精品解析：2025年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟练习数学试题

2025年高中学业水平合格性考试模拟练习 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间90分钟． 参考公式：柱体的体积，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高． 球的表面积，其中表示球的半径． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 则. 故选：B. 2. 已知命题，则是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用命题的否定的求法求出即可. 【详解】因为命题是全称命题， 所以是，故D正确. 故选：D. 3. 是虚数单位， A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，，故选D． 考点：复数的运算． 4. 函数最小正周期是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用三角函数的最小正周期公式直接计算即可. 【详解】在三角函数中，，因此最小正周期. 故选：C. 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数、幂函数、指数函数及对数函数的图象及性质，结合函数奇偶性、单调性的定义即可求解. 【详解】由正弦函数的性质可知：函数为上的奇函数， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项A错误； 由幂函数的图象及性质可知：函数为上的奇函数，且在上单调递增，为增函数，故选项B正确； 由指数函数的图象与性质可知：函数为上的增函数，且为非奇非偶函数，故选项C错误； 由对数函数的图象与性质可知：函数为上的增函数，是为非奇非偶函数，故选项D错误. 故选：B. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】将二次项系数为负的一元二次不等式转化为二次项系数为正的一元二次不等式，利用十字相乘法因式分解，再根据同号为正，异号为负列出不等式组，解不等式组即可得到解集. 【详解】可化为， 即， 可得或， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 7. 在中，角的对边分别是，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化即可求解. 【详解】在中，由， 则， 又因为， 所以. 故选：D 8. 如图，正六边形中，（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，运用向量的加法法则，即可得到答案. 【详解】由六边形是正六边形，可知， 故. 故选:C. 9. 将函数的图象向右平移，所得图象的函数解析式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换原则和诱导公式即可求解. 【详解】函数的图象向右平移所得图象的函数解析式为. 故选：C 10. 设，，，则的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解. 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 11. 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】运用两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，对四个选项分别进行判断，即可得出结论，需要注意考虑特殊情况. 【详解】对于A，，过的平面与交于，则，，，，，正确； 对于B，如图所示，若平面平面，平面平面，，但平面与平面不平行，错误； 对于C，因为若，，则与的位置关系不确定，故与可能相交，可能平行，也可能是，错误； 对于D，因为，垂直于同一个平面，故，可能相交，可能平行，错误. 故选：A. 12. 一个质地均匀正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数可以利用分步计数原理得到，满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数，可以借助数对，列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果. 【详解】由题意知，本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数为， 满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数， 可以列举出事件，，，，，，，，，，，，共有种结果， 根据古典概型的概率公式得到概率是. 故选：D. 13. 已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆柱的体积求出圆柱的高，再由圆柱与球的表面积公式即可得出答案. 【详解】设圆柱的底面半径和球的半径为,圆柱的高为， 所以，所以球的表面积为， 所以圆柱的体积为，解得：， 圆柱的表面积为：， 所以. 故选：A. 14. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】证明充分性时，假设成立，研究是否成立，证明必要性时，假设成立，研究是否成立，即可得出结论. 【详解】充分性：存在成立但不成立的情况，例如，，，，但，因此充分性不成立； 必要性：当时，，因此必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 15. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上. 16. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 【答案】68 【解析】 【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：68 17. 在中，已知，则BC的长为__________． 【答案】 【解析】 分析】根据条件，结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，已知， 则由余弦定理可得 ， 故答案为： 【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题. 18. 已知，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用重要不等式，注意等号成立条件，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则. 故答案为：. 19. 已知函数，则_____ 【答案】## 【解析】 【分析】借助分段函数性质代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 20. 若函数有一个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令有，即与的图像只有一个交点，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】令有，所以与图像只有一个交点， 作出的图像， 由图可有或，即或， 所以， 故答案为：. 三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤） 21. 已知． （1）求和的值： （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求值即可； （2）根据正余弦二倍角公式可求，再利用余弦差角公式求值即可. 【小问1详解】 ，在第二象限， 又，所以， 即，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，， 则 所以的值为. 22. 已知平面向量，． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由向量垂直可得数量积为零，计算即可得； （2）借助向量平行的性质计算计算可得，再利用坐标形式的模长公式计算即可得. 【小问1详解】 若，则，故或； 【小问2详解】 若，则，即， 则或， 若，则，，则， 若，则，，则， 即或 23. 如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： （1）直线平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【小问1详解】 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. 【小问2详解】 ∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 24. 已知幂函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数，且的最小值为0，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，且，求得，即可得到的解析式； （2）由（1）可得，令，的，结合二次函数的性质，分类讨论，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数为幂函数，可得，即，解得， 因为，可得，即，所以， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）可得， 令，因为，可得，则， 当时，即时，此时在区间上单调递增， 所以，解得； 当时，即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得（舍去）； 当时，即时，此时在区间上单调递减， 所以，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高中学业水平合格性考试模拟练习 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间90分钟． 参考公式：柱体的体积，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高． 球的表面积，其中表示球的半径． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ）． A. B. C. D. 3. 是虚数单位， A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）. A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 在中，角的对边分别是，若，则=（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形中，（ ）． A. B. C. D. 9. 将函数的图象向右平移，所得图象的函数解析式为（ ）. A. B. C. D. 10. 设，，，则的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 11. 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C 若，，则 D. 若，，则 12. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（ ）. A. B. C. D. 13. 已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（ ）． A. B. C. D. 14. 已知，则“”是“”的（ ）． A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A 90° B. 60° C. 45° D. 30° 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上. 16. 某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为__________人. 17. 在中，已知，则BC的长为__________． 18. 已知，则的最大值为_____． 19 已知函数，则_____ 20. 若函数有一个零点，则实数的取值范围是__________. 三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤） 21. 已知． （1）求和的值： （2）求的值． 22. 已知平面向量，． （1）若，求的值； （2）若，求． 23. 如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： （1）直线平面； （2）平面平面. 24. 已知幂函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若函数，且最小值为0，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$