2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01（春季高考适用）

**基本信息** 聚焦学业水平合格性要求，融合基础概念与现实情境，梯度设计适配数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/45|集合运算、命题否定、不等式解法、函数概念|第13题结合“双减”政策频率分布直方图，考查数据观念与应用意识| |填空题|5/15|函数定义域、单位向量、百分位数、解三角形|第18题铅球成绩百分位数计算，体现数学思维的数据分析能力| |解答题|4/40|三角函数综合、向量运算、立体几何证明与体积、函数奇偶性与单调性|第23题直三棱柱证明与体积计算，综合空间观念与运算能力；第24题函数解析式与单调区间分析，考查逻辑推理与数学表达|

2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是由既属于又属于的元素所组成的集合，所以． 2．已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案． 【详解】原命题，，是存在量词命题， 其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以为，． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以，即． 即，所以． 所以不等式的解集是． 方法二：，得或， 解得或． 所以不等式的解集是． 4．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确． 5．已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，所以， 上下同除即可得， 代入，可得． 6．已知，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【详解】由得， ， 所以． 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数性质，借助中间值进行大小比较． 【详解】由对数函数性质可知，； 由指数函数性质可知，，因为且，所以； 又，因为且，所以． 综上所述，． 故选：A． 8．已知向量的夹角为，则（    ） A． B． C． D．48 【答案】B 【分析】根据垂直关系，可得的值，根据数量积公式，可得，对所求平方，整理计算，即可得答案． 【详解】因为，所以，即，则， 所以，解得， 所以． 9．在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助大边对大角可得A；借助三角形内角和计算可得B；借助三角形三边关系可得C；计算可得，即可得D． 【详解】对A：由，则，则，由、，与矛盾， 故不存在这样的三角形，故A错误； 对B：，则三角形各角度固定且有一边长固定， 故该三角形有且只有一个，故B正确； 对C：由，故不存在这样的三角形，故C错误； 对D：，则， 故满足题意的三角形有两个，故D错误． 10．函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】令，则有，故函数的一个对称中心为． 11．函数 在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负逐一分析判断选项． 【详解】已知， ， 因此是奇函数，图象关于原点对称，排除关于轴对称的选项A、B； 当时：，故； 同时，因此负数正数， 即时，图象在轴下方，选项C符合该特征，选项D不符合． 12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以，， 所以． 13．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2．25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 【答案】D 【分析】计算超过3小时的频率可判断A；利用直方图求出超过2小时的概率可判断B；求出众数可判断C；计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D． 【详解】对于A，超过3小时的概率估计为：，A正确； 对于B，超过2小时的概率估计为：，所以估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时，B正确； 对于C，由图知众数约为（小时），C正确； 对于D，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：，所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，D错误． 故选：D． 14．一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设“恰有两个是黑球”为事件， 由古典概型概率计算公式，． 15．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用互斥和对立的定义逐个选项分析求解即可． 【详解】一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况， 设（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）． 设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件， 则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色）， 则，，和是互斥不对立事件，故①正确； ②设2张卡片恰有1 张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， 则，，和是互斥不对立事件，故②正确； ③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， （蓝色，蓝色），则，， 得到和是不互斥不对立事件，故③不正确； ④设2 张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，， 得到和是对立事件，故④不正确． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】应用正切函数定义域计算求解． 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域为 17．已知平面向量，与垂直的单位向量的坐标为______． 【答案】或 【分析】设垂直的单位向量的坐标为，根据求模公式及向量垂直的坐标关系，即可求得答案． 【详解】设垂直的单位向量的坐标为，则， 整理得，解得，，且， 所以与垂直的单位向量的坐标为或． 18．某班学号1-8的学生铅球测试成绩如下表： 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩 9．2 7．9 8．5 6．8 5．2 7．2 8．1 8．2 这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为__________． 【答案】7 【分析】先排序，再利用百分位数的计算方法即可求解． 【详解】先将这8个数据从小到大排序：5．2，6．8，7．2，7．9，8．1，8．2，8．5，9．2， 因为，所以这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为． 19．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________． 【答案】 【分析】由正弦定理直接求解即可． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则为锐角，所以． 20．已知实数，满足，则的最小值为_____． 【答案】3 【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得． 【详解】设，因，则， 且， 因，当且仅当时取等， 即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题满分10分） 已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 ． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，，， 所以 ． 所以． （2）因为 ， 所以． （3）因为 所以． 22．（本小题满分10分） 已知向量， (1)若，求的值； (2)当时，求； (3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论． 【详解】（1）由题设，得，即， 所以． （2）当时，， 所以 故． （3）由题设，，故， 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或． 所以的取值范围为． 23．（本小题满分10分） 如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可． （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可． （3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证出平面，结合等体积法求解即可． 【详解】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面． （3）过点作． 在中，，即． 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离． 又， ． 故三棱锥的体积为8． 24．（本小题满分10分） 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式并直接写出的单调区间； (2)当时，求的最小值的解析式． 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为． (2) 【分析】（1）由已知结合奇函数性质先求，然后结合奇函数定义即可求解函数解析式； （2）先判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数最值． 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 所以，解得，即时，； 当时，，， 故， 单调递增区间为，单调递减区间为． （2）作出函数的大致图象如图所示： ① 当时，函数在上单调递增，则； ② 当，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③ 当时，，函数在上单调递减， 则； ④ 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； ⑤ 当时，即当时，函数在上单调递增，在单调递减， 又， 所以，此时， ⑥ 当时，即时，在单调递增， 所以， 综上所述，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年7月天津市高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷·答题卡 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 16． _______________________ 17． _______________________ 18． _______________________ 19． _______________________ 20． _______________________ 三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21. （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续21题） 22． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （1 0 分） 24． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01 参考答案 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C A C D A B A B B B C C D A B 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16、 17、或 18、7 19、 20、3 三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，，， 所以 ． 所以． （2）因为 ， 所以． （3）因为 所以． 22.（本小题满分10分） 已知向量， (1)若，求的值； (2)当时，求； (3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论． 【详解】（1）由题设，得，即， 所以． （2）当时，， 所以 故． （3）由题设，，故， 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或． 所以的取值范围为． 23.（本小题满分10分） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可． （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可． （3）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证出平面，结合等体积法求解即可． 【详解】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面． （3）过点作． 在中，，即． 直三棱柱中，平面，因为，平面，所以，， 因为，平面，，所以平面， 则即为点到平面，也即平面的距离． 又， ． 故三棱锥的体积为8． 24.（本小题满分10分） 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为． (2) 【分析】（1）由已知结合奇函数性质先求，然后结合奇函数定义即可求解函数解析式； （2）先判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数最值． 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 所以，解得，即时，； 当时，，， 故， 单调递增区间为，单调递减区间为． （2）作出函数的大致图象如图所示： ① 当时，函数在上单调递增，则； ② 当，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； ③ 当时，，函数在上单调递减， 则； ④ 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； ⑤ 当时，即当时，函数在上单调递增，在单调递减， 又， 所以，此时， ⑥ 当时，即时，在单调递增， 所以， 综上所述，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷01 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知，则（   ） A． B． C． D．1 6．已知，则（    ） A． B． C．1 D．4 7．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量的夹角为，则（    ） A． B． C． D．48 9．在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 10．函数的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 11．函数 在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积之比是（   ） A． B． C． D． 13．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（    ）    A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2．25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间 14．一个密封的袋子里面装有4个黑球，2个白球，从中任取3个球，恰有两个是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 15．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．函数的定义域为__________． 17．已知平面向量，与垂直的单位向量的坐标为______． 18．某班学号1-8的学生铅球测试成绩如下表： 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 成绩 9．2 7．9 8．5 6．8 5．2 7．2 8．1 8．2 这8名学生铅球测试成绩的第25百分位数为__________． 19．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________． 20．已知实数，满足，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题满分10分） 已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 ． 22．（本小题满分10分） 已知向量， (1)若，求的值； (2)当时，求； (3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围 23．（本小题满分10分） 如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积． 24．（本小题满分10分） 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式并直接写出的单调区间； (2)当时，求的最小值的解析式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $