2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02（春季高考适用）

2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集，集合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：， 因为，所以． 2．已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件． 3．已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵不存在，使得不等式成立， ∴对任意，不等式恒成立， ∴方程对应的，解得． 4．下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数、反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】对于A，函数为偶函数，不满足题意； 对于B，函数是奇函数，且单调递增，满足题意； 对于C，函数为非奇非偶函数，不满足题意； 对于D，函数为奇函数，但在定义域上不单调，不满足题意． 5．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】应用任意角的三角函数定义结合特殊角的三角函数值计算求解． 【详解】 角的终边过点， 由题可知． 故选：B 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指对运算，以及函数单调性，与比较，即可判断． 【详解】，所以． 故选：A． 8．在中，，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过向量的线性运算，将目标向量用基底表示，再利用平面向量基本定理建立方程组求解参数，进而得到结果． 【详解】由，得为中点，故． 由，得，故． 将、代入， 得，整理得． 由与不共线，得，解得，，故． 9．已知三个内角满足，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理可将角化为边，再利用余弦定理计算可得，即可得为钝角三角形． 【详解】由正弦定理可得，设， 则，，，， 故为钝角，即的形状为钝角三角形． 10．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照和对图象变换的影响写出相应的解析式即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得到， 即所得到的图象的函数解析式是． 11．已知函数，当时，x所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的单调性，结合特殊点的函数值，分析即可得答案． 【详解】因为为增函数，且， ， 所以x所在的区间为． 12．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则或，A错误； 若，，所以或，B错误； 若，直线只垂直于平面内的一条直线，无法得到，C错误； ，则平面内存在直线l与直线平行，则，可得,D正确． 13．某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则．） A．45．8 B．140．8 C．176 D．183．2 【答案】B 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得． 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 ． 14．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 15．已知一组数据：，1，2，3，4，5，17，若该组数据的第80百分位数为5，平均数不小于5，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由百分位数计算公式确定，再结合平均数计算公式即可求解． 【详解】这组数据共个，因为， 则第个数据为第80百分位数， 由题意第80百分位数为，说明从小到大排序后，第个数是， 若，则第80百分位数为或17，不符合题意，因此， 又平均数不小于，则，即， 综上可得，． 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．函数的最小正周期是________． 【答案】 【分析】根据题意，利用余弦型函数的性质，即可求解． 【详解】由函数，可得，即函数的最小正周期为． 17．已知 ，，则向量在方向上投影向量坐标为_________． 【答案】 【详解】， 故向量在方向上投影向量坐标为． 18．一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________． 【答案】10 【详解】解：根据题意男、女运动员的比例为， 所抽样本中男运动员的人数为16， 则该样本中女运动员的人数为． 19．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________． 【答案】/ 【分析】先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数得出正弦值，最后应用面积公式计算求解． 【详解】由余弦定理得：，所以， 所以． 20．正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】因，则，当且仅当时取等号． 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题满分10分） 已知角的终边经过点，且． (1)求t和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义解得，进而可求的值； （2）根据题意结合诱导公式运算求解即可． 【详解】（1）因为角的终边经过点，且， 则，且，解得， 即，所以． （2）由题意可得：． 22．（本小题满分10分） 已知复数，其中． (1)若为实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由虚部为0列式求值． （2）由实部为0，虚部不为0列式求值． （3）由实部大于0，虚部小于0列式求的取值范围． 【详解】（1）由为实数，所以虚部为0， 即或． （2）由是纯虚数，所以， 所以． （3）由对应的点位于第四象限，所以， 所以． 所以的取值范围为． 23．（本小题满分10分） 如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高． (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比； 【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接， 过点作，交于点． 则， 所以， 所以四棱台的表面积． （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高． 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 24．（本小题满分10分） 已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，不等式可化为，即，求解可得； （2）根据方程的解的情况，讨论的取值范围，根据不等式的特征求解即可； （3）根据二次不等式恒成立的条件求解可得． 【详解】（1）当时，由，可得，即， 解得． 所以当时，不等式的解集为． （2）由，得． 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集，集合，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知a，b为实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知不存在，使得不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（   ） A． B． C． D．2 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，设，则（   ） A． B． C． D． 9．已知三个内角满足，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 10．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，当时，x所在的区间为（    ） A． B． C． D． 12．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则．） A．45．8 B．140．8 C．176 D．183．2 14．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 15．已知一组数据：，1，2，3，4，5，17，若该组数据的第80百分位数为5，平均数不小于5，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共55分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16．函数的最小正周期是________． 17．已知 ，，则向量在方向上投影向量坐标为_________． 18．一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________． 19．在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________． 20．正数m，n满足，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题满分10分） 已知角的终边经过点，且． (1)求t和的值； (2)求的值． 22．（本小题满分10分） 已知复数，其中． (1)若为实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若对应的点位于第四象限，求的取值范围． 23．（本小题满分10分） 如图是一个正四棱台的铁料，上､下底面的边长分别为和，高． (1)求四棱台的表面积； (2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 24．（本小题满分10分） 已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 参考答案 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A A A B B D A A C C A D B D A 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） 16、 17、 18、10 19、/ 20、2 三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21.（本小题满分10分） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义解得，进而可求的值； （2）根据题意结合诱导公式运算求解即可． 【详解】（1）因为角的终边经过点，且， 则，且，解得， 即，所以． （2）由题意可得：． 22.（本小题满分10分） 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由虚部为0列式求值． （2）由实部为0，虚部不为0列式求值． （3）由实部大于0，虚部小于0列式求的取值范围． 【详解】（1）由为实数，所以虚部为0， 即或． （2）由是纯虚数，所以， 所以． （3）由对应的点位于第四象限，所以， 所以． 所以的取值范围为． 23.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出侧面的斜高，得到侧面积，再与上下底面积求和得到表面积； （2）最大的圆台是上底面圆与棱台上底面正方形相切，高为棱台的高时，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可得到削去部分，从而得到体积之比； 【详解】（1）如下图，正四棱台侧面是全等的等腰梯形， 分别取中点，连接， 过点作，交于点． 则， 所以， 所以四棱台的表面积． （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台， 则圆台的上、下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高． 则圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， 高，则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与圆台的体积之比为； 24.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，不等式可化为，即，求解可得； （2）根据方程的解的情况，讨论的取值范围，根据不等式的特征求解即可； （3）根据二次不等式恒成立的条件求解可得． 【详解】（1）当时，由，可得，即， 解得． 所以当时，不等式的解集为． （2）由，得． 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当或时，， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年7月天津市高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷·答题卡 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 16． _______________________ 17． _______________________ 18． _______________________ 19． _______________________ 20． _______________________ 三、解答题（本题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21. （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续21题） 22． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23． （1 0 分） 24． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $