精品解析：山东济南市莱芜区2025-2026学年第二学期诊断性测试八年级数学试题

2025－2026学年度第二学期诊断性测试八年级数学试题 注意事项： 1.本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2.答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3.答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4.本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列式子中，是的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 在Rt中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 4. 若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为6，则的值为（　　） A. B. 12 C. D. 6 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为12，则的值为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 已知为锐角，，则________． 12. 如图，某堤坝的横截面是梯形，若坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长为_____． 13. 定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 14. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在第二象限，且，，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为_____． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE =_____． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的长． （3）记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 18. 将含角和含角的两个直角三角形拼成如图所示的大三角形．已知，，求的长． 19. 近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时30海里的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，2小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛的最近距离． （结果精确到0.1海里，参考数据：） 20. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 21. 如图，已知反比例函数与直线交于点，，点是轴上的一点，连接． （1）求反比例函数表达式； （2）若，求点的坐标； （3）直接写出的解集． 22. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 23. 如图，已知，，，，是轴上的点，且，分别过点，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，过点作于点，过点作于点，记的面积为的面积为的面积为．求： （1）_____，_____； （2）_____； （3）求． 24. 【知识再现】 如图①，在中，，，，的对边分别为． ， ， ， 【拓展探究】 （1）如图②，在锐角中，，，的对边分别为，，．请探究，之间的关系，并写出探究过程； 【解决问题】 （2）如图③，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离． 25. 如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并求出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； （3）是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期诊断性测试八年级数学试题 注意事项： 1.本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2.答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3.答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4.本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列式子中，是的反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式为，也可变形为 ，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是正比例函数，该选项不符合题意； B．是二次函数，该选项不符合题意； C． 变形可得，是反比例函数，该选项符合题意； D． 不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 2. 在Rt中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴． 3. 对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、第四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，故选项正确，选项错误； ∵， ∴图象经过点，故选项正确． 4. 若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各点纵坐标代入反比例函数解析式，求出对应的横坐标，再比较大小即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∵， ∴． 5. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为6，则的值为（　　） A. B. 12 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】图所示，连接，再根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的三个顶点都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数，由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，进而根据正切的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：． 7. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 8. 如图，在中，于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，得出即可求解． 【详解】解：在中， ∵， ， ， ， ， ． 9. 如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，，， ∴在和中，， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：，则， ∴． 10. 如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为12，则的值为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】过M点作，垂足为，根据比例系数k的几何意义可得，由三角形中线的性质可得，进而得出，再由，可列出方程求解． 【详解】解：过M点作，垂足为， ∵的中点为，， ∴， ∴， ∵反比例函数解析式为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得（经检验符合题意）． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 已知为锐角，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解：∵a为锐角，且， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角度，正确记忆特殊角三角函数值是解题的关键． 12. 如图，某堤坝的横截面是梯形，若坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点A作于点F，结合坡度以及特殊角度，分别计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：过点A作于点F，如下图： ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵的坡度为， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，再结合新定义求解即可． 【详解】解： ． 14. 在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在第二象限，且，，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，，可得，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，证得，根据相似三角形的性质得，设，求出，，利用反比例函数上点的坐标特征解决问题即可． 【详解】解：∵，， ， 过点A作轴于点M，过点B作轴于点N， ，， ， ， ∴， ， 设， ，， ，， ， 点B恰好在反比例函数的图象上， ． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE =_____． 【答案】3 【解析】 【分析】证明∠CEF=∠CFE得到CE=CF，过点F作FH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到FC=FH，设FH=x，根据tanB＝求出BC=8，，根据勾股定理求出FB=， 得到，解之即可得到答案． 【详解】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°， ∴∠ACD=∠B， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAE=∠BAF， ∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAF， ∵∠CEF=∠ACD+∠CAE，∠CFE=∠B+∠BAF， ∴∠CEF=∠CFE ∴CE=CF， 过点F作FH⊥AB于H， ∵AF平分∠CAB，FC⊥AC，FH⊥AB， ∴FC=FH， 设FH=x， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，tanB＝， ∴BC=8， ∴FC=x，FB=8-x， ∵， ∴， ∴FB=， ∴， 解得x=3， ∴CE=FC=FH=3， 故答案为：3． ． 【点睛】此题考查角平分线的性质，等角对等边的判定，勾股定理，利用锐角三角函数求边长，题中证得CE=FC并引出辅助线解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的长． （3）记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； 【小问3详解】 解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 18. 将含角和含角的两个直角三角形拼成如图所示的大三角形．已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】在中，求解，在Rt中，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：在中， ， ， 在Rt中， ， ∴， ， ． 19. 近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时30海里的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，2小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛的最近距离． （结果精确到0.1海里，参考数据：） 【答案】渔船与小岛C的最近距离约为海里． 【解析】 【分析】过点作于点，则为渔船与小岛的最近距离，设，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点作于点，则为渔船与小岛的最近距离， 由题意得．海里， ，， ， ， 设， 在中，， ， ∴， ， ， 解得海里， 答：渔船与小岛C的最近距离约为海里． 20. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1），A点对应的指标值为20 （2） 解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知反比例函数与直线交于点，，点是轴上的一点，连接． （1）求反比例函数表达式； （2）若，求点的坐标； （3）直接写出的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入，求出点，代入即可得到反比例函数表达式； （2）求出点B的坐标，设交轴于点，先求出，设点的坐标为得到，根据，即可求解； （3）直接根据图象可得答案． 【小问1详解】 解：把点代入得：， ∴点， 把点代入得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把点代入，得：， ∴， ∴， 设交轴于点，如图： 当时，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或6， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点， ∴由图象可得，的解集为或． 22. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 【答案】（1）10米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． 【小问2详解】 解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 23. 如图，已知，，，，是轴上的点，且，分别过点，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，过点作于点，过点作于点，记的面积为的面积为的面积为．求： （1）_____，_____； （2）_____； （3）求． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底×高，即可解答； （2）计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果； （3）利用（2）中规律，裂项求和即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； 【小问2详解】 解：在（1）的基础上，； … ； 【小问3详解】 由（2）得，． 24. 【知识再现】 如图①，在中，，，，的对边分别为． ， ， ， 【拓展探究】 （1）如图②，在锐角中，，，的对边分别为，，．请探究，之间的关系，并写出探究过程； 【解决问题】 （2）如图③，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离． 【答案】（1）； 证明：过点C作于点D，过点A作于点E， 在和中，， ， ， 同理可证：， ； （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作于点D，过点A作于点E，利用正弦定义表示，得到，同理得到，则问题可证； （2）先求出，再利用（1）中结论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 由（1）可知， 即， 解得：． 答：点到点的距离是． 25. 如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并求出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； （3）是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标； （2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离； （3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解． 【小问1详解】 解：点在直线上， ， 解得，即, 点在双曲线上， , 直线与双曲线的交点关于原点对称， 点B是点A关于原点的对称点， ； 【小问2详解】 解：设，过点作轴，过点作轴， 则， 作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接 ，即， ， 的纵坐标为， ， 解得，即， ， ， 两点之间线段最短， 最小，即最小． 此时的周长最小， 周长的最小值； 【小问3详解】 解：设， ，， ， ， ， 分三种情况： 当时，，即， ， 此时， 当时，，即， ，， 此时或 当时，，即 ， 此时， 综上所述，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $