专题10.4 分式的乘除（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

专题10.4 分式的乘除 知识点1：分式的乘法 1.法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 2.公式：。 3.关键：分子、分母是多项式时，先因式分解再约分，结果化为最简分式或整式。 知识点2：分式的除法 1.法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（一变一倒）。 2.公式：。 3.整式作除式：把整式看作分母为1的分式，再按除法法则计算。 知识点3：分式的乘方 1.法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方。 2.公式：。 3.符号规则：负数偶次方为正，奇次方为负，先定符号再算绝对值。 知识点4：分式的乘除混合与混合运算 1.乘除混合：统一为乘法，按从左到右顺序计算，有括号先算括号内。 2.四则混合：先乘方→再乘除→最后加减，能因式分解先分解，能用运算律简化运算优先用运算律。 知识点5：分式运算通用步骤 1.判：判断运算类型（乘/除/乘方/混合）。 2.变：除法变乘法，除式颠倒；符号统一。 3.分：多项式先因式分解。 4.约：约分至最简。 5.算：按法则计算，结果为最简分式或整式。 【基础必考题型】 【题型1】单项式分式的乘法 1.核心知识点 分式乘法法则；符号法则（奇负偶正）；约分 2.解题方法技巧 分子×分子，分母×分母；先定符号再算绝对值；系数与字母分别约分 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式 【变式题1-3】.（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 【题型2】单项式分式的除法 1.核心知识点 除法变乘法；除式颠倒；分式乘法 2.解题方法技巧 一变（变÷为×）、一倒（颠倒除式）、三算（同乘法） 【例题2】.（25-26八年级下·山东济南·期中）化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 【答案】C 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）化简（   ） A．1 B．a C． D． 【答案】D 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题2-2】.（2026·河北沧州·一模），则____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除运算．根据题意得出，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法运算，利用分式除法法则将除法转化为乘法，再通过约分简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【题型3】多项式分式的乘法 1.核心知识点 因式分解；分式乘法；约分 2.解题方法技巧 先分解因式→交叉约分→再相乘→化最简 【例题3】.（2026·河北廊坊·一模）化简的结果是______． 【答案】 【详解】解： 【变式题3-1】.（2026·河北石家庄·一模）化简的结果为______． 【答案】 【分析】先对原式的分子运用平方差公式进行因式分解，再根据分式乘法运算法则约分，即可得到化简结果． 【详解】解：． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先判断分母能否与分子的因式产生公因式，若不存在公因式则无法进行分式化简，据此分析各选项． 【详解】解：A、当时，，能化简，故该选项不符合题意； B、当时，，能化简，故该选项不符合题意； C、当时，，无法进行分式化简，故该选项符合题意； D、当时，，能化简，故该选项不符合题意． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算和完全平方公式的因式分解，掌握先对多项式因式分解，再通过约分简化计算的技巧是解题的关键． 先对分母的多项式进行因式分解，再观察分子分母的公因式，通过约分简化分式乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 约去公因式 得 ， 故选：C． 【题型4】多项式分式的除法 1.核心知识点 除法转乘法；因式分解；约分 2.解题方法技巧 先变乘、颠倒式→分解→约分→计算 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合分式除法法则化简原式，再将各选项代入被污染部分，判断结果是否为整式，即可得到答案． 【详解】解：根据分式除法运算法则，原式可化为： A 当时，原式，结果分母含未知数，不是整式，此选项符合题意； B 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； C 当时，原式，是整式，此选项不符合题意；. D 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； ∴ 被墨水覆盖的部分不可能是． 【变式题4-1】.（2026·江苏南京·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】先对括号内的式子进行通分计算，再对分子分母进行因式分解，最后将除法转化为乘法进行约分． 【详解】解：原式 ． 【变式题4-2】.（2022·辽宁沈阳·模拟预测）化简：______． 【答案】 【分析】先对分子分母进行因式分解，再根据分式乘除法的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·天津·开学考试）计算：______ 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对多项式因式分解，最后约分得到计算结果． 【详解】解： ． 【题型5】分式的乘方运算 1.核心知识点 分子分母分别乘方；符号判断；幂的运算 2.解题方法技巧 先定符号→分子、分母分别乘方→合并幂次→化简 【例题5】.（25-26八年级下·河南洛阳·期中）计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 【答案】 【分析】先计算负整数指数幂，再计算分式的乘方及乘除即可． 【详解】解： ． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘方、负整数指数幂的运算法则逐步化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】利用运算法则对每个式子进行计算，然后判断对错． 【详解】解：①计算 原式，∴①正确． ②计算 原式，∴②错误． ③计算； 原式，∴③错误． ④计算； 原式，∴④错误． ⑤计算 原式，∴⑤正确． 综上，正确的是①⑤． 故答案是：①⑤． 【点睛】本题考查了分式的乘方、乘除运算，解题关键是熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，准确进行计算． 【培优高频题型】 【题型6】分式乘除混合运算 1.核心知识点 统一为乘法；从左到右；因式分解与约分 2.解题方法技巧 全变乘→定符号→分解→大面积约分→一步出结果 【例题6】.（25-26八年级下·四川宜宾·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题6-1】.（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题先通分计算括号内的分式加法，再对分子分母因式分解，最后约分得到化简结果． 【详解】解：原式 ． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型7】分式化简求值 1.核心知识点 分式乘除化简；分母不为0；不等式/范围取数 2.解题方法技巧 先化简→排除使分母为0的值→代入计算 【例题7】.（2026·安徽马鞍山·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内的分式进行通分并化简，同时将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解并约去公因式，得到最简分式后，将给定的值代入计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】先根据分式混合运算进行化简，再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【变式题7-2】.（2026·安徽六安·二模）化简并求值：，其中， 【答案】， 【详解】解：， 当时，原式． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】注意分式有意义的条件是分母不为0，故且，故只能选3代入求值． 【详解】解：原式 由，知且且，故取，代入得原式的值为 ． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算（分式乘除背景） 1.核心知识点 自定义规则翻译；分式乘除；方程思想 2.解题方法技巧 按定义列式→转化为常规乘除→化简→求解/判断 【例题8】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）对于任意两个非零的有理数a，b，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，分式的化简求值．根据新运算定义，由可得，进而得到，代入所求表达式化简即可． 【详解】解：由，得，即，所以， 则， 代入，得， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 【变式题8-2】.（2026·江苏扬州·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， 解得，； ②解，即， 解得； 解，即， 解得； ∴不等式的解集为， ∵关于m的不等式组恰好有2个整数解， 即， ∴， 解得； （2）解：∵对任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 展开得， 化简得， 再整理得， 由于上式对于任意实数x，y都成立， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 【题型9】规律探究与分式运算 1.核心知识点 分式递推运算；式子变形；从特殊到一般 2.解题方法技巧 算前几项→找规律→用分式乘除证明→推广到n 【例题9】.（24-25七年级下·吉林·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ）      1  1          1  2  1        1  3  3  1    1  4  6  4  1   A． B．2021 C．4042 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：由可知， 展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是4042． 故选：C． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）；（2）（，且n为正整数），见解析；（3）14或34或71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 【变式题9-3】.（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 【题型10】分式运算综合探究（存在性/最值） 1.核心知识点 分离常数；整数解；分式值不变问题 2.解题方法技巧 化简→判断与x无关/为整数→讨论参数→检验 【例题10】.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】（2）已知，，，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到；将所求分式取倒数，利用完全平方公式配方和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到的值，将所求的分式取倒数计算出结果，代入求值后，再取倒数即可得出结论． 【详解】解：（1） 即 （2）∵ ∴ ∴由①+②+③得： ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想方法．本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·江苏南通·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【答案】(1)分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 (2) (3)8 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）参照例题材料，设−，然后求出a、b的值，从而即可得出答案； （2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立， ， ，． ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． （2）解：， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵x为整数， ∴，， ∴ （3）解：由（1）得， 当时，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为8． 易错点 1.除法运算只变号不倒式，或颠倒被除式而非除式。 2.乘方时漏给多项式加括号，只给部分项乘方。 3.符号判断错误，负号乘方混淆奇负偶正。 4.多项式不分解直接乘除，不约分导致计算复杂易错。 5.化简求值选取使分母为0的数值。 6.混合运算顺序错误，先算加减后算乘除。 重点 1.熟练掌握分式乘、除、乘方运算法则。 2.多项式运算先因式分解再约分的规范步骤。 3.分式乘除混合运算统一为乘法。 4.分式化简求值与实际应用问题。 难点 1.含负号、多项式、乘方的综合运算符号与顺序处理。 2.复杂多项式快速因式分解与精准约分。 3.新定义、规律探究、跨情境建模等创新题型。 4.分式值为整数/常数/最值的存在性讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式通分、除法法则和约分的知识求解即可． 【详解】解：先对括号内的式子通分： ，， ∴原式 ． 2．已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 【答案】A 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 3．已知，下列有关M的值，说法正确的是（    ） A．存在 B．存在 C．存在 D．M存在最大值 【答案】B 【分析】先根据分式运算法则化简M，结合分式有意义的条件确定x的取值范围，再逐一判断选项即可． 【详解】， 根据分式有意义的条件，得且， ∴且， 逐一判断选项： A项：若，则，得，不满足，原式无意义，故A错误； B项：若，则，得，满足且，原式有意义，故B正确； C项：若，则，得，不满足，原式无意义，故C错误； D项：∵， ∴可取任意不等于0和2的实数， ∴M没有最大值，故D错误． 二、填空题 4．化简的结果为____． 【答案】 【分析】先根据同分母分式的减法法则计算，再对分子因式分解，约分后即可得到结果． 【详解】解：． 5．已知，，则_____． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式，将两边平方后，结合已知的的值，建立关于的方程求解． 【详解】解：对两边同时平方，根据完全平方公式得， 展开得， 将代入上式得， 移项得， 解得． 6．已知，则代数式的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、分式的化简以及代数式的整体代入求值． 根据分式的混合运算法则，经过通分，除法转化为乘法，运用完全平方公式进行因式分解，约分等步骤后得到化简后的整式，再将已知分式进行通分，根据整体代入思想转化为所求整式的值. 【详解】解：， ， ， ， ， 等式两边同时乘，得， ， 原式． 三、解答题 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】根据分式的运算法则化简式子，再代入到化简后的式子即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．问题：已知，求的值． 小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法： 已知，则a，，原式； 请阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，则______； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照材料方法的原式为化简计算即可； （2）由已知得，代入原式化简为计算即可． 【详解】（1）解：∵，则a，， ∴ ； （2）解：∵，则a，， ∴， ∴ ． 10．在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 【答案】(1)第一步和第二步 (2)见解析，当时，原式 【分析】（1）第一步加法运算出错，第二步因式分解出错； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是：第一步和第二步； （2）解： ， 当时，原式． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4 分式的乘除 知识点1：分式的乘法 1.法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 2.公式：。 3.关键：分子、分母是多项式时，先因式分解再约分，结果化为最简分式或整式。 知识点2：分式的除法 1.法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（一变一倒）。 2.公式：。 3.整式作除式：把整式看作分母为1的分式，再按除法法则计算。 知识点3：分式的乘方 1.法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方。 2.公式：。 3.符号规则：负数偶次方为正，奇次方为负，先定符号再算绝对值。 知识点4：分式的乘除混合与混合运算 1.乘除混合：统一为乘法，按从左到右顺序计算，有括号先算括号内。 2.四则混合：先乘方→再乘除→最后加减，能因式分解先分解，能用运算律简化运算优先用运算律。 知识点5：分式运算通用步骤 1.判：判断运算类型（乘/除/乘方/混合）。 2.变：除法变乘法，除式颠倒；符号统一。 3.分：多项式先因式分解。 4.约：约分至最简。 5.算：按法则计算，结果为最简分式或整式。 【基础必考题型】 【题型1】单项式分式的乘法 1.核心知识点 分式乘法法则；符号法则（奇负偶正）；约分 2.解题方法技巧 分子×分子，分母×分母；先定符号再算绝对值；系数与字母分别约分 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）计算：_____． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）计算：___________． 【题型2】单项式分式的除法 1.核心知识点 除法变乘法；除式颠倒；分式乘法 2.解题方法技巧 一变（变÷为×）、一倒（颠倒除式）、三算（同乘法） 【例题2】.（25-26八年级下·山东济南·期中）化简的结果是（   ） A． B．m C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）化简（   ） A．1 B．a C． D． 【变式题2-2】.（2026·河北沧州·一模），则____________． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）计算（    ） A． B． C． D．1 【题型3】多项式分式的乘法 1.核心知识点 因式分解；分式乘法；约分 2.解题方法技巧 先分解因式→交叉约分→再相乘→化最简 【例题3】.（2026·河北廊坊·一模）化简的结果是______． 【变式题3-1】.（2026·河北石家庄·一模）化简的结果为______． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型4】多项式分式的除法 1.核心知识点 除法转乘法；因式分解；约分 2.解题方法技巧 先变乘、颠倒式→分解→约分→计算 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026·江苏南京·模拟预测）计算：． 【变式题4-2】.（2022·辽宁沈阳·模拟预测）化简：______． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·天津·开学考试）计算：______ 【题型5】分式的乘方运算 1.核心知识点 分子分母分别乘方；符号判断；幂的运算 2.解题方法技巧 先定符号→分子、分母分别乘方→合并幂次→化简 【例题5】.（25-26八年级下·河南洛阳·期中）计算：________．（结果只含有正整数指数幂） 【变式题5-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）计算：的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是______（填序号）． 【培优高频题型】 【题型6】分式乘除混合运算 1.核心知识点 统一为乘法；从左到右；因式分解与约分 2.解题方法技巧 全变乘→定符号→分解→大面积约分→一步出结果 【例题6】.（25-26八年级下·四川宜宾·期中）计算： (1) (2) 【变式题6-1】.（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）计算：． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算或化简： (1)； (2)． 【题型7】分式化简求值 1.核心知识点 分式乘除化简；分母不为0；不等式/范围取数 2.解题方法技巧 先化简→排除使分母为0的值→代入计算 【例题7】.（2026·安徽马鞍山·二模）先化简，再求值：，其中． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题7-2】.（2026·安徽六安·二模）化简并求值：，其中， 【变式题7-3】.（25-26八年级下·四川成都·期中）先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算（分式乘除背景） 1.核心知识点 自定义规则翻译；分式乘除；方程思想 2.解题方法技巧 按定义列式→转化为常规乘除→化简→求解/判断 【例题8】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）对于任意两个非零的有理数a，b，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为___________． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【变式题8-2】.（2026·江苏扬州·一模）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知， ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围． (2)若对任意实数x，y都成立（这里，都有意义），则a、b应满足怎样的关系式？ 【变式题8-3】.（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【题型9】规律探究与分式运算 1.核心知识点 分式递推运算；式子变形；从特殊到一般 2.解题方法技巧 算前几项→找规律→用分式乘除证明→推广到n 【例题9】.（24-25七年级下·吉林·期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（   ）      1  1          1  2  1        1  3  3  1    1  4  6  4  1   A． B．2021 C．4042 D． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】（1）______； 【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·安徽六安·期末）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【变式题9-3】.（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【题型10】分式运算综合探究（存在性/最值） 1.核心知识点 分离常数；整数解；分式值不变问题 2.解题方法技巧 化简→判断与x无关/为整数→讨论参数→检验 【例题10】.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】（2）已知，，，求的值． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·江苏南通·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 易错点 1.除法运算只变号不倒式，或颠倒被除式而非除式。 2.乘方时漏给多项式加括号，只给部分项乘方。 3.符号判断错误，负号乘方混淆奇负偶正。 4.多项式不分解直接乘除，不约分导致计算复杂易错。 5.化简求值选取使分母为0的数值。 6.混合运算顺序错误，先算加减后算乘除。 重点 1.熟练掌握分式乘、除、乘方运算法则。 2.多项式运算先因式分解再约分的规范步骤。 3.分式乘除混合运算统一为乘法。 4.分式化简求值与实际应用问题。 难点 1.含负号、多项式、乘方的综合运算符号与顺序处理。 2.复杂多项式快速因式分解与精准约分。 3.新定义、规律探究、跨情境建模等创新题型。 4.分式值为整数/常数/最值的存在性讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列判断正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或 3．已知，下列有关M的值，说法正确的是（    ） A．存在 B．存在 C．存在 D．M存在最大值 二、填空题 4．化简的结果为____． 5．已知，，则_____． 6．已知，则代数式的值为_____． 三、解答题 7．计算： (1) (2) 8．先化简，再求值：，其中． 9．问题：已知，求的值． 小明在解决以上代数式求值的问题时，采取以下做法： 已知，则a，，原式； 请阅读上述材料，解决下列问题： (1)已知，则______； (2)已知，求的值． 10．在数学课上，老师出了一道题目，并展示了嘉嘉的解题过程． 化简： 原式．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 (1)嘉嘉的解题步骤中所有错误步骤是： ； (2)请写出正确的解答过程，并从3，，这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $