8.3特殊的平行四边形（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

8.3特殊的平行四边形 题型一  矩形的性质和判定的应用  1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定；矩形的对角线相等且互相平分，可得，，所以为等边三角形，得到，最后由矩形的对边相等可得的长. 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴. 故选：B. 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等．由作图得：平分，垂直平分，再结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质可得，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，，对角线与交于点O，，垂足为，且为中点，则的长 ． 【答案】 【分析】证明，则，是等边三角形，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， E为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 5．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又 ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：6． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，则，再由平行线的性质得，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：，平分， ， ． ， ． 又， ， 四边形是矩形． 7．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，和相交于点O，，，E，F 分别是，的中点． (1)求证：． (2)当时，求证：四边形 是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 题型二 菱形的性质和判定的应用   1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由菱形的性质得，可得，由作图过程可知，所作直线为线段的垂直平分线，可得，则，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． 由作图过程可知，所作为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东清远·期中）菱形的两条对角线长分别是：，，则菱形的面积为（    ） A．40 B．28 C．24 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质． 菱形的面积等于其两条对角线乘积的一半． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴则菱形的面积． 故选：C． 4．（2025·四川雅安·二模）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用菱形的性质得出，，进而利用三角形等面积法列方程求出答案． 【详解】解：菱形的周长为20，面积为， ，， ∴， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 故答案为：6． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【详解】（1）解：由菱形性质可知：． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴的长度为8； （2）解：由菱形性质可知：，即． ∵， ∴． ∵， ∴． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 题型三 正方形的性质和判定的应用 1．（2025·陕西渭南·一模）如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，根据正方形的性质，得到，等边对等角，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵是正方形的一条对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角度的计算,以及正方形的性质；解题的关键是通过观察图形构造全等三角形，找出与之间的关系．先证明，再利用正方形的角平分线将直角分为两个，得出与之间的关系． 【详解】 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵是正方形角平分线 ∴ 即 故答案为． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，可求出的长度，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形 ∴ ∵ ∴，   在和中： ∴， ∴， ∴，即， 解得， (舍去)， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，在Rt中，，平分，交于点；，分别是，上的点，连接．若垂直平分，求证：四边形是正方形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了正方形的判定，角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定，证明四边形是矩形是解题的关键．先证明四边形是矩形，再证四边形是正方形． 【详解】证明：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 题型四 直角三角形斜边上的中线的性质的应用 1．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据菱形的面积可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为16， ∴， ∴， ∵点O为的中点，， ∴； 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点D是斜边的中点， ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，，，，垂足为D，，垂足为E，O为的中点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，则，再根据三角形内角和定理可得，同理：，最后根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵，O为的中点，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角相等，余角的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．过点D作于点M，证明，得到，，再证明，解答即可． 【详解】解：过点D作于点M， 则 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：． 题型一  一题多论题 1．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用，根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断①；过作，，分别交于，交于，根据同角的补角相等，可以求出，然后证明，可以判断②；由，和②的结论可以判断③；当四边形是正方形时，点到的距离最大，从而可以判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵，四边形内角和是， ∴， 故①正确； 过作，，分别交于，交于，如图所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 延长交于，延长交于， 根据题意可知，，从而得到，即分别为点到边的距离， ∵，， ∴，， ∴，， 由②知，则， 即点到边的距离不相等，故③正确； 在直角三角形中，，当点重合时最大， ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小,在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接、、、，下列结论：①是等腰直角三角形，②，③，④，⑤；正确的是 （只填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】由矩形的性质可得，，，，求出，，，即可判断①；由①可得，再结合三角形内角和定理即可判断②；证明、为等腰直角三角形，得出，，即可判断③；作于，于，由角平分线的性质定理可得，结合等腰直角三角形的性质得出，分别表示出和，即可判断④；证明，得出，，从而得出为等腰直角三角形，再结合勾股定理即可判断⑤． 【详解】解：①∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，故①正确； ②由①可得：， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴，即，故③正确； ④如图，作于，于， ， ∵， ∴， ∵，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴，故④错误； ⑤在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理可得，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤； 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型二 面积问题 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键是利用中点性质和三角形面积关系进行推导． 通过连接，分析三角形面积之间的关系，从而得出阴影部分面积． 【详解】解：连接．    在长方形中，和等底等高， ， 同理可证，， 是的中点，， 是的中点，， ， ． 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，是对角线上一点，且，过点分别作．四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过矩形性质以及已知条件判断四边形为矩形．利用得到，进而求出面积，通过面积求出线段长度. 【详解】解：连接，如图． ，四边形为矩形， ，， 四边形为矩形． ， ． ， ，， ，，即，8， 解得，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握矩形的判定以及利用面积关系得到线段长度的． 3．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别为，当时，的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，设，可推出为等腰直角三角形，得；同理得为等腰直角三角形，推出；得，即可求解； 【详解】解：如图所示： 设， 由题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：为等腰直角三角形， ∴， ∴； ∴，即； ∴，即； ∵， ∴， 故答案为： 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是平方厘米，请问：阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】13 【分析】本题主要考查三角形的面积、矩形的性质等知识点，弄清各图形面积间的关系是解题的关键。 由图可知，，据此列式计算即可． 【详解】解：三角形、三角形、三角形都可以以为底，为高，故它们的面积都等于 (平方厘米)， 平方厘米． 故答案为：13． 题型三 折叠问题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，，，则 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到角相等，进而推出线段相等． 根据矩形对边相等得；由折叠性质得，结合矩形中得，故，从而；再结合 计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 由折叠性质得， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接，先根据正方形的性质及图形轴对称的性质，证明，，然后根据全等三角形的判定证明，可得，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 点G是的中点， ， 沿折叠至， ，， ，， ， ， ， 设，则， 根据图形翻折的性质可知，， 在中，， ， 解得， 的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（25-26七年级上·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键.，根据折叠的性质可得，结合平角的定义即可得出，即可得出，由此即可求解. 【详解】解：∵由折叠的性质可得， ∴点恰好在同一条直线上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 4．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】/46度 【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的关键． 首先根据菱形的性质得出，再根据折叠得到，，即可将拆分为进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 特殊的平行四边形的综合应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)54 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的中点，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∴菱形的面积为OF·AB=54． 2．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题主要考查矩形判定、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可知，可证得，结合E为的中点，可利用证得结论； （2）证明时，四边形是矩形（根据对角线相等的平行四边形是矩形）即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形，E为中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 3．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析； (3) 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 题型一 动点问题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)2或8 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形． 由题意得：, ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图①，连接． ，分别是，的中点，四边形是矩形， 四边形是矩形， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形是矩形时，． ，，， ． ， ， ； ②如图②，当四边形是矩形时，，． ， ， ． 综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据“路程速度时间”可表示出和，从而可得； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 依题意得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形． 题型二 最值问题 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作，且，若点为的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，取的中点，连接，根据矩形的性质可求，，根据勾股定理可求，根据直角三角形的性质可求，根据三角形三边关系可求得当点，，共线时，有最大值，即． 【详解】如图，取的中点，连接． 四边形是矩形，，． 点分别为的中点，， ， 由勾股定理得． 在中，为的中点， ， 当点，，三点共线时，取最大值，最大值为：． 故答案为：27． 2．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，矩形中，，，，分别是，上的动点，，是的中点，为上的动点，连接，．则的最小值等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了最短距离问题、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质解决最值问题是解题的关键． 如图：作点A关于的对称点，连接，则，当在同一直线上时，的最小值等于的长，求得的长，即可得到的最小值． 【详解】解：如图：作点A关于的对称点，连接，则，， ∴， ∴当在同一直线上时，的最小值等于的长， 在中， ， ∴， ∴的最小值等于4． 故答案为4． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的构造，以及用垂线段最短解决几何最值问题．利用三垂直全等模型构造全等三角形，利用轴对称及等腰三角形三线合一得比值，利用垂线段最短解决最小值问题． 【详解】解：如图： ∵正方形， ∴，， 分别作于E，于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，根据垂线段最短可得：， ∴， 故的最小值为， 故选：A． 4．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，连接，，容易证明，则．结合正方形的性质可得，，则点是直角斜边上的中点，因此是定值．由可知，当点、、三点共线时，最短，计算此时的长即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，， 在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点为的中点， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当点、、三点共线时，取到最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题与勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 5．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接，结合轴对称性质得到点与点重合时，有最大值，最大值即为的长，利用菱形的性质证明为等边三角形，为等边三角形，再结合，等边三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，延长与交于点，连接， ，当三点共线，即点与点重合时，有最大值，最大值即为的长． 在菱形中，， 为等边三角形， ， 点为的中点， ． ， ， ，． ，， 为等边三角形， ， 的最大值为4． 故答案为：4． 题型三 特殊的平行四边形几何探究题 1．（2025九年级上·山西太原·专题练习）综合与探究 探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形中，点是对角线的中点，点是直线上的一个动点（点与点，，都不重合），过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，连接，． (1)初步探究：如图1，已知四边形是正方形，且点在线段上，请判断线段与的数量关系； (2)深入思考：如图2，已知四边形为菱形，且点在的延长线上，其余条件不变．探究与的数量关系并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，已知四边形为矩形，且，．点在直线上运动的过程中，若，则的长为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，进而说明，再根据“角角边”证明，即可判定； （2）延长交的延长线于点，证明，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据直角三角形的性质得出答案； （3）分两种情况：当点在左侧时，设交于点，当点在右侧时，根据等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 延长交的延长线于点， ，， ， ， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． ， ， ； （3）解：当点在左侧时，设交于点， ，，， ，， 垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ， ； 当点在右侧时，同理可得，， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形、矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么与相等吗？分别过点、作、，垂足分别为、，通过证明，得到． 根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题． 【探究1】 如图2，在正方形中，点在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点，不要求写作法； 【探究2】 如图3，在正方形中，点、分别在、上，将正方形沿着翻折，点、分别落在、处，且经过点，将纸片展开，延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】[探究1]见解析；[探究2]（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： [探究1]以为圆心，为半径画弧，交于，连接即可； [探究2]（1）利用翻折的性质和证明，然后利用全等三角形的性质即可得证； （2）连接，过F作于N，可得四边形是矩形，得出，，，，利用翻折的性质，等边对等角以及外角的性质可得，进而得出，从而得出，类似材料中的思路可证得，得出，即可得出答案． 【详解】[探究1]解：如图，即为所求，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 由作图知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； [探究2]（1）证明：∵翻折， ∴，， 又， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，过F作于N，则四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， 又， ∴， ∵翻折， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______． ∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②（2）不发生变化，理由见解析（3） 【分析】（1）根据推论过程结合等量代换补充完整即可得到①，由方法一思路证明可得到②，即可解题； （2）类似于初步探究的证明过程，即可证明和的位置关系及和的数量关系不发生变化； （3）由，可得，即，因为四边形菱形，可得，由，可得，进而得到，设，则，，根据在含角的直角三角形中的性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由等量代换可知：①， 由折叠的性质，可知，，，，，． 四边形为平行四边形， ． ， ． 又， ， ， ，， ， ， ， ． 可猜想其关系为：②， 故答案为：①；②． （2）解：不发生变化，理由如下： 由折叠的性质，可知，． 四边形为矩形， ， ∴． ∴， ∴． 四边形为矩形， ，， 由折叠的性质，可知，，，，，， 又， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：如图， ， ∴， 三点共线， 即， ，， ， 由（2）知，，即， 四边形为平行四边形，即四边形菱形， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，平行线性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3特殊的平行四边形 题型一  矩形的性质和判定的应用  1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（    ） A． B．4 C．3 D．5 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，是矩形的一条对角线，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 ． 4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，，对角线与交于点O，，垂足为，且为中点，则的长 ． 5．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． E，F 分别是，的中点． (1)求证：． (2)当时，求证：四边形 是矩形． 题型二 菱形的性质和判定的应用   1．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东清远·期中）菱形的两条对角线长分别是：，，则菱形的面积为（    ） A．40 B．28 C．24 D．14 4．（2025·四川雅安·二模）如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，菱形中的两条对角线相交于点O，其中，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 题型三 正方形的性质和判定的应用 1．（2025·陕西渭南·一模）如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，则 度． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ． 4．（25-26九年级上·江苏·期中）如图，在Rt中，，平分，交于点；，分别是，上的点，连接．若垂直平分，求证：四边形是正方形． 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 题型四 直角三角形斜边上的中线的性质的应用 1．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 2．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，，，，垂足为D，，垂足为E，O为的中点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点．若，则的面积为 ． 题型一  一题多论题 1．（2026·陕西·一模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点是的中点，连接、、、，下列结论：①是等腰直角三角形，②，③，④，⑤；正确的是 （只填序号）． 题型二 面积问题 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，是对角线上一点，且，过点分别作．四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别为，当时，的大小是 ． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是平方厘米，请问：阴影部分的面积是 平方厘米． 题型三 折叠问题 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，，，则 2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 3．（25-26七年级上·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 4．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为 ． 题型四 特殊的平行四边形的综合应用 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 2．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 3．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 题型一 动点问题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接． (1)运动时间是时，：______，______；（用t的代数式表示） (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 题型二 最值问题 1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作，且，若点为的中点，连接，则的最大值为 ． 2．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，矩形中，，，，分别是，上的动点，，是的中点，为上的动点，连接，．则的最小值等于 ． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 4．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上运动，且，连接，过点作交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 5．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为 ． 题型三 特殊的平行四边形几何探究题 1．（2025九年级上·山西太原·专题练习）综合与探究 探究几何元素之间的关系 问题情境：四边形中，点是对角线的中点，点是直线上的一个动点（点与点，，都不重合），过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，连接，． (1)初步探究：如图1，已知四边形是正方形，且点在线段上，请判断线段与的数量关系； (2)深入思考：如图2，已知四边形为菱形，且点在的延长线上，其余条件不变．探究与的数量关系并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，已知四边形为矩形，且，．点在直线上运动的过程中，若，则的长为______． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么与相等吗？分别过点、作、，垂足分别为、，通过证明，得到． 根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题． 【探究1】 如图2，在正方形中，点在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点，不要求写作法； 【探究2】 如图3，在正方形中，点、分别在、上，将正方形沿着翻折，点、分别落在、处，且经过点，将纸片展开，延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 3．（25-26九年级上·广东茂名·期中）综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______． ∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当时，直接写出的长． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.3特殊的平行四边形 A 基础达标题 题型一矩形的性质和判定的应用 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】60度 4【答】月 5.【答案】6 § 【详解】证明：：AB=AC,AD平分∠BAC, AD⊥BC, ∠ADB=∠ADC=90°. :AN∥BC, ∠DAE=∠ADB=90°. 又：CE⊥AN, ∠CEA=90°， :四边形ADCE是矩形. 7. 【详解】(1)证明：在A0B与△D0C中， ∠ABO=∠DCO=90° OB=OC ∠AOB=∠DOC ·△AOB≌△DOC(ASA, 0A=0D, 又：E、F分别是A0、D0的中点， .OE =OF; 1/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：：0B=0C,0F=0E, .四边形BECF是平行四边形，BC=2OB,EF=2OE, :E为A0的中点，∠AB0=90°， ·EB=EO=EA, :∠A=30°， ∠B0E=60°， ∴.△BOE是等边三角形， 0B=0E, BC=EF, .四边形BECF是矩形 题型二菱形的性质和判定的应用 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】6 5. 【详解】(1)解：由菱形性质可知：AB=DC、AB‖DC. .:EDAB, 又：DE=CD, .DE AB, :四边形ABDE是平行四边形， .AE BD. .AE BD=8, .AE的长度为8； (2)解：由菱形性质可知：AC⊥BD,即∠C0D=90°. :∠ACD=23°， .∠CD0=180°-90°-23°=67°. :BDI川AE, .∴.∠E=∠CD0=67°. 2/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6. 【详解】(1证明：？点D、F分别是CE、BE的中点，DF=D。 ∴BE=EF,AF=FD,CD=DE, 又：∠AFB=∠DFE, △AFB≌△DFE(SAS), AB=DE=CD,∠ABF=LDEF, .AB∥DE,即ABICD, :四边形ABCD是平行四边形， CE=2BC,CE=2CD, ∴BC=CD, :四边形ABCD是菱形. (2)解：四边形ABCD是菱形， :40=0C=AC=3,AC1BD, 2 .OB+BC=9, .设0B=x,则BC=9-x, OB2+OC2 BC2, .x2+33=(9-x,解得：x=4, .0B=4, :四边形ABCD是菱形， 1 1 .S边形BcD=4S△B0c=4×)×0B×0C=4××4×3=24. 2 2 题型三正方形的性质和判定的应用 1.【答案】A 2.【答案】45 3.【答案】25 4. 【详解】证明：：∠ACB=90°，CD平分∠ACB, 3/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2×90°=45， ∴.∠ECD=∠FCD :EF垂直平分CD, ∴.CF=FD,CE=ED, ∠ECD=∠EDC=45°，∠FCD=∠FDC=45°， ∴.∠CED=90°，∠DFC=90°， :LCED=LECF=∠CFD=90°， :四边形CEDF是矩形， CE=ED, 四边形CEDF是正方形. 5. 【详解】(1)证明：：AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEC=∠AEB=90°，∠F=90°， 又∠BCD=90°， :.四边形AECF为矩形， .∠EAF=90°， :∠BAD=90°， ∴∠BAE=∠DAF=90°-∠DAE, 又：∠AEB=∠F=90°，AB=AD, .△ABE≌△4DF(AAS, :AE=AF, :四边形AECF是正方形： (2)解：由(1)得四边形AECF是正方形，且△ABE≌△ADF, .四边形ABCD的面积等于正方形AECF的面积，BE=DF, :BC=17,CD=7, CE=,BC+CD)=】 .正方形AECF的面积为CE2=144, 即四边形ABCD的面积为144. 题型四直角三角形斜边上的中线的性质的应用 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】C 5【等1月 B 能力提升题 题型一一题多论题 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】①③⑤ 题型二面积问题 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】16 4.【答案】13 题型三折叠问题 1.【答案】5 2.【答案】B 3.【答案】60 4.【答案】46度 题型四特殊的平行四边形的综合应用 1. 【详解】(1)证明：~点E为AB的中点，且EF=E0, ∴.四边形AFBO是平行四边形， :四边形ABCD是矩形， 0A=0B, .四边形AFBO是菱形； 5/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：菱形AFB0的面积为1OF·AB=54. 2. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为菱形， CD∥AB, ∴∠DNE=∠AME, :E为AD的中点， :DE=AE, 在△NED和△MEA中， [∠DNE=∠AME ∠DEN=∠AEM, DE=AE :△NED≌△MEA(AAS; 2解：当AMAB时，四边形AMDN是矩形，证明如 由(1)知△NED≌△MEA, .NE ME, 又：DE=AE, .四边形AMDN是平行四边形， :AD=2AE,NM=2ME :菱形ABCD,E为AD中点， 又：∠DAB=60°， ∴△MEA为等边三角形， .AE ME, :AD =MN :平行四边形AMDN为矩形. 3. 【详解】(1)证明：：DE⊥BC,∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DFB=90°， 6/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :ACl DE, 又：MN II AB,即CEI‖AD, :四边形ADEC是平行四边形， .CE AD; (2)解：四边形BECD是菱形，理由如下： :D是AB中点，∠ACB=90°， .CD=BD=AD, 由(1)知CE=AD,且CE AD,即CEBD, :CE =BD, ∴四边形BECD是平行四边形， 又：CD=BD, ·.平行四边形BECD是菱形； (3)解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由如下， :∠ACB=90°，∠A=45 .∠ABC=90-45°=45°， :AC=BC, :D是AB中点， CD⊥AB,即∠CDB=90°， 由(2)知四边形BECD是菱形， :菱形BECD是正方形， 拓展培优题 题型一动点问题 1. 【详解】(1)解：平行四边形. 由题意得：AE=CF=t, :四边形ABCD是矩形， .AD BC,AD=BC, ∴.∠GAE=∠HCF, 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :G,H分别是AD,BC中点， .AG=CH, 在△AEG和aCFH中， AG=CH, ∠GAE=∠HCF, AE=CF, ∴.△AEG≌ACFH(SAS), EG=FH,∠AEG=∠CFH, ∴∠FEG=∠EFH, .EG‖HF, .四边形EGFH是平行四边形； (2)解：如图①，连接口GH口 G G,H分别是AD,BC的中点，四边形ABCD是矩形， B H 图① :四边形ABHG是矩形， .GH=AB=6. 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形EGFH是矩形时，EF=GH=6. AB=6,BC=8,∠B=90°， :AC=AB2+BC2=10. AE=CF=1, .EF=10-21=6, .t=2; ②如图②，当四边形FGEH是矩形时，EF=GH=6,AE=CF=1. 8/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·AC=10, B H 图② EF=t+t-10=21-10=6, t=8. 综上所述，四边形EGFH为矩形时，t的值为2或8. 2. 【详解】(1)解：当点P在AB边上，则有AP=2tcm,D0=tcm,所以CQ=CD-DQ=(9-)cm, 在正方形ABCD中，AB∥CD, .当AP=CQ时，四边形APCQ为平行四边形， 21=9-t, 解得：t=3, .当t=3时，四边形APCQ为平行四边形： (2)解：·四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABP=∠BCQ=90°， AP=BO, ∴.RtAABP≌RtABCOHL), .BP=CO, :点P在BC边上， .BP=(2t-9)cm,Co=CD-DO=(9-t)cm, ∴2t-9=9-t, 解得：t=6; (3)解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在AB边上，则有AP=2tcm,DQ=tcm,所以CQ=CD-DQ=(9-)cm,此时四边形 APCQ是梯形， 9/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形APCQ的面积为21+9-刊×9 2t+9), :四边形APCQ的面积等于正方形ABCD的面积的一半， 9x9 1 1*9 解得：t=0(不符合题意，舍去)： 当点P在BC边上，即？<1<9，则有BP=21-9cm,D0=1cm,如图， D 备用图 :四边形APCQ的面积等于正方形ABCD的面积的一半， ∴：△ADQ与△ABP的面积之和也为正方形ABCD的面积的一半， 1 1 1 “2x91+2x9(21-9列=2x9x9, 解得：t=6; 综上所述：当t=6时，四边形APCQ的面积等于正方形ABCD的面积的一半. 3. 【详解】(1)解：根据题意得，CD=4tcm,AE=2tcm, .AD=AC-CD=(100-41cm, 故答案为：(100-4tcm,2tcm; (2)解：四边形AEFD能够成为菱形，理由如下： 依题意得：CD=4tcm,AE=2tcm, :∠A=60°， .∠C=30°， 又：DF⊥BC, :DF=CD=2t(cm), 2 .AE=DF :∠DFC=∠B=90°， 10/18