精品解析：陕西省渭南市渭南高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

渭南高级中学2025—2026学年度第一学期期末考试 高一数学试题 答卷须知： 1、请在答题纸上作答. 2、试卷满分150分，考试时间150分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“函数是偶函数”的否定可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 4. 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样办法抽取样本，某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生比女生少6人，则该校共有男生（ ） A. 1030人 B. 1050人 C. 950人 D. 970人 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是 A. B. C D. 7. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ） A B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设a，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. （） C. 存在，使得 D. 函数的零点个数为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，则的值是______. 13. 已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 14. 已知定义在上的奇函数关于对称，当时，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值++； （2）设求的值. 16. 某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x（单位：吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示．（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表） （1）求频率分布直方图中a的值； （2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数； （3）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？ 17. 已知函数，函数. （1）若定义域为R，求实数m的取值范围； （2）当时，函数的最小值为1，求实数a的值. 18. 设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“弱不动点”，也称在区间上存在“弱不动点”．设函数，． （1）若，求函数的“弱不动点”； （2）若函数在上不存在“弱不动点”，求实数的取值范围． 19. 已知函数 （1）若，否存在，使得为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由； （2）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，存在，对任意，都有成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南高级中学2025—2026学年度第一学期期末考试 高一数学试题 答卷须知： 1、请在答题纸上作答. 2、试卷满分150分，考试时间150分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 转化条件为，，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2. 命题“函数是偶函数”的否定可表示为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】 该命题为全称命题，其否定是特称命题，除了将量词进行变化以外，还要将结论进行否定，最后用数学符号表示即可. 【详解】命题“”的否定为：“存在某个函数不是偶函数”， 即：， 故选：A. 【点睛】本题主要考查的知识点是命题的否定，全（特）称命题的否定是本考点的重要考查形式，属于基础题. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数，先求得，再求即可 【详解】因为函数， 所以， 所以， 故选：B 4. 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本，某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生比女生少6人，则该校共有男生（ ） A. 1030人 B. 1050人 C. 950人 D. 970人 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本容量和男生比女生少6人，可得样本中男生数，再根据抽取的比例可得总体中的男生人数． 【详解】解：样本容量为200，男生比女生少6人， 样本中男生数为97人， 又分层抽样的抽取比例为， 总体中男生数为人． 故选：． 【点睛】本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键，属于基础题． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指对数的性质判断大小即可. 【详解】由，即． 故选：C 6. 若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为直线的倾斜角是 ，, 所以终边落在直线上的角的取值集合为: 或者. 故选D. 7. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解． 【详解】由以及扇形面积公式可得： 故选：D 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果. 【详解】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设a，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据重要不等式可判断A；利用均值不等式，讨论a的取值，可判断B;利用作差法可判断C；利用均值不等式判断D. 【详解】因为a，且，成立，故A正确； 当时，，当且仅当时等号成立， 当a＜0时，，当且仅当时等号成立，故B不正确； 因为，所以，故C正确； ，，所以， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概念可判断C选项；由交事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对； 对于B选项，若与相互独立，则， 所以，，B对； 对于C选项，若，且， 所以，事件与相互独立，C对； 对于D选项，若，则，所以，，D错. 故选：ABC. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. （） C. 存在，使得 D. 函数的零点个数为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.首先设，，代入后求函数的解析式；B.取特殊值，判断；CD选项，都可以根据图象判断选项. 【详解】A.当时，，，故A正确； B.当时，，故B不正确； C.如图，画出函数在的图象，函数的最大值是1，所以存在，使得，故C正确； D.， 因为函数是偶函数，所以要判断在的零点个数， 只需判断的零点个数，根据函数图象，函数在的零点个数，有5个， 故在的零点个数是10个，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，则的值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到，，进而得到答案. 【详解】角的终边经过点， ，， . 故答案为：. 13. 已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得函数的解析式，然后求解实数的取值范围即可. 【详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：， 即幂函数的解析式为：， 则即：， 得：，求解不等式组可得实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知定义在上的奇函数关于对称，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用在上是奇函数且关于对称，求出的周期，利用周期得到，利用得到，利用时，，求出，从而得解. 【详解】在上是奇函数， ， 关于对称， ， ， ， ， 是以为周期的周期函数， ， ， ， ， 当时，， ， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求值++； （2）设求值. 【答案】（1）123（2）1 【解析】 【分析】 （1）利用指数式与对数式的运算性质即可求解. （2）首先利用指数式与对数式的互化求出，再由对数的运算性质即可求解. 【详解】解：（1）++ =2233+34+ =108+12+3=123 （2）依题意有 【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质、指数式与对数式的互化，属于基础题. 16. 某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x（单位：吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示．（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表） （1）求频率分布直方图中a的值； （2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数； （3）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？ 【答案】（1） （2）吨，吨 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1进行求解. （2）利用频率分布直方图中的最高矩形求众数，利用每个矩形的底端中点和其面积的乘积之和来求平均数. （3）利用频率分布直方图求85%分位数即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可得，解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，该市居民月均用水量的众数约为（吨）， 由频率分布直方图可知，平均数约为（吨）． 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，月均用水量低于2.5吨的居民人数所占的百分比为，月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为， 所以，由题意可得，解得． 所以如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么x定为2.9吨比较合理． 【点睛】利用频率分布直方图求解样本数据的众数、平均数、中位数，原则如下： （1）在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的矩形面积相等，由此可以估计中位数的值； （3）在频率分布直方图中，平均数等于每个小矩形的面积乘以对应小矩形底边中点的横坐标之和． 17. 已知函数，函数. （1）若的定义域为R，求实数m的取值范围； （2）当时，函数的最小值为1，求实数a的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由恒成立，得关于m的不等式组，求解得答案； （2）令，，可得，，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a的值. 【详解】（1）， ∵的定义域为， 恒成立， 当时，不符合， 当时，满足，解得， ∴实数m的取值范围为； （2）令，当时，， 则函数化为，. ①当时， 可得当时y取最小值，且，解得（舍去）； ②当时， 可得当时y取最小值，且，解得（舍）或； ③时， 可得当时y取最小值，且，解得（舍去）， 综上，. 【点睛】本题考查对数函数定义域，考查不等式的恒成立问题，考查二次函数的最值，属于中档题. 18. 设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“弱不动点”，也称在区间上存在“弱不动点”．设函数，． （1）若，求函数的“弱不动点”； （2）若函数在上不存在“弱不动点”，求实数的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）解方程可得； （2）由方程在上无解，转化为求函数的取值范围，利用换元法求解取值范围，同时注意对数的真数大于0对参数范围有限制，从而可得结论． 【小问1详解】 当时，， 由题意得， 即，即，得，即， 所以函数的“弱不动点”为0． 【小问2详解】 由已知在上无解， 即在上无解， 令，得在上无解， 即在上无解． 记，则在上单调递减，故， 所以，或． 又在上恒成立， 故在上恒成立，即在上恒成立， 记，则在上单调递减，故， 所以， 综上，实数的取值范围是． 19. 已知函数 （1）若，是否存在，使得为偶函数，如果存在，请举例并证明，如果不存在，请说明理由； （2）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （3）已知，存在，对任意，都有成立，求的取值范围. 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入证明为偶函数即可． （2）代入，先判断函数为单调递减函数，再根据定义法代入作差即可证明为单调递减函数． （3）去绝对值化简不等式，根据全称命题与特称命题的成立关系可得，分两段不等式求解即可． 【详解】（1）存在使为偶函数， 此时：， 证明：的定义域为关于原点对称， 且 为偶函数． （2），且，， 在上为减函数 证明：任取，且， ，即 在上为减函数 （3）,, 对任意，存在，使得成立， 即存在，使得， 当时，为增函数或常函数， 此时，则有恒成立 当时， 当时， 综上所述：. 【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合英语，恒成立与存在性成立问题的综合应用，讨论过程复杂，需要很强的数学思维能力，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $