2026年九年级中考数学压轴题训练——二次函数与角度综合

2026年九年级中考数学压轴题训练一二次函数与角度综合 1.(24-25九年级上福建福州·月考)如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于点C,其顶点为D. YA D 备用图 备用图 (I)点E为x轴上的动点，当aCDE周长最小时，求点E的坐标； (②)若E为BD中点，P为抛物线上一点，当∠PAB=∠EAB时，求点P的坐标. (3)点B右侧抛物线上一动点O,满足S4ce=S西边彩4Bc,求点Q的横坐标. 2.(2024九年级上·黑龙江哈尔滨·月考)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C,连接BC,tan∠OBC=3.过点C的直线y=2x+n与抛物线交于另一点D, 且点D的横坐标为-4. B 图1 图2 图3 (1)求该抛物线的解析式： (2)点P是CD上方的抛物线上一点，过点P作PE⊥CD,交线段CD于点E,设点P的横坐 标为t,PE的长为d(d≠0)，求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在(2)的条件下，连接PC、PD,当∠CPD=90°时，求点P的坐标 3.(24-25八年级下·湖南长沙期末)已知二次函数y=x2-2x-t-3。 试卷第1页，共3页 VA 备用图 (1)求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）： (2)当0≤x≤3时，y的最小值为-5，求出t的值 (3)如图，若该二次函数的图象过点B(5,0),且与x轴交于另一点A,与y轴交于点C,在对 称轴上是否存在点P,使得∠APC=45°，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理 由 4.(2025湖北武汉模拟预测)已知，抛物线y=x2-3 x-2交x轴于A,B两点（点A在 2 2 左边)，交y轴于点C. B B 图1 图2 (I)直接写出A,B,C三点的坐标； (2)如图1，D是抛物线第四象限上的一点，直线AD与y轴交于点E,若∠CED=∠CA0, 求点D的坐标； 2 (③)如图2，直线PM过x轴上方的一点-1，交抛物线于点P,M,直线MN:y=亏x+b交 抛物物线于另一点N,若直线PN⊥直线MN,求b与t之间的数量关系. 5.(23-24九年级下四川南充月考》在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+,x+c交x轴于 点A(-4,0)、点B,交y轴于点C(0,6), 试卷第1页，共3页 M (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点E为第一象限抛物线上一点，过点E作EM⊥x轴，垂足为点M,EM交直线 BC于点N,设点E的横坐标为m,EN长为d,求d与m的函数关系式（不要求写出自变量 m的取值范围)； (③)如图2，在(2)的条件下，直线y=之-2经过点，且与)轴交于点D.点F为线段 AD上的一点，连接FN交x轴正半轴于点G,当∠GFD=3∠BAD,GN=2FG时，求点N的 坐标 6.(2025湖北武汉模拟预测)抛物线y=ax2-2ax-3aa<0)交x轴于A,B两点，交y轴 于点C. VA V (1) (1)直接写出点A,B的坐标； (2)如图(1)，当a=-1时，连接AC,点P在第四象限内抛物线上，若∠PAB=2LAC0, 求点P的坐标； (3)如图(2)，若顶点为H,在第一象限的抛物线上取点D,连接HD并延长交x轴于点E, 当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到。EB',将抛物线L平移得到抛物线L',使 得点A，,B都落在抛物线L'上，试判断抛物线L与L是否交于某个定点.若是，求出该定 点坐标；若不是，请说明理由 7.(2025黑龙江绥化·二模)如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点 试卷第1页，共3页 A在点B左侧)，与y轴交于点C(0,3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交 于点D (1)求抛物线的函数表达式： (②)求直线BC的函数表达式： (③)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点，且点P在 第二象限. D当线段PO=AB时，求an∠CED的值 ②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标. 8.(2025重庆模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0),B(6,0)两点 (A在B的左侧)，与y轴交于点C,连接AC,BC. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交BC于点Q,点M是线段 AB上一点，当PO最大时，求PM+id AM的最小值 10 (3)将抛物沿射线AC方向平移√10个单位长度，得到新抛物线y,点D坐标为(0，-6)，点 N是新抛物线y对称轴上一动点，当∠DNB=∠AC0+∠CB0时，直接写出所有符合条件的 点N的坐标. 试卷第1页，共3页 9.(2025湖南永州二模)如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交 于点A-1,0),和点B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是x= 备用图 (1)求抛物线的解析式； ②将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求 PA+1 2PM的最小值 10 (3)连接BM,点Q是抛物线上一动点，连接BQ,是否存在点Q,使得∠CBM+∠ABQ=45° ,若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 10.(2025·黑龙江齐齐哈尔·二模)综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，与x轴交于点A,B(4,0)与y 铀相交于点C,0040A,已知撒物线的对称轴为直线x号} (1)求抛物线的解析式： (2)点Q是抛物线上的一点，满足∠QBC=∠ACB,求点Q的坐标： (3)点H是线段BC上一点，满足以O,H,B为顶点的三角形与ABC相似，则点H的坐标 为 试卷第1页，共3页 (④将抛物线射线CB方向平移5个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D,交BC 于点E,点N是线段DE上一动点，作NM⊥y轴于点M,取AC的中点G,连接GM, BN.直接写出GM+MN+BN的最小值： 11.(24-25九年级上·全国期末)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(4,0,C(-1,0)两点， 与y轴交于点B,P为抛物线上的动点，连接AB,BC,PA,PC,PC与AB相交于点Q. (1)求抛物线的解析式： (2)若P为第一象限抛物线上的动点，设△APQ的面积为S,,△ACQ的面积为S2,当 S:S,=k时，若k有最大值，求最大值时k的值及点P的坐标； (3)是否存在点P,使∠PAB+∠CB0=45°，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，说 明理由 12.(2025·河北邯郸三模)已知抛物线y=x2+ax+b经过A(-5,0),B(-4,-3)两点，与x 轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD. 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M从点C出发，在线段CB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时 点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另 试卷第1页，共3页 外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，△MNC的面积最大，并求出最大 面积； (3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B,C不重合），连接BP,该抛物线上是否存在点 P,使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.（提示： 当直线y=kx+b与直线y=k2x+b2垂直时，k1·k2=-1) 13.(2025重庆模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴 交于A-4,0),B(1,0)两点，与y轴交于C0,4 B趴N A OB末 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴，交AC于D,E为直线BC上 动点，连接PE,当PD取得最大值时，求PE+ BE的最小值； 17 (3)将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线y经过点M(-4,4)及原点0，点Q为平移后 新抛物线上一动点，已知点N(-2,0),当∠OMN=∠QMC时，请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标 试卷第1页，共3页 参考答案 1.a房o 3)-1+V73 2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键： (1)求出C,D的坐标，作点C关于x轴的对称点F(0,3),连接DF交x轴于E,此时 △CDE周长最小，求出直线DF的解析式，进而求出E点坐标即可； (2)分两种情况，①P点不在直线AE上，设直线AP交y轴于N,直线AE交y轴于M, 证明△AMO≌△AWO,得到OM=ON,求出直线AE的解析式，进而求出M的坐标，进而求 出N点坐标，求出直线AN的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出P点的坐标即可； ②点P在直线AE上，联立直线和抛物线的解析式，进行求解即可： (3)设Q(t,-21-3),AQ交y轴于H,过Q作QG1x轴于G,分割法求出三角形ACQ 和四边形4BDC的面织，进而得到兮CH=9,进行求解即可。 【详解】(1)解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4, D(1,-4, 当y=x2-2x-3=0时，则：x=3,x2=-1,当x=0时，y=-3, .A(-1,0,B(3,0),C(0,-3, 作点C关于x轴的对称点F(0,3),连接DF交x轴于E,则 △CDE=CD+DE+CE=CD+DE+EF=CD+DF,周长最小. 设直线DF的解析式为y=kc+3,把D(1,-4)代入y=x+3,则有-4=k+3, .k=-7 答案第1页，共2页 直线DF的解析式为y=-7x+3, 令=0，则-7x+3=0,解得：x= 点E的坐标为 (2)①P点不在直线AE上时，如图，设直线AP交y轴于N,直线AE交y轴于M, :∠PAB=∠EAB, .∠NAO=∠MA0, :0A上y轴 ∠AOM=∠AON, 又：0A=0A, .aAMO≌△AN0, .ON =OM; B(3,0),D1,-4, .中点E(2,-2), 设直线AE解析式为y=+b, A-1,0),E(2,-2), 2 -t+b=0 t=- 3 21+b=-2' 解得： 2 b=- .直线AE解析式为y=一 22 -x- 3 3 2 当x=0时，y= 3, .ON=OM 3, 答案第1页，共2页 2 2 同法可得：直线AN解析式为y=二x+ 33’ 22 x+解得 x=-1 x-l1 3 或 y=x2-2x-3 y=0 28 y= 9 P的坐标为 1128 3’9 22 、> x=-1 x ②当点P在直线AE上时，则： y=3x-3,解得：解得 或 y=x2-2x-3 y=0 y=- 201 9 7_20 :P的坐标为39月 7_20 (3)设Q1,2-2t-3),A0交y轴于H,过Q作QG1x轴于G. H G x D A-1,0,B(3,0,C(0,-3,D1,-4 则swCH,4G=空cH, 2 13+分3+41+43-=++- S四边形ABDC=2 2 :S。ACQ=S图边形ABDC, c. 设直线AQ解析式为y=mx+n, 0=-m+n 则有2-21-3=m+n 消去m,解得：n=t-3, .0H=t-3, .CH=0C+0H=t. 答案第1页，共2页 生cH=9 :+=18,解得：4=+7厅或1=-厅 2 (舍去) 2 点Q的横坐标为1+V73 2 2.(1)y=-x2-2x+3 (2)d=-52-45 (-4<t<0) 5 5 (3)-5,23） 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，二次函数与角度综合，解直角三角形， (1)先确定点B和D的坐标，再利用待定系数法求解即可； (2)作PF∥y轴交CD于F,设P(,--2t+3),利用解直角三角形求解即可； (3)过点P作MN∥x轴，交y轴于点N,过点作做DM‖y轴，交MN于点M ,根据tan∠NCP=tan∠MPN建立方程，求解即可. 【详解】（1)在y=ax2+bx+3中， 当x=0时，y=3, C(0,3),0C=3, OC 在RtABOC中，OB=t =1, an∠OBC B(1,0) 把C(0,3)代入y=2x+n中，得n=3, y=2x+3, 当x=-4时，y=-5, .D(-4,-5), 把B(1,0)、D(-4,-5)代入y=ax2+bx+3中，得a=-1,b=-2, y=-x2-2x+3; (2)如图2，作PF∥y轴交CD于F,则∠PFE=∠DC0, 作DG1y轴于G,则DG=4,CG=8,tan∠DCG=DC_1, CG 2 答案第1页，共2页 A B D ---G 图2 imE sim∠PFE=V 5 :PF∥y轴，P(t,-12-21+3), .Xp =Xp=t, yp=2t+3, .PF=yp-yp=-t2-2t+3-(2t+3)=-t2-4t, 在Rt△PEF中， :PE PF [sin ZPFE 5x(-40=-5_45 a= 5 5, 自变量t的取值范围：一4<<0； (3)如图3，过点P作MN∥x轴，交y轴于点N,过点D作DMly轴，交MN于点M, 图3 则PN=-1,MP=1+4,CN=-t2-2t,DM=-t2-2t+8, 易证∠NCP=∠MPN, .tan∠NCp=tan∠MPN, _-2-21+8 -f-2t t+4 答案第1页，共2页 1 小1+226， 解得t=-√5，t=V3(舍)， P-5,23 3.(1)顶点坐标为t,-2-1-3) (2)t的值为1 (3)存在点P坐标为2，-2+V13或2，-2-V13时，∠APC为45° 【分析】(1)将y=x2-2x-t-3化为顶点式即可解答。 (2)根据抛物线y=x2-2x-1-3得对称轴为x=t,分为若t<0,当x=0时函数取最小值： 若0≤t≤3，当x=t时函数取最小值.若t>3,当x=3时函数取最小值，列方程求出t即可； (3)由题意得：抛物线解析式为：y=x2-4x-5=(x-2)2-9,则抛物线图象的对称轴为 2,C0,-引，板据图意，设P2,川，限出当线CP的解斩式为=”生-5，过点4作 AQ⊥AP交CP于点Q,分别过点P,Q作x轴的垂线，垂足分别为E,F,分为当点P在 x轴上方时，和当点P在x轴下方时，分别画图求解即可. 【详解】(1)解：y=x2-2x-t-3=(x-t)2-2-t-3, 则该二次函数的顶点坐标为1，-t2-t-3. (2)解：抛物线y=x2-2x-1-3对称轴为x=t. 若t<0,当x=0时函数取最小值， .-1-3=-5,解得：t=2(不符合题意，舍去)； 若0≤t≤3，当x=t时函数取最小值， .-t2-t-3=-5,解得：1=-2,2=1； :0≤1≤3， .t=1. 若t>3,当x=3时函数取最小值， :9-61-1-3=-5,解得：1= 7 (不符合题意，舍去)： 综上所述，t的值为1. 答案第1页，共2页 (3)解：存在点P坐标为2，-2+V13或2，-2-V13时，∠APC为45°， 理由如下： 由题意得：0=52-25-t-3,解得：t=2, 故抛物线解析式为：y=x2-4x-5=(x-2)2-9, 则抛物线图象的对称轴为x=2,C(0,-5),A(-1,0), 根据题意，设P(2,p),直线CP的解析式为y=kx+b(k≠0， 将C(0,-5),P(2,p)代入y=kx+b(k≠0)， -5=b 则 p=2k+b' k=p+5 解得2， b=-5 2-5, ·直线CP的解析式为y=P+ 过点A作AQ⊥AP交CP于点Q,分别过点P,Q作x轴的垂线，垂足分别为E,F, 当点P在x轴上方时，如图， B :∠APQ=45°，∠PAQ=90°， ∠AQP=45°， .△AQP是等腰直角三角形， .AP=AO, :∠PAE+∠QAE=∠PAE+∠APE=90°， .∠OAE=∠APE, .:∠AEP=∠AF0=90°， 答案第1页，共2页 △APE≌△QAF(AAS), .PE AF AE=OF, :AE=0A+0E=1+2=3,PE=p, .AF=p,OF=3, :OF=AF-OA=p-1, 0(p-1,-3), 将@p-1代入=2-5，则-3=-小-5， 解得：p=-2+3或p=-2-3(舍去)： 当点P在x轴下方时，如图， F B 同理△APE≌△QAF(AAS), :PE=AF,AE=OF, :AE=0A+0E=1+2=3,PE=-p, ∴.AF=-p,QF=3, ..OF=AF+OA=-p+1, 0(p-1,-3), 将0p-1,-3, 代入--5则-3(生)p-小5， 2 解得：p=-2+√3（舍去）或p=-2-√3： 综上，当点P坐标为(2，-2+3)或(2，-2-3时，∠APC为45°. 【点晴】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解 答案第1页，共2页 析式、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌 握以上知识点. 4.(1)A-1,0,B(4,0,C(0,-2 (2)(3,-2 3)b+1=3 【分析】(1)分别令y=0,x=0,即可求解： (2)根据∠CBD=∠C40,可得m乙B0=0-2,从而得到点EQ- OE OE 2/, 再求出 直线AD的解析式，然后联立，即可求解： 三x+6,联立可得)x+大x-A-2=0,利用根与系数的关系可求出直线PN的静 所式为y=P+”-3xP"m+4，西求出直线PM和MN的解析式，然后根据直线PM过E轴 上方的一点(-1，小，可得-P+m-3_Pm+4=1,再结合直线MN的解析式为y=2x+b, 2 2 2 可得：m+n-9m=-2-4,过点水作x轴的平行线6作PK上1于点K,MH11于点分 可得tan∠KPN=tan∠HNM,可得到p=-n-2,即可求解. 5x-2=0, 【详解】(1)解：当=0时，2r-) 解得：x=4,x2=-1, 点A-1,0),B(4,0), 当x=0时，y=-2, 点C(0,-2): (2)解：：A-1,0),B(4,0),C(0,-2, .OA=1,OB=4,OC=2, :∠CED=∠CAO,∠CED=∠AEO, ∠AE0=∠CA0, :ian∠AB0=tan∠C40=OC=2, OA 答案第1页，共2页 tan∠AEO= A0 1 =2, OE OE :.0E=2 1 :点E0,-2 设直线AD的解析式为y=+b, 把点-1o,0-分代入： 1 k= 2,解得： -k+b=0 b=- 2 1 .直线AD的解析式为y=一 2 11 y=- 联立得： 22 23 1 y= t2 x=3 x=-1 解得： 或 y=-2 y=0· 点D的坐标为3，-2)； (3)解：设点P 号小婴小” 设直线PN的解析式为y=kx+b, y=kx+b 联立得： 13 y25-2' 整理得： -64-2=0 利用根与系数的关系得：p+n=3+2k1,pn=-2b,-4, ..k =p+n-3 2 b=-pn+4 2 直线PN的解析式为y=卫+n-3x-pm+4」 2 2 同理直线PM的解析式为y=P+m-3x-pm+4, 2 2 直线MW的解析式为y=m+n-3x-mn+4 -Y- 2 2, 答案第1页，共2页 :直线PM过x轴上方的一点(-1，， :-p+m-3_pm+4-, 2 2 2 :直线MN的解析式为)y=专x+, :m+n-3_2_mm+4 =b, 2 5’2 19 化简得：m+n= mm=-2b-4, 如图，过点N作x轴的平行线1，作PK⊥I于点K,MH⊥I于点H, yA B PN⊥MN, .∠PNM=∠PKN=∠MHN=90°， .∠KPN=∠HNM, ∴.tan∠KPN=tan∠HNM, n-p 即 m-n 化简得：(m+n-3)(p+n-3)=-4, 19 .m+n= .p+n=-2, .p=-n-2, 把p:-n-2代入-P+m-3_Pm+4=1,得： 22 n-2+m-3_-1-2到m+4=1, 2 2 整理得：m+n+n+1=2t, 答案第1页，共2页 19 :mn=-2b-4,m+n= 号4-20-+1=2 2 :.b+1=5 【点晴】本题考查了二次函数的综合运用，二次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，一 元二次方程根与系数的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键. 1 1 5.(1)y=-x2+5x+6 42 1 3 (2)d=-二m2+三m 4 2 】 【分析】(1)直接运用待定系数法即可解答； (2)先求出点B的坐标，然后再运用待定系数法确定直线BC解析式，设 Em,-m2+m+6,则M(m,0,N(m-m+6,最后根据d=EN=EM-EN即可解答； 4 2 (3)先求出点D的坐标，再求出tan∠OAD的值，过点F作FH⊥x轴于点H,证明 ,GFwG可得C--8-克再在上收太俊存：G,连接K, 然后淡明4K=K,事在RKF中运用购股花理可得H一，设F-子-2小则 H(,0),根据点N在直线BC上列式求得t,进而确定点N的坐标. 【详解】（1)解：：抛物线y=ar+2x+c经过点4-4,0，点C(0,6) 0=a-42+分×-4+c,解得 1 a=- 4 6=c c=6 :地物线的解新式为y=+宁+6。 2解：超物线y=+分+6经过度440小、点B 令y=0, x2+x+6,解得x=-4,名=6 .0=- ，1 4 2 B(6,0 设直线BC解析式为y=x+b(k≠O) 答案第1页，共2页 B(6,0,C(0,6, [0=6k+b k=-1 六6=6，解得： b=6 :直线BC解析式为：y=-x+6 设2++小，则Mm1,,西+6 d=w=Ew-w（++6小+6=2+ m, 即d=- 3 4m+m. ny 3)解：由于直线y=-2交)维于点D又当0时，少=×0-2=2 D0,-2, 又.A-4,0 .0A=4,0D=2, OD 2 1 .tan∠OAD= 0A42' 过点F作FH⊥x轴于点H, :EM⊥x轴于点M, .∠FHG=∠NMG=90°， 又∠FGH=∠MGE, △HGF∽△MGN, .HG FH GF 1 ·GM=NM-GN2' :GM =2HG,NM =2FH, 在AH上取点K,使得KH=HG,连接FK :∠GFD=3∠BAD,∠GFD=∠BAD+∠AGF, 答案第1页，共2页 ·LAGF=2LBAD .∠GKF=2LBAD, 又：∠GKF=∠BAD+∠AFK :∠KFA=∠KAF, .AK KF, 在RtaKHF中，∠KHF=90°， .KF2=KH2+HF2, 又：tan∠OAD=HF=1 AH2 :AH 2HF,AK KF :KF2=(2HF-KF)2+HF,解得FH=4KF=4K, 5 设r-2小则H0. FH=3+2, HG-HK-AH-AK-2FH-FH-3FH,GM -2HG-3FH, .OM-AM-04-2FH+HG+GM-04=17+9 。t+三，NM=2FH=t+4 82 点N的坐标是 17,9 8+21+4 又：点N在直线BC上 .1+4=- ++6，解得1=手 82 当t=- 4t1749144 852-5’ *4、16 5 :点N坐标是(55) 1416 【点晴】本题主要考查了求二次函数的解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、勾 股定理、锐角三角函数等知识点，灵活运用相关知识点为解答本题的关键. 6.(1)A(-1,0),B(3,0 阳停 (3)是；(3,0) 【分析】(1)令y=ax2-2ax-3a=0,解一元二次方程即可得出点A,点B的坐标. 答案第1页，共2页 (2)过线段AC的中点M,作AC的垂直平分线MD交y轴于点D,连接AD,设OD=m, 则CD=3-m,AD=CD=3-m,OA=1,利用勾股定理求出点D的坐标，将AD绕A点顺 时针旋90°转得到线段AE,则AE=AD,作EF⊥x轴于F点，直线AE交第四象限的抛物 线于点P.R:40D≌REAF(AAs),由全等三角形的性质进一步求出点行小，然后 求出AE解析式，再联立AE直线和抛物线解析解方程组即可得出答案， (3)过D作DM⊥x轴于M,设Dm,am2-2am-3a,则AM=m+1, DM=am2-2am-3a,将△ADB沿DE方向平移得到aAEB',相当于将△ADB向右平移 (m+1)个单位，再向下平移am2-2am-3a个单位，即可得出抛物线L'解析式，由 ax2-2ax-3a=a(x-m-2)2-am2+2am-a(a<0),解出x即可得出定点坐标. 【详解】(1)解：令y=ax2-2ax-3a=0, .ax2-2ax-3a=a(x+1x-3=0 a≠0， .x=-1,x2=3, A-1,0,B3,0) (2)解：当a=-1时，则抛物线解析式为：y=-x2+2x+3, 过线段AC的中点M,作AC的垂直平分线MD交y轴于点D,连接AD, 则CD=AD,∠AC0=∠DAC,∠ADO=∠DAC+∠ACD=2LAC0, 设0D=m, CD =3-m,AD =CD=3-m,OA=1, 在RtaA0D中，∠AOD=90°， .12+m2=(3-m)2, m=3 4 4 D0 将AD绕A点顺时针旋90°转得到线段AE,则AE=AD,作EF⊥x轴于F点，直线AE交 第四象限的抛物线于点P. 答案第1页，共2页 AD :∠DA0+∠FAE=90°，∠DA0+∠AD0=90°， .∠FAE=∠ADO, .∠PAB=∠FAE=LAD0=2LACO, 在RtAAOD和Rt△EAF中， [∠AOD=∠EFA=90° ∠FAE=∠ADO AD=AE .Rt△AOD≌RtAEFA(AAS), EF=0A=1,AF=OD=4 ， .OF=1 3' g小 设AE的解析式为：y=x+b, 「-k+b=0 信b- 3 解得： 则直线AE为y= 33 -4-4' 33 联立少=4x4 y=- y=-x2+2x+3 答案第1页，共2页 15 解得代1 xp= (y4=0' 57 yp= 16 借 (3)解：抛物线L'与L交于定点(3,0)，理由如下： 过D作DM⊥x轴于M,如图： 设D(m,am2-2am-3a, AM m+1,DM am2-2am-3a AD=DE, .EM AM =m+1, 将△ADB沿DE方向平移得到△AEB,相当于将△ADB向右平移(m+)个单位，再向下平移 am2-2am-3a个单位， 又A(-l,0),B3,0),H(L,-4a), .A'(m,-am2+2am+3a,B'(m+4,-am2+2am+3a,H'm+2,-am2+2am-a, .抛物线L'的对称轴为直线x=m+2, .抛物线'解析式为y=a(x-m-2)2-am2+2am-a(a<0), ax2-2ax-3a=a(x-m-2)2-am2+2am-a(a <0), 解得：x=3, 抛物线'与L交于定点(3,0) 【点晴】本题了主要考查了二次函数的综合问题，涉及二次函数与角度的问题，抛物线平移 问题，抛物线与坐标轴的交点问题等，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键， 7.(1)y=-x2+2x+3 答案第1页，共2页 (2)y=-x+3 ®0导@-52列 2-V65 22 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)求出点B坐标，再利用待定系数法解答即可； (3)①由题意可得PQ=3,设PQ交抛物线的对称轴于点M,则由抛物线的对称性可得 PM-子进可得应P修横华标为分得到P(》,即将F》即将到 FC=0C-0F-,可得CE=2c-5 ,过点D作DG1CE于点G,由D1,2得DG=1, 3 CG=1，即得EG=CE-CG=?,最后根据正切的定义计算即可求解：②分∠CDE=90°和 ∠CED=90°两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，锐角三角函 数，运用分类讨论思想解答是解题的关键. 3=c 【详解】(1)解：由题意得， 2×-11' b=2 解得c-3 .抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3; (2)解：把y=0代入y=-x2+2x+3,得-x2+2x+3=0, 解得x=-1,x2=3, .A-1,0,B(3,0), 设直线BC的函数表达式为y=kx+m, 把B(3,0)和C(0,3)代入y=kx+m得， [0=3k+m 3=m k=-1 解得 m=3, 直线BC的函数表达式为y=-x+3; 答案第1页，共2页 (3)解：①.A-1,0),B(3,0, .AB=3--1=4, :0-4 .P0=3, :P2⊥y轴， PQ∥x轴， 设P四交抛物线的对称轴于点M,则由抛物线的对称性可得PM= 21 :对称轴是直线x=1, :点P到)轴的距离是 ·点P的横坐标为- 21 (17Y P24” :r》 C(0,3, .0C=3, ·FC=OC-OF=3-7=§ 44 :PO垂直平分CE于点F, CE=2FC- 5 :点D是直线BC与抛物线的对称轴， D(1,2, 过点D作DG⊥CE于点G, 答案第1页，共2页 y本 C P B .DG=1,CG=3-2=1, EG=CE-CG= 在RtaEGD中， tan∠CED=DG-12 EG33; 2 ②当∠CDE=90°时， DG=CG=1,LCGD=90°， .LCDG=∠DCG=45°， LEDG=∠CDE-∠CDG=90°-45°=45°， .∠DFG=90°-45°=45°， .ZEDG ZDFG ..EG=DG=1, .CE=CG+EG=1+1=2, :EF=CE=1,OE=0C-CE=3-2=1, 2 .OF=0E+EF=1+1=2, 点F、P的纵坐标为2，此时点F和点G重合，如图， D 把y=2代入y=-x2+2x+3,得2=-x2+2x+3, 解得x=1-V2,x2=1+√2， 答案第1页，共2页 :点P在第二象限， x=1-√2， :P1-2,2: 当∠CED=90°时，如图， 则0E=2, CE=0C-0E=3-2=1, EF-CE-7 1 2 ·OF=OE+EF=2+}=5 22' :点P和F的纵坐标为 5 把3代入y42+9,8码+2x4. 解得5=2-6，=2+6 2 二，X2= 2 :点P在第二象限， :x=2-6 2 院上点的坐标为52到26，引 80=++3 (211v0 5 a]6四 答案第1页，共2页 【分析】(1)将点A-1,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+3,即可求解； 2》先录出直线aC的解析式为y=宁+3，设点P的坐标为产+了+3小， 则点Q的 坐标为+3，得出P0=+3=-+?行当1=3时，四取得最大值， 此时点P的坐标为(3,6)，过点M作MH∥AC,过点A作AH⊥MH于点H,则AH⊥AC ，得出LMAH=LACO,证明M= 0AW,则PM+AM=PM+MH,则当点P, 10 10 M,H三点依次共线，且PH上AH时，PM+0AM取得最小值，最小值为PH的长， 10 求出直线AC的解析式为y=3x+3,则可得直线PH的解析式为y=3x-3,得点M的坐标 为1，O),分别计算PM和HM即可； (3)利用平移得出新抛物线片的对称轴为直线x-了，在y轴负半轴上取点E,使得 7 OE=OB=2,得出∠0BE=LAC0,过点C作CF⊥BE于点F,求出CF=3而，证明 2 BF=CF,得∠CBF=45°，则LDNB=∠AC0+∠CB0=∠0BE+∠CB0=∠CBF=45°，设 匠 分两种情况：当点N在x轴上方时和当点N在x轴下方时，分别构造一线三垂直全等，再利 用全等性质和一次函数求解即可. 【详解】(1)解：把点A-1,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+3, a-b+3=0 得： 36a+6b+3=0 1 a=- 2 解得： b= 2 2+3, 抛物线的表达式为y三7女 (2)解：当x=0时，y=3, 点C(0,3), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 把点B(6,0),C(0,3代入， 答案第1页，共2页 6k+b=0 得： b=3 解得： 2, b=3 “·直线BC的解析式为y=- 2+3, 设点P的坐标为52 ++则点0的坐标为+ 1 2 :P0= 12+3t= 2-32*9 -1<0, 2 当t=3时，PO取得最大值， 此时点P的坐标为(3,6)， 如图，过点M作MH∥AC,过点A作AH⊥MH于点H, 则AH⊥AC, .∠MAH+∠0AC=90°， :∠A0C=90°， ∠AC0+∠0AC=90°， .∠MAH=∠ACO, 根据题意得：OA=1,0C=3, AC=10, ·sin∠Ac0=OA=o AC 10 ·sin∠MAH= MH10 AM 10 ·M=0 AM 10 答案第1页，共2页 PM+V10 AM=PM+MH 10 :当点P,M,H三点依次共线，且PH⊥AH时，PM+AM取得最小值，最小值为 10 PH的长， 设直线AC的解析式为y=k2x+b2, 把点A-1,0),C(0,3)代入， 得： -k2+b2=0 b2=3 k2=3 解得： b=3 .直线AC的解析式为y=3x+3, 可设直线PH的解析式为y=3x+b, 把点P(3,6)代入得：6=9+b, 解得：b=-3, 直线PH的解析式为y=3x-3, 当y=0时，0=3x-3, .x=1, 点M的坐标为1,0)， ·AM=2,PM=3-12+(6-0)2=210, ·M=0 ·PH=PM+HW=11iO 5 (3)解：：0A=1,0C=3,AC=V10, :猫物线y)产++3沿线AC方向平移10个单位长度，即水平阿右平移1个单位长 度，竖直向上平移3个单位长度， :抛物线y=-号+x+3的对称轴为直线x=2 5 2 2 :新抛物线y的对称轴为直线x=2+1=2, 5 7 答案第1页，共2页 在y轴负半轴上取点E,使得OE=0B=2, 3 ·tan∠OBE=OE=1 OB3’ :tan∠AC0=40-1 C031 .tan∠OBE=tan∠AC0, .∠OBE=∠AC0, 过点C作CF⊥BE于点F, BEB0ESm-CE-08-BECF 2 ·CF=30 2 :BC=V0C2+0B2=3V5, BF=VBc2-CF-3 2 .BF=CF, .∠CBF=45°， LDNB=∠AC0+∠CBO=∠OBE+LCB0=∠CBF=45°， 设仔小 当点N在x轴上方时，如图，过点B作BV⊥BN,交DN于点V,过点B作x轴的垂线KL, 过点N作NK⊥KL于点K,过点V作L⊥KL于点L, V B ∠NBV=LK=∠L=90°，∠NVB=∠BNV=45°， .BN=BV,∠NBK+∠VBL=90°，∠NBK+∠BNK=90°， .∠VBL=∠BNK, 答案第1页，共2页 .△VBL≌△BNK, :.BL-NK-6- 8==, 5 6-引 设直线DN的解析式为y=px+9, 将D(0,-6)， 7 N2”代入， 9=-6 得： 2P+9=n' 2(n+6) D= 解得： 7, 9=-6 :直线DN的解析式为y=2m+6x-6, 7 6-引Rx 得-5-2m+6(6-m-6, 2 7 解得：n= 3 (负值舍)， ) 229 当点N在x轴下方时，如图，过点B作BW⊥BN,交直线ND于点W,过点B作x轴的垂线 ZU,过点N作NU⊥ZU于点U,过点W作WZ⊥ZU于点Z, W= 答案第1页，共2页 同理可得△WBZ≌△BNU, BZ-NU-5,BU-WZ--n, 2 :wn+6,2 同理可得直线DN的解析式为y= 2n+6x-6, 7 装ra+6 代入， 得52+6 (n+6)-6, 7 解得：n=-6-9或-6+四 2 (舍) 2 2 7V95 7 综上，N 2’2 或 2 【点晴】本题考查二次根式的图象与性质，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，全等 三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与几何的 相关方法是解题的关键。 9.(1)y=x2-3x-4 23vi0 2 ⑧存在，点e(子）成Q子）使餐∠C8w+M80=5 【分析】(1)确定抛物线的对称轴是直线x-},再利用待定系数法进行解答即可； (2)连接BM,过A作AH⊥BM于H,交抛物线对称轴直线x=3于P,由垂线段最短可 2 知，当P与P重合时，PA+PM最小，最小值为AH的长度，进一步解答即可， 10 (3)画出图形，分两种情况进行解答即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点，交y轴于点C, 抛物线的对称轴是直线x=2, 3 答案第1页，共2页 （-12-b+c=0 ..b3 22 ,b=3 解得c=4 ·抛物线的表达式为y=x2-3x-4 (2)连接BM,过A作AH⊥BM于H,交抛物线对称轴直线x=三于P, 设直线x=2交X轴于N,如图： M 在y=x2-3x-4中，令y=0得x2-3x-4=0, 解得x=-1或x=4, B4,0), BW=4-3=5 221 ·将抛物线的顶点 3孕)向下平移个单位长度得到点 31 .BM =BN2+MN2 50 2 .sin∠BMWN= BN 2 -V10 BM5V1010' 2 .P'H10 P'M10 答案第1页，共2页 PH=OPM. 10 PA+PM=PA+PH=4H. 10 由垂线段最短可知，当P与P重合时，PA+CPM最小，最小值为AH的长度， 10 :2 SA ABM=AB·MN=BM·AH, 15 .AH AB.MN 5x -3V10 BM 510-2, :PA+CPM的最小值为3 10 2 (3)过B点作BQ⊥BM交对称轴于点D,交抛物线于点Q, 0 D B .∠MBQ=90°， -1O NE 在Rt△0BC中，0B=0C=4, ∠0BC=∠0CB=45°， ∴∠CBM+∠ABQ=∠QBM-∠OBC=45° 在Rt△DBM中，BN⊥DM, :∠BDN+∠DBN=∠BDN+∠BMN=90°， ∠DBN=∠BMN, :∠BND=∠MNB=90°， .△BNDn△MNB, :8 BN DN .BN2=DN.MN, 答案第1页，共2页 由(2)可知BN=5,MN=15 35 设BD表达式为y=kx+b 4k+b=0 、1 3 解得 4 :直线BD的表达式为：y=3+行， 1.4 14 3x+3 y=- y=x2-3x-4 4 x=4 r=- 或 3 解得 y=0 16 y= 9 416 :点Q的坐标为 3'9 作D点关于x轴的对称点E 35 26 同理可求得直线BE的表达式为：y=3 1 4 -31 联立线衣达式可保和Q手甘》 综上所达，作在应Q()成Q子-号》 使得∠CBM+∠ABQ=45°. 【点晴】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、一 次函数的图象和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握解直角三角形、 相似三角形的判定和性质是解题的关键 10.(1)y=-x2+3x+4 (； 传)引 答案第1页，共2页 【分析】(1)先根据对称性，求出A(-1,0),B(4,0),C(0,4),然后用待定系数法求出抛 物线的解析式即可： (2)过点G作GH⊥x轴于点H,根据0B=OC=4,得出∠OCB=∠OBC,证明 0C4oH8G,得出是g,设Gm,m+3m+4到，则GH=m-3m-4:81=4-R OC OA ，得出4-m=m2-3m-4,求出结果即可： 4 (3)先求出直线AC的解析式为：y=4x+4,直线BC的解析式为y=-x+4,分两种情况： 当△OBH∽△ABC时，当aOBH∽aCBA时，分别画出图形，求出结果即可； 4先求出新抛物线的解析式为：y=-x-2+公，得出新抛物线的对称轴为直线x=2 连接DM,DG,则DG交y轴于点M',先证明四边形BDMN为平行四边形，得出 DM=BN,说明当GM+DM最小时，GM+BN最小，GM+MN+BN最小，根据两点之 间线段最短，得出当点M在点M'处时，GM+DM最小，即最小值为DG的长，求出结果 即可 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，与x轴交于点A,B(4,0),抛物线的对 称轴为直线x=2' 3 .点A的坐标为-1,0)， 0C=40A, .0C=4, 点C(0,4, 把A-1,0),B(4,0,C(0,4)代入y=ax2+bx+c(a≠0)得： a-b+c=0 16a+4b+c=0, 1c=4 a=-1 解得： b=3, c=4 .抛物线的解析式为y=-x2+3x+4; (2)解：过点G作GH⊥x轴于点H,如图所示： 答案第1页，共2页 A B4,0),C(0,4, .0B=0C=4, .∠0CB=∠0BC, :∠QBC=∠ACB, .∠ACB-∠OCB=∠CBG-∠OBC, .∠OCA=∠GBH, ∠C0A=∠GHB=90°， △OCA∽△HBG, :B即GH ·0C=0A 设G(m,-m2+3m+4), 则GH=m2-3m-4,BH=4-m, 4-m=m2-3m-4, 4 解得：m=-或m,=4（舍去)， 4 :点G的坐标为 521 4’16 (3)解：设直线AC的解析式为：y=x+b,把A-1,0),C(0,4)代入得： [-k+b=0 b=4 [k=4 解得： b=4 :.直线AC的解析式为：y=4x+4, 同理可得：直线BC的解析式为y=-x+4, 答案第1页，共2页 当△OBH∽△ABC时，如图所示： B 则LBOH=LBAC, OH∥AC, 直线OH的解析式为y=4x, y=4x 联立 y=-x+41 4 x=- 解得： y= 16 5 .此时点H的坐标为 416 559 当△OBH∽△CBA时，过点H作HM⊥x轴于点M,如图所示： M B 则OB、BH BC AB :0B=0C=4,∠B0C=90°， ∠0BC=∠0CB=45°，BC=V42+42=42, 4 BH 424-(-1' 解得：BH= 5√2 2 答案第1页，共2页 BM=BH×cos450=52xV25 2 22 .OM=4 53 22 把x二代入y=-x+4得：y月 2 此时点H的坐标为 35 22 综上分析可知：点H的坐标为 9 .∠CB0=450, :将抛物线射线CB方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移)个单位，向下平移；个 单位， ·新抛物线的解析式为：y=-(x-22+23 1 :.新抛物线的对称轴为直线x=2, 点D的坐标为2,0)， 连接DM,DG,则DG交y轴于点M',如图所示： E G M' N M B(4,0), :.OD BD =2, :点N在直线x=2上，NM⊥y轴， .MN=2,MN∥DB, .MN DB 答案第1页，共2页 四边形BDMN为平行四边形， :DM BN .GM MN +BN GM D M MN 当GM+DM最小时，GM+BN最小，GM+MN+BN最小， :两点之间线段最短， .当点M在点M'处时，GM+DM最小， 即最小值为DG的长， :点G为AC的中点， 根据中点坐标公式可得： c22 :.DG= :GM+MN+BN的最小值为 2 -+2 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性 质，两点间距离公式，二次函数平移，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和 性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质： 11.(1)y=-x2+3x+4 ag.P12.6 4或18) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的性质等 知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键 (1)将A4,0),C-1,0)代入y=-x2+bx+c得到方程组求得、c的值即可解答： (2)先求得直线AB的解析式为y=-x+4,设P(t,-t2+3t+4)(0<t<4),过P作PD∥y轴 交AB于D,则D(t,-1+4),即PD=-2+31+4-（-t+4=-t2+41;如图：过C作CF∥y轴 交AB延长线于F,则F的横坐标为-1，易得CF=5;再证明△POD∽aCOF,则 PO PD CO FC 及日，进而得到 ；如图：过A作AE1PC,根据三角形的面积公式以及高相等可得k=S=巴， k-PD-心+-+4，再根据二次函数的性质求得当1=2时，k有最大值，进而 FC 5 5 答案第1页，共2页 确定点P的坐标即可； (3)分两种情况：①如图1：当点P在AB上方时，在x轴正半轴上取点E1,0),连接BE, 过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P,先证明△BOC≌△BOE(SAS)可得∠CBO=∠EBO, 再由AP∥BE,得出LABE=∠PAB,可推出∠PAB+∠CBO=45°，运用待定系数法可求得 直线BE的解析式为y=-4x+4,进而得出直线AP的解析式为y=-4x+16,再与抛物线解 析式联立即可求得点P的坐标；②如图2：当点P在AB下方时，在y轴上取点K(0,,连 接AK交抛物线于点P,可证△AOK≌△BOC(SAS),进而推出∠PAB+CB0=45°，利用待 数法可得直线AK的解祈式为y三一4x+山，再与抛物线解析式联立即可求得点P的4 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c经过A(4,0),C(-1,0)两点， 「-16+4b+c=0 b=3 ,解得： -1-b+c=0 c=4 抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. （2)解：y=-x2+3x+4, A(4,0),B(0,4, 设直线AB的解析式为y=mx+n, 4m+n=0 m=-1 则 n=4 ，解得： n=4, :直线AB的解析式为y=-x+4, 设Pt,-t2+31+4)(0<t<4),过P作PD∥y轴交AB于D,则D(t,-t+4, PD=-t2+31+4-(-1+4）=-12+41, A 如图：过C作CF∥y轴交AB延长线于F,则F的横坐标为-1， 答案第1页，共2页 点F的纵坐标为：-(-1)+4=5，即CF=5, :CF∥y轴，PD∥y轴， .CF∥PD, △PQD∽aCQF, PO PD ·coFC' 如图：过A作AE⊥PC :△APQ与△ACQ有相同的高AE, :k=9-2 Q·AE PO CO.AE Co k=PD=-2+41 2+2t=- FC 5 +=-2号 :当1=2时，k有最大值5， 4 :-t2+3t+4=-22+3×2+4=6, .P(2,6). (3)解：存在点P,使∠PAB+∠CB0=45°，理由如下： ①如图1：当点P在AB上方时，在x轴正半轴上取点E(1,0),连接BE,过点A作 AP∥BE交抛物线于另一点P, E 图1 C(-1,0,E(1,0, 0C=0E=1, 在△BOC和△B0E中， OC=OE ∠BOC=∠BOE=90°， OB=OB 答案第1页，共2页 △BOC≌△BOE(SAS), .∠CBO=∠EBO, :AP∥BE, .∠ABE=∠PAB, .∠PAB+∠CBO=∠ABE+∠EBO=∠ABO, 0A=0B=4,∠A0B=90°， .∠AB0=45°， .∠PAB+∠CBO=45°， 设直线BE的解析式为y=kc+d,把B(0,4),E(1,0)代入得： [d=4 d=4 k+d=0'解得： k=-4 直线BE的解析式为y=-4x+4, :AP∥BE, :设直线AP的解析式为y=-4x+∫， 把A(4,0)代入得：0=-16+f,解得：∫=16， .直线AP的解析式为y=-4x+16, -x2+3x+4=-4r+16,解得：x=3,x2=4（不符合题意，舍去)， .P(3,4): ②如图2：当点P在AB下方时，在y轴上取点K(0,1,连接AK交抛物线于点P,则 0K=0C=1, V B 图2 :0A=0B=4,LA0K=LB0C=90°， .△AOK≌△BOC(SAS, .∠KAO=∠CB0, 答案第1页，共2页 .∠KAO+∠PAB=∠BA0=45°， .∠PAB+∠CB0=45°， 设直线AK的解析式为y=mx+n, [4m+n=0 1 m=- 则 4, n=1 ,解得： n=1 直线AK的解析式为y= 4+1, 1 由-+3x+4=子+1，解得：无=4《舍去，5= 4 P18 综上所述，点P的华标为P叫34或(1阁) 12.(1)y=x2+6x+5 (2)当t=2时，△MNC的面积最大，最大面积为2√2 37】 ③)存在，（24或0,5. 【分析】(1)将点A(-5,0)和点B(-4,-3)代入二次函数解析式中求解b的c的值即可求解解 析式 (2)根据点C为抛物线与x轴的交点可求解点C的坐标，由待定系数法进而可求解直线 BC的解析式，根据三角形面积的求法，表示出△MNC的面积的表达式，再根据二次函数的 性质即可求解最大值， (3)分类讨论点P的位置，根据点P在直线BC下方时，求出直线BC的垂直平分线的解 析式以及直线CD的解析式，即可求解点Q的坐标，进而可求解点P的坐标；再根据点P 在直线BC上方时，依次求出直线方程即可求解 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+ax+b经过A-5,0),B(-4,-3两点， 0=25-5a+b a=6 得3=i64a+b解得6=5” :抛物线的解析式为y=x2+6x+5. (2)解：过点M作MH⊥OA于点H,BC与y轴交于点G.如图. 答案第1页，共2页 设C(m,0), ∴.m2+6m+5=0,解得m=-5或-1. .C(-1,0),即0C=1. 设直线BC的解析式为y=kx+n, 将点B(-4,-3),C(-1,0)代入， 0=-k+n 「k=1 得-3=4k+” 解得{n=1 ∴y=x+1,G0,. 0G=0C=1. GC0=45°. .∠HCM=∠GC0=45°. CM =2t, .MCM.sim4s2 2 NC=AC-AN =4-1, 5c-NCHM=4-小5=-5f+22--2+2N5. 2 2 2 -5<0, 2 :当t=2时，△MNC的面积最大，最大面积为2√2. (3)解：存在。 设直线BP与CD交于点Q,如图. 答案第1页，共2页 B 当点P在直线BC下方时， :∠PBC=∠BCD, ·QB=QC,即点Q在BC的垂直平分线上. 所以线段BC的中点坐标为2,2 53 过该点与BC垂直的直线的k值为-1， 故设BC的垂直平分线解析式为y=-x+C, *引 代入，得c=-4, :直线BC的垂直平分线的解析式为y=-x-4. y=x2+6x+5=(x+3)2-4, .D(-3,-4),同理可求直线CD的解析式为y=2x+2 联立少-x-4 y=2x+2’解得 x=-2 y=-21 :点Q的坐标-2，-2 所以直线B0的解析式为y=!x-1. 2 y=x2+6x+5 联立 1 y=5x-1 ，解得x= 3或4 2 37 ·点P的坐标为24 当点P(P)在直线BC上方时， :∠P'BC=∠BCD, BP'∥CD,则设直线BP'的解析式为y=2x+S, 答案第1页，共2页 将点B的坐标代入，得s=5, :直线BP'的解析式为y=2x+5, 联立y=r2+6r+5 ,解得x=0或-4， y=2x+5 :点P的坐标为0,5). 综上所述，点P的坐标为 37 2-4 或(0,5). 【点晴】本题考查了二次函数解析式的求解，直线方程的求解，二次函数最值的性质，分类 讨论点P的位置求解直线方程与抛物线的交点是解决本题的关键. 13.(1)y=-x2-3x+4 (2)3 国点Q的壁发为手号向子的】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数综合、解直角三角形、正方形的判的 与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键 (1)直接运用待定系数法求解即可； (2)先求出AC的解析式为y=x+4,设P(p,-p2-3p+4),则D(p,p+4),则 PD=-(p+2)+4,当p=-2时，PD取得最大值为4，P(-2,6);由勾股定理可得 AC,即sn∠0CB三7求出直线BC的解析式为y4+4，如图：过B份 EF∥x轴，过作BF⊥y轴，设E(e,-4e+4),则F(1,-4e+4),易得∠EBF=∠OCB, EF=7BE:PE+7BE=PE+EF≥PF,当且仅当，PF⊥PD时，PE+BE有最 17 17 17 小值PF,再求得PF的长即可； (3)先求出平移后的解析式为y=-x2-5x,，如图：连接MA、MC,易证四边形AMC0是正 方形；如图：连接M0,则∠A0M=∠M0C=45°，设G,(0,q时，∠GMC=∠NOM,进 而得到∠Q,MO=∠AMN;再通过正切函数列方程求得g,然后求出直线MG的解析式为 y=3x+3,然后与新抛物线解析式联立即可解答；再作G关于MC的对称点G,则 1 8 @0,?:然后求得直线MG,的解析式与抛物线联立即可解瓷 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：将于A-4,0),B(1,0)、C0,4代入y=ax2+bx+ca≠0)得： 0=16a-4b+c a=-1 0=a+b+c ,解得： b=-3, 14=c c=4 所以抛物线的表达式为y=-x2-3x+4. (2)解：设AC的解析式为y=mr+n, 0=-4m+n m=1 则 ,解得： 4=n (n=4' .AC的解析式为y=x+4, 设P(p,-p2-3p+4),则D(p,p+4), .PD=-p2-3p+4-(p+4=-p2-4p=-(p+2)+4. .当p=-2时，PD取得最大值为4， P-2,6), B(1,0)、C0,4, .OB=1,OC=4, .AC=V0C2+0B2=V7, .∴.sin∠OCB= 117 V1717 D O B 设直线BC的解析式为y=r+v, 0=u+v u=-4 则4=，解得： =4 :直线BC的解析式为y=-4x+4, 答案第1页，共2页 如图：过E作EF∥x轴，作BF⊥x轴，设E(e,-4e+4),则F(1,-4e+4), .BF∥OC, .∠EBF=OCB, ·sin∠EBF=EF =sin∠OCB=- E 9.6E 17 :PE+ 17 BE=PE+EF≥PF, 当且仅当，PF1PD时，PE+ BE有最小值PF, 17 .F(1,6, :P-2,6), PF=1-（-2=3. (3)解：抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线y经过点M-4,4)及原点0， :.抛物线沿着水平方向作平移一个平移得到新抛物线y, y=-x2-3x+4, y=-(x+1)-3x+1+4=-x2-5x, 如图：连接MA、MC, O外B衣 :M(-4,4,A-4,0),C0,4, .AM=MC=0C=04=4,∠A0C=90°，0M=4√2， :四边形AMC0是正方形， 如图：连接M0,则∠A0M=∠M0C=45°，设G,(0,q)时，∠GMC=∠NOM, .∠QMO=∠AMN, 答案第1页，共2页 如图：过G作G,F⊥OM, :G(0,9, 0G,=9,FG,=F0= 29, MF=0M-oF=4W2- 29, √2 FG .tan∠FMG,= -29 MF 4W5-2.8-g 29 N(-2,0),A-4,0),M(-4,4), NA=2,MA=4, ·tan∠WMA=AN_21 AM 4 2 8 “8g2解得：9兮 设直线MG的解析式为y=mx+n, 1 [4=-4m+n 1m=- 3 则{8 ，解得： n= 3 n= 3 1 所以直线MG的解析式为y=- 3 18 2 3+3,解得： y=- x1=-4 联立 或 出=4 (舍弃)， y=-x2-5x 26 9 (} 如图：作G关于MC的对称点G,则G,0,3 12 同理可得：直线MG,的解析式为：y=- 2.12 3x+ 3 4 212 3 3,解得： x1=-4 3 或 (舍弃)， y=-x2-5x 441y=4 y=- 9 答案第1页，共2页 (9) 综上，Q的坐标为 444) 答案第1页，共2页