精品解析：山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题

2024—2025学年度第二学期期中考试八年级 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中错误的是（ ） A. 一定是个二次根式 B. 若为有理数，则是它的算术平方根（ ） C. 化简的结果是 D. 若二次根式有意义，则x的取值范围为 3. 把根号外的因式移入根号内，结果（ ） A. B. C. D. 4. 如果，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 顺次连接四边形各边的中点E、F、G、H，若得到的四边形是菱形，则四边形一定满足（ ） A. B. C. D. 6. 若最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 8. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，点P、M分别是和上的动点，且点M与点B、C不重合，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 10. 如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 已知实数a，b在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是________． 12. 若，则________． 13. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为__________． 14. 如图，在中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于点N，，，，则________． 15. 如图，E为边长为6的正方形的对角线上一点，，P为上任意一点，于点Q，于点R，则的值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知实数a，b满足，求的平方根． 19. 如图，正方形的对角线交于点O，点E，F分别在，上，且，，与的延长线交于点M，与的延长线交于点N，连接． 求证：． 20. 已知：，，求下列式子的值： （1）； （2）． 21. 已知：如图，在中，，为的平分线，为的外角的平分线，垂足为点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明． 22. 写作业时，小明被一道题难住了：“若，求的值．”老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式， …… 请你根据老师的提示，解决如下问题： （1）计算：________； （2）若，求的值． 23. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）请写出第6个等式：________； （2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 24. 在四边形中，，，，，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，而另一点也随之停止．设运动时间为． （1）t取何值时，四边形为矩形？ （2）M是上一点，且，t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？ 25. 已知正方形，点M是直线上的一个动点，点N是直线上的一个动点，且满足，连接． （1）如图1，当点M在边上时，求证：； 请根据下面的思路分析填空：延长线段至点E，使得，连接，根据正方形性质和作图可证________，得到，接着可证明________，可得出________，再由线段的加法可以得出； （2）如图2，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上时， ①猜想，，之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想： ②若，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中考试八年级 数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解题关键是利用二次根式的性质化简． 根据最简二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，逐一分析选项即可． 【详解】解：，不是最简二次根式，故A不符合； ，不是最简二次根式，故B不符合； ，不是最简二次根式，故C不符合； 不能化简，它是最简二次根式，故D符合， 故选：D． 2. 下列命题中错误的是（ ） A. 一定是个二次根式 B. 若为有理数，则是它的算术平方根（ ） C. 化简的结果是 D. 若二次根式有意义，则x的取值范围为 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的概念，算术平方根的意义，利用二次根式的性质化简，二次根式有意义的条件，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数非负，但选项未限定a的范围，当a为负数时，无意义，所以不一定是二次根式，故A错误，符合题意； 由算术平方根定义，非负有理数a的算术平方根为，故B正确，但不符合题意； ==，故C正确，但不符合题意； 分母要求，即，故D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简，算术平方根的意义，二次根式的概念，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 3. 把根号外的因式移入根号内，结果（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 可得 ，所以移入括号内为进行计算即可. 【详解】根据根式的性质可得，所以 因此 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的性质，关键在于求a的取值范围. 4. 如果，，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出，，然后根据二次根式的意义，二次根式的性质化简，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，无意义， ∴A的结论不正确； ∵， ∴B的结论正确； ∵， ∴C的结论不正确； ∵， ∴D的结论不正确， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的意义等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键． 5. 顺次连接四边形各边的中点E、F、G、H，若得到的四边形是菱形，则四边形一定满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，解题关键是掌握菱形的判定． 根据菱形的判定，对四个选项逐一分析作出判断． 【详解】解：连接，， ∵点E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，分别是，，的中位线， ∴，，，， ， ∴四边形是平行四边形， 当时，， ∴四边形是菱形， 故选：A． 6. 若最简二次根式与二次根式可以合并，则x的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，最简二次根式，二次根式的加减，解题关键是利用二次根式的性质化简． 先利用二次根式的性质化简，再列出关于的方程求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式与二次根式可以合并， ∴， 解得：， 故选：A． 7. 如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键是利用矩形的性质证明相关线段相等． 根据矩形的性质得到是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选A． 8. 如图，四边形是矩形，直线分别交，，于点E，F，O，下列条件中，不能证明的是（ ） A. 为矩形两条对角线的交点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 由矩形的性质得出 ，再由平行线的性质得出，，然后由全等三角形的判定逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴，， A、∵O为矩形两条对角线的交点， ∴， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； B、在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定， 故此选项符合题意； 故选：D． 9. 如图，在菱形中，，，点P、M分别是和上的动点，且点M与点B、C不重合，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得垂直平分，从而可得，则，当A，P，M三点共线，且时，有最小值，然后在中，进行计算即可解答． 【详解】解：连接，过点A作，垂足为M，交于点P， ∵四边形是菱形， 垂直平分， ， ，当A，P，M三点共线，且时，有最小值， 在中，，， ， ， ， 的最小值是3， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路线问题，勾股定理，含有的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10. 如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据菱形的性质，得出，结合，可得、是等边三角形，从而可得，再根据E，F分别是，的中点，可得，平分，从而可得，，再利用三角形外角的性质求得，由此可判断①； 先利用等腰三角形三线合一，可得，，再利用证明，从而可得，再根据含有直角三角形的性质得出，，从而可得，由此可判断②； 根据中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，由此可判断③； 根据等边三角形的面积等于求出，由此可判断④． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ， ， ∴、是等边三角形， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，平分， ，， ，故①正确； ②∵E，F分别是，的中点，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， 在与中， ， ， ， ∴，， ，故②正确； 中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，故③错误； ∵是等边三角形，， ∴，故④错误． 综上可得①②正确，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，，三角形外角的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并 熟练运用求解． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 已知实数a，b在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴知，进而可判断及的符号，从而可对绝对值及二次根式进行化简，最后可求得化简后的结果． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查偶数次方和算术平方根的非负性，掌握非负数相加等于0，那么每个数都等于0是关键． 根据非负数的性质可得m，n的值，进而即可求解． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为． 13. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点F，垂足为点E，若，那么的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 由是线段的垂直平分线得到，继而证明，由菱形的性质结合等腰三角形的性质解得，最后由解答． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于点N，，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 15. 如图，E为边长为6的正方形的对角线上一点，，P为上任意一点，于点Q，于点R，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，利用三角形的面积求出等于点到的距离是解题的关键． 连接，设点到的距离为，然后根据，求出，再根据正方形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接，设点到的距离为， 则， 即， ， ， 正方形的边长为6， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先去括号后，根据二次根式的加减混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的性质，二次根式减法法法则计算，最后合并即可； （）先由二次根式有意义的条件得出，，然后根据二次根式乘除法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴原式 ． 18. 已知实数a，b满足，求的平方根． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的非负性、平方根的定义，根据非负性求得b的值是关键． 根据算术平方根的非负性求出a、b的值，根据平方根的概念解答． 【详解】解：，， ， ； ， ， ， ， ． 19. 如图，正方形的对角线交于点O，点E，F分别在，上，且，，与的延长线交于点M，与的延长线交于点N，连接． 求证：． 【答案】 证明：四边形是正方形， ，，， ， ，， ， 即：． ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，，，从而得到，，可证明，即可求证． 【详解】略 20. 已知：，，求下列式子的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）将x，y的值代入后，根据分母有理化进行计算即可； （2）将所求式子变形为，代入后运用完全平方公式，平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知：如图，在中，，为的平分线，为的外角的平分线，垂足为点． （1）求证：四边形是矩形； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？并证明． 【答案】（1） 证明：，平分， ，， 平分， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是矩形； （2） 解：当时，四边形是正方形． 证明：，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】（）由等腰三角形的性质得，，进而可得，再由得，根据矩形的判定即可求证； （）当时，可得，即得，再根据正方形的判定即可求证； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，掌握矩形和正方形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 写作业时，小明被一道题难住了：“若，求的值．”老师给予了必要的方法提示：不宜直接代入计算，需要先化简已知式， …… 请你根据老师的提示，解决如下问题： （1）计算：________； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，已知字母的值，求代数式的值，关键是要掌握分母有理化的方法，配方法以及整体代入的思想方法． （1）根据题中给的示例，对分母有理化化简式子即可； （2）先将化简得到，再化简得到，将代入，即可解答． 【小问1详解】 解：． 故答案为： 【小问2详解】 · ． 23. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… 根据上述规律，解答下面的问题： （1）请写出第6个等式：________； （2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2） 解：由题意：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：， …… ∴第个等式为：， 证明如下：， 故结论成立． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式规律题，熟练掌握二次根式的运算法则和找到规律是解题的关键． （1）根据题意写出第6个等式即可； （2）根据前面几个等式猜想规律，再利用二次根式的运算法则进行证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意得到第4个等式为：， 第5个等式为：， 第6个等式为：， 故答案为： 【小问2详解】 略 24. 在四边形中，，，，，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，而另一点也随之停止．设运动时间为． （1）t取何值时，四边形为矩形？ （2）M是上一点，且，t取何值时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）； （2）当或3时，以A，E，F，M为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查矩形判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）当时，四边形为矩形，列出方程即可解决问题； （2）分两种情形列出方程即可解决问题． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：①当点F在点M左侧时，四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ； ②当点F在点M右侧时，四边形是平行四边形， ， ，，， ． ， ， 综上所述，当或3时，以A，E，F，M为顶点的四边形是平行四边形． 25. 已知正方形，点M是直线上的一个动点，点N是直线上的一个动点，且满足，连接． （1）如图1，当点M在边上时，求证：； 请根据下面的思路分析填空：延长线段至点E，使得，连接，根据正方形性质和作图可证________，得到，接着可证明________，可得出________，再由线段的加法可以得出； （2）如图2，当点M在边的延长线上，点N在的延长线上时， ①猜想，，之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想： ②若，，求． 【答案】（1），，； （2） ①，证明如下： 如图2所示，在上截取． 四边形是正方形， ，． ， 又， ， ，， ， 即， ， ． ， ， ． ，， ； ②． 【解析】 【分析】（1）如图所示，延长线段至点E，使得，连接，根据正方形性质和作图可证，得到，接着可证明，可得出，再由线段的加法可以得出； （2）①如图所示，在射线上截取，然后仿照①证明出，由此即可得到结论；②根据正方形的性质求出，，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 （1）证明：如图所示，延长线段至点E，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，，． 【小问2详解】 ①略 ②如图2所示，四边形是正方形． ，， ， ，， ，， 设，则． 在中，由勾股定理得， 则， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确利用截长补短模型作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $