专题02 方程（组）与不等式组（4大考点）（山东专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一元一次方程与一元一次不等式（组） 考点02二元一次方程（组）及其实际应用 考点03分式方程 考点04一元二次方程 一元一次方程与一元一次不等式 考点01 1．(2026·山东聊城市冠县·一模)根据右边两人的对话，求出哥哥买手机的预算为（    ） 弟弟：哥哥你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在的售价比我的预算多1200元． 弟弟：这台手机正在打8折促销耶！ 哥哥：这样比我的预算还要少200元呢！ A．3800元 B．4800元 C．5800元 D．6800元 2．(2026·山东菏泽市巨野县·一模)如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 3．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)小红用390元购买甲、乙两种书，已知甲种书每本40元，乙种书每本20元，若购买的甲种书比乙种书多，则总共购买的本数最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．(2026·山东德州庆云县·一模)不等式组的所有整数解的和为_______． 6.(2026·山东东营市利津县·一模)种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 7．(2026·山东德州市德城区·一模)若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 8．(2026·山东济南市商河县·一模)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 9．(2026·山东省济南市·一模)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 二元一次方程（组）及其实际应用 考点02 1．(2026·山东省淄博市·一模)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)《九章算术》中有这样一个题∶“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文∶“今有5只雀、6只燕，分别放在一起而且用秤称重，5只雀总重量比6只燕的总重量要重、若交换一只雀、一只燕，它们重量相等，5只雀，6只燕重量为1斤，问每只雀、燕各重多少斤？”设每一只雀的重量为x斤，每一只燕的重量为y斤，则可建立方程组为（   ） A． B． C． D． 3．(2026·山东省临沂市郯城县·一模)为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 4．(2026九下·山东临沂沂水县·一模)某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．已知温水温度，水流速度；开水温度，水流速度．小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．小明同学的接水时间为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 分式方程及其应用 考点03 1．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．(2026·山东济宁市曲阜市·一模)中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《西游记》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元，用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 4．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 5．(2026·山东青岛市市南区·一模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 6.(2026·山东滨州市滨城区·一模)方程的解是________． 7．(2026·山东省济南市·一模)关于x的分式方程有增根，则m的值为______ ． 8．(2026·山东东营市利津县·一模)若关于的方程无解，则的值为_____． 9．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 10．(2026·山东省淄博市·一模)已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 11．(2026·山东省青岛莱西市·一模)某校在开展“健康中国”读书征文评比活动中，对优秀征文予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知个丙种奖品的价格是个甲种奖品价格的倍，个乙种奖品的价格比个甲种奖品的价格多元．用元分别去购买甲、乙、丙三种奖品，购买到甲和丙两种奖品的总数量是乙种奖品数量的倍． （1）求个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是多少元？ （2）该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共个，其中购买甲种奖品的数量是丙种奖品的倍，且甲种奖品的数量不少于乙、丙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？ 12．(2026·山东省淄博市·一模)机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 13．(2026·山东德州庆云县·一模)为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 14．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； (2)该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 一元二次方程及其应用 考点04 1．(2026·山东济宁任城区·一模)为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(2026·山东济宁市邹城市·一模)从0，1，2，3这四个数字中随机选取一个数作为k，则方程有两个不同的整数根的概率是（   ） A． B． C． D．1 3．(2026·山东聊城市东阿县实验中学·一模)已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 4．(2026·山东东营市利津县·一模)已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 5．(2026·山东济宁市泗水县·一模)已知一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_____． 6．(2026·山东省淄博市·一模)若a，b是方程的两个根，则的值为___． 7．(2026·山东德州市天衢新区·一模)两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 8．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 9．(2026·山东临沂沂水县·一模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 10．(2026·山东青岛市市南区·一模)若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 11．(2026·山东东营市利津县·一模) “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 12．(2026·山东德州市临邑县·一模) 2025年全运会吉祥物“喜羊羊”玩偶颇受消费者欢迎．某店售卖一款进价为20元的“喜洋洋”玩偶，规定单个玩偶销售利润不低于5元，且不高于15元，试销期间发现，当销售单价定为25元时，每天可售出250个，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10个． (1)设销售单价为x元，每天的销售数量为y个，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每日的销售利润为2000元？ 13．(2026·山东省潍坊市·一模)随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 4大考点概览 考点01一元一次方程与一元一次不等式（组） 考点02二元一次方程（组）及其实际应用 考点03分式方程 考点04一元二次方程 一元一次方程与一元一次不等式 考点01 1．(2026·山东聊城市冠县·一模)根据右边两人的对话，求出哥哥买手机的预算为（    ） 弟弟：哥哥你的手机买了没有？ 哥哥：没有，现在的售价比我的预算多1200元． 弟弟：这台手机正在打8折促销耶！ 哥哥：这样比我的预算还要少200元呢！ A．3800元 B．4800元 C．5800元 D．6800元 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设预算为元，则原售价为元，打8折后价格为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设预算为元，则原售价为元，打8折后价格为， 根据题意得：， 解得， 故预算为元， 故选：C． 2．(2026·山东菏泽市巨野县·一模)如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 3．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)小红用390元购买甲、乙两种书，已知甲种书每本40元，乙种书每本20元，若购买的甲种书比乙种书多，则总共购买的本数最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，将解决最值的问题需通过设未知数转化为不等式组求解是解题的关键． 设甲、乙两种书的购买数量为正整数x、y，根据总花费限制和甲比乙多的条件列不等式组，再运用列举法求解即可． 【详解】解：设购买甲种书本，乙种书本（为正整数） ∵小红用390元购买甲、乙两种书，且甲种书比乙种书多， ∴，整理得：，即， ∵甲种书比乙种书多， ∴， ∴， ∴且，解得：且， ∵为正整数 ∴ 设总共购买本数， 当时，y最大为5，； 当时，y最大为3，； 当时，y最大为1，． ∴S的最大值为12． 故选C． 4．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，关键是熟悉不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先解不等式得到，再根据，由不等式组解集的规律即可得解． 【详解】解：解不等式得到， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴． 故选：B． 5．(2026·山东德州庆云县·一模)不等式组的所有整数解的和为_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即得． 【详解】， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的解集为：， 整数解为：3、4， 其和为：7， 故答案为：7． 6.(2026·山东东营市利津县·一模)种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 【答案】12 【来源】2026年山东东营市利津县初中学业水平模拟考试（一模）数学试题 【分析】本题考查一元一次方程在实际配套问题中的应用．根据配套关系得到盒底数量是盒身数量的倍，据此设未知数列出方程，再解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：设需要张硬纸板做盒身，则做盒底的硬纸板为张．根据题意，得， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得． 7．(2026·山东德州市德城区·一模)若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．(2026·山东济南市商河县·一模)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；，， 【分析】先求出每个不等式的解集，再求不等式组的解集，最后写出所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①， ， 解不等式②， ， 不等式组的解集为． 所有整数解为，，． 9．(2026·山东省济南市·一模)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】x≥0；作图见解析 【来源】2026年山东省济南市钢城区中考数学一模考前示范卷 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得：x≥0 解不等式②，得x>-5 把不等式组的解集在数轴上表示如下： 不等式组的解集为x≥0． 二元一次方程（组）及其实际应用 考点02 1．(2026·山东省淄博市·一模)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该店有房客人，客房间，依题意列出方程组即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设该店有房客人，客房间，依题意得： ， 故选：C． 2．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)《九章算术》中有这样一个题∶“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”译文∶“今有5只雀、6只燕，分别放在一起而且用秤称重，5只雀总重量比6只燕的总重量要重、若交换一只雀、一只燕，它们重量相等，5只雀，6只燕重量为1斤，问每只雀、燕各重多少斤？”设每一只雀的重量为x斤，每一只燕的重量为y斤，则可建立方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目给出的两个等量关系，交换一只雀和一只燕后两边重量相等，5只雀与6只燕总重量为1斤，列出二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：∵交换1只雀和1只燕后两边重量相等，交换后左侧是4只雀加1只燕，右侧是1只雀加5只燕． ∴可得第一个方程 ， 又∵5只雀和6只燕的总重量为1斤， ∴可得方程 ，移项得 ， 因此可列方程组． 3．(2026·山东省临沂市郯城县·一模)为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【详解】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 4．(2026九下·山东临沂沂水县·一模)某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．已知温水温度，水流速度；开水温度，水流速度．小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．小明同学的接水时间为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据总体积和题给热传递等量关系列方程组，求解后计算总接水时间即可得到结果． 【详解】解：设小明接温水的时间为，接开水的时间为， 根据题意列方程组： 整理第二个方程得 ，即 ，变形得 ， 将代入第一个方程： 化简得：， 解得 ， 将代入，得， ∴方程组的解为， 总接水时间为 ． 故选：A． 分式方程及其应用 考点03 1．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路公里，根据题意列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里，根据题意即可列出分式方程. 【详解】解：设原计划每天修路公里，则实际每天的工作效率为公里， 依题意得：． 故选D． 2．(2026·山东济宁市曲阜市·一模)中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《西游记》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元，用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是准确找出题目中的等量关系：用元购买《水浒传》连环画的套数等于用元购买《西游记》连环画套数的2倍．首先根据每套《西游记》比《水浒传》贵元，得出《西游记》的单价，再分别表示出两种连环画的购买套数，最后根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元， ∴每套《西游记》连环画的价格为元． 用元购买《水浒传》连环画的套数为，用元购买《西游记》连环画的套数为． 根据“用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍”，可列方程：． 故选：A． 3．(2026·山东省菏泽市牡丹区·一模)斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】C 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 4．(2026·山东省德州市乐陵市·一模)某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 5．(2026·山东青岛市市南区·一模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 6.(2026·山东滨州市滨城区·一模)方程的解是________． 【答案】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后检验即可得到原方程的解． 【详解】解： 原方程改写为： 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 7．(2026·山东省济南市·一模)关于x的分式方程有增根，则m的值为______ ． 【答案】2 【分析】分式方程有增根，说明增根一定是分母为0时未知数的值，即可求出增根，再代入去分母后的方程中即可求出参数的值． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根 ∴，即 去分母，得： 把代入，得 故答案是：2 8．(2026·山东东营市利津县·一模)若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 9．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 10．(2026·山东省淄博市·一模)已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【答案】 【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得 又， 即， 解得， ． 11．(2026·山东省青岛莱西市·一模)某校在开展“健康中国”读书征文评比活动中，对优秀征文予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知个丙种奖品的价格是个甲种奖品价格的倍，个乙种奖品的价格比个甲种奖品的价格多元．用元分别去购买甲、乙、丙三种奖品，购买到甲和丙两种奖品的总数量是乙种奖品数量的倍． （1）求个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是多少元？ （2）该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共个，其中购买甲种奖品的数量是丙种奖品的倍，且甲种奖品的数量不少于乙、丙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？ 【答案】（1）个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是元、元、元；（2）该校完成购买计划最多要花费元 【分析】（1）设个甲种奖品的价格为元，则个丙种奖品的价格为元，个乙种奖品的价格为元，根据“用元分别去购买甲、乙、丙三种奖品，购买到甲和丙两种奖品的总数量是乙种奖品数量的倍”列方程并解答； （2）设购买丙种奖品个，则购买甲种奖品个，购买乙种奖品个，根据“购买甲种奖品的数量不少于乙、丙两种奖品的数量之和”列不等式并解不等式，设该校购买奖品的费用为元，根据题意列出关系式：，并根据这一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设个甲种奖品的价格为元，则个丙种奖品的价格为元，个乙种奖品的价格为元， 依题意，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 故：个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是元、元、元； （2）设购买丙种奖品个，则购买甲种奖品个，购买乙种奖品个， 由题意有：， ， 设该校购买奖品的费用为元，则， 随的增大而减小， 时，取最大值，且． 故：该校完成购买计划最多要花费元． 12．(2026·山东省淄博市·一模)机器人是人工智能与机器人技术()的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等． (1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购 A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号AI机器人多少台？ 【答案】(1)A型每小时搬运，B型每小时搬运 (2)至少购进A型机器人14台 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：A型每小时搬运，B型每小时搬运； （2）解：设购进A型a台，B型台，由题意得： ， 解得，， ∵a为整数， ∴a的最小值为14， 答：至少购进14台A型机器人． 13．(2026·山东德州庆云县·一模)为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】(1)甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． (2)购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一元一次不等式组、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株，列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，根据总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得，得出购买这两种花卉有6种方案，再设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为1.2x元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株， 由题意得：，解得：， ∵m为正整数， ∴， ∴购买这两种花卉有6种方案， 设该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ∵， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值． 答：购买这两种花卉有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 14．(2026·山东省聊城市东阿县高集中学·一模)2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； (2)该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元 (2)故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元 【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，根据用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，A型机器人买了台，采购费用为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意， 此时， 答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元． （2）解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台， 根据题意，得，解得， 采购费， 由得w随a的增大而减小， ∵a为整数，故当时，w取得最小值，最小值为（元） 故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元． 一元二次方程及其应用 考点04 1．(2026·山东济宁任城区·一模)为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的实际应用，理清连续两次降价后价格的变化关系是解题关键，根据降价后价格降价前价格(降价百分率)推导即可． 【详解】解：∵药品原价为144元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为元， ∵第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价， ∴第二次降价后的价格为元， 又∵两次降价后最终售价为121元， ∴可列方程． 2．(2026·山东济宁市邹城市·一模)从0，1，2，3这四个数字中随机选取一个数作为k，则方程有两个不同的整数根的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先确定所有等可能结果总数，再找出满足条件的k的个数，最后根据概率公式计算． 【详解】∵从0，1，2，3四个数中任选一个数作为k， ∴共有4种等可能的结果， 分别代入k验证： 当时，方程为，解得，，是两个不同的整数根，符合条件； 当时，方程为，根为，不是整数，不符合条件； 当时，方程为，根为，不是整数，不符合条件； 当时，方程为，解得，，是两个不同的整数根，符合条件， ∴符合条件的结果共2种， ∴所求概率． 3．(2026·山东聊城市东阿县实验中学·一模)已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，先将原方程整理为一般形式，计算两根的和与积，对所求分式通分变形，代入变形后的式子即可得到结果． 【详解】解：整理原方程得 ， ∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴， 则 4．(2026·山东东营市利津县·一模)已知和是方程的两个解，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ． 5．(2026·山东济宁市泗水县·一模)已知一元二次方程x2﹣8x+15＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_____． 【答案】11或13 【分析】将已知方程左边的多项式分解因式，再利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，分两种情况考虑，分别求出周长即可． 【详解】解：x2﹣8x+15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， 若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5＝13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5＝11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故答案为11或13 6．(2026·山东省淄博市·一模)若a，b是方程的两个根，则的值为___． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到与的值，代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， ∴． 7．(2026·山东德州市天衢新区·一模)两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系可得：，． ，． ． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 8．(2026·山东省临沂市罗庄区·一模)用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同除以3，得， 移项，得， 配方，得，， ∴． 9．(2026·山东临沂沂水县·一模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 10．(2026·山东青岛市市南区·一模)若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．(2026·山东东营市利津县·一模) “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 12．(2026·山东德州市临邑县·一模) 2025年全运会吉祥物“喜羊羊”玩偶颇受消费者欢迎．某店售卖一款进价为20元的“喜洋洋”玩偶，规定单个玩偶销售利润不低于5元，且不高于15元，试销期间发现，当销售单价定为25元时，每天可售出250个，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10个． (1)设销售单价为x元，每天的销售数量为y个，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每日的销售利润为2000元？ 【答案】(1)，自变量x的取值范围是 (2)30元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售单价变化与销售量变化的数量关系列出函数关系式，再结合单个玩偶的利润限制确定自变量的取值范围； （2）利用“单个玩偶利润×每天销售数量=每日总利润”列一元二次方程求解，结合自变量取值范围舍去不符合题意的解 【详解】（1）解 由题意得，销售单价为元时，相比25元上涨了元 每天销售量减少个， 所以， 因为单个玩偶销售利润不低于5元且不高于15元， 所以，即； （2）解：设销售单价定为x元时，每日销售利润为2000元 单个玩偶利润为元，每天销售数量为个 根据题意得 ， 解得， 因为， 所以不符合题意，舍去， ∴，即销售单价定为30元 答：当销售单价定为30元时，每日的销售利润为2000元． 13．(2026·山东省潍坊市·一模)随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 【答案】(1) 当日的快充充电单价为元/度 (2) 快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元 【分析】（1）根据快充和慢充单价的关系得到与的表达式，再结合快充和慢充充电总量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先根据题目条件表示出日充电量，再结合日收益的计算公式列一元二次方程，求解后根据的取值范围筛选得到结果． 【详解】（1）解：快充充电单价为元/度，慢充充电单价元/度，快充充电单价比慢充充电单价多元/度， 慢充充电单价为元/度， 根据题意得， 化简得， 方程两边同乘得：， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解，且符合题意． 答：当日的快充充电单价为元/度； （2）解：当时，日充电量为度；单价每降价元/度，日充电量增加度， 日充电量为， 根据题意得， 整理得 ， 因式分解得， 解得，， 两个解都满足，均符合题意； 答：快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $