专题03 函数（5大考点）（山东专用）2026年中考数学一模分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆5大考点概览 考点01平面直角坐标系与函数 考点02一次函数及其应用 考点03反比例函数及其应用 考点04二次函数图象与性质及其实际应用 考点05二次函数与几何的综合应用 考点01 平面直角坐标系与函数 1.(2026山东济宁市邹城市一模)一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025个单位长度，再向正方 向移动2026个单位长度到达点P,则点P表示的数是() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(2026山东省潍坊市一模)在平面直角坐标系中，点M(t-1,3-)是随着t变化而变化的一个动点，则动 点M构成的图象不可能经过的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 3.(2026山东省临沂市一模)明明从家出发去书店买书.当他走到一半路程时，突然发现忘记带钱，于是他 返回家中取钱后立即去书店，买好书后就开心地回家了.下面能反映明明活动情况的是图() 个路程 个路程 时间 B. 时间 个路程 个路程 c. 时间 D. 时间 4.(2026山东省潍坊市·一模)给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩 形.如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是() 1/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 h h A.O IB.O c o D O 5.(2026山东省淄博市·一模)如图，⊙O上有两点M和N,若点N在圆上匀速运动一周，那么弦MN的长 度y与时间t的关系可能是下图中的() ① ④ A.① B.③ C.①或③ D.②或④ 6.(2026山东临沂市郯城县.一模)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电 源线会明显发热，存在安全隐患，数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中 的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图 2),下列结论中错误的是() 超负荷了！ I/A个 Q/J小 2 440P/W A 图1 图2 A.当P=440W时，I=2A B.Q随I的增大而增大 C.I每增加1A,Q的增加量相同 D,P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 7.(2026山东省淄博市一模)如图为函数y=+的部分图象，则关于函数y=+1的图象与性质的描述 正确的是() 2/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ol 1 2 A,该函数图象关于y轴对称 B.函数值y随自变量x的增大而减少 C.函数值y有最小值为0 D.当-2<x<-1时，-a<y<-b 8.(2026山东日照市高新区·一模)在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三 个交点，分别为(-4,0)，(-2,0)，(3,0).给出下面四个结论： ①当y>0时，-2<x<3; ②当-<x<0时，y随x的增大而增大： ③点M(m,m+2)在此函数图象上，则符合要求的点只有一个： ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点. 上述结论中，所有正确结论的序号是() -3 2-10123 45 3 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 9.(2026山东青岛市市南区一模)如图，将△ABC沿x轴翻折后，再绕原点旋转180得到△A'BC',则点B 的对应点B的坐标为() 3/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 3 5-4-3-2-1 1 234.5x =4 A.(3,1) B.(2,1) C.(-3,-1) D.(-1,-3) 10.(2026山东临沂市罗庄区一模)在平面直角坐标系中，若点M(m-1,m-1)与点C(2m+3,m-1)之间的距 离是5，则m= 11.(2026山东省德州市乐陵市·一模)在平面直角坐标系中，将点A(2,-5)向左平移4个单位长度得到点B, 则点B关于x轴的对称点C的坐标是 12.(2026山东省淄博市·一模)如图，A和B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至A1B1,则ab 的值为 y B1(a,2） B(0,1) A1(3,b) 0 A(2,0) x 13.(2026山东日照市东港区开发区一模)如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示 方向运动，第一次运动到(1,3)，第二次运动到(2,0)，第三次运动到(2，-1)，第四次运动到(3，-1)，第五次 运动到(3,0)，按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为 (1,3) (4,3) (7,3) (3,0)/(5,0)(6,0)/(8,0)￥ (9,0) (2,0) 州 个 (9,-1) (2,-1)3,-1) (5,-1)(6,-1)(8,-1) 14.(2026山东德州市庆云县一模)如图，在平面直角坐标系中，点P1,P2,P3,.均在边长均为1个单位长 4/44 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 度网格格点上，其顺序按图中→”方向排列，P1(0,0)P2(0,1)P3(1,1)P4(1,-1)P5(-1,-1),P6(-1,2),根 据这个规律，点P2026的坐标为 P 15.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)在平面直角坐标系中，△A0B为等边三角形，点A的坐标为(1,0).把 △AOB按如图所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°， 同时边长扩大为△AOB边长的2倍，得到△A1OB1,第二次变换将△A1OB1绕着原点O顺时针旋转60°， 同时边长扩大为△A10B1边长的2倍，得到△A20B2,依此类推，得到△A20260B2026,则点A2026的坐 标为一· B 16.(2026山东东营市利津县一模)如图，已知直线ay=x,直线b:y=-2x和点P(1,0),过点P作y轴的平 行线交直线a于点P1,过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2,过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3, 过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4..按此作法进行下去，则点P2026的横坐标为 P 17.(2026山东临沂市郯城县.一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1的位置如图所示，点B1 的坐标为(0,2)，点C1的坐标为(1,0)，延长A1D1交x轴于点C2,作正方形D1C2D2A2,延长A2D2交x轴于点 C3,作正方形D2C3D3A3..按这样的规律进行下去，则点A3到x轴的距离是 5/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 珠 小 A D C 18.(2026山东聊城市冠县一模)如图，等边三角形ABC的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形ABC 的边BA和AC运动，最终到达点C,过点D作边BC的垂线，垂足为点E,用x表示线段BE的长度，用y表 示Rt△CDE的面积，则下列结论错误的是() A.自变量x的取值范围为0≤x≤1 B.当≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y=(1-x)2 C.当x=时，y有最大值为 D.在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 19.(2026山东省临沂市罗庄区一模)函数y=1红中，自变量x的取值范围是 4-x 20.(2026山东临沂市郯城县一模)如图，点O为矩形ABCD的对角线AC的中点，AB=3,BC=4.E,F是 AC上的点(E,F均不与A,C重合)，且AE=CF,连接BE,DF,用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离 为y1,矩形ABCD的面积为S,△ABE的面积为S1,△CDF的面积为S2:其中y2=1十S 7 A D E 5 43 2 1 B 01234567x (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 6/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象，并分别写出函数y1,y2的一条性质， 考点02 一次函数及其应用 1,(2026山东德州市德域区一模)已知一次函数y=kx+b(k>0)的图像经过点(1,2).则下列各点可能在该 函数图象上的是() A.(-2,2) B.(2,1) C.(-1,3) D.(3,4) 2.(2026山东济宁市泗水县一模)正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限，则一次函数y=kx+k 的图象大致是( 3.(2026山东济南市济南高新技术产业开发区一模)如图，经过点A的一束光线照射到平面镜(x轴)上的 点B处，反射后的光线BC交y轴于点C(0,1),若反射光线BC的函数关系式为y=+b,则入射光线AB的 函数关系式为 0 B 4,(2026山东德州庆云县一模)如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.行驶过程中，两车离开A 城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶 了 小时 y(km) 300 甲 4 5 t(h) 5.(2026山东济南市商河县.一模)某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图，1，l2分别表示A款，B款新 能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kWh)与汽车行驶路程x(km)的关系，当两款新能源电动汽车 的行驶路程相等时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多I2kW, 则此时它们行驶的路程均为 km. 7/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Av/kW-h 80 200 衣km 6.(2026山东济南市槐荫区一模)如图A,B两地相距50km,甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B 地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲乙所行 驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 h就追上甲.， As/km 5 40 30 Q 20 10F P/Mi 12345t/时 7.(2026九下山东滕州滕南中学.一模)已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑 摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s(km)与运动时间t()的函数关系 大致如图所示，下列说法：①A、B两地相距300千米；②两人出发2h时相遇；③乙出发5h到达目的地；④ 甲骑自行车的速度为60km/h.其中说法正确的是 (填序号) As/km 300 5 t/h 8.(2026山东济宁任城区一模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-6,0)，点B的坐标是(0,8)，点C 是OB上一点，将△ABC沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则点C的坐标为 B B 8/44 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026山东菏泽市巨野县.一模)如图，一次函数y=x+4的图象与y轴交于点A,点B是线段OA上一 点.过点B作y轴的垂线L,直线1与一次函数y=x+4的图象交于点M,与正比例函数y=2x的图象交于点 N.当点M与点N关于y轴对称时，OB= =x+4 B 10.(2026山东省淄博市一模)若直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积为8，则b= 11.(2026山东省济南市一模)将一次函数y=2x+b的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数 图象经过点(-1,3)，则b的值为() A.8 B.7 C.6 D.5 12.(2026山东临沂市沂水县一模)如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,3),点B(1,1),若将直线y=2向上 平移c个单位长度后与线段AB有交点，则c的取值范围是 13.(2026山东济宁任城区一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x-1的图象直线与x轴交于点 A1,以OA1为一边作正方形0A1B1C1,使得点C1在y轴正半轴上，延长C1B1交直线I于点A2,按同样方法依次 作正方形C1A2B2C2、正方形C2A3B3C3、、正方形Cn-1 AnBnCn,使得点A1,A2,A3,…An,均在直线l上， 点C1,C2,C3…Cn在y轴正半轴上，则点B2026的横坐标是（) C; B B2 43 B 9/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.42025 B.42026 C.22026 D.22025 14.(2026山东济宁市曲阜市一模)如图，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于A,B两点，一动点从点P (0,6)出发，沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P1处，再沿平行于OB的直线运动，到达0A上的点P2处， 再沿平行于AB的直线运动，到达0B上的点P3处，再沿平行于OA的直线运动，到达AB上的点P4处，.如 此运动下去，则点P2026的纵坐标为 B 15.(2026山东临沂沂水县一模)在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚 动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示.小球滚动过程中的速度y(/s)与时间x( S)之间的关系如图②所示. y(m/s) 3.5B x(s) 图① 图② (I)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长， 16.(2026山东聊城市冠县一模)在北方冬季，对某校一间坐满学生、门窗关闭的教室中C02的总量进行检 测，部分数据如下： 教室连续使用时间x(分钟) 5 10 15 20 C02总量y(m3) 0.6 1.1 1.6 2.1 经研究发现，该教室空气中C02总量y（m3)是教室连续使用时间x(分)的一次函数， (I)求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)根据有关资料推算，当该教室空气中C02总量达到6.7m3时，学生将会稍感不适，请通过计算说明，该教 室连续使用多长时间学生将会开始稍感不适； (3)如果该教室在连续使用45分钟时开门通风，在学生全部离开教室的情况下，5分钟可将教室空气中C02 的总量减少到0.1m3,求开门通风时教室空气中C02平均每分钟减少多少立方米？ 10/44 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 反比例函数及其应用 1.(2026山东济宁市邹城市一模)在同一直角坐标系中，反比例函数y=(a≠0)与一次函数y=ax-a(a≠0) 的图象可能是() 2.(2026山东省聊城市东阿县高集中学.一模)已知点A(-2,y1),点B(-1,y2),点C(1y3)在反比例函数y=- 的图象上，则y1,y2,y3的大小关系为() A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1 3.(2026山东德州市临邑县一模)如图，反比例函数y=的图象经过点A(2,1),若ys1,则x的范围为 () A.x>1 B.x22 C.x<0或x22 D.x<0或0<x≤1 4.(2026山东省临沂市罗庄区一模)已知反比例函数y=经过点4(-2,3)，当y<3时自变量x的取值范围为 () A.x<-2 B.x>2 C.x<-2或x>0 D.x>2或x<0 5,(2026山东临沂沂水县一模)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气 体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示，若压 强由75kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了() 11/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 p(kPa) 100 75 ● 60 45 o oo 100 V(mL) A.10mL B.15mL C.20mL D.25mL 6.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会 随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数u与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示，下列说 法中错误的是() 0.9 0.75 0.71 025 60 v(km/h) A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B,当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D.若车速从25km/h增大到60km/h,则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 7.(2026山东东营市利津县一模)如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的图象相交于A,B两 点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为-1，则不等式k1x+b>经的解集是(） 2 A.-1<x<0或x>2 B.x<-1或0<x<2 C.x<-1或x>2 D.-1<x<2 8.(2026山东省淄博市一模)已知点M(-21),N(-号引Q(cy2)三点均在反比例函数y=的图象上，若y1 +y2为正数，则t的取值范围是() 12/44 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.t>2 B.t<0 C.t>2或t<0 D.0<t<2 9. C026山东德州市齐河县一模)己知反比例函数y=“(Q≠2，点M(K1y)和Nx2y2)是反比例函数图 象上的两点.若对于x1=2a,5≤x2≤6，都有y1>y2l,则a的取值范围是(） A.-<a<0或2<a< B.-3<a<且a≠2，a≠0 21 C.-3<a<-减0<a<2 D.<a<里a≠2，a≠0 10.(2026山东省聊城市东阿县高集中学一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0, k>0)的图象经过点A(1,2),B(m,n)(m>1),过点B作y轴的垂线，垂足为C,当△ABC面积为4时，直 线y=ax-1过线段AB上一点P,则a的取值范围是() A A.1<a≤3 B.1≤a≤3 c.3sa≤2 7 D.25≤a≤3 11.(2026山东济宁市兖州区一模)如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点4(m,3) 和B(3,1),点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,若△POD的面积为S,则S的取值 范围是 B D 12.2026山东青岛市崂山区一模)如图，点A是双曲线y=上一点，过点A分别作AB1x轴，AC1y轴， 垂足分别为B,C两点，AB,AC与双曲线y=分别交于D,E两点，若四边形AD0E的面积为5，则k= 13/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13,(2026山东省淄博市一模)如图，0是坐标原点，反比例函数y=-(x>0)与直线y=kx交于点A(1,-4), 点B在y=-(x>0)的图象上，直线AB与y轴交于点C,连结OB.若AB=3AC,则OB的长为(). A.5 B.V13 C.V15 D.V17 14.(2026山东德州庆云县·一模)如图，在直角坐标系中，四边形0ABC为正方形，且边BC与y轴交于点M, 反比例函数y=兰(k≠O)的图像经过点A,若CM=2BM且SSODM=号则k的值为(） C 0 A.号 B.台 c.号 D.9 15.(2026山东临沂市擲城县.一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，A,B分别是横、纵轴正半轴上的动点， 四边形0ACB是矩形，函数y=(x>0)的图象与边AC交于点M,与边BC交于点NM,N不重合).给出 下面五个结论：①△COA与△COB的面积一定相等；②MNIAB;③△MON与△MC的面积不可能相等； ④△MON可能是钝角三角形；⑤△MON可能是等边三角形.上述结论中，所有正确结论的个数有() 14/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 0 A A.5个 B,4个 C.3个 D.2个 16.(2026山东省聊城市东阿县实验中学.一模)如图，在平面直角坐标系中，A,C分别在y轴和x轴上，以 OA,OC为边作矩形0ABC,且S矩形OABc=162,将矩形0ABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN,点C 的对应点C落在第四象限，过点M的反比例函数y=(k≠O),其图像恰好过MN的中点，则点M的坐标 M A B 17.(2026山东省日照市高新区中学一模已知点A(xy1)和B(x2y2)是反比例函数y=3(k为常数，k≠3) 图象上的两点，当x1<0<x2时，y1>y2,则k的值可以是 (只写一个) 18.2026山东省德州市乐陵市：一模)已知反比例函数y=,则当1≤x≤3时，的最小值是 19.(2026山东青岛南区一模)如图，过原点0的直线与双曲线y=《交于A,B两点，点C坐标为(4,0)，若 AC1BC,0A=AC,则k的值为一· 15/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA B 20.(2026山东省青岛莱西市.一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y 轴的正半轴上，点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，点D的坐标为(4,3)，将菱形ABCD向右平移m个单 位，使点D刚好落在反比例函数y=(x>0)的图象上，则m的值为 ac 21.(2026山东省淄博市·一模)如图，反比例函数y=(x>0)与直线y=3x交于点A(m,6),点D在反比例函 数图象上，过点D作直线l⊥y轴，直线l与OA交于点B,若BD=3,则点B的坐标为· HB D 22.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)如图，点A为反比例函数y=(x<0)图象上的一点，连接A0,过点0 作0A的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,则铝的值为 VA BY=- 23,(2026山东东营市利津县.一模)如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4,OB=2,点B在反比例函 16/44 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数y图象上，则图中过点A的双曲线解析式是 24.(2026山东德州市齐河县.一模)如图，在平面直角坐标系中，口0ABC的顶点O是坐标原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在函数y=(x>0)的图象上，点B在函数y=(x>0)的图象上.若0C=AC,则k的 值为： B 1V= 0 A 25.(2026九山东淄博高新区.一模)如图，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=ax(a>0)上第一象限 内的两个动点(OD>OB),以线段BD为对角线作矩形ABCD,ADIx轴，反比例函数y=的图象经过点A、 C,把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E,当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1,2)时，则k值为() A.音 B吕 C.5 D.9 26,(2026山东滨州市滨城区一模)模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具，对于m的取值范围， 小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： ()建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为x,y.由矩形的面积为4，得xy=4,即y=;由周长为m, 得2(x+y)=m,即y=-x+2,满足要求的(xy)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标； 17/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)画出函数图象：请先描出反比例函数y=4(x>0)的图象上的三个格点，再画出此反比例函数的图象； m 我们知道y=一x+的图象可由直线y=一x平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y=一x, 9 7 6 5 43 2 -3 -2-1Q 23456789x 2 (3)平移直线y=-x,观察函数图象 ①当直线平移到与函数y=1(x>0)的图象有唯一交点(2,2)时，周长m的值为： ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围； (④)得出结论：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，则周长m的取值范围是， 27.(2026山东省德州市乐陵市一模)小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系x0y中，其中含 30°角的三角板0AB的直角边0A落在y轴上，含45°角的三角板0AC的直角顶点C的坐标为(2,2)，反比例函数 y=《(x>0)的图象经过点C. B ()求反比例函数的表达式， (②)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标， 28.(2026山东省淄博市一模)如图，已知反比例函数y=(k≠0)与直线y=-2x+4交于点A(3,m),B(m,6), 点C是x轴上的一点，连接AC、BC. 18/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求反比例函数表达式： (2)若S△4Bc=12,求点C的坐标； (3)直接写出>-2x+4的解集. 29,(2026山东德州市临邑县.一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=kx+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(2,6),B(n,3),与x轴，y轴分别交于C,D两点. D B (I)求一次函数和反比例函数的表达式： (2②)请根据图象直接写出关于x的不等式”>kx+b(x>0)的解集； (3)在直线CD上有点P,△PC0的面积为12，求点P的坐标. 30.(2026山东省淄博市·一模)如图，点P(2,a2+2a+3)为反比例函数y1图象上的一个动点，过点PA1x轴， 连接OP. (I)当△POA的面积最小时，求函数y1的解析式； (2)在(1)的条件下，将直线0P向上平移4个单位长度，得到直线1，直线1与反比例函数的图象交于点B; ①求直线1的函数解析式y2; 19/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②直接求出在第一象限内y2<y时的x的取值范围. 31.(2026山东青岛市市南区一模)如图，已知4(-4约，B(-1,2)是一次函数y=kx+b反比例函数y=? (m<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D (1)求一次函数解析式及m的值； (2)P是线段AB上的一点，连PC、PD,若△PCA和APDB面积相等，求点P坐标 0 32.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)如图，一次函数y=2x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点 A(2,8),与y轴交于点B. A(2,8) (1)求k与b的值； (2②)连接并延长A0,与反比例函数y=-《(k≠0)的图象交于点C,点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角 形与△AOB相似，求点D的坐标， 33.(2026山东省聊城市东阿县高集中学.一模)如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+b与反比例函 数y=(x>0)的图象交于点A(3,n),与y轴交于点B(0,-1).点P是反比例函数y=(x>0)的图象上一 动点，过点P作直线PQ‖y轴交直线y=x+b于点Q,设点P的横坐标为t,且0<t<3,连接AP,BP. 备用图 (I)求k,b的值： (2)当△ABP的面积为，时，求点P的坐标； 20/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)设PQ的中点为C,点D为x轴正半轴上一点，当以B,C,D为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求 出点P的坐标. 34.(2026山东省济南市一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+b的图象与x轴交于点A (-3,0),与反比例函数y=（x>0)交于点B(1,m). 备用图 ()求反比例函数的表达式； (2)点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数y=2x+b图象于点D, 连接BC,若△BCD是以CD为底边的等腰三角形，求点C的坐标； (3)点P为反比例函数y=(x>0)图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形ABPQ为矩形时，求点Q的 坐标 35.(2026山东济南市商河县.一模)如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=(x>0)经过B、C两点，△ABC 为直角三角形，ACIx轴，ABIy轴，A(6,3),AC=2. A M ()反比例函数的表达式为， 点B的坐标为 (②)点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC: ①当MB+MC为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数y=(x>O)的图像上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形，求所 有满足条件的点N的坐标. 36.(2026山东省济南市市一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y= 21/44 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的图象交于点A(4,),与y轴交于点B,经过点A、点0的直线与反比例函数y=的图象在第三象限交于点 C,△AHC是以AC为斜边的直角三角形 图1 图2 (1)求反比例函数的解析式： (2)如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； (3)如图2，若AH平分∠BAC,求点H的坐标 37.(2026山东济宁市邹城市.一模)小明家安装了一款智能恒温热水器，其工作时水箱内水温y(C)随加热 保温时间x(min)的变化规律如下： ①开机后热水器开启快速加热功能，水温y(c)会上升，此时水温y(C)是加热/保温时间x(mi)的一次函数， 水温升高到预设的最高温度后，热水器关闭快速加热功能，进入智能保温阶段： ②智能保温阶段，水温y(C)会先下降，此时水温y(C)是加热/保温时间x(min)的反比例函数，水温降到预 设的最低温度后，热水器再次启动①中快速加热功能，使水温再次升至预设的最高温度，上升过程中水温y (c)是加热/保温时间x(min)的一次函数，加热效率与之前一致 (1)若起始水温为20℃，水温第一次升至预设的最高温度60℃用时20mi,然后水温第一次降至预设的最低 温度40℃，求出在这个变化过程中水温关于时间的函数关系式： (2)在(1)的条件下，小明计划20：00洗澡，要求水温不低于50℃，若他在当天1922时启动热水器快速加热 功能，请判断他洗澡时水温是否符合要求，并说明理由， 38.(2026山东省临沂市罗庄区一模)某种型号的温控水箱的工作过程是接通电源后，在初始温度20°℃下 加热水箱中的水；当水温达到设定温度80°C时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20 C时，再次自动加热水箱中的水至80°C时，加热停止；当水箱中的水温下降到20°C时，再次自动加热，按照 以上方式不断循环， 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y是时间x 的函数，其中y(单位：℃)表示水箱中水的温度.x(单位：mi)表示接通电源后的时间，下面是小明的 探究过程，请补充完整： 22/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况 接通电源后的 时间x(单位： 0 1 2 34 5810 161820 2124 32 min 水箱中水的温 度y(单 20 35 506580 6440 32 2050m 64 40 20 位：C) y/℃ 100 60 ● 40 ● 204 2468101214161820222426283032x/min (1)m的值为 (2)①如图，在平面直角坐标系x0y中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32 时，温度y随时间x变化的函数图象： ②求出当4≤x≤20时最符合表中数据的函数解析式： (3)如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第9次达到50°C时，距离接通电源 min. 考点04 二次函数的图象与性质及其实际应用 1. (2026山东省淄博市·模拟如图，己知二次函数y=ax2+bx+c(a<0),顶点A在y轴上，0为坐标原点， B, C为抛物线上的点，若四边形AB0C是菱形，且LBAC=60°，则ac=(). B A.6 B.23 C.-23 D.-6 23/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026山东德州市天衢新区一模)已知点A(1,y1),B(-2,y2)在抛物线y=2x2+bx+1上，若3<b<4, 则下列判断正确的是() A.1<y1<y2B.y1<1<y2 C.1<y2<y1D.y2<1<y1 3.(2026山东省菏泽市东明县.一模)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y= ”+在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（） A.n>-1 B.n>2 C.-1<n<1 D.1<n<2 4.(2026山东青岛市市南区.一模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax-2b (Q≠0)与反比例函数y=二(c≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是() 24/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026山东省青岛莱西市.一模)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴 交于点B,对称轴为直线x=1,下列正确的是() A.bc<0 B.3a+2c>0 C.ax2+bx≤a+b D.若-2<c<-1,则-号<a+b+c< 6.(2026山东省聊城市东阿县实验中学.一模)抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0),交y轴的负 半轴于C,顶点为D.下列结论：①abc>0;②2c<3b;③当m≠1时，a+b>am2+bm;④当△ABD 是等腰直角三角形时，则a=⑤若x1,x2是一元二次方程a(x+1)(x-3)=4的两个根，且x1<x2,则x1 <-1<x2<3.其中正确的有()个 D A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2026山东青岛市市南区一模)某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金x (元)为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆.已知每辆车每天 平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润W(元)与 x的函数关系式为 8.(2026山东青岛市崂山区一模抛物线y=ax2+bx+c的顶点是D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0) 和(-2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论： ①abc>0; ②3a+c>0; 25/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ③对于任意实数t,总有不等式at2+bt+c≤a+b+c; ④若方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则2<|x1-x2<4. 其中正确的是 (只写序号). 32-10 9.(2026山东临沂沂水县.一模)在平面直角坐标系中，两点A(x1y1),B(x2y2)在抛物线y=ax2-2ax(a>0) 上.下面结论：①当x1<0时，y1>0;②当x2<2时，y2<0;③当x1<0且y1·y2<0时，则0<x2<2: ④当x1<x2<1时，则y1>y2.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 10.(2026山东滨州市滨城区.一模)关于抛物线y=x2-2mx+m2+m-4(m是常数)，下列说法正确的是 () A.当m=1时，抛物线的对称轴是x=2 B,若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=-4 C.若点A(m-2,y1),B(m+1y2)在抛物线上，则y1<y2 D,无论m为何值，抛物线的顶点到直线y=x的距离都等于2V2 11.(2026山东省聊城市.一模)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(-1，n), 其中n>0. ①当0<c<1时，则日<a<0: ②若方程ax2+bx+c-n-k=0有两根，则k<0; ③点P1(x1y1),P2(x2y2)是抛物线上不同的两个点，当|x1+1|>|x2+1|>3时，y1<y2 ④函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c(a≠0)的函数图象总有两个不同交点. 以上结论正确的有() A.①② B.①③ C.②③ D,②④ 12.(2026山东省菏泽市牡丹区·一模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)图象上部分点的横坐标x与纵坐标y 的对应值如下表，则下列结论正确的是() 0 26/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y -5 m -5 n A.bc<0 B.m<-5 C.ax2+bx+c=k的解是x1=-3,x2=7D.4a2<b2 13.(2026九山东淄博高新区一模)已知二次函数y=ax2-bx(a≠0)，经过点P(m,2).当y>-1时，x的取 值范围为x<t-1或x>-3-t,则如下四个值中有可能为m的是() A.1 B.2 C.3 D.4 14.(2026山东省临沂市罗庄区一模)如图，抛物线y=6x2-1与x轴交于A,B两点，D是以点C(0,4为圆心， V2为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE,BD,则线段OE的最小值是() D A.2 B.32 2 C.52 D.3 2 15.(2026山东济宁市邹城市·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),顶点为M(-1,m),且抛物 线与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-3)之间（不含端点）.则下列结论：①当-3≤x≤1时，y≤0；② Iax2+bx+c=1-m有两个实数根；③当△ABM的面积为时，a=号；④当△ABM为直角三角形时， 在△A0B内存在唯一一点P,使得PA+P0+PB的值最小，最小值的平方为18+9V3,其中正确的结论的 个数是() A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.(2026山东省菏泽市牡丹区.一模)定义运算：a⑧b=(a+2b)(a-b),例如4⑧3=(4+2×3)(4-3)， 则函数y=(1-x)⑧2的最小值为 17.(2026山东省济宁市兖州区一模)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则 27/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 该二次函数的表达式可以是 .(写出一个即可) 18.(2026山东省潍坊市·一模)以初速度v(单位s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中， 小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=vt-4.92,现将某弹性小球从 地面竖直向上抛出，初速度为y,经过时间t落回地面，运动过程中小球的最大高度为，（如图1）；小球 落地后，竖直向上弹起，初速度为v2,经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为2（如图 2).若h,=2h2,则t:t2= 个h/m 个h/m h n 0 h t/s 12 t/s 图1 图2 19.(2026山东临沂市郯城县.一模)已知二次函数y=ax2+2ax+a2+2a+3(a>0). ()求该二次函数图像的对称轴， (2)已知点A(t,y1),B(t+2,y2)在该二次函数图像上，求证：当t>-2时，y1<y2 (3)过二次函数图像与y轴的交点作y轴的垂线L,将二次函数图像在y轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保 持不变，得到图形G,已知M(-2-a,m),N(a,n)是图形G上的两个点，求m+n的取值范围. 20.(2026山东济宁市邹城市一模)已知抛物线y=ax2+bx+3经过点(2,3) (1)求该抛物线的对称轴： (2)若抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点（x1<x2),且x2-x1=2V2,求该抛物线的解 析式： (3)在(2)的条件下，当t≤x≤t+3(t为任意实数)时，二次函数y=ax2+bx+3有最大值为3，求t的 值. 21.(2026山东省聊城市东阿县高集中学一模)已知抛物线y=-x2+(b-2)x-2+b+3(b为常数)。 (1)①若抛物线过点(0,3)，求b值； ②求证：该抛物线的顶点在x轴上方； 2)当0≤x≤2时，y=-x2+(b-2)x-2+b+3最小值为-景求b值； (3)若抛物线上有两点A(x1,t),B(x2,t),且x1<x2,当2≤x2-x1≤6时，求t的取值范围， 28/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22.(2026山东省临祈市罗庄区.一模)在平面直角坐标系中，已知函数y=x2+2mx+2m-1(x≤0)(m为常 数). (I)求这个函数图象的最小值： (2)无论m取任何实数，抛物线过x轴上一定点，求定点坐标； (3)若点(m-1,1)在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值y随x增大而减小时x的取值范 围. 23.(2026山东省德州市乐陵市.一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-4x+3a(α为常数).此抛 物线与y轴交于点A,过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B,点A与点B不重合. (1)抛物线的对称轴为直线x=； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式： ②当m≤x≤m+2(m为常数)时，y的最小值为-3，求m的值； (3)在(2)的条件下，将该二次函数y=x2-4x+3α的图象沿着x轴的正方向平移k(k>0)个单位长度得到新 的二次函数图象，当3≤x≤5时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达 式 24.(2026山东省日照市高新区中学.一模)在平面直角坐标系中，二次函数y=(a-1)x2-2ax+3a的图像 经过点(1,3) (I)求二次函数的表达式： (2)将抛物线y=(a-1)x2-2ax+3a向下平移t个单位后与x轴交于P、Q两点，若线段PQ>6,求t的取值范 围 (3)若定义：当m≤x≤n在抛物线的对称轴同一侧，且满足m≤y≤n时，称m≤x≤n为二次函数的黄金区 间.请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由. 25.(2026山东滨州市滨城区.一模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=x2-2mx, (1)写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示)； (2)若点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=x2-2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； (3)M(1-m,y1),W(m,y2)是抛物线y=x2-2mx上两点，若y1-y2l≤4，直接写出m取值范围. 26.(2026山东日照东港区开发区中学一模)已知抛物线y=-x2+(b-2)x-2+b+3(b为常数). (1)①若抛物线过点(0,3)，求b值； ②求证：该抛物线的顶点在x轴上方； 29/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2当0≤x≤2时，y=-x2+(b-2)x-2+b+3最小值为-？求b值： (3)若抛物线上有两点A(x1,t),B(x2,t),且x1<x2,当2≤x2一x1≤6时，求t的取值范围. 27.(2026山东淄博市桓台县一模)【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长6m、宽4m的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、 摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥， 6 图1 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路， 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为3：2的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地 图2 图3 【问题解决】 ()在第一种方案中，若设菜地的宽为x米，求小路面积S关于x的函数表达式. (2)在第二种方案中，若设道路的宽为x米，求菜地面积y关于x的函数表达式。 (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧1.5m内的菜地.在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师 的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积 28,(2026山东省青岛市市一模)某景区为吸引游客，将门票单价定为x元/张，并且要求单价不能低于21 元.经市场调查，每日游客人数y(人)与门票单价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价x(元) 21 22 23 游客人数y(人) 110 100 90 30/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 景区每日运营成本为每人10元，另需支付固定维护费每日100元和环保费.经统计，环保费m元与游客人数 y人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示. mA 100 25 50 100立 (1)求游客人数y与门票单价x的函数表达式： (②)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为W元，求W与单价x的函数关系式，并求出当单价多少 时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低a元(a>3),且降低运营成本后的单价也不能低于21 元.求在此条件下利润W的最大值（用含a的式子表示），并求当利润最大值为1429元时a的值， 29.(2026山东省德州市乐陵市一模)综合与实践 【课本再现】 B B 图① 图② 图③ (①)九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目， 请你帮忙解决： 如图①，一个铝合金型材长6m,用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD,如果恰好用完这条铝合金型材， 那么当AB,AD分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案； 【类比迁移】 (2)兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示 的长方形硬纸片，其中AB=16,BC=24,现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒 子的最大体积是多少？ 【深入思考】 (3)兴趣小组的小亮同学认为将(2)中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个 长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由； 【拓展延伸】 31/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)若给出一个长为a,宽为b(a>b)的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积. 30.(2026山东省青岛市崂山区一模)学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手 液瞬间从喷口A点喷出（如图2）.以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直 角坐标系，已知喷口A点到台面高度AB为18cm,OB为4cm,喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系 式为y=ax2+bx+15,这滴洗手液在水平方向喷出3cm时，到台面高度为15cm, B 图1 图2 图3 (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (②)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心MN约为4cm,现在点M到喷口A点的水平距离为3 cm,若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心MN到台面的高度h的取值范围. 31,(2026山东青岛市市南区一模)如图1，一段高架桥的两墙A,B由抛物线一部分ACB连接，为确保安全， 在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE,抛物线的最高点C到AB的距离OC=4米，∠ODC=60°， 点D,E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy, 确定一个单位长度为1米， E E M 0 0 图1 图2 (1)求此抛物线对应的函数表达式； (②)求高架桥两端的A,B的距离； (3)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，已知矩形MNPQ广 告牌的价格为80元/米2，其余部分广告牌的价格为160元/米2，试求菱形广告牌所需的最低费用 32,(2026山东省青岛莱西市一模)某航站楼正门为如图（1)所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为18m, 32/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 最高点离地面高度为9，随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图(2) 所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到24. 18m -24m 图(1) 图(2) E 图(3) 图(4) 建立如图(3)所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (I)求左侧抛物线OM的表达式，并求M点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线MN的表达式： (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架BADC,使A点，D点在抛物线上，B点，C点 在地面上，其中AB,AD,DC三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (④)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用EH和GF两根斜拉钢梁加固，其中G,H为两抛物线的顶 点，E,F在抛物线上，且EH和GF交于点M,求需用钢梁的总长度 33.(2026山东省淄博市一模)某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状在如图所示的平面直 角坐标系中，喷水头A到水面x轴的距离为2m,抛物线C1、C2是从喷水头A处喷出的两股水流.经测量得， 抛物线C2的最高点C距离水面2.5m,且与喷水头A的水平距离为2m,设抛物线C2的表达式为y=a(x-h)2 +k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距水面的高度 y/m◆ C B D x/m (1)求抛物线C2的表达式； (2)若抛物线C1可以看作是C2向左平移n个单位长度得到的. ①求n的值； ②求抛物线C1与x轴的交点B的横坐标； (3)在（2)的条件下，管理人员操控无人机在抛物线C1,C2之间（阴影区域）飞行，为了无人机的安全，要 33/44 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求无人机在竖直方向上的活动范围大于0.5m(不得接触水面和水柱).设无人机与喷水头A的水平距离为k'm, 直接写出k'的取值范围. 34.(2026山东省菏泽市牡丹区一模)项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿 化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究， 项目主题：合理设计，智慧泉源一基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除 尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌.如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿 化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课 题.数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目 式学习. 水 上边缘 h+0.4-- B d D 图1 图2 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒 水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象.已知喷水口H离地面的竖直高度h为1.2米，上边缘 拋物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口0.4米 (1)求上边缘抛物线的函数解析式： 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即 抛物线的开口方向和开口大小不变)，下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到，为判断浇灌效果，将 绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=1.8米，竖直高度EF=1.1米，洒水车到绿化带的水平距 离0D为d米. (2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 34/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若d=2.2米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由. 35.(2026山东临沂沂水县一模)综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线，我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计 出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm,起跳点 与落地点的距离为160cm 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线，仿青蛙机器人 在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面 垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. y/cm x/cm 图1 图2 (1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式： 问题解决：己知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变 (2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为(0,75)，点Q在x 轴的正半轴上，求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长： (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3c, 才能安全通过.如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中LABC=∠BCD=90°， AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该 障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，请 直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平 面内). 考点05 二次函数与几何的综合应用 1.(2026山东省聊城市冠县.一模)如图，Rt△AB0的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半 35/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 轴上，0为坐标原点，4、B两点的坐标分别为(-3,0)和0,4)，抛物线y=2+bx+c经过点B,且顶点在 直线x=牡。 B 0 (1)求抛物线对应的函数关系式： (2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C是否在该抛物线上， 并说明理由； (3)若M点是CD所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N,设点M的横坐 标为t,MW的长度为l,求1与t之间的函数关系式，并求1的最大值， 2.(2026山东德州庆云县.一模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点O和点A (3,3d. (I)求c的值，并用含a的式子表示b: (2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=ax于点N. ①若a=1,t=4,求MW的长； ②己知在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围. 3.(2026山东东营市利津县一模)如图，抛物线y=-之x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(4,0),与y轴 交于点C,连接BC,点P是线段BC上的动点（与点B,C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q,连接 CQ,BQ,设点Q的横坐标为m. B (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)当△BCQ的面积等于3时，求m的值； 36/44 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)在点P运动过程中，是否存在m值使得△BCQ的面积最大？若存在，求出m值；若不存在，请说理由. 4.(2026山东省淄博市一模)如图，抛物线y=2+学十c与x轴交于点4，B,与y轴交于点C,已知4， C两点坐标分别是A(1,0),C(0,-2),连接AC,BC. (1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式； (2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC,点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D 在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q,连接BP,△BPQ的面积记 为S,△ABQ的面积记为S2,求的值最大时点P的坐标， 备用图 5.(2026山东省淄博市一模)如图，在平面直角坐标系中抛物线y=一x2+bx+c交y轴于点B(0,6):交x 轴正半轴于点C(2,0);交x轴负半轴于点A;连接AB. VA D 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (②)如图1，点P为直线AB上方抛物线上的一动点，连接PA、PB,设△PAB的面积为S,求出S的最大值及 此时点P的坐标； (3)如图2，点G是线段0B的中点，将原抛物线沿射线CB方向平移10个单位长度，在平移后的抛物线上存在 点K,使得∠GAK=45°，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标. 6.(2026山东菏泽市巨野县一模)定义：如图①，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点， 点P在抛物线上（点P与A、B两点不重合）.若△ABP的三边长满足PA2+PB2=AB2,则称点P为抛物线y=a 37/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2+bx+c(a≠0)的勾股点. (A ① ② (1)直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标； (2)如图②，己知抛物线C:y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A、B两点，点P(1,3)是抛物线C的勾股点，求抛物 线C的函数表达式： (3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△4BQ=S△AP的点Q(异于点P)的坐标. 7,(2026山东济南市商河县.一模)如图①，在平面直角坐标系x0y中，抛物线F1y=x2+bx+c经过点A(1,0) 和点B(3,0),与y轴交于点C,经过点A的直线1与y轴的负半轴交于点D,与抛物线F1交于点E,且 0D=0A. 图① 图② 图③ ①)求抛物线F的解析式： (2)如图②，点P是抛物线F1上位于x轴下方的一动点，连接CP、EP,CP与直线1交于点Q,设△EPQ和 △ECQ的面积为S1和S2,求的最大值； (3)如图③，将抛物线F1沿直线x=m翻折得到抛物线F2,且直线1与抛物线F2有且只有一个交点，求m的 值. 8.(2026山东济南市槐荫区一模)已知，抛物线y=-x2+2mx-m2+4(m>0)与x轴交于A、B两点，交y 轴于点C. 38/44 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 备用图 (1)当点C坐标为(0,3)时，求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)如图1，在(1)的条件下，点M是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点M作MFIy轴交BC于点F,ME⊥BC 交BC于点E,求△MEF周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点D,直线l经过点A,与抛物线交于点P,直线l与直线AD所夹的锐角为a,若tana= 子请直接写出PD的长. 9.(2026山东淄博高新区一模如图，已知二次函数y=ax2+bx+8(其中a,b为常数)的图象经过点A(6,2), 顶点为点M,过点A作AB‖x轴，交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,线段AB的长为8. 备用图 (1)求该二次函数的解析式； (②)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥AC于点E,过点P作PFIy轴交AC于点F,求PE+PF 的和的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q是直线AC上的动点，过点Q作直线AC的垂线L,顶点M关于直线的对称点为W.当以点Q、A、M、N 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标。 10.(2026山东省济南市一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E,垂足为点 F,连接CD. 39/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)设点D的横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度： ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说 明理由； (3)连接0E,将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段0G,连接AG,请直接写出线段AG长度的最小 值 11.(2026山东济南市平阴县.一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A (-3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3) o M 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线：y=x-1与抛物线的另一个交点为点D,点M为抛物线对称轴上的一点，连接 MB、MD,设点M的纵坐标为n,当MB=MD时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的 点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标， 12.(2026山东滨州滨城区.一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式y=ax2+bx+4(a≠0) 40/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分别交x轴于A,B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C,连接AC,BC,其中0A=4,tanLOCB= 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC交直线AC于点D,PEⅡy轴交直线AC于点E.点 M、点N是直线BC上的动点，满足点M在点N的右侧且MN=,当△PDE周长最大时，求P的坐标及 |OM-PN的最大值： (3)如图2，在第(2)问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线BC方向平移V17个单位长度得到抛 物线y,将点C向下平移一个单位长度得到点F,点Q为抛物线y上且在抛物线y对称轴左侧的一动点.若 ∠PAO+∠OCB=∠BCQ+∠PAF,直接写出所有符合条件的点Q的横坐标. 13.(2026山东省淄博市模拟)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线C1y=2+bx+c与x轴交于B(3,0), C(-1,0)两点. (1)求抛物线C1的表达式； (2)D为抛物线C1的顶点，将抛物线C1沿射线D0平移一定距离，得到抛物线C2,C2与直线y=x-1有且仅有一 个交点. ①求抛物线C2对应的函数表达式； ②若过点A(0,1)的直线交抛物线C2于P、Q两点，过点P、Q垂直于直线y=-1的垂线交直线于M、N两 点，证明AM⊥AN 14.(2026山东济南市章丘区一模)二次函数y=ax2+bx+6的图象的对称轴为直线x=1,与x轴交于A (-1,0),B两点，与y轴交于点C,直线经过B,C两点. 41/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (1)如图1，求二次函数的表达式； (②)如图2，点P为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接AP与直线相交于点D,连接PB,若S△ABD=2 S△PBD,求点P的坐标； (3)定义：若点M(x,y)满足x+y=t,则称点M为“t阶融合点”.例如：M(2,3)满足2+3=5，则称点M为一 个“5阶融合点”.如图3，将二次函数y=ax2+bx+6的图象y轴左侧部分沿过点C且垂直于y轴的直线翻折， 将二次函数y=ax2+bx+6的图象第四象限内部分沿x轴向上翻折，与二次函数y=ax2+bx+6在第一象限 内的图象组成新的函数图象T(如图中实线部分)，若函数图象T上有且只有2个“t阶融合点”，请直接写出t 的取值范围， 15.(2026山东省济南市市一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点， 与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x= 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为2√2，求出满足 条件的P点坐标； (3)在(2)满足的条件下，将抛物线y=-x2+bx+c沿射线BC方向平移V2个单位长度得到抛物线y,点E 为平移后点P的对应点，点F为抛物线y上的一动点，G为x轴上一定点，且G(-0),若LFGB+45°=L0PE, 请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程， 16.(2026-山东省济南市一模)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+3x+c与y轴交于点C,与x轴交 3 42/44 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A(-√3,0)，tan∠AC0=3 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (②)线段OB上有一动点P,连接CP,当CP+2PB的值最小时，请直接写出此时点P的坐标和CP+?PB的 最小值 (3)如图2，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E,连接BD,记△BDE的面积为S1,△ABE 的面积为S2,求的最大值. 17.(2026山东省济南市·一模)抛物线的顶点坐标为(1，-4)，且过点A(0,-3). 图1 图2 ()求抛物线的表达式及其与x轴的交点B、C坐标： (2)如图1，把直线y=x向下平移n(n>0)个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范 围； (3)如图2，点P为直线AB下方抛物线上一点，PD1x轴于点D,与AB交于点E,连接AP,AC,CB,求的 最大值 18.(2026山东省威海市模拟)如图，二次函数y=V3x2-6V3x+5V3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于 点C,连接BC. 43/44 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B OA (I)直接写出点B、C的坐标，B C (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接PB、PC.若△PBC的面积15V3,求点P的坐标. (3)设E为线段BC上任意一点（不含端点），连接AE,一动点M从点A出发，沿线段AE以每秒1个单位速 度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值， (4)若点Q在y轴上，当∠AQB取得最大值时，直接写出点Q的坐标 19.(2025山东省济南市一模)如图，抛物线经过△A0D的三个顶点，其中O为原点，A(2,4,D(6,0),点 F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GFIAO,GE⊥DO于点E,交AD于点I,AH平分 LOAD,C(-2,-4),AH⊥CH于点H,连接FH 珠 (1)求抛物线的解析式及△AOD的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积； ()试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由。 44/44 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系与函数 考点02一次函数及其应用 考点03反比例函数及其应用 考点04二次函数图象与性质及其实际应用 考点05二次函数与几何的综合应用 平面直角坐标系与函数 考点01 1．(2026·山东济宁市邹城市·一模) 一个点从数轴上的原点出发，向负半轴移动2025个单位长度，再向正方向移动2026个单位长度到达点P，则点P表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据数轴上点向负方向移动时数减小，向正方向移动时数增大，从原点出发逐步计算即可得到结果． 【详解】∵数轴上原点表示的数为0， 先向负半轴移动2025个单位长度，得到的数为， 再向正方向移动2026个单位长度，得到点P表示的数为， ∴ 点P表示的数是1． 2．(2026·山东省潍坊市·一模)在平面直角坐标系中，点是随着t变化而变化的一个动点，则动点M构成的图象不可能经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先设点M的横、纵坐标，消去参数t得到动点轨迹的一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断直线经过的象限，即可得到答案. 【详解】解：设动点的坐标为，根据题意得 由得 ，将代入得 即动点构成的图象是一次函数的图象. 对于一次函数， ，， 该一次函数图象经过第一象限、第二象限、第四象限，不经过第三象限， 因此动点构成的图象不可能经过第三象限. 3．(2026·山东省临沂市·一模)明明从家出发去书店买书．当他走到一半路程时，突然发现忘记带钱，于是他返回家中取钱后立即去书店，买好书后就开心地回家了．下面能反映明明活动情况的是图（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据描述可知，小明从家出发到回到家经过了六个阶段，分别是从家出发、返回家、在家拿钱、再从家出发、买书、回家，分别求出六个阶段路程与时间的关系即可得到答案． 【详解】解：小明刚出发时，路程随时间增大而增大，返回家取钱途中，路程随时间增大而减小，直到小明第一次返回家中时路程变为0，在家中取钱的过程中路程一直为0，再出发去书店时路程随时间增大而增大，到达书店后买书的过程中路程保持不变，从书店返回家中的过程中路程随时间的增加而减小，故符合明明活动情况的图象如下； 故选：B． 4．(2026·山东省潍坊市·一模)给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形．如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意可知，开始的一部分时间，随着t的增加，高度增加得逐渐平缓，之后随着t的增加，高度增速不变，所以符合题意的只有A选项． 5．(2026·山东省淄博市·一模)如图，上有两点M和N，若点N在圆上匀速运动一周，那么弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的（   ） A．① B．③ C．①或③ D．②或④ 【答案】C 【分析】观察图像可知，N点的运动轨迹可以分为顺时针运动、逆时针运动两种情况，再结合运动过程中弦的长度变化进行分析，即可解题． 【详解】解：由图中可知：长度y是一开始就存在的，如果点N顺时针运动，那么长度y将逐渐变大；当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，则运动图象为①； 如果点N逆时针运动，那么长度y将逐渐变小；当点N运动到和重合时，长度y为，随后开始变大，当点N运动到和在同一直线上时，长度y最大，随后开始变小，则运动图象为③； 弦的长度y与时间t的关系可能是下图中的①或③． 6．(2026·山东临沂市郯城县·一模)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 7．(2026·山东省淄博市·一模)如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（    ） A．该函数图象关于y轴对称 B．函数值y随自变量x的增大而减少 C．函数值y有最小值为0 D．当时， 【答案】D 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．分析函数的对称性、增减性、最值后即可得到答案． 【详解】解：A. 设点在函数的图象上，则， 当时，，即在函数的图象上， ∴该函数图象关于原点对称， 故此选项错误，不符合题意；     B. 当时，函数值y随自变量x的增大而减少，当时，函数值y随自变量x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意；     C. 函数值y没有最小值为，故此选项错误，不符合题意；     D. 当时，， ∵该函数图象关于原点对称， ∴当时，， 故选项正确， 故选：D 8．(2026·山东日照市高新区·一模)在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由图象可得， 当时，或，故①错误； 当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵ ∴点M在一次函数的图象上， 如图所示， 由图象可得，有3个交点 ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点 ∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 故选：C． 9．(2026·山东青岛市市南区·一模)如图，将沿轴翻折后，再绕原点旋转得到，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，旋转的性质．关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标变为其相反数；关于原点对称的点，其横纵坐标分别变为其相反数．由题意，先求出沿x轴翻折后点B对应点的坐标，再求出绕原点旋转，对应的点的坐标即可． 【详解】由网格图，可知点， 将沿x轴翻折后点B对应点的坐标为， 再绕原点旋转，对应的点的坐标为， 故选A． 10．(2026·山东临沂市罗庄区·一模)在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则___________． 【答案】1或 【分析】根据坐标系中两点之间的距离，列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ． 11．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先根据“左减右加，上加下减”的平移规律求出点B的坐标，再根据关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数的特征求出点C的坐标． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B关于x轴的对称点为C， ∴点C的坐标是． 12．(2026·山东省淄博市·一模)如图，A和B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至，则ab的值为________． 【答案】1 【分析】由图可得到点的纵坐标是如何变化的，让的纵坐标也做相应变化即可得到的值；看点的横坐标是如何变化的，让的横坐标也做相应变化即可得到的值，相加即可得到所求． 【详解】解：由题意可知：；； ∴， 故答案为：1． 13．(2026·山东日照市东港区开发区·一模) 如图，一动点P在平面直角坐标系中从原点出发，按箭头所示方向运动，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，按这样的运动规律，第2023次运动后的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式得出点第次运动到的点的坐标为 为正整数）是解题的关键． 根据题中所给的点的运动方式，发现纵坐标为3的这些点与运动次数之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点第一次运动到， 点第六次运动到， 点第十一次运动到， ， 由此可见，点第次运动到的点的坐标为 为正整数）． 当时， ，， 即点第2021次运动后的坐标为． 所以第2023次运动后的坐标为． 故答案为：． 14.(2026·山东德州市庆云县·一模) 如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，由，所以的坐标在第二象限，然后通过下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，，得,由图形可得， ，即可求解． 【详解】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上， ∵， ∴在第二象限， ∵下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，故在第四象限的角平分线上，， ∴, 由图形可得， ， 故答案为：． 15．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…依此类推，得到，则点的坐标为____． 【答案】（，） 【分析】本题考查了旋转的性质、坐标与图形的变化及规律探究，解题的关键是找出旋转周期和坐标变化规律．先根据初始点，分别计算前几次变换后的坐标，发现每6次变换回到轴正方向，周期为6；由，得与同方向，累计旋转，在第二象限，与轴负半轴夹角为, 再用含角的直角三角形性质求坐标． 【详解】解：初始点，在轴正半轴，， 第一次变换：顺时针旋转， 过点作轴于点H， 在中，， ， 顺时针旋转到第四象限， ； 第二次变换：顺时针旋转，累计旋转，过点作于G， 在中，， ， 在第三象限， ； 第三次变换：顺时针旋转，累计旋转, ， 由上可知，每6次变换回到轴正方向，周期为6， ， 与同方向， 累计旋转，在第二象限，与轴正方向的夹角为即与轴负半轴夹角为， ， 过作轴垂线，垂足为， 在中，， ， 在第二象限， ， 故答案为：． 16．(2026·山东东营市利津县·一模)如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键． 依据题意，观察横坐标变化规律，即偶数下标点的横坐标为，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上，轴， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线， ． ， ，即点的横坐标为， 同理可得： 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 偶数下标点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 17． (2026·山东临沂市郯城县·一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得正方形的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第三个正方形和第四个正方形的边长，进一步得到点到轴的距离． 【详解】解：在中，，， 正方形的边长为， ，， ， ， ∴， ， 过作轴于， ∵， ∴， ∴， 依此可得，， ， 同理可得：点到轴的距离是． 18．(2026·山东聊城市冠县·一模)如图，等边三角形的边长为1，点D从点B出发，沿等边三角形的边和运动，最终到达点C，过点D作边的垂线，垂足为点E，用x表示线段的长度，用y表示的面积，则下列结论错误的是（   ） A．自变量x的取值范围为 B．当时，y关于x的函数解析式为 C．当时，y有最大值为 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据点D的运动轨迹，将运动过程分为两个阶段，分别求出y关于x的函数解析式，再结合函数性质判断选项即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵点D的运动路径为， 如图，当点D与点A重合时， ∴，即垂直平分， ∴， 当点D与点C重合时，则， ∴的取值范围，即自变量x的取值范围是，故A正确，不符合题意； 当时，点D在上， ∴， 在中，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图，当时，点D在上，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 此时y随x的增大而增大， 当时，， 此时y随x的增大而减小，故D错误，符合题意； 当时，，此时y随x的增大而增大， 当时，， 当时，，此时y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y有最大值为，故C正确，不符合题意． 19．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：， 故答案为：． 20． (2026·山东临沂市郯城县·一模)如图，点为矩形的对角线的中点，，．，是上的点（，均不与，重合），且，连接，，用表示线段的长度，点与点的距离为，矩形的面积为，的面积为，的面积为．其中． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据可知，当时，，当时，；根据三角形的面积公式可得，，可以得到； （2）根据（1）中得到的函数解析式画出图象并结合函数图象，写出函数，的一条性质． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ， ， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 综上所述，； 如下图所示，过点作， ， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，，． （2）如图 当时，随x的增大而减小（或当时，随x的增大而增大）； 当时，随x的增大而减小． 一次函数及其应用 考点02 1．(2026·山东德州市德城区·一模)已知一次函数的图像经过点．则下列各点可能在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用已知点得到k与b的关系式，再将各选项点坐标代入函数解析式，判断求出的是否满足即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴将代入解析式得，即， ∴函数解析式为； A．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上； B．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上； C．将代入解析式，得，解得，不满足，故该点不在函数图像上； D．将代入解析式，得，解得，满足，故该点可能在函数图像上． 2． (2026·山东济宁市泗水县·一模)正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：因为正比例函数的图象经过第二、四象限， 所以， 所以一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 3.(2026·山东济南市济南高新技术产业开发区·一模)如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线交y轴于点，若反射光线的函数关系式为，则入射光线的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握光的反射定律及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．将坐标代入，求出b，从而求得反射光线的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而求得点B的坐标；求出点C关于x轴的对称点的坐标，由光的反射定律可知，点在入射光线上，进而利用待定系数法求出入射光线的函数关系式即可． 【详解】解：将坐标代入，得，解得， 反射光线的函数关系式为， 当时，， 解得， ， 根据光的反射定律，点关于x轴的对称点在入射光线上， 设入射光线的函数关系式为（m、n为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 入射光线的函数关系式为． 4．(2026·山东德州庆云县·一模)如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了________小时． 【答案】 【分析】本题考查函数图象和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图像中的数据，得到，两城两城的距离，求得乙车的速度，甲车速度，再根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可． 【详解】解：由图像可得，，两城两城相距千米． 乙车从城出发匀速行驶至城所需的时间为：（小时）， ∴乙车的速度为：（千米/小时）． 甲车从城出发匀速行驶至城所需的时间为小时， ∴甲车的速度为：（千米/小时）， 设乙车出发追上甲车时，乙车行驶了小时， ∴， 解得：， 即乙车出发追上甲车时，乙车行驶了小时， 故答案为：． 5．(2026·山东济南市商河县·一模)某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量（）与汽车行驶路程（）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，则此时它们行驶的路程均为________． 【答案】300 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，设的函数解析式分别为，利用待定系数法求出的函数解析式，再结合款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：由图知，过点， 设的函数解析式分别为， 又过点，过点， ， 解得， 的函数解析式分别为， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多12， ， 解得， 故答案为：300． 6．(2026·山东济南市槐荫区·一模)如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】/ 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 7．(2026九下·山东滕州滕南中学·一模)已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法：①A、B两地相距300千米；②两人出发时相遇；③乙出发到达目的地；④甲骑自行车的速度为．其中说法正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了从函数图象中获取相关信息，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 根据函数图象中的数据，可以分别计算甲、乙两人的速度，以及分析出甲、乙两人的运动状态，从而判断解题． 【详解】解：由函数图象可得，时，甲乙两人相距300千米，即A、B两地相距300千米，故①正确； 两人出发时，甲乙两人之间的距离为0，则说明相遇，故②正确； 两人同时出发，乙先到达目的地， 甲骑自行车从地到地，用了， 甲骑自行车的速度为，故④正确； 两人出发后相遇， 两人速度和为 ， 乙骑摩托车的速度为 ， 乙骑摩托车从地到地所用时间为，故③错误； ∴其中说法正确的是①②④， 故答案为：①②④． 8．(2026·山东济宁任城区·一模)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______  ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，运用方程思想，关键是利用折叠得相等线段，设未知数结合勾股定理列方程，易错点为折叠后线段长度关系分析错误；先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解点坐标． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点 ，点 ， ∴， 则； ∵点 ，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即 ∵点是上，在轴上， ∴点的坐标为； 故答案为． 9．(2026·山东菏泽市巨野县·一模)如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时，______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，正比例函数的性质，先求解，设，可得，再结合一次函数的性质可得的值，从而可得答案. 【详解】解：∵一次函数的图象与与抽交于点， ∴当时，， ∴， ∵在正比例函数的图象上， 设， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：. 10．(2026·山东省淄博市·一模)若直线与两坐标轴围成的三角形面积为8，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题．先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：当时，； 当时，，则； 故直线与坐标轴的交点为和 由题意可得： 化简得： 解得： 故答案为：． 11．(2026·山东省济南市·一模)将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标即可求出b的值． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后的解析式为， ∵平移后的一次函数图象经过点． ∴， 解得：． 12.(2026·山东临沂市沂水县·一模)如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 13．(2026·山东济宁任城区·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 14．(2026·山东济宁市曲阜市·一模)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 【答案】2 【分析】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，找到坐标规律进行求解．根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，可以发现点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环，由此可以求出点的纵坐标． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环， 又， ∴点与点重合，即点的纵坐标为． 15．(2026·山东临沂沂水县·一模)在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求小球到达斜面底端时的速度； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出速度随时间变化的正比例函数解析式，再代入到达斜面底端的时间，即可求出此时的速度； （2）先根据小球在水平面上的匀减速运动，求出速度随时间变化的一次函数解析式，再令速度为0，求出小球停止的总时间，减去斜面运动时间，即可得到水平面上的运动时长． 【详解】（1）解：设小球在斜面上滚动时的速度函数为 ， 已知当时，，代入得： ，解得， 因此，斜面上的速度函数为， 小球到达斜面底端时，对应时间为，代入得： ， 即小球到达斜面底端时的速度为； （2）设小球在水平面上滚动时的速度函数为 ， 已知两点：点，以及时，代入得方程组： ，解得，， 因此，水平面上的速度函数为：， 小球停止时速度，代入得： ，解得， 小球从斜面底端到停止的时长为：． 16．(2026·山东聊城市冠县·一模)在北方冬季，对某校一间坐满学生、门窗关闭的教室中的总量进行检测，部分数据如下： 教室连续使用时间x（分钟） 5 10 15 20 总量y（） 0.6 1.1 1.6 2.1 经研究发现，该教室空气中总量y（）是教室连续使用时间x（分）的一次函数． (1)求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） (2)根据有关资料推算，当该教室空气中总量达到6.7时，学生将会稍感不适，请通过计算说明，该教室连续使用多长时间学生将会开始稍感不适； (3)如果该教室在连续使用45分钟时开门通风，在学生全部离开教室的情况下，5分钟可将教室空气中的总量减少到0.1，求开门通风时教室空气中平均每分钟减少多少立方米？ 【答案】(1) (2)66分钟 (3)0.9 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）设y与x的函数关系式为，将表格中的数据代入解析式求解，即可解题； （2）将代入解析式中求解，即可解题； （3）将代入解析式求出此时总量y，再用教室空气中的总量变化量除以5分钟，即可解题． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将和代入中得： ， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：当时，有， 解得， 该教室连续使用分钟后学生将会开始稍感不适； （3）解：当时，有， （立方米/分钟）， 开门通风时教室空气中平均每分钟减少立方米． 反比例函数及其应用 考点03 1．(2026·山东济宁市邹城市·一模)在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数与一次函数的性质，分和两种情况讨论它们图象的位置，从而确定正确选项． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，B选项符合； 当时，反比例函数的图象位于二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，没有符合的选项， 综上，符合题意的选项为B． 2．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模) 已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 将点，点，点分别代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：点，点，点在反比例函数的图象上， ，，， ， ． 故选：． 3．(2026·山东德州市临邑县·一模) 如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若≤1，则x的范围为（　　） A．≥1 B．≥2 C．＜0或≥2 D．＜0或0＜≤1 【答案】C 【详解】解：由图像可得，当＜0或≥2时，≤1. 故选C. 4．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)已知反比例函数经过点,当时自变量的取值范围为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先由待定系数法求出k的值，再根据增减性确定自变量x的取值范围. 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴k=(-2) ×3=-6， ∴， ∴当时，；当时，， ∴当时自变量的取值范围为或. 故选：C 5．(2026·山东临沂沂水县·一模)在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可得关于的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：， 关于的函数解析式为， 当时，则， 当时，则， 压强由加压到，则气体体积压缩了； 故选：C． 6．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 7．(2026·山东东营市利津县·一模) 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围进行求解即可． 熟练掌握一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【详解】解：点A的横坐标为2，点B的横坐标为， 由图知，不等式的解集是或． 8．(2026·山东省淄博市·一模)已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先将点代入反比例函数，求出，确定函数解析式．把点代入解析式，算出．根据在函数上，得，结合条件，列出不等式．然后分、两种情况解不等式即可解答． 【详解】解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数为． ∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴． ∵， ∴ 即， 当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得， ∴； 当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴，该不等式恒成立，即都满足条件． 综上，的取值范围是或． 9． (2026·山东德州市齐河县·一模)已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 10．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过点，（），过点作轴的垂线，垂足为，当面积为4时，直线过线段上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合、三角形面积公式，利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 代入点求出反比例函数的解析式为，代入点得到，再利用三角形的面积公式列出方程，求出的值，分别代入点到直线，求出的两个值，然后根据动点即可确定的范围． 【详解】解：代入点到，得， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴， ∵面积为4， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 当直线过点时，则，解得； 当直线过点时，则，解得； ∴的取值范围是． 故选：D． 11．(2026·山东济宁市兖州区·一模)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围是________．    【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是设，用n表示出的面积． 把点分别代入和，求出b、k的值，设，用n表示出的面积，根据，求出面积的最大值和最小值即可． 【详解】解：把点分别代入和得： ，解得：， ，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； 点P是线段上一点，设， 把点代入可得， ， ， ，且， 当时，S有最大值，且最大值是2， 当或时，S有最小值，且最小值是， ∴S的取值范围为． 故答案为：． 12． (2026·山东青岛市崂山区·一模)如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________． 【答案】 【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 13．(2026·山东省淄博市·一模)如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 分别过点、作轴的垂线，垂足为、，由可得，，从而得到点的坐标，进一步算出点的坐标，最后使用勾股定理计算出的长． 【详解】解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，． 故选：D． 14．(2026·山东德州庆云县·一模)如图，在直角坐标系中，四边形为正方形，且边与轴交于点，反比例函数 的图像经过点，若且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设BM=a则CM=2a,作BH⊥y轴,AD⊥x轴,证明△OMC∽△BMH,利用三边对应成比例可求BH=,再借助求出a的值,从而求出△OMC的三边长,证明△OMC∽△OAD,求出OD、AD的值，再求出k得值． 【详解】设BM=a则CM=2a, ∴CB=CO=OA=3a, 作BH⊥y轴,AD⊥x轴 ∵∠C＝∠BHM=90°,∠CMO=∠HMB ∴△OMC∽△BMH ∴ 即 ∴HB= ∵ ∴ ∴ 解得: ∵∠COM+∠MOA=∠MOA+∠AOD ∴∠COM=∠AOD ∵∠C=∠ADO=90° ∴△OCM∽△ODA ∴ 即 ∴k=OD×AD= 故答案选：D 15．(2026·山东临沂市郯城县·一模)如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可判断①；设点C的坐标为，则，可得到，可证明，可判断②；矩形的性质结合反比例函数的意义，可判断③，根据等边三角形和反比例函数的对称性，可判断⑤，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 设点C的坐标为，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故③正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故⑤正确， 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故④正确； 综上，正确的有①②③④⑤． 16．(2026·山东省聊城市东阿县实验中学·一模)如图，在平面直角坐标系中，，分别在轴和轴上，以，为边作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数，其图像恰好过的中点，则点的坐标__________    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理、反比例函数，二次根式的计算．连接、，设的中点为P，先根据轴对称的性质证明四边形是菱形，由P点是的中点，可知P点也是的中点，设，则，由此可求出，即可知反比例函数的表达式为，由此可表示出M点的坐标为，由此可得的长．在中，根据勾股定理列方程即可求出a的值，进而可求出M点的坐标． 【详解】    如图，连接、，设的中点为P， 由题知，与关于直线对称， ， ，． ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形． ∵P点是的中点， ∴P点也是的中点． ， ∴设，则， ∵P点在图像上， ， ∴反比例函数的解析式为． 设M点的坐标为， 则， ， ， ． 中，， ， 解得， ，， ． 故答案为： 17．(2026·山东省日照市高新区中学·一模)已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是_______________．（只写一个） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：点和在图象上，且当时，， ， 解得：， 的值可以是4（答案不唯一）． 故答案为：4（答案不唯一）． 18．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 19．(2026·山东青岛南区·一模)如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点坐标为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作于，由等腰三角形的性质得，由直角三角形的性质得，由勾股定理得，即得，再代入双曲线解析式解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴． 20．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求出点A的坐标，据此得出反比例函数的解析式，再结合平移后点D落在反比例函数的图象上求出m的值即可． 【详解】解：∵点D坐标为， ∴， ∵四边形是菱形且点B在y轴上， ∴且轴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 则反比例函数的解析式为， ∵平移后点D刚好落在反比例函数的图象上， 则将代入得， ， ∴． 21．(2026·山东省淄博市·一模)如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】由点为反比例函数与直线的交点，可求出、的值，令点的坐标为，则点的坐标为，代入，即可解出的值，得出结果． 【详解】解：∵点为反比例函数与直线的交点， ∴，解得， 令点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， 可得， 化简得， 解得或（舍去）， ∴点B的坐标为． 22．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为__________． 【答案】 【分析】作轴，轴，根据反比例函数值的几何意义得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可. 【详解】解：作轴，轴，则， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴. 23．(2026·山东东营市利津县·一模) 如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数y=图象上，则图中过点A的双曲线解析式是_____．    【答案】y=﹣ 【分析】要求函数的解析式只要求出点A的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点B的坐标是（m,n）,然后用待定系数法即可． 【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．    设点B的坐标是（m,n）, 因为点B在函数y=的图象上,则mn=2, 则BD=n,OD=m,则AC=2m,OC=2n, 设过点A的双曲线解析式是y=, A点的坐标是（-2n,2m）, 把它代入得到:2m=, 则k=-4mn=-8, 则图中过点A的双曲线解析式是y=. 故答案为：y=. 24． (2026·山东德州市齐河县·一模)如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上．若，则k的值为_____． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点的坐标是解题的关键．作于，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入即可求得的值． 【详解】解：作于， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 设，则， 点在函数的图象上． ， 故答案为：12． 25．(2026九·山东淄博高新区·一模)如图，在平面直角坐标系中，点，是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴，反比例函数的图象经过点、，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上，且点的坐标为时，则值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先根据点的坐标求出直线的解析式，再结合矩形的性质和反比例函数的性质，用含的代数式表示出点的坐标；然后利用折叠的性质得到线段相等和角相等，通过作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到线段的比例关系，最后结合列方程求解的值． 【详解】解：点在直线上， ， 直线的解析式为， 四边形是矩形，轴， 点的横坐标与点相同，为；点的纵坐标与点相同，为， 反比例函数的图象经过点， 当时，，即； 当时，，即， 轴，在直线上，且的纵坐标与相同为， 当时，，即， ，， 把矩形沿折叠，点的对应点为， ，，， ， 如图，过点作轴于，过点作轴于， 轴， 三点共线，， ， ， 又， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， （点横坐标为，轴），（点横坐标为，轴）， ，， ， 由图可知，（矩形的对边相等，与均为矩形的竖直边长）， ，解得． 26．(2026·山东滨州市滨城区·一模)模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为x，y．由矩形的面积为4，得，即； 由周长为m，得，即，满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标； (2)画出函数图象：请先描出反比例函数的图象上的三个格点，再画出此反比例函数的图象；我们知道的图象可由直线平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线． (3)平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围； (4)得出结论：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，则周长m的取值范围是 ． 【答案】(1)一 (2)图见解析 (3)8；交点个数情况还有：0个和2个两种情况；当交点个数为0个时，；当交点个数为2个时，； (4) 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （4）运用（3）的相关结论即可． 【详解】（1）解：x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限； （2）解：图象如下所示： （3）解：①把点代入得： ，解得：； ②在直线平移过程中，交点个数情况还有：0个、2个两种情况， 联立和并整理得：， 当交点个数为0个时，，解得， 当交点个数为2个时，时，解得或（舍去）， 综上，当交点个数为0个时，；当交点个数为2个时，； （4）解：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，此时． 27．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2) 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 28．(2026·山东省淄博市·一模)如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接、． (1)求反比例函数表达式； (2)若，求点C的坐标； (3)直接写出 的解集． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先点代入，求出点，即可得到反比例函数关系式，； （2）求出点B的坐标，设交轴于点，先求出，设点的坐标为得到，根据，即可求解； （3）直接根据图象可得答案． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴点， 把点代入得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得：， ∴， ∴， 设交轴于点，如图： 当时，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或5， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点， ∴由图象可得，的解集为或． 29．(2026·山东德州市临邑县·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请根据图象直接写出关于x的不等式的解集； (3)在直线上有点P，的面积为12，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入得，再把代入，求出，运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）认真观察图象，且结合，，运用数形结合思想得不等式的解集或，即可作答． （3）先求出，得，设，运用三角形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴把代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 则， 把和分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：由（1）得，，， ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴不等式的解集或； （3）解：依题意，与x轴交于C点， ∴当时，则， 解得， ∴， ∴， ∵直线上有点P， 设， ∵的面积为12， ∴， 则， ∴或， 解得或， 则或． 30．(2026·山东省淄博市·一模)如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点轴，连接． (1)当的面积最小时，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，将直线向上平移4个单位长度，得到直线l，直线l与反比例函数的图象交于点B； ①求直线l的函数解析式； ②直接求出在第一象限内时的x的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）根据的面积与反比例函数关系推出，再结合二次函数最值情况分析求解出点坐标，设函数的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）①设直线的解析式为，将（1）中点坐标代入解析式求解，即可得到直线的解析式，再结合函数平移规律求解，即可解题； ②联立解析式求解，再结合图象找出一次函数在反比例函数下方的部分，即可求出其x的取值范围． 熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值情况，函数的平移法则是关键． 【详解】（1）解：点为反比例函数图象上的一个动点， ， ， 当时，的面积最小， ， 设函数的解析式为； ， 函数的解析式为； （2）解：①设直线的解析式为， 有，解得， 直线的解析式为， 直线向上平移4个单位长度，得到直线l， 直线l的函数解析式为； ②当时，解得， 在第一象限内时的x的取值范围为． 31．(2026·山东青岛市市南区·一模) 如图，已知，是一次函数反比例函数图象的两个交点，轴于，轴于. （1）求一次函数解析式及的值； （2）是线段上的一点，连、，若和面积相等，求点坐标. 【答案】（1），；（2）点P的坐标为. 【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；将点B的坐标代入反比例函数中，可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）根据A、B点的坐标可以找出C、D点的坐标，由此可得出线段AC、BD的长度以及直线AC、BD的函数解析式，设点P的坐标为（m，），根据点到直线的距离以及三角形的面积公式可以得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，代入到P点的坐标即可得出结论． 【详解】解：（1）将，代入一次函数解析式中，得， 解得：.故一次函数的解析式为. 将代入反比例函数解析式中，得， 解得：. （2）∵，，且轴于，轴于， ∴，，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 设点的坐标为， 点到直线的距离为，点到直线的距离为. ∵面积和面积相等， ∴， 解得：， 点P的坐标为. 32．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（）将点的坐标代入关系式，求出的值，即可得出答案； （）令得到点的坐标，然后分情况根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：，； （2）解：由（1）知一次函数解析式为， 当时，， ∴点， ∴ 当点落在轴的正半轴上， 则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， ∴ ∵， ∴， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点的坐标为或． 33．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模) 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数 的图象交于点，与y轴交于点．点P是反比例函数 的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接． (1)求k，b的值； (2)当的面积为时，求点P的坐标； (3)设的中点为C，点D为x轴正半轴上一点，当以B，C，D为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线可得b，即可求出点，再将点代入反比例函数关系式得出答案； （2）先表示出点P，Q，即可表示出再根据得出方程，求出解即可； （3）由（2）知，再分两种情况：当是直角边，点D在x轴正半轴上时，作，作，然后根据“角角边”证明，进而得出，即可得出，求出解；当是斜边，点D在x轴正半轴上时，同理可得，进而得出，即可得出，求出解． 【详解】（1）解：∵直线经过点 ∴ 解得， ∴直线的关系式为． ∵点在直线上， ∴， ∴点． ∵经过点， ∴； （2）解：由（1）知反比例函数的关系式为， ∴， ∴． ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知， 如图，当是直角边，点D在x轴正半轴上时，过点C作于点F，过点D作的延长线于点G， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 解得（舍去）， ∴； ②如图，当是斜边，点D在x轴正半轴上时，作轴，作于点F，作于点G， 同理可得， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴点． 综上所述，点P的坐标是或． 34．(2026·山东省济南市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点C为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点C作x轴垂线，交一次函数图象于点D，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点C的坐标； (3)点P为反比例函数图象上一点，点Q是坐标系内一点，当四边形为矩形时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入一次函数表达式得到，将代入求出点B的坐标，将点B的坐标代入反比例函数表达式计算即可； （2）设点D的坐标为，则点，根据等腰三角形的性质得到，求解即可； （3）设，根据矩形的性质和勾股定理得到，求出，根据矩形的性质得到，，根据平移规律作答即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数表达式得：， 解得：， 即一次函数的表达式为：， 将代入，得， 点B的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数表达式为：； （2）解：设点D的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点B在的中垂线上， 则， 解得：（舍去），， 点C的坐标为：； （3）解：设， 四边形为矩形， ， ∴， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∴，， 即B到A的平移方式和P到Q的平移方式相同， ∵，， ∴B到A的平移方式为向左4个单位，再向下8个单位， ∵， ∴． 35．(2026·山东济南市商河县·一模)如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)①，②或 【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求得点B 的坐标； ①作关于轴的对称点，连接交轴于，由于C和关于轴对称，有，当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点M的坐标；②设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，可证明，则，，列出；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，列出，解得n即可． 【详解】（1）解：∵，， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）解：①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 则点M的坐标为； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，的坐标为或． 36．(2026·山东省济南市市·一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 37．(2026·山东济宁市邹城市·一模)小明家安装了一款智能恒温热水器，其工作时水箱内水温随加热/保温时间的变化规律如下： ①开机后热水器开启快速加热功能，水温会上升，此时水温是加热/保温时间的一次函数，水温升高到预设的最高温度后，热水器关闭快速加热功能，进入智能保温阶段； ②智能保温阶段，水温会先下降，此时水温是加热/保温时间的反比例函数，水温降到预设的最低温度后，热水器再次启动①中快速加热功能，使水温再次升至预设的最高温度，上升过程中水温是加热/保温时间的一次函数，加热效率与之前一致． (1)若起始水温为，水温第一次升至预设的最高温度用时，然后水温第一次降至预设的最低温度，求出在这个变化过程中水温关于时间的函数关系式； (2)在（1）的条件下，小明计划洗澡，要求水温不低于，若他在当天时启动热水器快速加热功能，请判断他洗澡时水温是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1)当时，解析式为；当时，解析式为 (2)他洗澡时水温符合要求，理由见详解 【分析】（1）根据不同阶段水温的变化情况，分别确定一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据（1）中求出的函数表达式，计算出在给定时间内水温的变化情况，判断是否符合要求． 【详解】（1）解：当时， ∵起始温度为，y是x的一次函数， ∴设． 把，代入得：， ∴此时解析式为， 当时， ∵y是x的反比例函数， ∴设， 把，代入得：， ∴此时解析式为， 当时，代入中，可得， 解得， ∴水温第一次下降阶段的函数关系式为， 综上所述，当时，解析式为；当时，解析式为． （2）解：根据题意设第二次加热过程中的函数解析式为， 把代入得：， 把，代入得：， ∴第二次加热过程中的函数解析式为， ∵到经过38分钟， 把代入得：， ， ∴符合要求． 38．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模) 某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度下加热水箱中的水；当水温达到设定温度时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到时，再次自动加热水箱中的水至时，加热停止；当水箱中的水温下降到时，再次自动加热，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温是时间的函数，其中（单位：）表示水箱中水的温度．（单位：min）表示接通电源后的时间．下面是小明的探究过程，请补充完整： 下表记录了内14个时间点的温控水箱中水的温度随时间的变化情况 接通电源后的时间（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 水箱中水的温度（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 50 64 40 20 (1)的值为___________； (2)①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当时，温度随时间变化的函数图象； ②求出当时最符合表中数据的函数解析式； (3)如果水温随时间的变化规律不变，预测水温第9次达到时，距离接通电源___________min． 【答案】(1)80 (2)①图象见解析；② (3)66 【分析】（1）根据表格数据，可以得出加热的阶段，水温y与时间x呈一次函数关系，由表格可知，每分钟水温上升，16分钟的时候为，，故20分钟的时候刚好； （2）①根据表格数据描点，再通过加热阶段和降温阶段分别是一次函数关系和类反比例关系，画出图象即可； ②根据表格数据，确定函数解析式即可； （3）由表格可知，每16分钟一循环，找到第一个16分钟中水温为时对应的时间，再通过循环确定第9次即可． 【详解】（1）解：由题意可知，阶段，为加热，且每分钟水温上升， 又， ∴20分钟时，对应的水温为，即； （2）解：①图象如下： ②由表格，可知， ∴当时，， 由表格，可知，当，y是x的一次函数，由题意，， 设， 代入，得， ∴， ∴； （3）解：由表格和图象可知，每16分钟一循环， 在第一个16分钟，当和时，水温为， 故每个16分钟，有2次水温为，第9次为第5个16分钟的第1次， 此时（分钟）． 二次函数的图象与性质及其实际应用 考点04 1．(2026·山东省淄博市·模拟)如图，已知二次函数，顶点在轴上，为坐标原点，，为抛物线上的点．若四边形是菱形，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，由题意得，，，则．由菱形的性质可得，，，利用三角函数可计算出，从而得到点的坐标．将点代入二次函数的表达式，化简后即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴，即， ∴点的坐标为， ∴， 如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 化简，得， ∴或， 当时，点与点重合，与题意矛盾，故舍去； ∴． 2．(2026·山东德州市天衢新区·一模) 已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴． 3．(2026·山东省菏泽市东明县·一模) 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 4．(2026·山东青岛市市南区·一模)二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，根据二次函数的图象得出，结合一次函数关系式即可排除B，C，根据二次函数对称轴可得，根据二次函数经过得出，假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ，进行判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据二次函数图象得，根据一次函数关系式得出直线经过第一、三、四象限，排除 B，C； 根据对称轴是直线，得，即． 将代入二次函数关系式，得，即． 假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ， 整理得，即， 即 ， 因为，所以方程无实根， 即一次函数与反比例函数的图象无交点，故 A 符合题意， 故选：A． 5．(2026·山东省青岛莱西市·一模)如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和系数的关系判断各项即可． 【详解】解：A、由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故A错误，不符合题意； B、∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故B错误，不符合题意； C、∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴， 故C错误，不符合题意； D、由上述分析，得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意． 6．(2026·山东省聊城市东阿县实验中学·一模) 抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（    ）个    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由图可知：，即可判断①；根据，，得出抛物线对称轴为直线，则，当时，，即可判断②；根据抛物线的对称轴为直线，得出当时，该二次函数取最小值，即可判断③；连接，令对称轴与y轴相交于点E，根据等腰直角三角形的性质得出，则，设该抛物线的解析式为，把代入得：，求出a的值，即可判断④；根据，是一元二次方程的两个根，得出抛物线与直线相交于，即可判断⑤． 【详解】解：由图可知： ∵开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线交轴于，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 当时，， 整理得：，故②不正确，不符合题意； 当时，， 当时，， 由②可知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，该二次函数取最小值， ∵， ∴，即，故③不正确，不符合题意； 连接，令对称轴与y轴相交于点E， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：，故④正确，符合题意；    ∵，是一元二次方程的两个根， ∴抛物线与直线相交于， ∵抛物线交轴于，， ∴，故⑤不正确，不符合题意； 综上：正确的有①④，共2个， 故选：A． 7.(2026·山东青岛市市南区·一模) 某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金（元）为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆．已知每辆车每天平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润（元）与的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】先表示出租出的车辆数为辆，然后再表示每辆车的利润为元，再由总利润车辆数每辆车的利润建立函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得． 8．(2026·山东青岛市崂山区·一模) 抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式； ④若方程的两个根为，，则． 其中正确的是________（只写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】根据图象判断①，对称轴和特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的顶点是， ∴对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴；故①正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 则当时，， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，顶点是， ∴当时，函数有最大值为， ∴对于任意实数t，总有不等式；故③错误； ∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，与x轴的另一个交点在点和之间， ∴方程的两个根在和之间， ∴．故④正确； 综上：正确的是①④． 9．(2026·山东临沂沂水县·一模)在平面直角坐标系中，两点在抛物线上．下面结论：①当时，；②当时，；③当且时，则；④当时，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先整理抛物线解析式，得到抛物线开口方向，抛物线与轴交点，再根据二次函数的性质逐一判断结论正误即可． 【详解】解：整理抛物线解析式得，且 ∵， ∴抛物线开口向上，与轴交点为和， 对称轴为直线可得性质： 当或时，， 当时，， 开口向上时对称轴左侧（），随增大而减小； ①当时，由性质得，①正确； ②当时，若，则，②错误； ③∵，∴，又，∴，由性质得，③正确； ④∵，时随增大而减小，∴，④正确． 综上，正确结论共3个． 故选：C． 10．(2026·山东滨州市滨城区·一模) 关于抛物线（m是常数），下列说法正确的是（   ） A．当时，抛物线的对称轴是 B．若此抛物线与x轴只有一个公共点，则 C．若点在抛物线上，则 D．无论m为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先将抛物线配方为顶点式，再逐个验证选项，用到二次函数对称轴、一元二次方程根的判别式、二次函数增减性、平行线间距离等知识点． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 对选项A∵当时，抛物线对称轴为直线 ∴A错误． 对选项B∵抛物线与轴只有一个公共点 ∴一元二次方程的判别式 令，解得 ∴B错误． 对选项C∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大 ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴ ∴C错误． 对选项D∵抛物线顶点坐标为， 所有顶点都在直线上 ∵平行于直线 ∵设与轴的交点分别为 当时，；当时， ∴ ， ，则 ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形 ∵经过原点，如图，过点作于点，则 ∴到的距离为， 即抛物线的顶点到直线的距离都等于 ∴无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 ∴D正确． 11．(2026·山东省聊城市·一模)函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据顶点坐标可得该抛物线的对称轴为，再结合其与轴交点可推导出系数关系，进而判断①；将方程转化为抛物线与直线的交点问题判断②；根据开口方向和点到对称轴的距离可推断函数值大小进而判断③；联立方程用判别式判断交点个数判断④． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， 则，可得， 将代入得， 将代入得，即， ①∵， ∴， 解得，故①正确； ②方程等价于， 该方程有实数根的条件为抛物线与直线有交点， ∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下，顶点是最高点， ∴当，抛物线与直线有交点， 解得， 当，该方程有两个相等的实数根， 当，该方程有两个不等的实数根， 故满足要求，结论错误，故②错误； ③∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵对称轴为，， 说明到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，故③正确； ④将抛物线化为顶点式， 联立， 可得， 其判别式， 由已知条件无法确定恒大于，不能确定总有两个不同交点，故④错误． 综上①③正确， 故选． 12．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，则下列结论正确的是（   ） … 0 2 4 7 … … … A． B． C．的解是， D． 【答案】BCD 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格得出对称轴为直线，从而得出，由二次函数的性质得出当时，为最小值，即，再求出，即可得出，由题意可得和关于直线对称，由，得出，即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当和时，，故对称轴为直线， ∴，顶点坐标为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，故当时，为最小值，即，故B正确； 当时，， ∴，故A错误； ∵和关于直线对称， ∴的解是，，故C正确； ∵， ∴， ∴，故D正确； 综上所述，正确的有BCD， 故选：BCD． 13．(2026九·山东淄博高新区·一模)已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或．则如下四个值中有可能为m的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质，根据题意可得当时，或，且函数开口向上，即，则可求出对称轴为直线，则可得到，把代入解析式得到，据此求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，x的取值范围为或， ∴当时，或，且函数开口向上，即， ∴，为抛物线上的点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得， 将代入解析式得， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，m的可能取值为1， 故选：A． 14．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意求出，得到，证明是的中位线，根据即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为，当时， ， ， 是线段的中点， 故是的中位线， ， 是以点为圆心，为半径的圆上的动点， ， 15．(2026·山东济宁市邹城市·一模)如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与y轴的交点B在和之间（不含端点）．则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点P，使得 的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①先求出抛物线与x轴的另一个点的坐标，根据图象即可判断①是否正确；②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断②是否正确；③利用割补法用a表示出面积，再求出a的值，即可判断③是否正确；④过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、，运用分类讨论思想，求出a的值，再将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q，推出当点O，点P，点，点共线时，值最小，最小值为，此时，设，在和中，利用勾股定理列出方程组，求出m，n的值，进而求出，并与比较，即可判断④是否正确． 【详解】解：①∵抛物线经过点，顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，， 故①正确； ②方程有两个实数根相当于函数的图象与函数的图象有两个交点， 画出函数图象如下，由图可知，这两个图象没有交点， 故②正确； ③将，代入， 得， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点为， 设抛物线对称轴交x轴于H，如图， 则， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接、、， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，，，，，， ∵为直角三角形，有三种情况：或或， 显然， ∴只能或， 若，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 若，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； ∵点B在与之间（不含端点）， ∴， 解得， ∴， ∴，， 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴当点O、P、、共线时，值最小，最小值为， 此时， 设， 则，，，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：C． 16．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)定义运算：，例如，则函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数最值问题，根据新定义运算规则得到二次函数解析式，再利用配方法将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【详解】解： ， 二次项系数，抛物线开口向上， 当时，函数取得最小值，最小值为． 17．(2026·山东省济宁市兖州区·一模)已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 18．(2026·山东省潍坊市·一模)以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____． 【答案】 【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，，，，结合h1＝2h2，即可求解． 【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v1t4.9t2，令h=0，或（舍去），， 图2中的函数解析式为：h＝v2t4.9t2， 或（舍去），， ∵h1＝2h2， ∴=2，即：= 或=- （舍去）， ∴t1：t2=：=， 故答案是：． 19． (2026·山东临沂市郯城县·一模)已知二次函数（）． (1)求该二次函数图像的对称轴． (2)已知点，在该二次函数图像上，求证：当时，． (3)过二次函数图像与轴的交点作轴的垂线，将二次函数图像在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，得到图形，已知，是图形上的两个点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)无最大值，最小值趋近于． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次函数的性质即可求解； （）由题意得，，，所以，然后根据，，即可求解； （）由题意得原函数与轴交点为，所以直线：，又翻折后，部分关于对称，点在左侧原图上，，点在右侧翻折图上，其关于的对称点为在原函数上，代入原函数得，从而求解． 【详解】（1）解：该二次函数图像的对称轴：； （2）证明：由得，， ∴当时，；当时，， ∴， ∵，， ∴，即． （3）解：由得，当时，， ∴原函数与轴交点为， ∴直线：， 由题意得：翻折后，部分关于对称，点在左侧原图上， ∴， ∵点，点， ∴， ∴点在右侧翻折图上，其关于的对称， ∴在原函数上， ∴， ∴ ， ∵， ∴无最大值，最小值趋近于． 20．(2026·山东济宁市邹城市·一模)已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值． 【答案】(1)对称轴为 (2)解析式为 (3)或 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，即区间端点或顶点处的函数值情况． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 整理得：， ∴对称轴为． （2）解：由（1）可得，， ，， ， ， ， ∴解析式为． （3）解：由（2）可得：二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值为6， ∵当时，y有最大值为3， ∴不成立， ∴或者： ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或2， ， ， ②当，即时，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或， ， ， 综上所述，或． 21．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)已知抛物线（为常数）． (1)①若抛物线过点，求值； ②求证：该抛物线的顶点在轴上方； (2)当时，最小值为，求值； (3)若抛物线上有两点，且，当时，求的取值范围． 【答案】(1)①；②详见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）①将点代入解方程即可求解；②将化成顶点式得抛物线的顶点为，根据，开口向下可得该抛物线的顶点在轴上方； （2）分两种情况：①当，即时，当时，有最小值；②当，即时，当时，有最小值．分别代入解方程即可求解； （3）由题意知，得，进而可得，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①抛物线过点， ， 解得； ②证明： ， 抛物线的顶点为， ， 该抛物线的顶点在轴上方； （2）解：①当，即时， 当时，有最小值． ， （不合题意，舍去）； ②当， 即时， 当时，有最小值． （不合题意，舍去） 因此，或； （3）解：由题意知，当时，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ． 22．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）． (1)求这个函数图象的最小值； (2)无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标； (3)若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)当时，函数解析式为，的取值范围；当时，函数解析式为，的取值范围． 【分析】（1）先将二次函数化为顶点式，得到函数的对称轴为直线，再根据和进行分类讨论即可； （2）令，则，根据题意得到，即可求出答案； （3）将代入，解得或，分类讨论即可． 【详解】（1）解：， 故函数的对称轴为直线， 当时，即时， ， 故在处取得最小值，； 当时，即时， ， 故在处取得最小值，； 当时，；当时，； （2）解：令，则， 即， 无论取任何实数，抛物线过轴上一定点， ， 解得， 故定点坐标为； （3）解： 在图像上， 将代入，得， 解得或， 当时，函数解析式为，对称轴为直线， ，当时， 随的增大而减小； 当时，函数解析式为，对称轴为直线， ，当时，随的增大而减小； 当时，函数解析式为，的取值范围； 当时，函数解析式为，的取值范围． 23．(2026·山东省德州市乐陵市·一模) 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．此抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点，点与点不重合． (1)抛物线的对称轴为直线_____； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当（为常数）时，的最小值为，求的值； (3)在（2）的条件下，将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)2； (2)①；②或3； (3) 【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴是求出解； （2）①将点代入关系式可得解； ②分三种情况讨论：当，即时，，取最小值，再代入得出方程，求出解；当，即时，，取最小值，求出最小值，并判断；当时，，取最小值，然后代入求出方程的解； （3）设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线，再分三种情况讨论：当，即时，在对称轴的右侧，再根据最小值得出方程，求出解，并判断；当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，并判断；当，即时，在对称轴的左侧，然后代入得出方程，求出解，即可得出符合条件的关系式． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①把代入得：， ， 抛物线所对应的二次函数表达式为； ②当，即时，，取最小值， ， 解得或（舍去）， ； 当，即时，，取最小值， 此时最小值为，不符合题意； 当时，，取最小值， ， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为或3； （3）解：设平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ， 解得或，不符合题意； ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意； ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ， 解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为， 即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 24．(2026·山东省日照市高新区中学·一模) 在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； (3)若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，黄金区间为 【分析】（1）把代入求得a的值即可解答； （2）先求得平移后新的函数解析式，再求出新函数解析式于x轴的交点坐标，再根据线段列关于t的不等式求解即可； （3）分对称轴左侧和右侧两种情况，结合函数增减性和黄金区间的定义，建立方程或方程组，求解并判断是否有符合条件的区间即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）解：抛物线向下平移个单位后的函数解析式为， 令，则． 设方程的两根为​，则． 由根与系数的关系可得， ∵， ∴，即，解得：． 所以 t 的取值范围为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线，开口向上，顶点为． ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 黄金区间定义： 在对称轴同一侧，且． ①区间在对称轴右侧（），此时y随x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴m，n 是方程 的两个根，解得， ∴，即； ②区间在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小； ∴当时，，当时，， ∴​ 两式相减： ， ∵，即， ∴，即， 将代入得，即， ∴， ∴方程无实根，故左侧不存在黄金区间． 综上，存在黄金区间，为． 25．(2026·山东滨州市滨城区·一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或或 (3) 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据函数解析式判定出的值最小，得出，然后利用二次函数的性质以及图象得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； （3）解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， 令， 当时， 解得或， ∴． 26．(2026·山东日照东港区开发区中学·一模)已知抛物线（为常数）． (1)①若抛物线过点，求值； ②求证：该抛物线的顶点在轴上方； (2)当时，最小值为，求值； (3)若抛物线上有两点，且，当时，求的取值范围． 【答案】(1)①；②详见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）①将点代入解方程即可求解；②将化成顶点式得抛物线的顶点为，根据，开口向下可得该抛物线的顶点在轴上方； （2）分两种情况：①当，即时，当时，有最小值；②当，即时，当时，有最小值．分别代入解方程即可求解； （3）由题意知，得，进而可得，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①抛物线过点， ， 解得； ②证明： ， 抛物线的顶点为， ， 该抛物线的顶点在轴上方； （2）解：①当，即时， 当时，有最小值． ， （不合题意，舍去）； ②当， 即时， 当时，有最小值． （不合题意，舍去） 因此，或； （3）解：由题意知，当时，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ． 27.(2026·山东淄博市桓台县·一模)【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 【答案】(1) (2) (3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为 【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， ∵长、宽比为的长方形菜地， ∴菜地的长为米， ∴小路面积S关于的函数表达式为； （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）得：菜地面积关于的函数表达式， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为． 28．(2026·山东省青岛市市·一模)某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 【答案】(1) (2)​；单价为元时利润最大，最大利润为元 (3)；的值为 【分析】（1）用待定系数法求游客人数与门票单价的一次函数表达式即可； （2）先用待定系数法求环保费的二次函数表达式，再根据利润公式列总利润表达式，利用二次函数性质求最大值即可； （3）列出成本降低后的新利润表达式，求出对称轴，结合的取值范围确定能取到最大值的值，代入计算即可得出在此条件下利润的最大值，再将最大利润代入，解方程即可求出此时的值． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得 ， 解得， ∴游客人数与门票单价的函数表达式为； （2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得 ， 解得 ∴， ∴ ​， ∵， ∴二次函数开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，满足， ∴当时，， 即单价为元时利润最大，最大利润为元； （3）解：运营成本每人降低元后， ​， ∵， ∴二次函数开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∵，即，， ∴当时，， 当时，， 解得， ∴当利润最大值为元时的值为． 29．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)综合与实践 【课本再现】 (1)九年级兴趣小组在复习课本时，发现这样一个题目，请你帮忙解决： 如图①，一个铝合金型材长，用它制作一个“日”字形窗户的框架，如果恰好用完这条铝合金型材，那么当，分别为多少米时，窗户的面积最大？直接写出答案； 【类比迁移】 (2)兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形，并绘制了如图②所示的长方形硬纸片，其中，，现要用它围成一个长方体盒子的侧面，请你帮忙算一下这个盒子的最大体积是多少？ 【深入思考】 (3)兴趣小组的小亮同学认为将（2）中的长方形硬纸片按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由； 【拓展延伸】 (4)若给出一个长为a，宽为的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，直接写出其最大体积． 【答案】(1)， (2)576 (3)不认可，理由见解析 (4) 【分析】（1）设为，则，然后表示出矩形的面积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （2）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （3）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案； （4）设，则，然后表示出这个盒子的体积，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】（1）解：设为，则， ∴窗户的面积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，S取得最大值， ∴，时，窗户的面积最大； （2）解：如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值576； （3）解：不认可，理由如下： 如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值384 ∵ ∴按照图③的方式围成的长方体盒子的侧面，会让这个长方体的体积更小， ∴不认可小亮的观点； （4）解：如图， 设，则 根据题意得，这个盒子的体积 ∵， ∴抛物线开口向下 ∴当时，V取得最大值． 30．(2026·山东省青岛市崂山区·一模)学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． （2）解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． （3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 31．(2026·山东青岛市市南区·一模)如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)求高架桥两端的的距离； (3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 【答案】(1) (2)米 (3)元 【分析】（1）过点作于点，作 轴于点，在 中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解． （3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作 轴于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， 在 中，轴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设抛物线对应的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得：， ∴； （2）令， 解得：， ∴， ∴（米） （3）设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设矩形中，米， 则，代入，， 得， ∴ ， ∴， 由（1）可得， ， 设总费用为， ∴ ； 当时，取得最小值， 最小值为， ∴菱形广告牌所需的最低费用为元． 32．(2026·山东省青岛莱西市·一模)某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到． 建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 【答案】(1)，点的离地高度为 (2) (3)米 (4)米 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式； （3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解； （4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． （2）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （3）解：抛物线的表达式， 设，则，，， 设钢材长度为米，则： ，抛物线开口向下， 当时，． ∴最多需要米钢材． （4）解：由（3）可知，，，设直线的表达式为， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 由， 解得，， ， ， ∴由对称性知需用钢梁的总长度为米． 33．(2026·山东省淄博市·一模)某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头到水面轴的距离为，抛物线、是从喷水头处喷出的两股水流．经测量得，抛物线的最高点距离水面，且与喷水头的水平距离为，设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水面的高度． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线可以看作是向左平移个单位长度得到的． ①求的值； ②求抛物线与轴的交点的横坐标； (3)在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线，之间阴影区域飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头的水平距离为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据平移的性质，设抛物线的解析式为：代入，即可求解； ②由①可知抛物线解析式为：令，解方程，即可求解； （3）根据题意且解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意抛物线的顶点为， 则抛物线的表达式为 将点代入得：， 解得 所以抛物线的解析式为： （2）解：①根据平移的性质，设抛物线的解析式为： 由于抛物线经过点，则 解得： ②由①可知抛物线解析式为： 令，则 解得：或（舍去） 点B的横坐标为 （3）解：根据题意且解 即且 解得： 34．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模) 项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计  智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． (1)求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设上边缘抛物线向左平移，且抛物线过点，代入计算得到平移后的解析式，再令，解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，当米时，米，把代入上边缘抛物线计算出高度，再与绿化带横截面的比较即可求解． 【详解】（1）解：喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米， ∴，抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到， ∴设上边缘抛物线向左平移， ∴平移后的抛物线解析式为：， 把代入得，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴平移后的解析式为， 令时，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴； （3）解：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下， 当米时，米， 当时，， ∵， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 35．(2026·山东临沂沂水县·一模)综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 二次函数与几何的综合应用 考点05 1．(2026·山东省聊城市冠县·一模) 如图，的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为和，抛物线经过点B，且顶点在直线上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若是由沿x轴向右平移得到的，当四边形是菱形时，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； (3)若M点是所在直线下方抛物线上的一个动点，过点M作平行于y轴交于点N．设点M的横坐标为t，的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l的最大值． 【答案】(1) (2)点C在该抛物线上，理由见解析 (3)； 【分析】（1）设二次函数顶点式，把B点坐标代入可算出二次函数解析式； （2）利用菱形的性质，可以得到点C的坐标，然后再进行判断即可； （3）利用待定系数求出的解析式，设出M、N的坐标，纵坐标作差，就可以得到l与t的函数关系式，它们的关系是二次函数，配方可得最大值，从而求解． 【详解】（1）解：设所求抛物线对应的函数关系式为：，把点代入得： ∴， 解得：， ∴所求函数关系式为：； （2）解：在中，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴C、D两点的坐标分别是、， 当时，， ∴点C在所求抛物线上； （3）解：设直线对应的函数关系式为， 则， 解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t， 则，， ∴ ， ∵， ∴当时，． 2．(2026·山东德州庆云县·一模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 3．(2026·山东东营市利津县·一模) 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或3 (3)存在， 【分析】（1）将点和点代入中，求出b和c的值即可得抛物线的解析式，进而可得C点的坐标． （2）先利用待定系数法求出的解析式为，过Q点作轴于D点，交于E点，则可得，，，根据即可求出m的值． （3）由（2）知，根据二次函数的性质可知，当时，有最大值，最大值为4． 【详解】（1）解：将点和点代入中， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把和代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 过Q点作轴于D点，交于E点， ∵Q点在抛物线上，且的横坐标为 ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积等于3， ∴， ∴， 解得，． （3）解：由（2）知， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 4．(2026·山东省淄博市·一模)如图，抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式； （2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； （3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标． 【答案】（1）；；（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由见解析；（3）点P坐标为（－2，－3） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点B坐标，再结合点A、C坐标利用相似三角形的判定及性质可证得，延长AC 到点D，使 DC＝AC，过点D作DEy轴，垂足为点E，由此可得，进而可求得点D的横坐标为－1，最后根据抛物线的对称轴是直线即可判断出点B不在对称轴上； （3）先利用待定系数法求出直线BC的函数表达式，然后过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，则点M坐标为，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H，设点P 坐标为，则点N坐标为，根据相似三角形的判定及性质可得，由此可得答案． 【详解】解；（1）∵抛物线过A（1，0），C（0，﹣2）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为 ． 设 AC 所在直线的表达式为， ∴， 解得， ∴AC 所在直线的表达式为； （2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是∶ ∵抛物线的表达式是， ∴令y＝0，则， 解得，， ∴点B坐标为（－4，0）． ，， ∴． 又 ∴． ∴． ∴， ∴． ∴将△ABC沿 BC折叠，点 A 的对应点D一定在直线AC上． 如下图，延长AC 到点D，使 DC＝AC，过点D作DEy轴，垂足为点E． 又∵， ∴， ∴DE＝OA＝1， ∴点D的横坐标为－1， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点D不在抛物线的对称轴上； （3）设过点 B，C的直线表达式为， ∵点C 坐标是（0，－2），点B 坐标是（－4，0）， ∴过点 B，C的直线表达式为． 过点 A 作x 轴的垂线交BC的延长线于点M， 则点M坐标为， 如下图，过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为点H， 设点P 坐标为，则点N坐标为， ∴． ∵， ∴， ∵若分别以PQ，AQ为底计算△BPQ与△BAQ的面积，则△BPQ与△BAQ的面积的比为， 即． ∴， ∵， ∴当m＝－2时，的最大值为， 将m＝－2代入，得， ∴当取得最大值时，点P坐标为（－2，－3）． 5．(2026·山东省淄博市·一模)如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点 (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设点，则点，，，根据二次函数的性质即可求解； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为，即． 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则在中，， ∴， ， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴，即点的横坐标为； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， ∵，， ∴在中，， ， 当时，， ∴在中，， ∴， 即， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线，得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 6．(2026·山东菏泽市巨野县·一模) 定义：如图①，抛物线（）与轴交于两点，点在抛物线上（点与两点不重合）．若的三边长满足，则称点为抛物线（）的勾股点． (1)直接写出抛物线的勾股点的坐标； (2)如图②，已知抛物线与轴交于两点，点是抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点（异于点）的坐标． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的点的坐标为或或 【分析】（1）首先确定点的坐标，设，根据“勾股点”的定义解得的值，即可获得答案； （2）过点作轴于点，结合点的坐标，易得，，进而可得，，根据“勾股点”的定义易知，进而解得的值，即可确点坐标，设抛物线的函数表达式为， 将代入并解得的值，即可获得答案； （3）由，可知，然后分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于函数， 令，可得，解得， ∴， 设抛物线的勾股点的坐标为， 则，，， 由，化简得， 解得，（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴抛物线的勾股点的坐标为； （2）抛物线（）过原点， 即点的坐标为， 如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是抛物线的勾股点， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴； （3）由，可知， ∴， ①当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为； ②当时，， 解得， ， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了新定义“勾股点”、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、勾股定理等知识，理解并掌握新定义“勾股点”是解题关键． 7． (2026·山东济南市商河县·一模)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，经过点A的直线l与y轴的负半轴交于点D，与抛物线交于点E，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点P是抛物线上位于x轴下方的一动点，连接，与直线l交于点Q，设和的面积为和，求的最大值； (3)如图③，将抛物线沿直线翻折得到抛物线，且直线l与抛物线有且只有一个交点，求m的值． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）结合（1）求得直线l的解析式为，过点P作轴，交于点M，则，易得即，由和的底在同一直线上，且有相同的高，故，由（1）可知，设，则，则，因为的最大值为，代入即可求解； （3）求得抛物线的顶点坐标为，将沿直线翻折得，故将抛物线：沿直线翻折得到抛物线为，即，令即，由直线l与抛物线有且只有一个交点，则，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为:； （2）∵，， 则， 设直线l的解析式为， ， 解得:， 可得直线l的解析式为：， 过点P作轴，交于点M， 则， ∴， ∴， 和的底在同一直线上，且有相同的高， 则， ∴， 由（1）可知，， ∴， 设， 则， ， ∴的最大值为， 则的最大值为， ∴的最大值为； （3）抛物线的顶点坐标为： ， 将沿直线翻折得：， 故将抛物线：沿直线翻折， 得到抛物线：， 即：， 令， 即 ， 又∵直线l与抛物线有且只有一个交点， ∴， ∴． 8． (2026·山东济南市槐荫区·一模)已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． (1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； (2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； (3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)周长的最大值为 (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； （2）解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； （3）解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 9．(2026·山东淄博高新区·一模)如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)的和的最大值为，点的坐标为 (3)当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）通过论证为等腰直角三角形，得到， 即当取得最大值时，有最大值，设点，求解的最大值即可； （3）分情况讨论四边形为平行四边形和四边形为平行四边形时的点坐标即可. 【详解】（1）解：如图，，，， ， 将、代入， 得， 解得， ， 二次函数的解析式为 ； （2）解：令，得， ， 设直线的解析式为， 代入，解得， 直线的解析式为 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当取得最大值时，有最大值， 设点，则， ， ∵，， 当时，有最大值， 的和的最大值为，点的坐标为 ； （3）解：①当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， ， ∴二次函数顶点为， ∵， ，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， ，， ， ， 设，则， ， ， ； ②当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， 二次函数顶点为，， ，， ， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 过点作轴于点， ，， ， ，， ∴， ； 综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或. 10．(2026·山东省济南市·一模)如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 11．(2026·山东济南市平阴县·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； (3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）直接由待定系数法即可求解； （2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可； （3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为直线，顶点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：由（2）得顶点，设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得：， 解得：， 或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或． 12．(2026·山东滨州滨城区·一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）求出得到，由正切的定义求出，即，由题意可得，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，由勾股定理可得，从而得出，，设，则，，求出，得到，，表示出周长，由二次函数的性质可得，当时，周长最大为，此时；将点沿直线平移个单位长度得到点，连接、、，则向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，由平移的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，由并结合勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，抛物线关于原点对称的解析式为，求出，由，得出，根据点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于，此时，从而可得，设，则，，由，得出，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵轴交直线于点， ∴，， ∴， ∵点作交直线于点， ∴，， ∴周长 ， ∵， ∴当时，周长最大为，此时， ∴； 如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，则 由平移的性质可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵将点向下平移一个单位长度得到点， ∴， 抛物线关于原点对称的解析式为， ∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴点的横坐标为． 13．(2026·山东省淄博市·模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)D为抛物线的顶点，将抛物线沿射线平移一定距离，得到抛物线与直线有且仅有一个交点． ①求抛物线对应的函数表达式； ②若过点的直线交抛物线于、两点，过点、垂直于直线的垂线交直线于两点．证明． 【答案】(1) (2)①，②见解析 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，两点距离公式，勾股逆定理，判别式的应用，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）①先把一般式化为顶点式，得，结合平移的性质，设抛物线：，又因为与直线有且仅有一个交点，故，再解得，即可作答． ②先理解题意，设过点的直线为，故，再结合题意得，进行整理得，然后运用两点距离公式进行列式计算得，又因为，得，即，故． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， 得 解得 ∴． （2）解：①由（1）得， 整理得， ∵D为抛物线的顶点， ∴， ∵将抛物线沿射线平移一定距离，得到抛物线 ∴设抛物线：， ∴， 则， ∵与直线有且仅有一个交点． ∴， 解得， ∴抛物线：， 即， ②证明：∵过点的直线交抛物线于、两点， ∴设过点的直线为， ∵过点、垂直于直线的垂线交直线于两点． 则， 依题意，得， ∴， 则， 故， ∵，， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， 即． 14．(2026·山东济南市章丘区·一模)二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)如图，求二次函数的表达式； (2)如图，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接，若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“阶融合点”．如图，将二次函数的图象轴左侧部分沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数的图象第四象限内部分沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有个“阶融合点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据二次函数对称轴公式和已知点的坐标列方程组，求解得到，从而确定二次函数的表达式为； （）先求出点坐标及直线的解析式，先由且两三角形同高，推得线段比；再分别过作轴的平行线，交于两点，利用平行线性质证，得到；接着由点坐标求出点坐标与的长度，设出点坐标并表示出点坐标与的长度；最后代入比例关系列方程求解，再算出对应纵坐标，得到点的坐标； （）通过分析直线过分段函数的关键点时的值，以及直线与相切时的值，确定出“阶融合点”只有个时的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数，对称轴为直线，且过点， 根据对称轴公式和点坐标列方程： ，解得， 因此二次函数表达式为：； （2）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴时，，得， 由（）得，，对称轴， ∴， 直线经过两点，设直线的解析式为， ， ∴直线的解析式为， ∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，分别过作轴的平行线，交于两点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 将代入， 得： ∴. ∴ 设， 则 ∵，即 ∴， 解得：， 当时，（不合题意，舍去）； 当时，； 因此点的坐标为：； （3）∵“阶融合点”，满足， ∴， ①当过时，； 过时，， 由图可得：当直线与的交点只有个； ②当与相切时：， 整理，得， ， ， ∴时，直线与的交点只有个； 综上，若函数图象上有且只有个“阶融合点”，的取值范围为或． 15．(2026·山东省济南市市·一模)在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为，求出满足条件的P点坐标； (3)在（2）满足的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到抛物线，点E为平移后点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)P的坐标为 (3)或，过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，则，根据列方程求出的值即可求出答案； （3）根据二次函数图象的平移、锐角三角函数、一次函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， 把点代入抛物线得， 即， ∴，解得， 则抛物线的表达式：． （2）解：过点P作于点H，作轴于点M，交BC于点K． ∵， ∴． ∵，轴， ∴． 又∵， ∴． 在中，，， ∴． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴P的坐标为． （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度， 则， 过P作轴交y轴于点W， 如图点P沿射线方向平移至点E，所以， ∵，， ∴，P的坐标为， ∴． ∵， ∴直线（如图a）或（如图b）， 点F为直线与抛物线的交点， ∴或， 解得：，（舍去）或，（舍去）， ∴点F的坐标为：或． 16．(2026·山东省济南市·一模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中 ，， ． (1)求抛物线的解析式； (2)线段上有一动点，连接，当 的值最小时，请直接写出此时点的坐标和 的最小值． (3)如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)，C 的最小值为 (3)最大值为 【分析】（1）根据点的坐标和的值可得出点的坐标，将点，的坐标代入抛物线，组成方程组，解之即可得出结论； （2）令，可得点的坐标，由此可得，过点作，则 ，则 ，作点关于轴的对称点，过点作 于点， 与轴的交点即为所求点，再根据直角三角形的三边关系可得出结论； （3）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，由此可得，则，设点的坐标，表达的长，再根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵   ∴ ∵    ∴， 将、的坐标代入 得：   ∴ ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由， 令，即， 解得：， ∴， ∴， ∴ 作点关于轴的对称点，过点作 于点， 与轴的交点即为所求点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当时， 的最小值为； （3）如图，过作轴于点，交于， 过作轴交延长线于， 设直线解析式为：， 由(1)得：， 将， 分别代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， ，故的横坐标，代入，得：， ， ， 设，则， ， 轴于点，轴， ， ， ， 将、分别看作、为底边，则它们的高相同， ， ， 时，有最大值，最大值为 17．(2026·山东省济南市·一模)抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求抛物线的表达式及其与x轴的交点B、C坐标； (2)如图1，把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围； (3)如图2，点P为直线下方抛物线上一点，轴于点D，与交于点E，连接，求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为，代入即可求解，再令求解抛物线与轴交点坐标； （2）先得到平移后直线解析式为，由，得：，则根据题意可得，解得，再将代入求解，即可求解n的取值范围； （3）过点C作，过点P作，垂足分别为G、F，则，则，，那么，可求，设，，则，再利用二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的表达式为：， 即：， 令得：， ，解得：，， ，； （2）解：直线向下平移n个单位长度， 平移后直线解析式为， 由，得：， 直线与抛物线有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 又当时，， 解得，， 直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， n的取值范围为； （3）解：过点C作，过点P作，垂足分别为G、F，， ∵点， ∴可得为等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴在中，， ， 设， 将，代入得， ，解得：， ∴ 设，， ， ∴， ， 的最大值是． 18．(2026·山东省威海市·模拟)如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．    (1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值． (4)若点Q在y轴上，当取得最大值时，直接写出点Q的坐标________． 【答案】(1)， (2)或或 (3)点M的运动时间的最小值为7秒 (4)或 【分析】（1）根据抛物线计算即可； （2）利用同底等高的三角形面积相等构造与平行直线，找到与抛物线的交点P； （3）如图，在x轴上取一点G，连接，使得，作于N．作于交于．由点M的运动时间，，推出点M的运动时间，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题； （4）构造以A、B为弦的圆，由圆周角性质，当圆与y轴相切时，取得最大值． 【详解】（1）解：当时，， 当时， ， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：设x轴上点D，使得的面积， ， 解得：， ，， 则可求直线解析式为：， 故点D坐标为或， 当D坐标为时，过点D平行于的直线l与抛物线交点为满足条件的P， 则可求得直线l的解析式为：， 求直线l与抛物线交点得：， 解得：，， 则P点坐标为或， 同理当点D坐标为时，直线l的解析式为， 求直线l与抛物线交点得：， 解得：（舍弃），， 则点P坐标为， 综上满足条件P点坐标为：或或； （3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得，作于N．作于交BC于．     ， ， ， ， 直线的解析式为， 点M的运动时间， ， 点M的运动时间， 根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少． 由题意， ， ， 点M的运动时间的最小值为7秒，此时． （4）解：以边为弦作圆，圆心F在x轴上方，当圆F与y轴切于点Q时，取得最大值． 如图2：连接、、，作于点H，      则可知， ， ， ∴点Q坐标为， 根据对称性可知，当点Q在x轴下方时，点Q的坐标为， 故答案为：或； 19．(2025·山东省济南市·一模)如图，抛物线经过的三个顶点，其中O为原点，，，点F在线段上运动，点G在直线上方的抛物线上，，于点E，交于点I，平分，，于点H，连接． (1)求抛物线的解析式及的面积； (2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求的面积； (3)试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，的面积为12 (2)当点F运动至对称轴上时，的面积为3 (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）运用待定系数法可得．设点到的距离为，点的纵坐标为，根据三角形面积公式即可求得； （2）当点运动至对称轴上时，点的横坐标为3，可得．连接、，由点与点关于原点对称，可得点、、三点共线，且为的中点．推出，可得点到的距离为．再根据三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点．运用勾股定理可得．再证得为等腰直角三角形．设，则，再运用解直角三角形可求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将，代入上式，得， 整理得， 解得， ， 设点O到的距离为d，点A的纵坐标为，则，， ∴的面积； （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为， 当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3， ， 即， 连接，， ∵，， ∴A与点C关于原点O对称， ∴点A，O，C三点共线，且O为的中点， ， ， . 平分， ， ， ∴， 与间的距离为d， ∴点H到的距离为d， ，， ， ∴当点F运动至对称轴上时，的面积为3； （3）解：过点A作于点L，过点F作于点K， 由题意得，， ， ， ∴在中，， . ， ，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， 在和中，， 即， ， 解得， ， 又， 即， ，解得， ， 的值是定值，定值为. 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $