数学（江苏南京卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 以真实情境与文化传承为载体，覆盖代数几何统计核心知识，通过《孙子算经》应用题、九天楼测量实践题等实现基础巩固与创新应用的能力梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|科学记数法、方程根的判别、正多边形角度|结合石油储备数据考查数感，数轴与方程结合体现抽象能力| |填空题|10/20|因式分解、函数交点、菱形折叠|三角板与量角器叠放考查几何直观，动态折叠问题发展空间观念| |解答题|11/88|分式方程应用、圆切线证明、二次函数翻折、动态几何探究|古文应用题培养模型意识，测量题发展应用意识，综合探究题提升推理能力与创新意识|

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ ◆ 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 错误填涂×！1[/1 4保持卡面而清洁.不要折叠.不要玉破 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题2分，共12分） 1[A]IB]ICIIDI 5.1AJIBIICIID] 2.JAlIBICIDI 6.1AI[BIICIIDI 3.JAlIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分) 7. 8 9 10. 11. 12 13 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 18.(7分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) D C ◇入 F A B 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 数量/本 288 其他 300 D A 250 科管类 200 35% 150 B 100 72 文学类 40% 0 B C D图书类别 23.(8分) H C A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 不8 25.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) H H B E 0 E(G) F(0 K力 D A(B D D G 图① 图② 图③ (备用图) 请套各题目的管懸轻域肉作簷：超出爨鲁矩形边框限宠怪域的簷豢毛效： 27.(10分) C C C C D B A B B B BB 图1 图2 图3 图4 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列各式的结果中，最大的是（   ） A． B． C． D． 2．生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工．普通人日均消耗石油2.3升，约4瓶矿泉水．2026年初，我国战略石油储备为173000000吨，可满足全国人民约130天的石油消费需求．数据“173000000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问：甲、乙二人持钱各几何?”译文：现在甲、乙两人都有钱，但不知道各自的数目．甲若得到乙得一半，就有48钱；乙若得到甲的太半，也有48钱（这里的“中半”即二分之一，“太半”即三分之二），问：甲、乙两人原来各有多少钱?设甲原来有x钱，乙原来有y钱，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式：__________． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 9．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 10．若，求的值为______． 11．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 12．关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则k的值是________． 13．如图，将三角板和量角器叠放在一起，边与在同一直线上，半径为，，三角板交量角器边缘于，．点对应量角器的刻度为，则的长度为__________． 14．在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A和点B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为______． 15．如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 16．如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：． 18．（7分）化简：． 19．（7分）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、 两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 20．（8分）如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 21．（8分）为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． (1)小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； (2)若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 22．（8分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动． “综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）： ××中学学生借阅图书情况调查报告 调查主题 ××中学学生借阅图书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生 数据的收集与整理 第一项 各类图书 借阅量统计    第二项学生 个人借阅量统计 图书借阅量/本 人数/名 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整； (2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名？ (3)在制定方案时，小兵给出的初步方案是随机抽取200名七年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．小兵的方案合理吗？简要说明理由． 23．（8分）九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存．1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”．小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度．首先利用无人机飞到距地面106米（米）点C处，此时测得塔顶A的俯角为，无人机向后退米（米）到点，此时测得塔顶A的俯角为，已知、、在同一水平直线上，于，求九天楼高度（即的长）．（，，，） 24．（8分）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 25．（8分）已知抛物线（b，c为常数）的顶点为点，与轴交于点． (1)若，求该抛物线顶点的坐标； (2)将（1）中抛物线图象轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，与原抛物线图象轴上方的部分共同构成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围； (3)若，且当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 26．（9分）综合与探究 问题情境：如图①，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，得到折痕，将正方形纸片沿剪开，得到矩形和矩形（与重合），取的中点，将矩形以点为旋转中心，逆时针旋转． (1)初步探究： 如图②，当点与点重合，点落在线段上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)拓展延伸： 在旋转的过程中，线段与线段交于点，连接． ①如图③，当为的中点时，连接，判断与的数量关系，并说明理由； ②若正方形的边长为6，当为线段的三等分点时，请直接写出的长． 27．（10分）如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． (1)______，______，求图1中阴影部分的面积； (2)如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； (3)如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列各式的结果中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据相反数、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算出每个选项的结果，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，，，， ∵ ∴结果最大的是． 2．生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工．普通人日均消耗石油2.3升，约4瓶矿泉水．2026年初，我国战略石油储备为173000000吨，可满足全国人民约130天的石油消费需求．数据“173000000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题． 【详解】解：． 3．已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由数轴得，， ∵一元二次方程为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 4．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出正六边形、正五边形的内角，由对称性得到，再由四边形内角和为即可求解． 【详解】解：正六边形的内角为， 正五边形的内角为， 在正六边形中，由对称性可知, ， 在四边形中，， 即， 解得． 5．《孙子算经》中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问：甲、乙二人持钱各几何?”译文：现在甲、乙两人都有钱，但不知道各自的数目．甲若得到乙得一半，就有48钱；乙若得到甲的太半，也有48钱（这里的“中半”即二分之一，“太半”即三分之二），问：甲、乙两人原来各有多少钱?设甲原来有x钱，乙原来有y钱，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：设甲原来有钱，乙原来有钱． ∵甲得到乙的一半后总钱数为48， ∴甲原有钱数加上乙钱数的一半等于48，可得方程， ∵乙得到甲的三分之二后总钱数为48， ∴乙原有钱数加上甲钱数的三分之二等于48，可得方程． 因此可列方程组，对应选项为B． 6．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解. 【详解】解：． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得． 9．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【答案】中位数 【分析】15个不同成绩排序后，第8名的成绩为中位数，可据此判断该学生能否获奖． 【详解】解：由题意可知，15名学生决赛成绩各不相同，将成绩从小到大排列后，第8个数据为这组数据的中位数． 本次比赛前八名获奖，因此该学生将自己的成绩与中位数比较，即可判断是否获奖． 因此这名学生还需要了解这15名学生成绩的中位数． 10．若，求的值为______． 【答案】5 【分析】先进行分母有理化，再将代数式进行因式分解后，代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 11．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 【答案】9 【分析】将原方程变形，用含的代数式表示出，根据为整数解，可得为4的因数，求出所有满足条件的整数的值，再根据分式方程的解不能使分母为0进行检验，排除不合题意的值，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为整数解， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 又即， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和为． 12．关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则k的值是________． 【答案】1 【分析】根据根与系数的关系结合已知条件得出关于的一元二次方程.，解出的所有可能值后，再根据方程有实数根，结合根的判别式得出的取值范围，即可确定符合条件的的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别是、， 由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理可得， 解得或， 一元二次方程有两个实数根， 根的判别式， ， ． 13．如图，将三角板和量角器叠放在一起，边与在同一直线上，半径为，，三角板交量角器边缘于，．点对应量角器的刻度为，则的长度为__________． 【答案】/ 【分析】连接、，由题意可得，由三角形外角的定义及性质得出，由等边对等角得出，由三角形内角和定理可得，求出，最后由弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、， ， ∵点对应量角器的刻度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 14．在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A和点B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】设，根据题意，得，，确定，根据对称性求解即可； 【详解】解：设，由直线与双曲线相交于点A和点B． 得，， 故， 整理，得， 解得， 故直线，双曲线， 根据反比例函数的中心对称性质，得点B的横坐标为， 故， 故； 15．如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理的综合应用，解题关键是通过作辅助线构造等腰三角形的高，利用角的关系证明平行线与全等三角形，再结合中位线定理与勾股定理求解．先由等腰三角形三线合一得到平分，结合推出，进而证得；再利用证明，得到线段等量关系，结合三角形中位线定理求出相关线段长度，最后通过勾股定理计算出的长，进而求得的长度． 【详解】解：， 为等腰三角形， 过点作， 平分，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ，， ，为中点， 为的中位线， ，为中点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 【答案】或/或 【分析】连接，与交于点O，根据四边形是菱形，，，得出，，，，勾股定理求出，根据折叠得出，设，则，分两种情况：当时，证明，列方程求解即可；当时，证明，列方程求解即可． 【详解】解：连接，与交于点O， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∵将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上， ∴， 设，则， 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， 即， 综上所述，当为直角三角形时，线段的长为或． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：． 【答案】 【分析】依次解不等式，最后取公共部分得不等式组的解集． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①， 去分母得， 解得， 解不等式②， 移项得， 即， 解得， 综上，可得不等式组的解集为． 18．（7分）化简：． 【答案】 【详解】解：原式 19．（7分）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、 两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 【答案】、两种冰箱贴的进价分别为元/件、元/件 【分析】设A种冰箱贴的进价为元/件，则B种冰箱贴的进价为元/件，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设A种冰箱贴的进价为元/件，则B种冰箱贴的进价为元/件， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 当时，， 答：、两种冰箱贴的进价分别为元/件、元/件． 20．（8分）如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，可证明，即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 21．（8分）为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． (1)小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； (2)若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据列举法求概率求解即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小敏和小杰都没有抽到“元曲”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：随机抽取一个朗诵的结果：A．唐诗、B．宋词、C．元曲，总共有3种等可能的结果，抽中“宋词”的情况有1种，故（抽中宋词）； （2）解：画树状图如下： 共6种等可能性的结果，其中小敏抽中唐诗、小杰抽中元曲的情况有1种，故（小敏抽唐诗且小杰抽元曲）． 22．（8分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动． “综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）： ××中学学生借阅图书情况调查报告 调查主题 ××中学学生借阅图书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生 数据的收集与整理 第一项 各类图书 借阅量统计    第二项学生 个人借阅量统计 图书借阅量/本 人数/名 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整； (2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名？ (3)在制定方案时，小兵给出的初步方案是随机抽取200名七年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．小兵的方案合理吗？简要说明理由． 【答案】(1)被调查的200名学生的借阅总量为720本，图见解析 (2)该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生大约有528名 (3)小兵的做法不合理，理由见解析 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图得，类书籍占总体书籍的，即可求出总体书籍；并补全条形统计图； （2）根据学生个人借阅量统计，求出图书借阅数量为本及以上的学生人数，再根据样本估计总体，即可； （3）根据抽样调查选择样本，即可． 【详解】（1）解：借阅图书的总数量为：（本）； ∴类书籍的借阅量为：（本），类书籍的借阅量为：（本）， 补全统计图如下： 答：被调查的200名学生的借阅总量为720本． （2）（名）， 答：该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生大约有528名 （3）小兵的做法不合理，理由： 小兵仅随机抽取200名七年级学生的图书借阅量不具有代表性，这样的抽样调查的可靠性较低，所以小兵的做法不合理． 23．（8分）九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存．1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”．小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度．首先利用无人机飞到距地面106米（米）点C处，此时测得塔顶A的俯角为，无人机向后退米（米）到点，此时测得塔顶A的俯角为，已知、、在同一水平直线上，于，求九天楼高度（即的长）．（，，，） 【答案】九天楼高度为70米 【分析】设九天楼高度米，得．在两个直角三角形中，由、分别表示、，根据无人机向后退米到点，列方程，求解即可． 【详解】解：设九天楼高度米， ∵无人机高度米， ∴塔顶到无人机水平线的垂直距离为：米， ∵， ∴和均为直角三角形， ∵在C处俯角为，即， ∴， ∴ ， ∵在D处俯角为，即， ∴， ∴， 由题意得，（米）， ∴ 解得． 24．（8分）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点E，根据圆的切线的性质，以及等角的余角相等，证明，得到，则是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，利用相似三角形的性质，分别求出，，即可得解． 【详解】（1）证明：过点O作于点E， 于点D， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是的半径， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的半径． 25．（8分）已知抛物线（b，c为常数）的顶点为点，与轴交于点． (1)若，求该抛物线顶点的坐标； (2)将（1）中抛物线图象轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，与原抛物线图象轴上方的部分共同构成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围； (3)若，且当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)或 (3)4 【分析】（1）利用根与系数的关系得到，由，得到，求出函数解析式配方得到顶点坐标； （2）由翻折得到G的函数解析式，再分情况讨论求出a的取值范围； （3）将c的值代入解析式，求出对称轴，根据，且，确定对称轴在区间内，且区间右端点到对称轴的距离大于左端点到对称轴的距离1，求出最大值及最小值，列方程解答 【详解】（1）解：由题意可知，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴该抛物线顶点的坐标为； （2）解：由（1）得原抛物线为，与x轴交点为，， 将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，得到新图象的解析式为： 直线与新图象有且只有两个交点，分情况讨论： ①直线与翻折后的两支各有一个交点，与原抛物线无交点时， 联立与，得， 得（恒有两实根） 联立与，得， 令，则，解得 ②直线与原抛物线有两个交点，与翻折后的两支无交点时， 直线经过时，，得； 直线经过时，，得； 当时，直线与原抛物线有两个交点，与翻折部分无交点， 综上，的取值范围是或； （3）解：将代入解析式得，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵区间为，且， ∴对称轴在区间内，且区间右端点到对称轴的距离大于左端点到对称轴的距离1， ∴当时，函数取得最大值4， 当时，函数取得最小值 由题意得， 解得或， ∴或， ∵， ∴． 26．（9分）综合与探究 问题情境：如图①，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，得到折痕，将正方形纸片沿剪开，得到矩形和矩形（与重合），取的中点，将矩形以点为旋转中心，逆时针旋转． (1)初步探究： 如图②，当点与点重合，点落在线段上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)拓展延伸： 在旋转的过程中，线段与线段交于点，连接． ①如图③，当为的中点时，连接，判断与的数量关系，并说明理由； ②若正方形的边长为6，当为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定； （1）由四边形和四边形为矩形，可得四边形为矩形，再结合，即可得出四边形为正方形； （2）①连接，证明，可得，再证明，可得，等量代换即可证明；②分以下两种情况讨论：当时，如图②所示，连接，交于点，由，可得，即可求出，同理当时，如图③所示，利用即可求出． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下： 四边形和四边形为矩形， ，， 四边形为矩形， 为和的中点，且， ， 四边形为正方形． （2）解：①，理由如下： 如图①所示，连接， 为和的中点，且， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的中点， ，由旋转的性质得， ， ， ， ， ， ． ②由①可得，，， ， ， ， ， 分以下两种情况讨论：当时，如图②所示，连接，交于点， 正方形的边长为6， ，， ，为的中点， ，，， ∴在Rt中， ， ∵，， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图③所示，连接，交于点， 同理可得，，，垂直平分， 在Rt中，， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 27．（10分）如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． (1)______，______，求图1中阴影部分的面积； (2)如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； (3)如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 【答案】(1)，8， (2) (3)或 【分析】（1）先求出，由含角的直角三角形及勾股定理可得出，的长；连接，作于E，由即可求图1中阴影部分的面积； （2）作交于F， 由（1）和平移可知，，．则，由四边形是矩形，可得．即半圆O平移的距离为． （3）①在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小．当时，过点C作于点G，连接．可得，．当时，设垂足为H，则，．可得，，则，此时．可得．当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ②当半圆经过点M时，过点M作于点N．得出，．由勾股定理可得． 可得，则．由圆周角定理得．可得，则．所以．当直径过点M时，，可得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ． ， ． ． 连接，作于点E 为直径，O为圆心， ． ． ， ，． ． ， ． ． （2）解：作交于点F， ． 由（1）知，． 半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆． ，，． ， ． 四边形是矩形． ． 即半圆O平移的距离为． （3）解： 在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小． 当时，过点C作于点G，连接． 由（2）知，四边形是矩形． ，，． ． ，． 当时，设垂足为H ，． ， 此时 ， 当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ． 当半圆经过点M时，过点M作于点N． 在中，，． ，． 在中，． ． ． 为直径， ． ． ． 当直径过点M时 ． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形两锐角互余、求扇形的面积、圆的性质、矩形的判定和性质． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $69学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学参考答案 一、选择题(本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1 2 3 4 5 6 A D A B B A 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 74y(x-2)(x+2) 8.x>-5 9.中位数 10.5 11.9 12.1 $$1 3 、 \frac { 8 } { 3 } \pi | \frac { 8 \pi } { 3 }$$ 14.(-2，-2) $$1 5 、 \frac { \sqrt { 4 1 } } { 2 }$$ $$1 6 . \frac { 2 0 } { 7 }$$ $$\frac { 0 } { \pi } \frac { 2 } { 4 }$$ $$\frac { 2 0 } { 9 } ， \frac { 2 0 } { 9 } 或$$ $$\frac { 2 0 } { 7 }$$ 三、解答题(本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17. (7分) 【解析】解：解不等式组 $$\frac { 2 } { 2 } > 1 \cdots \cdots 1 0$$ 9x≤7x+8…② 解不等式 式 $$\textcircled 1 \frac { x - 1 } { 2 } > 1$$ 去分母得 x-1>2， 解得 x>3， 解不等式 ②9x≤7x+8 移项得 9x-7x≤8， 即 2x≤8， 解得 x≤4， 1/15 厨学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上，可得不等式组的解集为3<x≤4.(7分) 18.(7分) +2 x2+4x+4 【解析】解：原式(xx =x+2,(x+2)} x2 =x+2x2 x(x+2 x+2(7分) 19.(7分) 40-x) 【解析】解：设A种冰箱贴的进价为元件，则B种冰箱贴的进价为 元件， 12002000 依题意得：x40-x’ 解得x=15, 经检验x=15是原方程的根，且符合题意， 当x=15时，40-15=25， 答：A、B两种冰箱贴的进价分别为15元/件、25元/件.(7分) 20.(8分) 【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD∥BC, ∠ADE=∠CBF, AE⊥BD,CF⊥BD .∠AED=∠CFB=90°， 在△ADE和△CBF中， ∠AED=∠CFB ∠ADE=∠CBF AD=BC ∴△ADE≌△CBF(AAS) 2/15 厨学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 DE=BF.(8分) 21.(8分) 【解析】(I)解：随机抽取一个朗诵的结果：A.唐诗、B.宋词、C.元曲，总共有3种等可能的结 果，抽中“宋词”的情况有1种，故P(抽中宋词)=3：(3分) (2)解：画树状图如下： 开始 小敏 A 小杰B 共6种等可能性的结果，其中小敏抽中唐诗、小杰抽中元曲的情况有1种，故P(小敏抽唐诗且小杰 抽元曲)= 6· (8分) 22.(8分) 【解析】(1)解：借阅图书的总数量为：288÷40%=720（本）： A类书籍的借阅量为：720×35%=252（本），C类书籍的借阅量为：720×15%=108（本）， 补全统计图如下： 数量/本 300 288 252 250 200 150 108 100 72 50 0 分 C D图书类别 答：被调查的200名学生的借阅总量为720本.(4分) （2)1200×200-11-20-81=528(名)， 200 答：该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生大约有528名(6分) (3)小兵的做法不合理，理由： 小兵仅随机抽取200名七年级学生的图书借阅量不具有代表性，这样的抽样调查的可靠性较低，所以 小兵的做法不合理.(8分) 23.(8分) 3/15 厨学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】解：设九天楼高度AB=x米， :无人机高度BH=106米， 塔顶到无人机水平线的垂直距离为： AH=BH-AB=(006-米， AB⊥CD, ∴.△AHC和△AHD均为直角三角形， :在C处俯角为30°，即∠ACH=30°， AH :tan30°= HC .HIC=AH tan30° AH.3 ≈1.73(106-x) :在D处俯角为20°，即∠ADH=20°， tan20°=AH HD' :HD=,4H≈106-x tan20°0.36， 由题意得，HD-HC=CD=37.72(米)， .106-x-1.73106-x)=37.72 .0.36 06-06l73-372 (106-x)×1.0478≈37.72 106-x≈36 解得x=70.(8分) 24.(8分) 【解析】(I)证明：过点O作OE⊥AB于点E, 4/15 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 于点D, :AD⊥BO ∴.∠D=∠BEO=90° .∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠OAD=90°， .'∠AOD=∠BAD ∴.∠ABD=∠OAD 又BC为OO的切线， .OC⊥BC, ∠BC0=∠D=90°， ∠BOC=∠AOD, .∴.∠OBC=∠OAD=∠ABD 在△BEO和△BCO中， ∠BEO=∠BCO=90° ∠OBC=∠OBE BD=BD .∴△BEO≌ABCO(AAS) ∴.OE=OC, ∴OE是⊙0的半径， OE⊥AB :AB是⊙O的切线：(4分) (2)解：在R△AOD中，OD=2,AD=4, :.OA=√0D2+AD2=25 由(1)可知，∠OAD=∠ABD, 又∠ADO=∠BDA=90°， 5/15 厨学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 :.∴△AODABAD」 OD AD AD BD' 、2=4 4 BD' .BD=8, ..OB=BD-OD=6, '∠BC0=∠AD0=90°，∠BOC=∠AOD, .△BOC∽△AOD, OC OB OD OA' 0C6 22W5, 0c=6 .65 5,即o0的半径5 (8分) 25.(8分) 是方程x+br+c=0 X1,x2 【解析】(1)解：由题意可知， 两个根， :3+5=6=-c +5=2斯5=3 .b=2,c=3, 一抛物线的解析式为y=-x+2x+3=-(x-+4 .该抛物线顶点P的坐标为 1,4) :(2分) (2)解：由(1)得原抛物线 y=-2+2x+3=-(+10(x-3),与x轴交点为 (-1,0）B(3,0) 将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，得到新图象G的解析式为： y=-x2+2x+3(-1≤x≤3) y=x2-2x-3(x(-1或x3) 6/15 厨学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 直线y=x+a与新图象G有且只有两个交点，分情况讨论： ①直线与翻折后的两支各有一个交点，与原抛物线无交点时， 联立y=x+a与y=r-2x-3,得r-3x-(3+a)=0 ,得 得4=9+43+a)=21+4a>0 (恒有两实根) 联立y=x+a与=-+2x+3,得 x2-x+(a-3)=0 令A<0,则1-4e-3)<0,解得a>号 4 ②直线与原抛物线有两个交点，与翻折后的两支无交点时， 直线经过1(-1,0)时，-+a=0,得0=1， B(3,0) 直线经过 ）时，3+a=0,得a=-3: 当-3<a<1时，直线与原抛物线有两个交点，与翻折部分无交点， 综上·。的取位范国是-3<a1我0> 4:(5分) (③)解：将=44代入解折式得. b ∴抛物线的对称轴为直线x= 顶点华标为 b :区间为21≤x≤b+1,且6>0， b b b “对称轴x=2在区间内，且区间右端点b+1到对称轴的距离2+1大于左端点21到对称轴的距离 1, b 当x=2时，函数取得最大值4， 当6+1时。马数取得最小台641- +4传+4 7/15 厨学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由题意得 b 解得2+1=3或 +1=-3 ∴b=4或b=-8, b>0, .b=4.(8分) 26.(9分) 【解析】(1)解：四边形AEOG为正方形，理由如下： :四边形AEFD和四边形GBCH为矩形， ∴.∠A=∠AEF=90°，∠BGO=90°， ∴四边形AEOG为矩形， O为EF和GH的中点，且EF=HG, ..OE=0G ∴.四边形AEOG为正方形.(2分) (2)解：①AB=FH,理由如下： 如图①所示，连接EG, 为 和 的中点，且 图① .O EF GH EF =GH :.OE=OF =OG=OH, ∠EOG=∠FOH, ∴.△EOG≌△FOH(SAS) .EG=FH, .OE =OG. 8/15 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠OEG=LOGE, :∠AEF=∠BGO=90°， ∴.∠AEO-∠OEG=∠BGO-∠EGO,即∠MEG=∠MGE, :ME =MG, M为AE的中点， ∴.EM=AM,由旋转的性质得BG=AE, :BG-MG=AE-EM ∴.BM=AM=EM=MG, .'∠BMA=∠EMG ∴.△BMA≌△EMG(SAS) .AB=EG .AB=FH.(5分) ②由①可得，ME=MG,BM=AM, ME_MG MA MB' ∠BMA=∠GME, .△BMA∽△GME, EG ME AB MA. 1 分以下两种情况讨论：当MM=34E时，如图②所示，连接OM,EG交于点p, p-7 正方形的边长为6， B /G AM D 图② .EF=6,AE=3, 9/15 国学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4M=写4把，O为Er的申点， .MA=1,ME=MG=2,OE=3, ∴在R△ME0中， M0=V22+32=V13 .ME=MG,OE=OG. ∴.OM垂直平分EG, 5m号w-0-NoB, EP=63 13, ∴.EG=2EP 12v13 13, w号E EG_ME -2, AB MA ·AB=3 13: 当AM=3E时.如图③所示，莲接0Y,G交于点O B E M G D 图③ 同理可得MA=2,ME=MG=1,OE=3,OM垂直平分EG, 10/15 窗学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 在Rt△MEO由MO=VIO 中， a5am2w-Bo-Noe, 1 E0=3v10 10, EG=2E0=3 5, w-号g .EM EG ME 1 AB MA2 AB=610 5. 6W13610 综上所述，AB的长为13或5.(9分) 27.(10分) 【解析】(1)解：∠ABC=90°，∠BAC=60°， ∴.∠ACB=90°-∠BAC=30° .AB =4cm, ∴.AC=2AB=8cm .BC=AC2-AB2 =43cm 连接DO,作OE⊥CD于点E 11/15 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 为直径，O为圆心， A B .BC ..co-DO-Rc-2cm .∠ACB=∠CDO=30 :OE⊥CD, ∠CE0=900, EO=1CO=3cm .CD=2CE=2CO2-EO2 =6cm :∠ACB+∠CDO+∠COD=180° ∴.∠COD=180°-∠ACB-∠CD0=120° S阴影部分=S扇形cDo0-S.cD0 瑞可-6x6 =4r-33(cm2） (3分) (2)解：作 01C0交AG于点F, A BB ∴.∠COF=∠FOB=90° 由(1)知 C0=2W3cm∠ACB=30° 12/15 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 “半圆O(包含直径BC)沿着射线4B方向平移得到半圆 ∴C,O=C0=2V3cm∠ABC=∠AB,C=90°∠FC,O,=30° :an∠4C&=F9-返 C03, F0=3x2J5=2(cm) :∠ABC=∠AB,C1=∠FOB=90° BBOO ·四边形 是矩形. ∴.BB,=FO=2cm 即半圆O平移的距离为2cm.(5分) (3)解：在旋转过程中，点9到直线1C的距离先越来越小，再越来越大（当 C2⊥AC 时，点9到 AC的距离最大)，再越来越小. 当“=0时，过点C CG⊥AC CC 于点G,连接 B BBOO 由(2)知，四边形 是矩形 ∴.CG=1cm CC=2cmCC=BB=2cmCC∥BB ∴.∠GCC=∠BAC=60° 13/15 厨学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ∴.GC=lcm GC=3cm BC2⊥AC 当 时，设垂足为H AB=AB+BB,=4+2=6(Cm)∠BAC=60° ÷4H=248=3cm, B,H=3AH =33cm ..C2H B,C2-BH=4V3-33=3(cm) ∠AB,C2=30° 此时 ∴.u=90°-30°=60° .GC =CH .当点C到直线AC的距离最大时，α的值为0°或60°.(7分) ②10°<a<49° 当半圆C经过点M时，过点M作MN⊥AB于点N. 在RtAAMN中，AB=4cm,∠BAC=60°. .AN =2cm MN=23cm 在中， B,N=6-2=4(cm) .B,M=4+(25=27(cm)」 14/15 厨学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 MN 233 tan∠AB,M= B,N42 .∠ABM≈41° :BC为直径， .∠B,MC2=90° 2√7√21 .cos∠MB,C2= 456 .∠MB,C2≈39° .a=90°-41°-39°=10°， C过点M时 当直径 C ↑O1 B a=90°-41°=49° :10°<au<49°.(10分) 15/15………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列各式的结果中，最大的是（   ） A． B． C． D． 2．生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工．普通人日均消耗石油2.3升，约4瓶矿泉水．2026年初，我国战略石油储备为173000000吨，可满足全国人民约130天的石油消费需求．数据“173000000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中记载：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问：甲、乙二人持钱各几何?”译文：现在甲、乙两人都有钱，但不知道各自的数目．甲若得到乙得一半，就有48钱；乙若得到甲的太半，也有48钱（这里的“中半”即二分之一，“太半”即三分之二），问：甲、乙两人原来各有多少钱?设甲原来有x钱，乙原来有y钱，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．分解因式：__________． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 9．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 10．若，求的值为______． 11．若关于x的方程的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和________． 12．关于x的一元二次方程的两个实数根分别是、，且，则k的值是________． 13．如图，将三角板和量角器叠放在一起，边与在同一直线上，半径为，，三角板交量角器边缘于，．点对应量角器的刻度为，则的长度为__________． 14．在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点A和点B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为______． 15．如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 16．如图，线段是菱形的对角线，，点M，N分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点B的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组：． 18．（7分）化简：． 19．（7分）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、 两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 20．（8分）如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：． 21．（8分）为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． (1)小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； (2)若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 22．（8分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆·悦享书世界”的读书活动． “综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）： ××中学学生借阅图书情况调查报告 调查主题 ××中学学生借阅图书情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生 数据的收集与整理 第一项 各类图书 借阅量统计    第二项学生 个人借阅量统计 图书借阅量/本 人数/名 调查结论 … 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1)求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整； (2)估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名？ (3)在制定方案时，小兵给出的初步方案是随机抽取200名七年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．小兵的方案合理吗？简要说明理由． 23．（8分）九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存．1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”．小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度．首先利用无人机飞到距地面106米（米）点C处，此时测得塔顶A的俯角为，无人机向后退米（米）到点，此时测得塔顶A的俯角为，已知、、在同一水平直线上，于，求九天楼高度（即的长）．（，，，） 24．（8分）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 25．（8分）已知抛物线（b，c为常数）的顶点为点，与轴交于点． (1)若，求该抛物线顶点的坐标； (2)将（1）中抛物线图象轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，与原抛物线图象轴上方的部分共同构成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围； (3)若，且当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求的值． 26．（9分）综合与探究 问题情境：如图①，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，得到折痕，将正方形纸片沿剪开，得到矩形和矩形（与重合），取的中点，将矩形以点为旋转中心，逆时针旋转． (1)初步探究： 如图②，当点与点重合，点落在线段上时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)拓展延伸： 在旋转的过程中，线段与线段交于点，连接． ①如图③，当为的中点时，连接，判断与的数量关系，并说明理由； ②若正方形的边长为6，当为线段的三等分点时，请直接写出的长． 27．（10分）如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． (1)______，______，求图1中阴影部分的面积； (2)如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； (3)如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【11/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分， 共12分) 1.[A]IBIICIIDI 5.1AIIBIIC]ID] 2.[AIIBIICIIDI 6.1AIIBIICI[D] 3.IAlIBIICIIDI 4.[A1[BIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 8 9 9 11 12 13 15. 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共88分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(7分) 18.(7分) 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) D F B 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 数量/本 其他 300 288 D A 250 科管类 200 35% 150 B 100 72 文学类 50 40% 0 A CD图书类别 23.(8分) H 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) B O A D 25.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) C H H B C E(G) F(0 E A(B) D 图① 图② 图③ (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) C C C M 0 A B A BB 5 图1 图2 图3 图4 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！