6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 温州科技高级中学 张明 平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使 共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不 a = + 这一平面内所有向量的一组基底。 我们把不共线的向量 、 叫做表示 你复习了吗？ 反思： 1、如果两向量不共线，则两向量都是非零向量。 2、基底不唯一，只要两向量不共线，则都可以当基底。所以基底有无数组。 3、基底一旦选定，那它的大小和方向就是固定不变的。而平面内任意向量，所以是不断变化的。基底静，。 4、着而变化，但，则确定。 5、由的所有线性组合构成的集合(就是平面内的全体向量。 你复习了吗？ 不共线的两个向量相互垂直是重要的情形。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解。 给定平面内两个不共线的向量，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量入，，即=，其中向量与共线，向量与共线。 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解 F1 F2 G 正交分解 λ2 a2 a λ1a1 正交分解为什么重要？ 原因是现实中有太多的模型。 重力G可以分解为这 样两个分力：平行于斜面 便术块沿牌面下滑的力 ，垂直于斜面的压力。 练习:如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量， |a|=4，向量a与i的夹角是30°，用向量i、j为基底，表示向量a 注：顾名思义、被称为单位正交基 B a i O j A P 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 思考： 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？ 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。 y O x j i 向量的坐标表示 a xi yj 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a, 由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标， y叫做a在y轴上的坐标 向量的坐标表示 i= j= 0= ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 0, 0 ) a y O x xi yj j i a = ( x, y ) 如图6.3-9，在直角坐标平面中，以原点O为起点作，则点A的位置由向量唯一确定.设，则向量的坐标（x，y）就是终点A的坐标：反过来，终点A的坐标（x，v）也就是向量的坐标，因为=，所以终点A的坐标（x，y）就是向量的坐标，这样就建立了同量的坐标与点的坐标之间的联系！ 在平面直角坐标系中向量的坐标和点的坐标的区别 1、如果一个向量坐标确定则这向量的大小和方向就能确定，但它在平面直角坐标系中的位置不能确定，它可以在平面直角坐标系中任意的平移，因为平移不改变向量的大小和方向。 如果点的坐标确定，那这个点在平面直角坐标系中的位置就可以确定。 2、如果向量的起点是原点即平移到原点，那向量的位置就能确定，且向量的终点坐标就是向量的坐标。 总结：一个向量在坐标系中有三个关键词：大小、方向、位置。 例3 如图6.3-10，分别用基底，表示向量，，并求出它们的坐标。 解：由图6.3-10可知， 所以=（2，3） 同理，=-2i+3j=（-2，3）， =-2i-3j=（-2，-3）， =2i一3j=(2，-3)。 反思：若 ，则M、N、P、Q坐标是多少？ ,,, 作业：预习下节课。 $