精品解析：广东珠海市文园中学（集团）2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷

珠海市文园中学（集团）2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 说明：本试卷共6页，答题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（） A. B. 6，8，10 C. 8，9，10 D. 20，21，22 4. 在正六边形中，下列说法正确的是（ ） A. 它的内角和是 B. 它的一个外角为 C. 它具有稳定性 D. 它共有9条对角线 5. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直 6. 如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值为（） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．下列结论中：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 已知，，则的值为________． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 14. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为_________尺． 15. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过______，使． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？说明理由． 18. 如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广．广播电视塔高h（单位：）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：）之间存在近似关系，其中R是地球半径，． （1）图1的广州塔的塔高约为，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径． （2）图2的中央电视塔塔高约为，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为，求与之比值． 20. 如图1，在平面直角坐标系中点A坐标是，点B坐标是，作得点C坐标是，通过勾股定理得到任意两点A，B之间的距离．如图2，四边形中O，A，B，C四点坐标分别是，，，． （1）求的长＝________； （2）求证：四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和； （3）求点B到直线的距离． 21. 如图，过菱形的对角线的中点O作两条互相垂直的直线，分别交，，，于E，F，G，H四点，连接，，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，，求四边形的面积． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． （1）若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． （2）若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 23. 我国古代数学家商高在《周髀算经》中记载了勾股定理，指出“勾三股四弦五”这一特殊形式．如图1，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它“赵爽弦图”，很巧妙利用面积关系证明了勾股定理．勾股定理在几何度量，定理证明，图形识别和构造等领域有重要用途，既是一个简单实用的工具，也是几何学的基石之一． （1）如图2，正方形和正方形通过拼接，正好可以构造正方形． ①若正方形和正方形的边长分别是4，3，则的周长是________； ②若正方形，正方形和正方形的边长分别是a，b，c，求证：． （2）如图3，以的三边为边分别向外作正方形，正方形，正方形．连接．观察图形中的面积关系，容易看出，猜测与是否相等？并说明理由． （3）如图4，在直线l上方有正方形，正方形，正方形，正方形，正方形，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市文园中学（集团）2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 说明：本试卷共6页，答题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，该选项不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，该选项不是最简二次根式，不符合题意； D．，该选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 3. 下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（） A. B. 6，8，10 C. 8，9，10 D. 20，21，22 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A，，，， 长度为，，的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 选项B，， 长度为，，的三条线段能构成直角三角形，符合题意； 选项C，，，， 长度为，，的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 选项D，，，， 长度为，，的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意． 4. 在正六边形中，下列说法正确的是（ ） A. 它的内角和是 B. 它的一个外角为 C. 它具有稳定性 D. 它共有9条对角线 【答案】D 【解析】 【分析】依次利用多边形内角和公式、外角和定理、稳定性、对角线公式计算判断各选项即可． 【详解】解：∵多边形内角和公式为，正六边形边数， ∴内角和为，A不符合题意； ∵任意多边形外角和为，正六边形各外角相等， ∴每个外角为，B不符合题意； ∵只有三角形具有稳定性，六边形不具有稳定性， ∴C不符合题意； ∵边形对角线条数公式为，代入， ∴对角线条数为 ，D符合题意． 5. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理（①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A、错误．一组对边平行无法判断四边形是平行四边形； B、正确．对角线互相平分的四边形是平行四边形； C、错误．一组对角相等无法判断四边形是平行四边形； D、错误．对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形 【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 6. 如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可得的长度，再根据是直角三角形的中线即可解答． 【详解】由题意可知，， 又，且点D为边的中点， ． 故选：A． 7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 8. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 9. 如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，M为的中点，则的最小值为（） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，再由直角三角形斜边上中线的性质得到，由垂线段最短得到当时，取得最小值，也取得最小值，根据的面积求出的最小值，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值． 当时，取得最小值， 此时，即， ∴的最小值为， ∴最小值为． 10. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．下列结论中：①；②；③；④，正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得，，，，根据可证明，可判断①；根据全等三角形的性质可判断②；根据勾股定理可判断④；根据直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可判断③． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，， ∴，， ， ， ∴，即， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， ， 即，故结论④正确； 如图，设与交于点， 在和中，，即， ∴， ∴，即， ∴，故结论③正确； ∴正确的有个． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算和的值，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴． 13. 如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，，，进而得到，从而是等边三角形，因此，，再由勾股定理求出，得到，再由菱形面积的计算方法求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 14. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为_________尺． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．设芦苇的长度为尺，则水深为尺，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设芦苇的长度为尺，则水深为尺， 芦苇长在水池中央， 尺， 根据勾股定理，得：， ，解得：， 答：这根芦苇长为尺． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过______，使． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了图形中的动点问题，平行四边形，等腰梯形的性质，先确定两点运动的时间，假设经过了，，分别讨论当四边形为平行四边形和等腰梯形时，列一元一次方程进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，点运动到点需要秒，点运动到点需要秒， 设经过了，，根据题意得， 当时，四边形为平行四边形，此时， ∴， 解得， 经检验， ∴符合题意； 如图所示，当四边形为等腰梯形时，， 过点作，交于点，过点作，交于点， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验， ∴符合题意； 故答案为：或． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？说明理由． 【答案】这辆卡车能通过隧道 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及矩形性质的实际应用，灵活运用所学知识是解题关键． 作弦，且，过圆心O作于H，交于G，连接，在直角三角形中，由勾股定理求出，再求出隧道高，就可以判断． 【详解】解：如图，作弦，且，过圆心O作于H，交于G，连接， ，, ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∵， ， ， 这辆卡车能通过隧道． 18. 如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA． ∵AE＝BF＝CM＝DN， ∴AN＝DM＝CF＝BE． ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF． ∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN． ∴四边形EFMN是菱形． ∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°， ∴∠ENA+∠DNM＝90°． ∴∠ENM＝90°． ∴四边形EFMN是正方形． 【解析】 【分析】通过证明△AEN，△DNM，△MCF，△FBE全等，先得出四边形ENMF是菱形，再证明四边形EFMN中一个内角为90°，从而得出四边形EFMN是正方形的结论． 【详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广．广播电视塔高h（单位：）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：）之间存在近似关系，其中R是地球半径，． （1）图1的广州塔的塔高约为，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径． （2）图2的中央电视塔塔高约为，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为，求与之比值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式计算即可； （2）根据求解即可． 【小问1详解】 解：，， ． 答：从广州塔塔顶发射出的广播电视节目信号的传播半径约为． 【小问2详解】 解：， ． 答：与比值为． 20. 如图1，在平面直角坐标系中点A坐标是，点B坐标是，作得点C坐标是，通过勾股定理得到任意两点A，B之间的距离．如图2，四边形中O，A，B，C四点坐标分别是，，，． （1）求的长＝________； （2）求证：四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和； （3）求点B到直线的距离． 【答案】（1） （2） 解：∵O，A，B，C四点坐标分别是，，，， ∴，，， ，， ， ∴，， ∴， ∴四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和； （3）点B到直线的距离为． 【解析】 【分析】（1）利用两点之间的距离公式求解即可； （2）利用两点之间的距离公式求得四边的长，对角线的长，再计算即可求解； （3）证明四边形是菱形，利用菱形的面积公式以及等积法求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴四边形是菱形， ∴， 设点B到直线的距离为h， ∴， ∴， ∴， ∴点B到直线的距离为． 21. 如图，过菱形的对角线的中点O作两条互相垂直的直线，分别交，，，于E，F，G，H四点，连接，，，． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：由菱形可得，， ， ， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，证明，先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是菱形； （2）设，则，先证明菱形是正方形，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， 又菱形中，，， 则， ， ． ∴菱形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 过点作于点M， ， ， ， ． ， 四边形的面积为． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． （1）若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． （2）若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）①是；②， （2）①； ②证明：由折叠可知：，，， ， ， ． ， ． ， ． ． ，， ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质分别求出，，再求出比值即可得解； ②由①即可得解； （2）①根据折叠的性质和勾股定理可证，可得，根据折叠的性质即可得解； ②根据折叠的性质可得，，，可证，进而证明，再根据，，可证，即可得证． 【小问1详解】 ①解：由折叠可知， ， ， 长方形是“长与宽的比值为”的长方形； ②解：由①知，． 【小问2详解】 ①解：沿对折，C落在上的Q， ． 在中，，， ， ， ， ． 由折叠可知，平分， ． ②略． 23. 我国古代数学家商高在《周髀算经》中记载了勾股定理，指出“勾三股四弦五”这一特殊形式．如图1，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它“赵爽弦图”，很巧妙利用面积关系证明了勾股定理．勾股定理在几何度量，定理证明，图形识别和构造等领域有重要用途，既是一个简单实用的工具，也是几何学的基石之一． （1）如图2，正方形和正方形通过拼接，正好可以构造正方形． ①若正方形和正方形的边长分别是4，3，则的周长是________； ②若正方形，正方形和正方形的边长分别是a，b，c，求证：． （2）如图3，以的三边为边分别向外作正方形，正方形，正方形．连接．观察图形中的面积关系，容易看出，猜测与是否相等？并说明理由． （3）如图4，在直线l上方有正方形，正方形，正方形，正方形，正方形，求证：． 【答案】（1）①12； ②延长交于点J，连接． 则四边形是矩形， ， ，． 在中，， ． （2） 解：猜测．作交于点M，作交延长线于点N． 则． ，， ． 又， ， ∴． ，，， ． （3） 解：设，． 作，分别延长，交于点S，T．则，． 由（2）可知，，， ， ． 同理可得，，． ，， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）①设，则，，运用勾股定理分别求出；；根据列方程求出的值，即可得出，从而可求出的周长；②延长交于点J，连接．可得四边形是矩形，求出，在中可得． （2）作交于点M，作交延长线于点N．证明，得，根据面积公式可得结论； （3）设，．作，分别延长，交于点S，T．则，．分别求出，，故可得出结论． 【小问1详解】 解：①设，则， ∴， 在中，， ∴； 在中，，， ∴； 又， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的周长是； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $