数学（江苏无锡卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学模拟卷，以蒙古包几何模型、摄像头视角计算等真实情境为载体，通过10道解答题（96分）实现从基础运算到几何探究的能力梯度，体现数学眼光与思维的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形对称（蝴蝶曲线等）、分式方程（货车运输）|结合数学文化与生活实际| |填空题|8/24|圆切线计算、反比例函数平移|注重空间观念与符号意识| |解答题|10/96|摄像头视角应用（解直角三角形）、几何探究（正方形旋转迁移）|突出应用意识与推理能力，呼应中考命题趋势|

2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义，逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， 则的相反数为，的倒数为． 因此所求结果为． 2．下列是几种著名的数学曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线 C．三叶玫瑰线 D．卡西尼卵形线 【答案】D 【详解】解：A．蝴蝶曲线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．三叶玫瑰线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．卡西尼卵形线既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 3．年月日，国家统计局发布《年国民经济和社会发展统计公报》初步核算，全国国内生产总值亿元，成功迈进万亿元的新台阶，这一成绩充分展现了我国经济的强大韧性与活力．数据用科学记数法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、完全平方公式及二次根式的性质，根据对应运算法则分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，A选项错误； B、积的乘方等于每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，，B选项错误； C、根据完全平方公式，C选项错误； D、根据二次根式的性质，D选项正确． 5．小亮在处理一组数据“，，，，”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（  ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的概念，各统计量的定义，判断哪个统计量不随未知数据的变化改变即可． 【详解】解：设被污染的数据为，由题意得，这组数据共个数，将数据从小到大排列后，中位数是排列后的第个数， ∵，无论在之间取何值，从小到大排序后，前两个数恒为，，第三个数恒为， ∴中位数始终为，不发生变化；平均数和方差会随的变化改变， 若，众数变为和，众数也会改变， 因此无论在范围内取何值，都不影响这组数据的中位数． 6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 【答案】C 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理先求解圆锥的母线长，再求出圆柱和圆锥的侧面积，即可得到油毡纸的面积，即可求解费用． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴买油毡纸要花费的费用（元）． 7．为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据预定时间表示出两种货车的行驶时间，结合速度公式得到两车速度，再根据高速货车速度是普通货车速度的2倍的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵预定时间为小时，普通货车比预定时间晚小时到达， ∴普通货车的行驶时间为小时，可得普通货车速度为， ∵高速货车比预定时间早小时到达， ∴高速货车的行驶时间为小时，可得高速货车速度为， ∵高速货车的速度是普通货车的倍， ∴可列方程． 8．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 9．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 10．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据顶点坐标可得该抛物线的对称轴为，再结合其与轴交点可推导出系数关系，进而判断①；将方程转化为抛物线与直线的交点问题判断②；根据开口方向和点到对称轴的距离可推断函数值大小进而判断③；联立方程用判别式判断交点个数判断④． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， 则，可得， 将代入得， 将代入得，即， ①∵， ∴， 解得，故①正确； ②方程等价于， 该方程有实数根的条件为抛物线与直线有交点， ∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下，顶点是最高点， ∴当，抛物线与直线有交点， 解得， 当，该方程有两个相等的实数根， 当，该方程有两个不等的实数根， 故满足要求，结论错误，故②错误； ③∵抛物线开口向下， ∴点到对称轴的距离越远，函数值越小， ∵对称轴为，， 说明到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，故③正确； ④将抛物线化为顶点式， 联立， 可得， 其判别式， 由已知条件无法确定恒大于，不能确定总有两个不同交点，故④错误． 综上①③正确， 故选． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解：________ 【答案】 【详解】解：原式． 12．若有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，结合本题结构列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】要使有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， 可得， 解得：． 13．若单项式与的和仍是单项式，则m的值是________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了同类项定义，熟练掌握同类项定义，是解题的关键．两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴它们是同类项， ∴， 解得：． 故答案为：3． 14．命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 假 【分析】根据命题真假的判定规则，若存在满足题设条件但不满足结论的实例，即可判定该命题为假命题．只需举出反例即可完成判断． 【详解】解：当时，满足条件，此时，不满足结论， 因此原命题是假命题． 15．如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 【答案】 【分析】先计算正六边形的内角，再利用平行四边形的对角相等得到，根据图形即可求出的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ， 四边形是平行四边形，， ， ． 16．如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【分析】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【详解】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则____． 【答案】72 【分析】作，根据等腰三角形的性质可求出，，结合轴，点的坐标为，求出，，根据平移的规律可得：坐标变为，点坐标变为，利用反比例函数图像上点的坐标特征列方程求出，进而求出平移后点的坐标，即可求解． 【详解】解：作， ，且， ， 由勾股定理可得：， 轴，点的坐标为， ，， 点、向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为， 平移后点、在反比例函数图象上， ， 解得：， 平移后点的坐标为， ． 18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，过点作交延长线于点，点为中点，连接，连接交于点，连接．若四边形是平行四边形，则： （1）的度数为________； （2）________． 【答案】 /30度 【分析】（1）先证明四边形是菱形，得出，进而得出，则，根据，即可得出； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，设，则，，证明，根据相似三角形的性质，分别求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴ ∵点为中点， ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； （2） 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为 ∴ ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∵， ∴ 在中， 设，则， ∴， ∵中，是的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：. 20．（8分）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： ． 把代入，得． 21．（10分）如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，由中点的定义得，由对顶角相等得，即可由证明； （2）由勾股定理求出，由中点的定义得，再由勾股定理求出，由（1）中，得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，， ∴， 由（1）知， ∴． 22．（10分）为奋力落实好“健康第一”的理念，学校决定进一步丰富同学们大课间的活动内容，每个同学都能从足球、篮球和羽毛球三个社团中任意选择一个参加活动．甲、乙、丙三名同学各随机选择了一个社团，而且选择的社团均不相同． (1)甲同学选择羽毛球社团的概率是______． (2)求甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画树状图求解即可． 【详解】（1）解：甲同学选择羽毛球社团的概率为：， （2）解：设足球社团为A，篮球社团为B，羽毛球社团为C， 根据题意画树状图如下： 一共有6种等可能的结果，其中甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球有1种， 故甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球的概率． 23．（10分）2026年2月，教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求加强学校劳动教育工作，实施劳动习惯养成计划．为落实政策，某校从七、八年级各随机抽取40名学生开展“学生周劳动时间”问卷调查，并对调查结果进行整理、描述、分析，部分信息如下． 七、八年级调查数据统计表 年级 中位数 众数 平均数 七年级 2 八年级 2 (1)在调查数据条形图中，七年级劳动时间为3小时的有__人，并补全条形图；统计表中__，__． (2)若八年级有400名学生，请估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数． (3)该校七年级学生和八年级学生一周参与劳动时间相比，哪个年级学生劳动时间更长？结合统计数据说明理由． 【答案】(1)10；见解析；2；1， (2)240名 (3)七年级学生劳动时间更长，理由见解析 【分析】（1）根据抽取的人数可求出第一空的答案，进而可补全统计图；再根据中位数和众数的定义求出a、b的值即可； （2）用400乘以样本中八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数占比即可得到答案； （3）根据七年级的中位数和平均数都大于八年级的可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，七年级劳动时间为3小时的有人； 补全统计图如下： 把七年级的40名学生的劳动时间按照从低到高的顺序排列，中位数为第20个数据和第21个数据的平均数， ∵， ∴第20个数据和第21个数据均为2小时， ∴七年级的中位数为小时，即； 八年级劳动时间为2小时的占比为， ∴八年级劳动时间为1小时的人数最多， ∴八年级的众数为1小时，即； （2）解：名， 答：估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数为240名； （3）解：七年级学生劳动时间更长，理由如下： 两个年级学生劳动时间的中位数相同，但七年级学生劳动时间的平均数和众数均高于八年级， ∴七年级学生劳动时间更长． 24．（10分）如图，在平行四边形中，是其对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，在边上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意作出的角平分线和线段，连接，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，根据三线合一得出，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图所示，： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ，平分， ， ∴， ∴四边形是矩形． 25．（10分）如图，已知在中，为直径，点为圆上一点，且点为弧的中点，过点作平行于交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意得，证明，推出，易证四边形为平行四边形，结合，即可证明结论； （2）连接，延长交的延长线于点．勾股定理求出，证明，推出，利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 点是弧的中点， ． ， ， ， ． 又， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． （2）解：如图，连接，延长交的延长线于点． 为直径， ，， ，， ． ∵， ∴ ， 又，， ∴， ， ， ， 在中，． 26．（10分）如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米． (1)求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，） (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，） 【答案】(1)小明往摄像头的方向前进2.7米后，将完全进入摄像头的视野盲区 (2)点P到点O的距离至少要为3.36米 【分析】（1）利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解； （2）过点B作，垂足为F，利用矩形的性质结合解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，记直线与交于点E， 由题意可得四边形和都是矩形． ，， ． 在中，，， , ，， ， 在中，，， ， 米，， ， ， 则小明往摄像头的方向前进米后，将完全进入摄像头的视野盲区． （2）解：如图，过点B作，垂足为F， 由题意可得，四边形为矩形． 且， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ，， ， ，， ， ∴点P到点O的距离至少要为米． 27．（10分）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、二次函数的最值问题、直线方程的应用以及几何图形中的线段关系分析． （1）根据抛物线的顶点坐标设顶点式，将代入即可解答； （2）①设，过点作轴交于点，经分析，线段，根据可得当时，有最大值，从而得到线段的最大值；②经分析，，结合图形，求出交点的横坐标为，故，代入可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，即； （2）解：①由（1）知， 设直线的解析式为， 将，代入得：，解得， 直线的解析式为， 设，过点作轴交于点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为； ②由①知，，， 延长交于点， ，， ，则 为等腰直角三角形， ， ， ， 把代入直线的解析式， 可得交点的横坐标， 轴， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 28．（10分）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 (1)连接，直线分别交于点E、G，交于点，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）证明，得到，由勾股定理得，则； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接，延长交于， ∵O为矩形的中心， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接， ∵， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴ 如图所示，当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， ∴． ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂×1【11/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一 选择题（每小题3分，共30分） 1.[A]IBIICIIDI 5.1AIIBIIC]ID] 9.AIIBIICIID] 2.[AIIBIICIIDI 6.IAIIBIICIID] 10.IA]IBIICI[D] 3.IAlIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.[A1[BIICIIDI 81AI[BI[CIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 13. 15. 16 17 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(8分) 20.(8分) 21.(10分) F B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 23.(10分) 七年级调查数据条形图 八年级调查数据扇形图 人数 20 4小时 15 15% 15 1小时 10 3小时 10 40% 209% 5 2小时 0 1小时2小时3小时4小时劳动时间 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) D B 25.（10分) E D E D ⊙ 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) D P 0 (A)M (A)M ① D B N'O' B NO' 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) YA YA E B B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(10分) A A E e D B B C 图1 ☒3 (备用图) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 7 8 9 10 B 0 A B B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.aa+2)(a-2)12.x>3 13.314.假 15.15 16. 17.72 18.30°30度 9 三、解答题（本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(8分) 【解析】(1)解：x2-4x+3=0, x-1(x-3=0, ∴.x-1=0或x-3=0, 解得：x=1,x2=3;(4分) [2x-3<1① (2)解： x-1,② 2 解不等式①，得x<2, 解不等式②，得-1>x, .不等式组的解集为：x<-1.(8分) 20.(8分) 【解析】解： x2-4 r2+2x+1 =1+x+1.(x+2x-2) x+1x+)2 1/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =x+2 (x+12 x+1 中r+2)(x-2】 =x+l x-2 把x=4代入+1， x2子415《8分 4-22 21.(10分) 【解析】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, .∠BAC=∠DCA, ,点O是AC的中点， ∴.A0=C0, 在△A0E和△COF中， ∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF ∴.△AOE≌△COF(ASA);(5分) (2)解：AC⊥CD,CD=DF=3,AD=5, .在Rt△ACD中，AC=VAD2-CD2=V52-32=4, 点O是AC的中点， 0c-54c=2 在Rt△OCF中，CF=CD+DF=6,OC=2, ∴.0F=√0C2+CF2=V22+62=2V10, 由(1)知△A0E≌△C0F, ∴.0E=0F=2V10.(10分) 22.(10分) 【解析】1)解：甲同学选泽羽毛球社团的概率为：}(3分) (2)解：设足球社团为A,篮球社团为B,羽毛球社团为C, 根据题意画树状图如下： 2/11 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 开始 甲 A B C 乙BC A B 丙C B CA B A 一共有6种等可能的结果，其中甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球有1种， 故甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球的概率二.(10分) 23.(10分) 【解析】(1)解：由题意得，七年级劳动时间为3小时的有40-10-15-5=10人；(1分) 补全统计图如下： 七年级调查数据条形图 人数 20--- ---------------- 15 15 10 10 (3分) 10 5 J 0 1小时2小时3小时4小时劳动时间 把七年级的40名学生的劳动时间按照从低到高的顺序排列，中位数为第20个数据和第21个数据的平 均数， .10<19<20<10+15=25, ∴.第20个数据和第21个数据均为2小时， 、七年级的中位数为2+2=2小时，即a=2:(4分) 2 八年级劳动时间为2小时的占比为1-40%-20%-15%=25%， ∴.八年级劳动时间为1小时的人数最多， .八年级的众数为1小时，即b=1；(5分) (2)解：400×1-40%)=240名， 答：估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数为240名；(7分) (3)解：七年级学生劳动时间更长，理由如下： 两个年级学生劳动时间的中位数相同，但七年级学生劳动时间的平均数和众数均高于八年级， .七年级学生劳动时间更长.(10分) 24.(10分) 3/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】(1)解：如图所示，： D (3分) B (2)证明：四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,AB∥CD, .BE∥DF, CF=AE AB-AE=CD-CF,即BE=DF, ∴.四边形BFDE是平行四边形， :AD=BD,DE平分∠ADB, ED⊥AB, ∴.∠DEB=90°， ∴.四边形BFDE是矩形.(10分) 25.(10分) 【解析】(1)证明：如图，连接AD. D B 点D是弧BC的中点， :∠CAD=∠BAD. 0A=0D, .∠BAD=∠ADO, :LCAD=∠AD0, OD∥AE. 又：DE∥AB, ·四边形AODE为平行四边形. :0A=0D, 4/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :四边形AODE为菱形.(5分) (2)解：如图，连接AD,延长AC交BD的延长线于点F, :AB为直径， E ∠ACB=90°，∠ADB=90°， :AC=8,BC=6, ..AB=AC2+BC2 =10 ,∠ADB=90°， .∴.∠ADE=∠ADB=90°， 又：∠CAD=∠BAD,AD=AD, .△ADE≌△ADB(ASA, AF AB 10, :AC=8, CF=2, :在RtoBCF中，tan∠CBD=CF-2_1 CB63·(10分) 26.(10分) 【解析】(1)解：如图，记直线MM'与00'交于点E, (A)M B N'O 由题意可得四边形MNO'E和MNO'E都是矩形. :00'=2.8m,MN=MN'=1.8m, .OE 1m 在Ri△0EM'中，tan∠MOE=ME ∠B00'=22°， OE 5/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :ME=OE.tan.∠MOE, :OE=lm,tan∠MOE= 2 .M'E=二m, 5 在RtOEM中，tan∠MOE=ME OE ∠M0E=50°+22°=72°， ME=OE.tan∠MOE, :OE=1米，tan∠MOE= 31 10, ME= -m, 10 六MM'=ME-ME=32-27=2.7m, 10510 则小明往摄像头的方向前进2.7米后，将完全进入摄像头的视野盲区△0B0'.(4分) (2)解：如图，过点B作BF⊥OP,垂足为F, D F (A)M M D C B NO 由题意可得，四边形BO'OF为矩形 00'=BF且00'∥BF, 00'=2.8m, .BF=2.8m, :∠B00'=22°， .∠0BF=22°， 在Rt△BOF中，BF=2.8m,∠0BF=22°， 228 ∴.OF=BF.tan∠OBF=2.8x m, 525 在Rt△BPF中，∠BFP=90°，∠BPF=50°， ∠PBF=40°， :BF=2.8m,∠PBF=40°， PF=BF.tan/PBF-2.8x4-56 525m, 6/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .PF= 5m,0F= 56 2 25, :OP=PF+0p=56+28-84=3.36ml, 252525 .点P到点O的距离0P至少要为3.36米.(10分) 27.(10分) 【解析】(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4, 将A-3,0代入得：0=a(-3+1+4, 解得a=-1, :抛物线的解析式为y=-(x+1)+4,即y=-x2-2x+3;(2分) (2)解：①由(1)知C(0,3), 设直线AC的解析式为y=x+b, [-3k+b=0 「k=1 将A-3,0,C(0,3)代入得： 6-3，解得6=3 :直线AC的解析式为yx3, 设Pt,-2-2t+3,过点P作P01x轴交AC于点Q(,t+3), xP0=(-2-21+3)-t+3)=-2-3t, 图2 :0A=0C=3, :△AOC为等腰直角三角形， ∠AC0=45°， PQ⊥x,OC⊥AB, ∴.P9∥CO, ∠PQE=∠AC0=45°， :PE⊥AC, 7/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 “PEQ为等腰直角三角形， PEPOsipo. 2 329 P0=-f-3=1+2+4 当t=- 时，P四有故大位子 PE的最大值为2x99 -X- :(6分) 248 ②由①知V2PE=PQ,Pt,-t-2t+3,Q(t,1+3), 延长FE交PQ于点G, x:Pg∥C0,EF⊥y, 图3 EG⊥PQ,则yE=yG △PEQ为等腰直角三角形， :PG =0G .--2t+3-y6=y%-(t+3), -12-t+6 yE=yG= 2 把：=-，1+6代入直线4C的解析式yx3, 2 可得交点E的横坐标xε= -t2-t 2 EF⊥y轴， .EF=-XE= 2+t 2 w=2PE+EF=--3++t=--51=- 2 25 22 t+2 22 8/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3<-5 <0, :当：=-多时，w取得最大值，最大值为名、(10分) 25 28.(10分) 【解析】(1)解：：正方形ABCD的对角线相交于点O, ∴.OA=OC,AB CD,∠BCD=90°， .∠0AE=∠0CG,∠0EA=0GC, .∴.aOAE≌a0 CG(AAS, ∴.AE=CG, 在Rt△CFG中，由勾股定理得CF2+CG2=FG2, ∴.CF2+AE2=FG;(2分) (2)解：AE2+CF2=EF2,证明如下： 如图所示，连接AC,延长EO交DC于E, D A 、O E B C ,O为矩形ABCD的中心， ∴.A0=C0,AB∥CD,∠BCD=90°， ..ZBAC ZACE' 又，∠AOE=∠COE', ∴.△AOE≌△COE'ASA, .AE=CE',E0=E'0, 又，矩形A,B,CO, .0E⊥OF, ∴.FO垂直平分EE', ∴.EF=E'F, 在Rt△FCE'中，由勾股定理得CE2+FC2=E'F2, .AE2+CF2=EF2;(5分) 9/11 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解：如图所示，当点E在AC上时， 过点B作BM∥AC,交ED的延长线于点M,连接FM, A M BM∥AC, ∴.∠C+∠CBM=180°，∠EAD=∠MBD, ∠ADE=∠BDM,AD=BD,∠C=90°， ∴.△AED≌△BMD(ASA,∠CBM=90°， ∴.ED=DM,AE=BM, .∠EDF=90°， ∴.直线DF是线段EM的垂直平分线， ∴.EF=FM, 在RtABFM中，由勾股定理，得BF2+BM2=FM2, .BF2+BM2=EF2 .AC=3cm,BC=4cm,AE 2cm, .CE =1cm AE BM 2cm, 设CF=xcm,则BF=(4-x)cm, 由勾股定理得EF2=CE2+CF2=BF2+BM2, .12+x2=22+(4-x2, 19 .x= 8 CF=19 m 8 CE-CF-1 -cm2 1 如图所示，当点E在CA的延长线上时， 过点B作BN∥AC,交ED的延长线于点N,连接FN, 10/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E D F B N .BN∥AC,∠ACB=90°， ∴.∠ACB=∠NBF=90°，∠EAD=∠NBD, ∠ADE=∠BDN,AD=BD, ∴.△AED≌△BND(ASA), ∴.ED=DN,AE=BN, ,∠EDF=90°， ∴.直线DF是线段EN的垂直平分线， ∴.EF=FN, 由勾股定理，得BF2+BN2=FN2, ∴.AE2+BF2=EF2. .AC=3cm,BC=4cm,AE 2cm, .'CE 5cm AE BN 2cm, 设CF=xcm,则BF=(4+xcm, 由勾股定理得EF2=CE2+CF2=BN2+BF2, .x2+52=(4+x)2+22, 5 16cm, S.CEF=CE.CF=25 76cm'或25。 综上所述，△CBF的面积为。 我76cm2。(10分) 11/11 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 2．下列是几种著名的数学曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线 C．三叶玫瑰线 D．卡西尼卵形线 3．年月日，国家统计局发布《年国民经济和社会发展统计公报》初步核算，全国国内生产总值亿元，成功迈进万亿元的新台阶，这一成绩充分展现了我国经济的强大韧性与活力．数据用科学记数法表示（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．小亮在处理一组数据“，，，，”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（  ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 7．为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 9．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 10．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解：________ 12．若有意义，则x的取值范围为_____． 13．若单项式与的和仍是单项式，则m的值是________． 14．命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 15．如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 16．如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则____． 18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，过点作交延长线于点，点为中点，连接，连接交于点，连接．若四边形是平行四边形，则： （1）的度数为________； （2）________． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 20．（8分）先化简，再求值：，其中 21．（10分）如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（10分）为奋力落实好“健康第一”的理念，学校决定进一步丰富同学们大课间的活动内容，每个同学都能从足球、篮球和羽毛球三个社团中任意选择一个参加活动．甲、乙、丙三名同学各随机选择了一个社团，而且选择的社团均不相同． (1)甲同学选择羽毛球社团的概率是______． (2)求甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球的概率． 23．（10分）2026年2月，教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求加强学校劳动教育工作，实施劳动习惯养成计划．为落实政策，某校从七、八年级各随机抽取40名学生开展“学生周劳动时间”问卷调查，并对调查结果进行整理、描述、分析，部分信息如下． 七、八年级调查数据统计表 年级 中位数 众数 平均数 七年级 2 八年级 2 (1)在调查数据条形图中，七年级劳动时间为3小时的有__人，并补全条形图；统计表中__，__． (2)若八年级有400名学生，请估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数． (3)该校七年级学生和八年级学生一周参与劳动时间相比，哪个年级学生劳动时间更长？结合统计数据说明理由． 24．（10分）如图，在平行四边形中，是其对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，在边上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：四边形是矩形． 25．（10分）如图，已知在中，为直径，点为圆上一点，且点为弧的中点，过点作平行于交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，，若，，求的值． 26．（10分）如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米． (1)求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，） (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，） 27．（10分）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 28．（10分）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 (1)连接，直线分别交于点E、G，交于点，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 2．下列是几种著名的数学曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线 C．三叶玫瑰线 D．卡西尼卵形线 3．年月日，国家统计局发布《年国民经济和社会发展统计公报》初步核算，全国国内生产总值亿元，成功迈进万亿元的新台阶，这一成绩充分展现了我国经济的强大韧性与活力．数据用科学记数法表示（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．小亮在处理一组数据“，，，，”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（  ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的发展和进步，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何组合体．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元/，则买油毡纸要花费的费用至少为（   ） A．8.4元 B．17元 C．34元 D．50元 7．为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 9．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 10．函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点，是抛物线上不同的两个点，当时，； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．因式分解：________ 12．若有意义，则x的取值范围为_____． 13．若单项式与的和仍是单项式，则m的值是________． 14．命题“若，则”是______命题（填“真”或“假”）． 15．如图，的顶点在正六边形的边上，，则______． 16．如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则____． 18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，过点作交延长线于点，点为中点，连接，连接交于点，连接．若四边形是平行四边形，则： （1）的度数为________； （2）________． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）解方程和不等式组 (1)解方程：； (2)解不等式组： 20．（8分）先化简，再求值：，其中 21．（10分）如图，在平行四边形中，，点O是的中点，过点O的直线分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（10分）为奋力落实好“健康第一”的理念，学校决定进一步丰富同学们大课间的活动内容，每个同学都能从足球、篮球和羽毛球三个社团中任意选择一个参加活动．甲、乙、丙三名同学各随机选择了一个社团，而且选择的社团均不相同． (1)甲同学选择羽毛球社团的概率是______． (2)求甲同学选择篮球、乙同学选择足球、丙同学选择羽毛球的概率． 23．（10分）2026年2月，教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求加强学校劳动教育工作，实施劳动习惯养成计划．为落实政策，某校从七、八年级各随机抽取40名学生开展“学生周劳动时间”问卷调查，并对调查结果进行整理、描述、分析，部分信息如下． 七、八年级调查数据统计表 年级 中位数 众数 平均数 七年级 2 八年级 2 (1)在调查数据条形图中，七年级劳动时间为3小时的有__人，并补全条形图；统计表中__，__． (2)若八年级有400名学生，请估计八年级学生一周参与劳动时间不低于2小时的人数． (3)该校七年级学生和八年级学生一周参与劳动时间相比，哪个年级学生劳动时间更长？结合统计数据说明理由． 24．（10分）如图，在平行四边形中，是其对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点，在边上截取线段，连接；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：四边形是矩形． 25．（10分）如图，已知在中，为直径，点为圆上一点，且点为弧的中点，过点作平行于交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，，若，，求的值． 26．（10分）如图1，小明家在天花板上的点O处安装了一个智能监控摄像头（将摄像头视为一个点），某一时刻，竖直站立在地面上的小明位于图中所示的位置（将小明视为线段），摄像头的视角上限恰好经过小明的头顶M点，摄像头的视角下限交地面所在直线于点B，若摄像头吊装离地距离米（垂直于地面所在直线），其视角，摄像头的视角下限与形成的夹角，小明身高为1.8米． (1)求小明往摄像头的方向前进多少米后，将完全进入摄像头的视野盲区（参考数据：，） (2)如图2，为解决摄像头盲区问题，小明家打算在平行于地面所在直线的天花板上的点P处加装一个同款摄像头，使得新摄像头的视角完全覆盖（1）中的视野盲区（），则点P到点O的距离至少要为多少米？（参考数据：，） 27．（10分）平面直角坐标系中，如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，点是抛物线上，两点之间的一动点． (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点． ①求线段的最大值； ②如图3，过点作轴于点，设，求的最大值． 28．（10分）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 (1)连接，直线分别交于点E、G，交于点，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 12 13. 14. 15 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(8分) 20.(8分) 21.(10分) F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 23.(10分) 七年级调查数据条形图 八年级调查数据扇形图 人数 20 4小时 15 15 15% 1小时 10 3小时 10 409% 20% 5 5 2小时 0 1小时2小时3小时4小时劳动时间 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) D A B 25.(10分) E D D B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) D P (A)M M (A)M M B N'O' N B N'O 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) V YA B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 28.(10分) AA B 图1 (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！