中点，则的长为（   ） A．12 B．10 C．13 D．11.5 【答案】B 【分析】连接，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接． ，为的中点， ，． 在中，由勾股定理得． ， ． 在中，由勾股定理得． 为的中点，， ． 2．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)如图，在中，，，边的中点为，边上的点满足．若，则的长是___________． 【答案】6 【分析】根据等腰三角形的性质以及直角三角形所对的直角边是斜边的一半得到，根据勾股定理求出，即可求出，过点作，求出，即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ，， ， 边的中点为， ， 过点作， ， 是等腰三角形， 是的中点， ， ． 3．(2026·山东济宁任城区·一模)如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，连接，可证，得到，，可知当时，线段的值最小，进而解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形，，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当时，线段的值最小， 此时，， ∴， 故答案为：． 4．(2026·山东省淄博市·一模)如图，已知：，点、、在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， 同理可得：， ∴， ， ， …， 则的边长为． 故答案为：． 5．(2026·山东省青岛莱西市·一模)综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． (1)如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； (2)如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】（1）由“哥俩三角形”的定义可得，，，，可证明，可得； （2）①先可得，可得，，再由，，可得，，即可求解； ②过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，设，则，，再证明，即可求得，再求得，即可求解． 【详解】（1）解：由“哥俩三角形”的定义可得，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①∵和互为“哥俩三角形”， 同理（1）可得， ∴，， 由题意可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接， 同理①可知，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 相似 考点04 1．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、平行四边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ， ∴点C的坐标为， ∵以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为， ∴点C的对应点的坐标为或， 即或， 故选：C． 2．(2026·山东省淄博市·一模)如图，在中，，，，设，，则y与x的函数关系可以用图象（    ）表示 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证，得，可得，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 符合的图象为． 3．(2026·山东省济宁市兖州区·一模)如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 4．(2026·山东省德州市德城区·一模)如图，直角梯形ABCD中，，，，，．P是直线上一点，使得与相似，这样的点P的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由于，故要使与相似，分三种情况讨论：①点P在线段的反向延长线上；②点P在线段上；③点P在线段的延长线上讨论，每一种情况里再分和两种情况讨论，根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可得到点的个数． 【详解】解：设的长为， ∵，， ， ． ①当点P在线段的反向延长线上，则． 若边上存在点，使与相似，那么分两种情况： 若，则， 即， 解得： 若，则， 即， 整理得： ， ，（舍去）； 或； ②当点P在线段上，则 若，则， 即， 解得： 若，则， 即， 整理得：， ， 方程无解， ； ③当点P在线段的延长线上，则 若，则， 即， 解得：（舍去）， 若，则， 即， 整理得： ， ，（舍去）； 满足条件的点的个数是4个． 5．(2026·山东省济宁市兖州区·一模)如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为， ． 6．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模) 如图，在四边形中，，，，，点在边上，，连接，且．点在的延长线上，连接若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长交延长线于点，过作于点，则，由三线合一性质可得，然后证明四边形是矩形，所以，，又，则可证，所以，求出，然后通过平行线的性质和等角对等边可得，设，则，，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 即， ∴， 故答案为：． 7．(2026·山东省淄博市·一模)如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，设直线与y轴交于G，过A作直线于H，轴于F， ∵轴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点， ∴， 在中，,， 即， ∵随的减小而增大， ∴当最小时有最大值， 即最小时，有最大值，即最大时，有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为， 即， ∴， ∵ ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴，， ∴的面积为． 8．(2026·山东德州庆云县·一模)如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 9．(2026·山东省济南市济南高新技术产业开发区·一模) 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝；（3）5﹣2 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 10．(2026·山东省济宁市金乡县·一模) 某校九年级数学兴趣小组借助等腰直角三角形模型进行了探究活动． 【模型应用】 如图1，中，，，D为的中点．连接，作，垂足为E，连接． 【解决问题】 (1)求的值； (2)求证； 【拓展探究】 (3)在图1基础上，兴趣小组又进行了下面操作： 如图2，以，为邻边作正方形，连接交于点G，过点A作，交的延长线于点H，连接EG，HG． 此时，小组成员甲说：“当时，四边形是平行四边形”． 你赞同小组成员甲的说法吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)赞同小组成员甲的说法，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到和，证明，再根据三角函数进行计算即可； （2）延长至点M，使，连接，证明，求出，证明，推理出，再根据相似三角形的性质得到结论即可； （3）证明，再得到，求出，证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，D为的中点， ， ； （2）证明：延长至点M，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：赞同小组成员甲的说法． 理由：是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 11．(2026·山东济南市平阴县·一模) 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图，求证：； (2)如图，当，时，求的长； (3)如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（）由旋转性质可得，，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，，则有，过作，，则，在中，，即，则，，通过勾股定理得，又，则，然后代入即可求解； （）设旋转角为，，，，，，再证明，通过全等三角形的性质可得，又，则． 【详解】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：设旋转角为， 则，，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．(2026·山东滨州滨城区·一模)阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可解答； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； （2）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为． 13．(2026·山东省威海市·模拟)如图1，，为中点，点在上方，连接，． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）①根据得出，，根据已知可得； ②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ 又，则， ∴ ∴ ∴当为的直径时，取得最大值为 ∴的最大值为 14.(2026·山东省淄博市桓台县·一模) 【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案． 【探究感悟】 小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上； (1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为； (2)在图2中找出与相等的角，并证明； (3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）证明，可得，即可求解； （3）证明，可得，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点与点的连线恰好平分， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得： ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．(2026·山东枣庄市第十五中学·一模) 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． (1)【问题发现】 如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________； (2)【问题提出】 如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明； (3)【问题解决】 如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可证，运用“边角边”证明即可求解； （2）根据题意证明，得到，，再证明，由相似三角形对应角相等即可求解； （3）根据正方形的性质，可证，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：∵是等腰三角形，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，则， ∴， 同理，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，是对角线， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 16．(2026·山东省济南市槐荫区·一模) 【先导问题】 (1)如图1，中，，，若，则________度； (2)【提炼模型】如图2，在中，，，且满足，求证：； (3)【识别模型、应用模型】如图3，直线上有一定点，，，点为直线上一点，连接，，且满足，求的最小值． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）先证明，进而即可得到答案； （2）先证明，进而即可得到答案； （3）分点C在B的右侧、左侧以及和B重合讨论，过点作，使得，连接，通过证明，可得点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆，从而得为等腰直角三角形，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点C在店B的右侧时，如图，过点作，使得，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆的一部分，即优弧， 如图，连接、， ∵． ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴； 当C和B重合时，D和G重合，此时， 当C在B的左侧时，如图，过点作，使得，连接， 同理可证， ∴， ∵，， ∴点的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆的一部分，即劣弧， 如图，连接、，连接交于点， 同理可求， ∴的最小值为， 综上，的最小值为． 17.(2026·山东省德州市德城区·一模) 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见解析；不成立，，证明见解析 (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 18．(2026·山东省潍坊市·一模)【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）当时，，连接，可证明，得出，则，根据勾股定理求出，即可得证； （2）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．则，，得出，，由（1）可得，证明，根据相似三角形的性质求出∴，即可求解 （3）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可； （4）当时，，取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可． 【详解】（1）证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （3）解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （4）解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 19．(2026·山东省日照市高新区·一模) 综合与探究：如图，在中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)当点落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； (2)当时，过点作交于点，若，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)或 【分析】（1）①首先根据题意证明和是等边三角形，然后证明出，最后利用全等三角形的性质求解即可；②首先证明出和是等腰直角三角形，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点D在线段上时，设，则，然后根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，进而求解；同理可求当点D在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：①∵将绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． （2）解：如图3，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，可得， ∴，即； 当点D在线段的延长线上时， ∵ ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴，即． 综上所述，或． 20．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)探究解题： (1)如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 (3)在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用证明，得； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）分两种情况，即点在线段上和点在线段的延长线上，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：相等，理由如下： 是等腰直角三角形， ，， ， 即， ， ， ； （2）解：成立，理由： ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）解：如图2，当点在线段上， 根据（2）可得， ， ，， ， ． 如图3，当点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ． 综上所述，为或． 21.(2026·山东德州市临邑县·一模)是直角三角形，点E是斜边上的动点，连接，过点C作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点F，连接． (1)如图1，若三角形为等腰直角三角形，求证：； (2)如图2，若， ①求的值； ②点M是的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查三角形全等与相似的判定及性质、直角三角形的性质，解题关键是通过分析角的关系证明三角形全等或相似，利用相关性质建立边的联系，结合直角三角形性质求解． （1）利用等腰直角三角形的性质，得到，，由推出．再根据同角的余角相等，即，得出．最后证明，从而得出结论． （2）①根据直角三角形两锐角互余，由，推出；再结合，得到．由此证明，根据相似三角形对应边成比例，结合中，得出答案．②先由直角三角形斜边中线性质得出，根据是直角三角形确定；利用第一小问相似结论得到，结合已知求出；再由勾股定理求出，进而得到；最后在中设，根据勾股定理列方程，求解即可． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①， ， ， ， ， 在中 ， ； ②点M是的中点，， ，， 又为直角三角形 只能 由①可知 ， ， ， ， 设，则， 在中 ， ， 的长为． 22．(2026·山东菏泽市巨野县·一模)【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 【答案】（）①；②证明见解析；（） 【分析】（）①由勾股定理可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；②由旋转的性质可得，，，，进而可证，得到，再根据得到，即可求证； （）作于，由勾股定理得，进而得，又由等腰三角形的判定可得，即得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； ②证明：∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示， 则，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，’ ∴； （）作于，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， 在中，，， ∴， ∴． 23．(2026·山东济宁市泗水县·一模)【综合与实践】如图，在Rt中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造Rt，，连接，． 【特例感知】 （1）如图，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，如图．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①与的函数表达式为，最小值为8；②或． 【分析】（1）由，证明，即可得出，； （2）由已知得出，即可得出，； （3）由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出，数形结合即可求解； 过作于，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）， ，， ， ，，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 故答案为：，； （2），，证明如下； ， ，即， 又， ， ，，则， 又， ， ， ； （3）连接交于， ，， ∴，， ， 设， ， 由（1）可知，，， ， ， 点与点关于对称， 垂直平分， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 与的函数表达式为， 由， 其最小值为； 过作于， ， 是等腰直角三角形， ∴在，，， ， ， 连接，由①可知，四边形是正方形， ，， 在中， ， ，， 又，， ， ，， ， 在，，， ∴， ， ， 解得或， 或． 24．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) (3)存在，5 (4) 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． （3）解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 25.(2026·山东青岛通济实验学校·一模)如图①，在中，，，，线段与重合（与重合，与重合），从位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，，设运动时间为（）．解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点与点关于点中心对称，连接，，是否存在某一时刻，使点在外角的平分线上？若存在，直接写出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（1）根据求得结果； （2）过点作交于点，过点作交于点，连接、，根据解直角三角形可表示出和，进而表示出，，，从而得出的关系式； （3）过点作交于点，过点作交于点，连接，过点作交延长线于点，作平分，交于点，过点作交于点，连接，先假设存在，使点在外角的平分线上，根据角平分线性质得出，根据等面积法求出的值，再证明，结合相似的性质和（2）中线段的值求出，最后根据角度的等量代换推出，即，将已知值代入求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴根据勾股定理：， ∵从位置出发，沿射线方向匀速运动， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴； （2）如图1，过点作交于点，过点作交于点，连接、，　 ∵，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，　　 ∴，　　 ∴， ，　　 ， ∵， ∴； （3）如图3，假设存在，使点在外角的平分线上，　　 过点作交于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，作平分，交于点，过点作交于点，连接，　　 ∴，　　 由得，，　　 ∴，　　 ∴， ∵点与点关于点中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，， ∵由（2）得， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵由（2）得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，　　 ∴，，　　 ∴，　　 ∴， ∴， ∴，　　 ∴，　　 ∴当时，点在外角的平分线上． 解直角三角形 考点05 1．(2026·山东日照东港区日照港中学·一模)如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，过点作于点，先求出的度数，即可求出的长，勾股定理可求出的长，于是得出的长，再证，即可求出的值． 【详解】解：由图得，，， ， 是等边三角形， ，， 设菱形的边长为1， 则， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故选：B． 2．(2026·山东省聊城市·一模)如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接格点、，根据网格特征结合勾股定理得出，，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，连接格点、， ∵正方形网格的边长为， ∴，，，， ∴，是直角三角形，， ∴， ∴． 3．(2026·山东滨州市滨城区·一模)如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出． 【详解】解：由正三角形的性质可知， 设正三角形构成的网格线段长为， 在中，，， 根据勾股定理，可得， ， 故答案为：． 4．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：王朵              综合实践活动报告            时间：2023年4月20日 活动任务：测量古树高度 活动过程 【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．      【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．      【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离．   ________． ． ． 【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：） 请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】． 【答案】， 【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得的度数，证明四边形是矩形得到，再解直角三角形求得的度数，即可求解． 【详解】解：测角仪显示的度数为， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形，，      在中，， ∴． 5．(2026·山东省淄博市·一模)某公园有个观望台可以俯瞰全园风景，有左、右两个步道可以登顶，观望台的高为3.04米，如图所示．左侧步道的长度为42米，倾斜角为，右侧步道的倾斜角为 支架都与地面垂直，都与地面平行，两支架之间的距离为2米（点B，C，F，E在同一条直线上）． (1)求右侧步道的长度； (2)两步道的底端分别为B，E，求的长．（结果精确到0.1．参考数据：） 【答案】(1)50米 (2)78.8米 【分析】本题考查了解三角形的应用，包括已知正余弦值求解边长，解决本题的关键是熟练掌握正弦与余弦的计算． （1）根据角B的正弦值可求解的长，由此可求解的长度，即可求解的长度； （2）先求解和的长度，由此可求解的长度． 【详解】（1）解：在中，米，， ． ， ． 在中， 答：右侧步道的长度为50米． （2）解：在中，． 在中，， ． 答：的长约为78.8米． 6．(2026·山东省青岛市·一模)为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，小明想测量斜坡上树的高度，测得树根部E到坡脚B的距离为5米，斜坡的坡度为，小明在距离B点1米远的D处测得树顶点F的仰角为，树，斜坡的剖面，点D在同一平面上，树与地面垂直，求树的高度．（结果精确到米．）（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】延长交于点，则，根据，，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交于点，则， 在中，， ∴ 设 由勾股定理得，，即 解得（舍） ∴ 在中， ∵ ∴ ∴           答：树的高度为米． 7．(2026·山东德州市临邑县·一模)如图，小明从点出发，沿着坡度（即）为的坡道向上走了到达点，再沿着水平平台向前走了到达点，最后沿着坡角为的坡道向上走了到达点． (1)当小明到达点时，求他沿垂直方向上升的高度； (2)求点，间的水平距离的长．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题， （1）过点作于，过点作于，延长交于，设，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出； （2）根据余弦的定义求出，进而求出； 掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，过点作于，延长交于， 设， ∵坡道的坡度为，， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， 答：他沿垂直方向上升的高度为； （2）如图，过点作于，过点作于，延长交于， 由（1）可知：， 由题意知：，， ∵，， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴． 答：点，间的水平距离长约为． 8．(2026·山东德州市天衢新区·一模)如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)A点上升的高度 (2)的长为 【分析】（1）过点A作于G，作于N，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）证明四边形为矩形，得，．解求出，，解，得，由可得结论． 【详解】（1）解：过点A作于G，作于N， 在中，，， 由题意得，． 答：A点上升的高度． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为． 9． (2026·山东临沂市郯城县·一模)某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】13米 【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 根据题意可知， 在中，， ∴， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得，所以北水门的高度约13米． 【点睛】本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值． 10．(2026·山东省淄博市·一模)综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度． 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角． （2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角． （3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度． 【答案】 【分析】连接，延长交于点，由题易知，，设，结合解直角三角形的相关计算表示出，再结合建立等式求出，进而即可求出物体的高度． 【详解】解：连接，延长交于点， ，， 由题意知，， 设， 则，， ， ， 解得， ． 11．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在的南偏西方向.（参考数据：，，，） (1)求驿站与驿站之间的距离（结果精确到）； (2)购物节期间，派送员从物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 【答案】(1)驿站与驿站之间的距离约为 (2)派送员能在内到达驿站 【分析】（1）过点作于点，于点，结合PQ长度和，可计算出PB的长度，证明四边形是矩形，得的长度，由与，即可求出的长度； （2）由总路程计算总时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， 由题意得，，，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：驿站P与驿站N之间的距离约为． （2）解：根据题意可得，， ， ∵， ∴派送员能在内到达驿站． 12．(2026·山东德州庆云县·一模)如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． (1)如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； (2)在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）先证明，再利用三角函数的意义进行计算即可； （2）如图3中，作交的延长线于点，解直角三角形得出是，进一步相减可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得：窗户旋转角时，测得， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图3中，作交的延长线于点， 在中，， ， ∴， ， 在中，， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为：． 13．(2026九下·山东临沂沂水县·一模)如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线l于点B，D，分米，．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，分米，一件连衣裙挂在点E处（点M与点E重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)该连衣裙的长度为14分米 (2)该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再证明四边形是矩形，得到，即可得到答案； （2）过M作于K，先求出，再求出，进而即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可知：在中，分米，分米，， ∴（分米）， ∵分米， ∴（分米）， ∵，和分别垂直地面水平线l， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（分米）， ∴该连衣裙的长度为14分米； （2） 解：如图2，过M作于K， ∵在中，分米，，， ∴（分米）， ∵分米， ∴（分米）， ∴（分米）， ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米． 14．(2026·山东省日照市高新区·一模)综合与实践 图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为． （，，，，，） (1)求的度数； (2)为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量； (3)图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，矩形的判定和性质，一元一次不等式的应用等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作交与点D，则，由邻补角的定义得出，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． （2）根据题意可得出，解不等式即可求解． （3）过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，通过解和，分别求出和，然后相减即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作交与点D， 则， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴支架能承受的最大力F为， 则， 解得：， 则小桌板能放置物体的最大质量为． （3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是． 15．(2026·山东济宁市邹城市·一模)如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米． (1)求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，） (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，） 【答案】(1)小明往摄像头的方向前进2.7米后，将完全进入摄像头的视野盲区 (2)点P到点O的距离至少要为3.36米 【分析】（1）利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解； （2）过点B作，垂足为F，利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，记直线与交于点E， 由题意可得四边形和都是矩形． ，， ． 在中，，， , ，， ， 在中，，， ， 米，， ， ， 则小明往摄像头的方向前进米后，将完全进入摄像头的视野盲区． （2）解：如图，过点B作，垂足为F， 由题意可得，四边形为矩形． 且， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ，， ， ，， ， ∴点P到点O的距离至少要为米． 16．(2026·山东青岛市市南区·一模)湛山寺位于青岛市湛山西南、太平山东麓，在寺庙的后方东侧，有一座八角七级砖塔（图所示），被称为“药师塔”． 课题 测量药师塔的高度 测量工具 测角仪等 测量示意图 测量过程 如图，为了测量药师塔的高度，采用了如下的方法：先从与塔底在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从沿水平方向继续前行若干米后至点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为． 说明 点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．要求结果精确到．（参考数据：，，） (1)求坡顶到的距离； (2)计算药师塔的高度． 【答案】(1)坡顶到的距离为米； (2)药师塔的高度约为米． 【分析】（）过点作，垂足为，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （）延长交于点，根据题意可得，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答； 本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：（米）， ∵米， ∴， 解得:， ∴米， ∴坡顶到的距离为米； （2）解：如图，延长交于点， 由题意可得，米， ∵塔底的俯角为，， ∴， ∴， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴药师塔的高度约为米． 17．(2026·山东省青岛莱西市·一模)火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备、某种消防车云梯侧面示意图如图2所示，点在同一直线上，可绕着点旋转，其中可伸缩，套管的长度不变，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，在某种工作状态下测得液压杆，，．（参考数据：，，，， (1)求的长； (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现云梯末端点的铅直高度升高了，求云梯旋转的度数． 【答案】(1) (2)云梯大约旋转了 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． （1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中，， ∴ ， 在中，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 18. (2026·山东德州市天衢新区·一模)“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m． (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； (2)下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)遮阳宽度约为 (2)点下降的高度约为 【分析】（1）在中，利用正弦可得的长，由此即可得； （2）设点下降到点，过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再分别解直角三角形可得的长，然后根据线段和差即可得． 【详解】（1）解：由题意得：是轴对称图形， ， ，， ， ， 答：遮阳宽度约为． （2）解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， ，即， 当时，， 当时，， 则， 答：点下降的高度约为． 19．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 根据以下材料，完成任务． 材料1 如图，幸福村村口有棵大树，平时是居民喜欢的一个聚集地 材料2 小明画出了大树的侧面示意图，经过测量，点距离地面，与水平面的夹角为 材料3 当太阳光线与地面的夹角为时，阴影的长约为 任务1 求出大树的树枝的边缘点到树干的距离 任务2 求出大树的树枝的长度（保留整数） 备注 参考数据： 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）先过点作，垂足为点，过点作于点，由题意，得，根据，得出，结合，得出，再证得四边形是矩形，得出，即可解答； （2）在中，根据，，，求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，垂足为点，过点作于点， 则，． 由题意，得． ， ， ， ． 又 ， ． ，，， 四边形是矩形， ． 即树枝的边缘点到树干的距离为． （2）在中，，， ， 树枝的长约为． 20．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． （2）解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 21．(2026·山东济南市商河县·一模)如图1是一种路灯的实物图，由灯杆和灯管支架两部分构成，图2是它的示意图，灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．，在路灯正前方的点处测得．，，．（结果精确到．参考数据：，，） (1)求灯杆的长度． (2)求灯管支架的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查解直角三角形，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握解直角三角形的应用，矩形的性质，进行解答，即可． （1）根据解直角三角形，，解出，即可； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质，则，，，求出，根据等角对等边，则，设，根据，求出；再根据，即可． 【详解】（1）解：∵灯杆与地面垂直， ∴， 在中， ∵， ∴， 答：灯杆的长度为． （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中， ∵， ∴，即, ∴， ∵， ∴． 答：灯管支架的长度约为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $