专题9 二次函数综合之角相关的存在性问题（5大题型专项突破）2026年中考数学第二轮专题复习

专题9 二次函数综合之角相关的存在性问题 （5大题型专项突破） 【题型1 二次函数综合之角相等的存在性问题】..............................................................................................1 【题型2 二次函数综合之角的倍数关系存在性问题】......................................................................................2 【题型3 二次函数综合之角互余的存在性问题】..............................................................................................4 【题型4 二次函数综合之多角和差存在性问题】..............................................................................................4 【题型5 二次函数综合之特殊角的存在性问题】..............................................................................................4 题型1 二次函数综合之角相等的存在性问题 一、核心解题思路 角相等的本质是构造全等、相似三角形，或利用平行线、对称、等腰三角形等几何模型，把角的关系转化为边或斜率的关系。 1.分析已知角：先明确已知角的顶点、两边，计算其三角函数值（如正切值），或找到它的余角、补角、对称角。 2.构造等角模型： · 模型1：平行线模型（两直线平行，同位角/内错角相等）； · 模型2：对称模型（角关于某条直线对称，对称后的角与原角相等）； · 模型3：等腰三角形模型（等腰三角形两底角相等）； · 模型4：相似/全等三角形模型（对应角相等）。 3.列方程求解：根据构造的模型，利用斜率相等、距离公式、三角函数值相等列方程，求解动点坐标。 二、关键解题技巧 1.优先算正切值：已知角的正切值tanα=对边/邻边，构造等角时，只需让新角的正切值与原角相等即可，计算非常直接。 2.对称法简化：若已知角关于某条直线对称，可先求出对称直线的解析式，再联立二次函数求交点。 3.分类讨论：等角可能在已知角的同侧或异侧，需要分别讨论，避免漏解。 【例1】已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点P的坐标为 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设直线 为 ，代入 ， ，求得直线 的解析式为 ，要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上，分两种情况讨论即可； （3）设，，由题意可知，作轴于M则，，中直角边满足​或，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意知抛物线经过，，， 则解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线 为 ， 代入 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 要使 ，点 必在过点 且平行于 的直线 上，或者在与 关于 对称的直线 上， 情况一：点 必在过点 且平行于 的直线 上， 过点 作 设直线 为 代入 得 直线 的解析式为 联立直线 与抛物线： 解得或4， 当时，， 则， 情况二：在与 关于 对称的直线 上， 则直线 的解析式为 ， 联立直线 抛物线：，即， ，方程无解， ∴点 的坐标为 ； （3）解：设，， 由题意可知， 作轴于M则 ， ∵， 且，，， ∴中直角边满足 ​或，； ①     ，解得(舍) 或，​     代入得 ​， ② 解得， ， ， ∴点Q的坐标为或． 【变式1-1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【变式1-2】抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)， 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点D，求出直线的解析式为，得到，设，则，则，即可求解； （3）求出直线的表达式为，将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，得到，进一步得到，联立上式和直线的表达式得，得到点，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点Q作轴于点D，如图： 当时，，即， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4，此时； （3）解：设直线的表达式为：， 把，代入得：， 解得： ， ∴直线的表达式为：， 将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位， 则， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：或（舍去）， ∴点， 当点M在下方时，如图，此时点的位置为， ∵， ∴， 则直线的表达式为：， 联立和新抛物线的表达式得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴； 当点M在上方时，令点关于直线的对称点为，作直线交新抛物线于， 由轴对称的性质可得， ∴，即点即为所求，且点和点的中点在直线上，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立和新抛物线的表达式得， 解得：或（不符合题意，）， ∴； 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数的平移等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法，求得二次函数解析式即可解答； （2）表示出平移后的抛物线解析式，将代入求解，再两种情况讨论即可； （3）过点作于点，作交于点，可得，求得点，再将沿翻折得到，延长交与点，求出另一个点即可． 【详解】（1）证明：把点代入，得， ， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点； （2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得或， 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意； ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在， 令， 解得， ， ， ∴直线l为直线， 作点关于直线l的对称点B， ， 如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 此时， 如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点， 根据翻折可得， 过点作于点，延长交于点， 根据翻折可得，，， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则，，，， 可得， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 综上，点或时，． 题型2 二次函数综合之角的倍数关系存在性问题 一、核心解题思路 角的倍数关系（如β=2α），核心是利用二倍角公式的几何模型，把倍角转化为等角来处理。 1.分析已知角α：先计算α的三角函数值，尤其是正切值tanα。 2.构造倍角模型： · 模型1：等腰三角形外角模型（等腰三角形的外角等于底角的2倍，即β=2α）； · 模型2：角平分线模型（若β=2α，则α是β的角平分线分成的角）； · 模型3：二倍角三角函数模型 3.列方程求解：根据构造的模型，求出倍角所在直线的斜率，再联立二次函数求交点。 二、关键解题技巧 1.外角模型最通用：在已知角的一边上构造等腰三角形，使外角等于已知角的 2 倍，把倍角问题直接转化为等腰三角形问题，避免复杂的三角函数计算。 2.注意方向：倍角可能在已知角的顺时针或逆时针方向，需要分别讨论两种情况。 3.特殊角优先：若已知角是30°、45°、60° 等特殊角，可直接写出倍角（60°、90°、120°）的三角函数值，简化计算。 【例2】抛物线过点，顶点为P，与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点P的坐标； (2)若点D在抛物线上且，求点D的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)；顶点的坐标为； (2)或； (3) 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标为，在线段上取点，使，此时，求得，则，分点在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线的解析式，联立解一元二次方程即可求解； （3）根据相似三角形的性质可得，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，证明，求得点的坐标为，求得直线的解析式，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴, ∴； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：在中，当时，则， 解得或， ∴点的坐标为， ∴； 如图所示，在线段上取点，连接，使得，则， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， 如图所示，当点在轴上方时，设直线交轴于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则， ∴ ∴直线的解析式为， 联立，解得或 ∴点的坐标为； 如图所示，当点在轴下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则， ∴ ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标； 综上，点的坐标或； （3）解：∵， ∴， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标． 【变式2-1】抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令，求出x的值，从而求得点B的坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，设，由勾股定理和两点间距离公式得出的长度，和的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当N为直角顶点时，利用勾股定理求得t的值，即可求得点N的坐标； （3）延长交y轴于F，在上取点E，使，设，则， 利用勾股定理列出方程求得t的值，即可得到，，通过角度和差关系及等边对等角可得到点F的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，最后联立抛物线解析式即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，，解得：（舍），， ∴． （2）解：∵对称轴， ∴设， ∵，， ∴，，， ①当A为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ②当C为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ③当N为直角顶点时，， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：如图，延长交y轴于F，在上取点E，使， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标是， 点A的坐标是、点F的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， ∴直线的解析式是， 联立，解得：（舍），， ∴点D的坐标是． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，再将代入得出c的值即可； （2）设，则，分两种情况：①当P在直线的下方时，如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设点C关于对称轴的对称点为E，则，验证，可得点P与点E重合；当P在直线的上方时，作点P关于的对称点，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求解； （3）在上取一点F，使得，得出，在上取一点G，使得轴，垂足为B，则，作B关于的对称点，连接交于点T，根据轴对称的性质得当M在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法计算出，进而计算出，再证，根据即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即， ， 将代入，得：， 解得， 二次函数关系式为； （2）解：在中，令，得， 解得或， ，， 当时，， ， ，， 设，则， ①当P在直线的下方时，如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ，， 设点C关于对称轴的对称点为E，则， ， ， ， ，， ， 点P与点E重合， ； 当P在直线的上方时，作点P关于的对称点， ，都是等腰直角三角形，， 点在y轴上，， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，抛物线上存在点P，使，坐标为或； （3）解：如图，在上取一点F，使得， 设，则， 在中，，，， 由，得， 解得， ， ， ， 在上取一点G，使得轴，垂足为B， ， ， 即， 如图，作B关于的对称点，连接交于点T， ， ∴当M在上时取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ，， ∴， 又， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于点E，作轴，交于点F，点M是y轴上一动点，点N是直线上一动点，连接，，．当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点H是新抛物线上一动点，当时，请写出所有符合条件的点H的坐标及其中一种情况的求解过程． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，证明是等腰直角三角形，得，，可知周长，则当最大时的周长最大，设，则，得出，求出当时取得最大，此时的周长最大，此时，作点关于轴的对称点，连接，作原点关于直线的对称点，连接，，分别求出，，求长即可； （3）先求出新抛物线解析式为，设新抛物线与轴交于点R，证明，得出，当点H在轴左侧时，过点R作，交轴于点Q，过点Q作于点S，得出，，利用勾股定理求出，求出直线的解析式为， 则直线的解析式为，与新抛物线解析式联立即可求解；当点H在轴右侧时，设此时H为，利用对称性得出直线的解析式为，与新抛物线解析式联立即可求解． 【详解】（1）解：将、代入抛物线， 得方程组， 解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 令，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴周长， ∴当最大时的周长最大， 设， 则， ∴， ∵二次项次数，对称轴为直线， ∴当时取得最大，此时的周长最大， 此时，即， 作点关于轴的对称点，连接， 则， 则， 作原点关于直线的对称点，连接，， 则， 则， 当、、共线时，取得最小值， 连接，交于点，连接， 由对称性可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：原抛物线解析式为， 顶点坐标为， ∵将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线， ∴新抛物线的二次项系数是，顶点坐标为， ∴新抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设新抛物线与轴交于点R， 当时，， 解得，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 当点H在轴左侧时， 如图，过点R作，交轴于点Q，过点Q作于点S， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，（点H在轴左侧，故舍）， ∴； 当点H在轴右侧时，设此时H为， 由， 可知直线和直线关于y轴对称， 则直线的解析式为， 联立， 解得：，（点H在轴右侧，故舍）， ∴， 综上，满足条件的为或． 题型3 二次函数综合之角互余存在性问题 一、核心解题思路 角互余（α+β=90∘）的本质是两直线垂直，解题关键是把角的互余关系转化为直线的垂直关系。 1.分析已知角α：先确定α的两边所在直线的斜率，计算tanα。 2.构造互余角β： · 模型 1：直角三角形模型（直角三角形的两个锐角互余）； · 模型 2：斜率垂直模型（两条直线垂直，它们的斜率乘积为- 1，即 k1⋅k2=−1）； · 模型 3：坐标法模型（若两条直线垂直，可利用向量垂直的坐标关系：(x2−x1)(x3−x1)+(y2−y1)(y3−y1)=0）。 3.列方程求解：根据垂直关系求出互余角所在直线的解析式，再联立二次函数求交点。 二、关键解题技巧 1.优先用斜率垂直模型：互余角所在的两条直线一定垂直，直接利用k1⋅k2=−1 列方程，是最直接的方法。 2.特殊情况处理：若其中一条直线水平（k=0），则另一条直线一定竖直（x=常数）；若其中一条直线竖直，则另一条直线一定水平。 3.结合直角三角形：若互余角在同一个三角形中，可直接用勾股定理列方程验证。 【例3】如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点是抛物线在第一象限上的一点，满足，请求出点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，． 【分析】此题考查了二次函数的面积问题、角度问题、解直角三角形的应用，正确理解题意并数形结合是关键． （1）利用待定系数法求出函数表达式即可； （2）过点作轴于点，设，证明，得到，则，得到，，即可求出答案； （3）过点作轴于点，交于点F，设，求出直线的解析式为，则，根据的面积等于面积的一半得到,解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：把点和点代入二次函数中得， ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴于点，设， 当时，， ∴或， ∴， ∴， ∵点是抛物线在第一象限上的一点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：过点作轴于点，交于点F，设， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴ ∴的面积 ∵的面积， 由题意可得，, 即或 解得， ∴ 【变式3-1】抛物线 交x轴于A、B两点，A在B的左边，交y轴于C点． (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)如图1，点E为第三象限内一点，过点E作轴交于D点，若，求点E的坐标； (3)如图2，A点向右平移3个单位至点F，过F，C，B三点的抛物线记为，点N为第一象限内上的点，连结，P为线段上一点，射线交于点M，若，点P的横坐标是否为定值？若是定值，求出P点横坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点P的横坐标是定值，为 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）直线的解析式为，设点E的坐标为，则，过点C作轴交于点K，则点K的纵坐标为，根据，可得到，可证明，从而得到点K为的中点，即可求解； （3）证明为等腰直角三角形，即，再求出抛物线的解析式为，直线的解析式为，分别过点M，N作轴，轴，垂足分别为点G，H，设直线交x轴于点Q，设点，，可得到直线的解析式为，根据，可得，从而得到，可证明，均为等腰直角三角形，从而得到，，可得到，从而得到，点，再求出直线的解析式为，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， 当时，， 解得：， ∴点； （2）解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为，则， 过点C作轴交于点K，则点K的纵坐标为， ∵轴， ∴，轴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点K为的中点， ∴， 解得：（舍去）， ∴点E的坐标为； （3）解：点P的横坐标是定值，为， 根据题意得：点，则， ∴为等腰直角三角形，即， 设抛物线的解析式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 同理直线的解析式为， 如图，分别过点M，N作轴，轴，垂足分别为点G，H，设直线交x轴于点Q， 设点，， ∵， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 根据题意得：， ∴， 即， ∴点， 同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：， 即点P的横坐标是定值，为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形相似的性质，平行线的性质，两直线的交点等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 题型4 二次函数综合之角的和差关系存在性问题 一、核心解题思路 多角和差（如γ=α+β或γ=α−β），核心是把和差角转化为单个角，再用等角或倍角的方法处理。 1.计算已知角的三角函数值：先求出α和β的正切值tanα、tanβ。 2.利用和差角公式计算目标角的三角函数值： · 和角公式 · 差角公式 3.构造目标角：根据目标角的正切值，求出其所在直线的斜率，再联立二次函数求交点。 4.几何模型辅助： · 构造直角三角形，将两个角放在同一个直角三角形中，直接相加/相减； · 利用平行线或对称，将两个角平移到一起，形成和差角。 一、核心解题思路 多角和差（如γ=α+β或γ=α−β），核心是把和差角转化为单个角，再用等角或倍角的方法处理。 1.计算已知角的三角函数值：先求出α和β的正切值tanα、tanβ。 2.利用和差角公式计算目标角的三角函数值： · 和角公式 · 差角公式 3.构造目标角：根据目标角的正切值，求出其所在直线的斜率，再联立二次函数求交点。 4.几何模型辅助： · 构造直角三角形，将两个角放在同一个直角三角形中，直接相加/相减； · 利用平行线或对称，将两个角平移到一起，形成和差角。 【例4】二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； (3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，H的坐标为或 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则，根据抛物线的性质解答即可． （3）取点，过点R作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点， ∴将代入表达式， 得， 解得， ； （2）解：对于二次函数，当时，， ， 设， 轴， ， ， ， ， ∴当时，四边形面积最大，最大值为6， 此时E点坐标为； （3）解：存在， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点R作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． (1)求b的值及点M的坐标； (2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）令求出点坐标，待定系数法求出的值，求出对称轴，进而求出点M的坐标； （2）设直线与轴交于点先求出直线的解析式为，从而得到点，点，即可求出，再求出，即可得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴当，解得， ∴， 把代入，得，解得； ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，直线的解析式为， 直线向下平移后过点， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 设直线与轴交于点， ∵， ∴令，解得，令，则， 点，点， ，， ， ， 过点作于点， ，，， ，， ，   ， ， ． 【变式4-2】如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用抛物线经过的点以及对称轴，通过解方程组求出抛物线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再设出点的坐标，进而表示出与的长度，得到，是等腰直角三角形，的长度，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等腰三角形三线合一可得的长，根据二次函数的性质求出最大值即可； （3）分点在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形，利用全等三角形的性质以及角度关系来确定点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴交于、两点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线所对应的函数表达式为：． （2）解：点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 对于抛物线，令，得， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 设，则， 令，得， ， ，， ，是等腰直角三角形，， 如图，过点作于，则点是的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 即的边上的高的最大值为． （3）解：当点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 当点位于下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， 对于抛物线， 令，得， 解得或， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，即， ， 点与点重合， ， 综上所述：或． 【变式4-3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）求出得到，由正切的定义求出，即，由题意可得，再利用待定系数法计算即可得解； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为，由勾股定理可得，从而得出，，设，则，，求出，得到，，表示出周长，由二次函数的性质可得，当时，周长最大为，此时；将点沿直线平移个单位长度得到点，连接、、，则向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，由平移的性质可得，，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，由并结合勾股定理计算即可得解； （3）由题意可得，抛物线关于原点对称的解析式为，求出，由，得出，根据点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于，此时，从而可得，设，则，，由，得出，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵轴交直线于点， ∴，， ∴， ∵点作交直线于点， ∴，， ∴周长 ， ∵， ∴当时，周长最大为，此时， ∴； 如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、， ∵直线的解析式为， ∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，则 由平移的性质可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵将点向下平移一个单位长度得到点， ∴， 抛物线关于原点对称的解析式为， ∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点，作轴于， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴点的横坐标为． 题型5 二次函数综合之特殊角的存在性问题 一、核心解题思路 特殊角（如30°、45°、60°、90°、120° 等）的存在性问题，核心是利用特殊角的三角函数值，或构造含特殊角的直角三角形来求解。 1. 明确目标特殊角：写出该角的三角函数值 2.构造含特殊角的模型： · 模型 1：直角三角形模型 · 模型 2：等腰三角形模型（顶角为120°的等腰三角形，底角为30°；顶角为90°的等腰三角形，底角为45°）； · 模型 3：斜率模型（特殊角的正切值等于其两边所在直线的斜率差，可据此列方程）。 3.列方程求解：根据三角函数值相等，求出动点坐标，再代入二次函数验证。 二、关键解题技巧 1.30°/60°角用比例：构造含30°或60°角的直角三角形，利用三边比列方程，避免复杂的三角函数计算。 2.45°角用斜率差：若直线与x轴夹角为 45°，则其斜率为1或- 1，可直接设直线解析式为y=x+b或y=−x+b，再联立二次函数求交点。 3.90°角直接用垂直：90°角的问题可直接转化为两直线垂直，用 k1⋅k2=−1列方程。 【例5】如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)直线解析式为，抛物线解析式为 (2) (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由一次函数解析式可得点C坐标，从而可得，由的面积是面积的2倍可得点P到的距离是点Q到的距离的2倍，再分类讨论点P的位置并结合图像求解即可； （3）分别讨论点M在x轴正半轴，y轴负半轴与正半轴三种情况，由长度不变，角度不变可得为弦所对圆周角，从而可得所对圆心角为直角，进而求解即可． 【详解】（1）解：代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式． 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：①点P在x轴上方时，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线于点E， 将代入得， ∴点C坐标为， ∵， ∴C为中点，即， ∴当的面积是面积的2倍时，点P到的距离是点Q到的距离的2倍， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P纵坐标为， 将代入得，解得， ∴点P坐标为或． ②点P在x轴下方时，连接，轴于点K， ∵C为中点， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴点Q为中点， 又∵， ∴， ∴，即点P纵坐标为， 将代入得，解得∴点P坐标为或． 综上所述，点P坐标为或或或． （3）解：①点M在x轴正半轴上，作轴于点N， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点M坐标为． ②如图，点M在y轴负半轴，作于点G， ∵长度不变，， ∴点A，B，M在同一个圆上， ∵， ∴点G为外接圆圆心， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴点M坐标为， 此时，， 所以是等腰直角三角形，符合题意； ③点M1与点M关于点C对称，则四边形为平行四边形，， ∴点坐标为． ∴点M坐标为或或． 【变式5-1】如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1) (2)当时，线段有最大值 (3)或 【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案； （2）设点，根据题意，得到抛物线及直线解析式，求出点的坐标，由两点之间距离公式表示出，由抛物线图象与性质求出最值即可得到答案； （3）根据题意，分两种情况，作出图形，由含的直角三角形性质求出长，由待定系数法求直线解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， 设抛物线， 抛物线与轴交于点， ， 解得， 即， 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 由（1）知抛物线的解析式为， 当时，， 即； 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当时，， 即； ， ， 抛物线开口向上，当时，线段有最大值； （3）解：、， ， ， 是等腰直角三角形， 则， 由可知，分两种情况， 当点在上方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 设， 将、代入解析式得， 解得， ； 当点在下方的抛物线上时，设直线交x轴于点D，如图所示： ， 在中，，，则， 由勾股定理可得，即， 解得，则， 设， 将、代入解析式得 ， 解得， ； 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质、两点之间距离表示、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形性质等知识，数形结合，掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点 (3)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）将代入，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设点，则点，，，根据二次函数的性质即可求解； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：将代入得， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为，即． 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则在中，， ∴， ， ∵， ∴ ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴，即点的横坐标为； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， ∵，， ∴在中，， ， 当时，， ∴在中，， ∴， 即， 设直线的解析式为：， ∵直线过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线，得，有， 整理，得， 解得， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 【变式5-3】如图，已知抛物线与轴交于、（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，点在线段上，且． (1)请直接写出点、、、的坐标； (2)作直线，将直线绕点按逆时针方向旋转，速度为，旋转到某一时刻，在该直线上存在一点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点有且只有三个不同位置，求旋转时间； (3)连接，在轴上方的抛物线上找一点，使，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)3秒或15秒 (3) 【分析】（1）只需令就可求出点、的坐标，把抛物线的解析式配成顶点式就可得到顶点的坐标，根据条件就可求出点的坐标； （2）显然，旋转后的直线上使得和的点各有一个，要使满足条件的点有且只有三个，只需旋转后的直线上使得的点只有一个，由于点在以为直径的上，因此旋转后的直线与只有一个交点，即该直线与相切于，则，如图、图，只需利用三角函数求出，就可解决问题； （3）设直线与轴交于点，过点作于，如图，通过解就可求出，从而得到点的坐标，要求点的坐标只需求出直线的解析式，由于点、的坐标已知，只需运用待定系数法就可解决问题． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， ，， ，， 由得， ， ， ， ； （2）解：显然，旋转后的直线上使得和的点各有一个， 要使满足条件的点有且只有三个，只需旋转后的直线上使得的点只有一个， 由于点在以为直径的上，因此旋转后的直线与只有一个交点， 即该直线与相切于，则，如图、图， 在中，， ， ， ， ，． 旋转时间为秒或秒； （3）解：设直线与轴交于点，过点作于，如图， 则有，，， ，， 设，由得， 由得， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 解方程组得，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求直线的解析式、抛物线上点的坐标特征、直线与抛物线的交点问题、三角函数、勾股定理、圆周角定理、直线与圆相切等知识，综合性比较强，难度比较大，把问题转化为直线与圆的位置关系是解决第（2）小题的关键，通过解求出是解决第（3）小题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 二次函数综合之角相关的存在性问题 （5大题型专项突破） 【题型1 二次函数综合之角相等的存在性问题】..............................................................................................1 【题型2 二次函数综合之角的倍数关系存在性问题】......................................................................................2 【题型3 二次函数综合之角互余的存在性问题】..............................................................................................4 【题型4 二次函数综合之多角和差存在性问题】..............................................................................................4 【题型5 二次函数综合之特殊角的存在性问题】..............................................................................................4 题型1 二次函数综合之角相等的存在性问题 一、核心解题思路 角相等的本质是构造全等、相似三角形，或利用平行线、对称、等腰三角形等几何模型，把角的关系转化为边或斜率的关系。 1.分析已知角：先明确已知角的顶点、两边，计算其三角函数值（如正切值），或找到它的余角、补角、对称角。 2.构造等角模型： · 模型1：平行线模型（两直线平行，同位角/内错角相等）； · 模型2：对称模型（角关于某条直线对称，对称后的角与原角相等）； · 模型3：等腰三角形模型（等腰三角形两底角相等）； · 模型4：相似/全等三角形模型（对应角相等）。 3.列方程求解：根据构造的模型，利用斜率相等、距离公式、三角函数值相等列方程，求解动点坐标。 二、关键解题技巧 1.优先算正切值：已知角的正切值tanα=对边/邻边，构造等角时，只需让新角的正切值与原角相等即可，计算非常直接。 2.对称法简化：若已知角关于某条直线对称，可先求出对称直线的解析式，再联立二次函数求交点。 3.分类讨论：等角可能在已知角的同侧或异侧，需要分别讨论，避免漏解。 【例1】已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上异于点A的点，且的面积与△ABC的面积相等，求出点P的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且满足，请直接写出点Q的坐标． 【变式1-1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【变式1-2】抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型2 二次函数综合之角的倍数关系存在性问题 一、核心解题思路 角的倍数关系（如β=2α），核心是利用二倍角公式的几何模型，把倍角转化为等角来处理。 1.分析已知角α：先计算α的三角函数值，尤其是正切值tanα。 2.构造倍角模型： · 模型1：等腰三角形外角模型（等腰三角形的外角等于底角的2倍，即β=2α）； · 模型2：角平分线模型（若β=2α，则α是β的角平分线分成的角）； · 模型3：二倍角三角函数模型 3.列方程求解：根据构造的模型，求出倍角所在直线的斜率，再联立二次函数求交点。 二、关键解题技巧 1.外角模型最通用：在已知角的一边上构造等腰三角形，使外角等于已知角的 2 倍，把倍角问题直接转化为等腰三角形问题，避免复杂的三角函数计算。 2.注意方向：倍角可能在已知角的顺时针或逆时针方向，需要分别讨论两种情况。 3.特殊角优先：若已知角是30°、45°、60° 等特殊角，可直接写出倍角（60°、90°、120°）的三角函数值，简化计算。 【例2】抛物线过点，顶点为P，与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点P的坐标； (2)若点D在抛物线上且，求点D的坐标； (3)若点Q在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点Q坐标． 【变式2-1】抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连接，求的最小值． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求a，b的值； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于点E，作轴，交于点F，点M是y轴上一动点，点N是直线上一动点，连接，，．当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线绕原点O旋转得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点H是新抛物线上一动点，当时，请写出所有符合条件的点H的坐标及其中一种情况的求解过程． 题型3 二次函数综合之角互余存在性问题 一、核心解题思路 角互余（α+β=90∘）的本质是两直线垂直，解题关键是把角的互余关系转化为直线的垂直关系。 1.分析已知角α：先确定α的两边所在直线的斜率，计算tanα。 2.构造互余角β： · 模型 1：直角三角形模型（直角三角形的两个锐角互余）； · 模型 2：斜率垂直模型（两条直线垂直，它们的斜率乘积为- 1，即 k1⋅k2=−1）； · 模型 3：坐标法模型（若两条直线垂直，可利用向量垂直的坐标关系：(x2−x1)(x3−x1)+(y2−y1)(y3−y1)=0）。 3.列方程求解：根据垂直关系求出互余角所在直线的解析式，再联立二次函数求交点。 二、关键解题技巧 1.优先用斜率垂直模型：互余角所在的两条直线一定垂直，直接利用k1⋅k2=−1 列方程，是最直接的方法。 2.特殊情况处理：若其中一条直线水平（k=0），则另一条直线一定竖直（x=常数）；若其中一条直线竖直，则另一条直线一定水平。 3.结合直角三角形：若互余角在同一个三角形中，可直接用勾股定理列方程验证。 【例3】如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点是抛物线在第一象限上的一点，满足，请求出点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】抛物线 交x轴于A、B两点，A在B的左边，交y轴于C点． (1)直接写出A，B，C的坐标； (2)如图1，点E为第三象限内一点，过点E作轴交于D点，若，求点E的坐标； (3)如图2，A点向右平移3个单位至点F，过F，C，B三点的抛物线记为，点N为第一象限内上的点，连结，P为线段上一点，射线交于点M，若，点P的横坐标是否为定值？若是定值，求出P点横坐标，若不是，请说明理由． 题型4 二次函数综合之角的和差关系存在性问题 一、核心解题思路 多角和差（如γ=α+β或γ=α−β），核心是把和差角转化为单个角，再用等角或倍角的方法处理。 1.计算已知角的三角函数值：先求出α和β的正切值tanα、tanβ。 2.利用和差角公式计算目标角的三角函数值： · 和角公式 · 差角公式 3.构造目标角：根据目标角的正切值，求出其所在直线的斜率，再联立二次函数求交点。 4.几何模型辅助： · 构造直角三角形，将两个角放在同一个直角三角形中，直接相加/相减； · 利用平行线或对称，将两个角平移到一起，形成和差角。 一、核心解题思路 多角和差（如γ=α+β或γ=α−β），核心是把和差角转化为单个角，再用等角或倍角的方法处理。 1.计算已知角的三角函数值：先求出α和β的正切值tanα、tanβ。 2.利用和差角公式计算目标角的三角函数值： · 和角公式 · 差角公式 3.构造目标角：根据目标角的正切值，求出其所在直线的斜率，再联立二次函数求交点。 4.几何模型辅助： · 构造直角三角形，将两个角放在同一个直角三角形中，直接相加/相减； · 利用平行线或对称，将两个角平移到一起，形成和差角。 【例4】二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标； (3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． (1)求b的值及点M的坐标； (2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：． 【变式4-2】如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值； (3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 题型5 二次函数综合之特殊角的存在性问题 一、核心解题思路 特殊角（如30°、45°、60°、90°、120° 等）的存在性问题，核心是利用特殊角的三角函数值，或构造含特殊角的直角三角形来求解。 1. 明确目标特殊角：写出该角的三角函数值 2.构造含特殊角的模型： · 模型 1：直角三角形模型 · 模型 2：等腰三角形模型（顶角为120°的等腰三角形，底角为30°；顶角为90°的等腰三角形，底角为45°）； · 模型 3：斜率模型（特殊角的正切值等于其两边所在直线的斜率差，可据此列方程）。 3.列方程求解：根据三角函数值相等，求出动点坐标，再代入二次函数验证。 二、关键解题技巧 1.30°/60°角用比例：构造含30°或60°角的直角三角形，利用三边比列方程，避免复杂的三角函数计算。 2.45°角用斜率差：若直线与x轴夹角为 45°，则其斜率为1或- 1，可直接设直线解析式为y=x+b或y=−x+b，再联立二次函数求交点。 3.90°角直接用垂直：90°角的问题可直接转化为两直线垂直，用 k1⋅k2=−1列方程。 【例5】如图，直线与抛物线交于两点，直线与y轴交于点C． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)点P在抛物线上，直线交x轴于Q，连接，当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)点M为坐标轴上的动点，当时，直接写出点M的坐标． 【变式5-1】如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)抛物线上有一点，当时，请直接写出直线的解析式． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中抛物线交y轴于点；交x轴正半轴于点；交x轴负半轴于点A；连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接、，设的面积为S，求出S的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【变式5-3】如图，已知抛物线与轴交于、（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，点在线段上，且． (1)请直接写出点、、、的坐标； (2)作直线，将直线绕点按逆时针方向旋转，速度为，旋转到某一时刻，在该直线上存在一点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点有且只有三个不同位置，求旋转时间； (3)连接，在轴上方的抛物线上找一点，使，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $