陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高一第一学期期末数学试题

高一第一学期期末数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题共58分) 一、单选题(本愿共8小题，每小题5分，共40分。在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 2．若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 4．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数若存在实数，使得函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是（    ） A．函数与是同一函数 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是真命题 D．集合，且没有真子集 10．已知是上的增函数，那么实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 第一部分(选择题共92分) 三、填空题（本题共3小题，没小题5分，共15分） 12．已知函数，则 . 13．已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 14．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为 . 四、解答题(本题共5小题，共77分。解应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）化简或求值： (1)； (2)； (3). 16．（15分）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数 (2)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 17．（15分）幂函数的定义域是全体实数． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分）2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本500万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，已知每辆车的售价为8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额－成本） （2）当2020年产量为多少时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 19．（17分）已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 高一第一学期期末数学试题 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B D B A BCD AC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】利用集合补集与交集的定义求解即可. 【详解】因为全集，，， 所以， 故. 故选：C. 2．B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．A 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 4．C 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 5．B 【分析】利用指数函数以及幂函数单调性即可得出结论. 【详解】由函数为单调递增函数可得； 由幂函数在上单调递增，可得，所以. 故选：B 6．D 【分析】先求出函数的定义域，再换元，令，则，然后求出的单调区间，再由“同增异减”的判断方法可求出的增区间 【详解】由，得，得， 所以函数的定义域为， 令（），则， 因为在上递增，在递减，在上递增， 所以的增区间为， 故选：D 7．B 【分析】画出函数的图象，根据图象可求解. 【详解】由题意，， 函数有4个不同的零点， 函数的图象和直线有4个交点， 函数的图象如下：    由图可知，当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增，且， 当 时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，且； 所以实数的取值范围是. 故选：B. 8．A 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可. 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 9．BCD 【分析】对于A，通过定义域可判断，对于B，通过充分性、必要性分别判断即可，对于C，写出否定，结合二次函数即可判断，对于D，由空集没有真子集，可判断. 【详解】对于A，两个函数定义域不一样，故不同，A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C正确； 对于D，集合，且是空集，而空集没有真子集，所以D正确. 故选：BCD 10．AC 【分析】分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值,从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】要在上单调递增，需满足， 解得，故实数的值可以为，； 故选：AC 11．ABD 【分析】将代入，得，将代入，可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确. 【详解】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】利用分段函数求值，先求出内层，再代入求出外层函数值即可. 【详解】由函数得， ， 所以， 故答案为： 13． 【分析】根据分层比可求男生人数. 【详解】男生的分层比为，故人中男生的人数为， 故答案为：. 14． 【分析】根据题意得出函数关系，求出h，然后即可得出答案. 【详解】由题得， ，代入得，解得， 所以，当时，解得， 即降温到，需要的时长为. 故答案为：. 15．(1)； (2)0； (3)1. 【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求出结果； （2）根据对数运算法则直接求解即得； （3）利用根式的概念即得. 【详解】（1）； （2） ； （3）. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图性质可得，根据中位数的定义计算即可； （2）根据古典概型公式计算即可． 【详解】（1）解：根据频率分布直方图性质可得：， 所以， 因为共五组，前三组的频率和， 前四组的频率和，所以中位数位于第四组. 设中位数为，则， 根据中位数的定义，可得， 所以； （2）因为第四组与第五组的频率之比为， 故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，；第五组抽取人数为人，记为，， 从人中选出人，共有，，，，，，，，，，，，，，共有种， 其中选出的人来自同一区间的有种，，，，，，，； 则选出的人中来自同一组的概率为． 17．(1) (2) 【分析】（1） 根据幂函数定义得到系数为1，再结合定义域即可求得； （2）由（1）可得在区间 上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在 上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论. 【详解】（1）由题意得 解得 ，所以 （2）由（1）得， 不等式 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 令 ，对称轴为,则函数在单调递减，在单调递增， 则 ， 所以 ，解得 ， 所以实数m的取值范围是 . 18．（1）；（2）2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 【分析】（1）由利润=销售额-固定成本-另投入成本，可得分段函数解析式. （2）分和两种情况，可得最大利润. 【详解】（1）当时，； 当时，. 故. （2）若，. 当时，万元. 当时，， 当且仅当，即时，万元. 故2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 19．(1)函数是定义在上的增函数. (2) (3) 【分析】（1）利用函数单调性的定义即可得到结果. （2）由第一问的结果增函数即可求解不等式的解集. （3）首先将函数恒成立问题转化成立，就是关于t的不等式求解，再构造函数进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数是定义在上的奇函数，所以， 设则由得到， 即，由函数单调性的定义易得函数是定义在上的增函数. （2）由（1）知函数是定义在上的增函数，且； 则有,解得，所以不等式的解集为 （3）因为，所以，若对所有， 恒成立，则成立，且， 所以对恒成立，即，恒成立， 令，则,即,解得，故实数的取值范围为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $