四川资中县龙结中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二下期半期数学试卷，聚焦数列、导数、排列组合核心知识，通过“T数列”创新定义题（第8题）和函数零点讨论（第19题），考查数学抽象与逻辑推理能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等比数列计算、导数应用、排列组合|基础巩固，如第1题等比数列基本量运算| |多选题|3/18|导数运算、等差等比数列性质|辨析能力，如第10题等差等比数列前n项和判断| |填空题|3/15|排列组合、切线方程、等差数列求和|简洁应用，如第13题曲线切线求解| |解答题|5/77|函数导数综合、数列证明与求和|分层递进，第19题讨论函数单调性与零点，考查逻辑推理|

结中高2027届高二(下)半期考试数学 出题人：张西挺 审题人：代明德 姓名：____________ 班级：____________ 一、单选题(每小题5分，共40分) 1．在等比数列中，，，则（  ） A．4 B． C． D．8 2．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　 ） A． B． C． D． 3．某同学需将这5个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（  ） A．24 B．48 C．96 D．120 4．数列满足，则（  ） A． B． C．1 D．5 5．函数在处取得极小值，则（  ） A．-1 B．1 C．-1或-3 D．1或3 6．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（  ） A．32 B．64 C．512 D．1024 7．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．若数列满足对于，恒有成立，则称为“数列”．已知“数列”的各项都是整数，且，，若，则的最大值为（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、多选题(每小题6分，共18分) 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．设数列的前项和为，且．则（   ） A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则 C．若为等比数列，则 D．若为等比数列，则 11．已知函数，则（   ） A． B．恰有2个极值点 C.的最大值为 D.图象与轴有且仅有1个交点 三、填空题(每小题5分，共15分) 12．从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为__________． 13．直线是曲线的切线，则________． 14．已知等差数列的前n项和分别为， 若，则______． 四、解答题(第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分) 15.(13分)已知函数. (1)求这个函数的导数；(2)求这个函数极值. 16.(15分)已知数列的首项=1，且满足. (1)求证：是等比数列；(2)求数列的前n项和. 17.(15分)已知等差数列的前n项和，且, . (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前n项和. 18．(17分)已知函数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围； (3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 19.(17分)已知函数. (1)若a=0,求函数在的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 结中高2027届高二(下)半期考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B C A B BC AB 题号 11 答案 AC 8．B【详解】由，可得，则， 令，则数列为严格递减数列，且各项为整数， 因为数列为 “数列”，各项都是整数，且， 可得， 因为为严格递减数列，且各项为整数，所以， 又因为，即， 可得， 即， 所以， 要使，则，整理得， 解得， 因为，可得， 又因为，所以， 经验证：，， 所以，满足的最大的值为. 11．AC【详解】求导得：，定义域， 代入得：，解得，A正确； 因此，， 当时，，当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减， 即在时取到极大值，无极小值，故B错误; 因此最大值为，C正确； 因为最大值，且时， ，时，， 即在和各存在一个唯一零点， 故与轴有2个交点，D错误. 12.答案：48 13.答案：1 14．【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 15．【详解】（1） （2）定义域：，令，则， 的变化表格如下： 0 所以当时，函数有极小值，无极大值. 16．【详解】（1）由题可知，记， 则， ，且， 所以数列即数列为首项，公比的等比数列. （2）由（1）可知， 所以. . 17．【详解】（1）由题可得，解得， 因此. （2）， ① ② ①②得， 所以. 18．【详解】（1）因为 所以所求切线的斜率，又因为切点为 所以所求的切线方程为. （2）因为，所以. 因为在上有解， 所以不小于在区间上的最小值. 因为时，， 所以的取值范围是. （3）因为，所以. 令可得，所以函数的对称中心为， 所以当时，有， 所以. 19．【详解】（1）若，则， 无解，且， . （2） 若时，在上恒成立，即在单调递减， 若时，令，则，单调递增， 令，则，单调递减， 综上：若时，在单调递减， 若时，在单调递增，在单调递减. （3）由题知有两个不同实数解， 有两不同实数解，即有两不同交点， 研究的函数图象，函数的零点只一个且为负， 记，在R上恒成立， 在R上为单调递增函数且， 为增函数， 为减函数， ，函数的图象如右： 由于有两不同交点，因此图可知. 参考答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $