广东韶关市永翔实验中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学参考答案 题序 1 10 11 12 13 14 答案 B BCD ABD (2,3] 82 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分：第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分 【3】第12,14题，其他答案均不得分；第13题，答案还可以写为“{m2<m≤3}”. 1.B【解析】本题考查平均变化率，考查数学运算的核心素养， △y=f5)-f2)_17-1=2. △x 5-2 3 2.D【解析】本题考查分步乘法计数原理，考查逻辑推理的核心素养 根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为15×12=180. 3.A【解析】本题考查导数的计算，考查数学运算的核心素养， (W2cosx)'=-2sinx,A正确.(9+lnx)/=1,B错误.(W)'-3 2 ,C错误.(e2x+1)'= 2e2x+1,D错误， 4.B【解析】本题考查平面向量与组合的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养， 根据题意可得这2个向量不共线的取法种数为C一3=12， 5.C【解析】本题考查等差数列与等比数列，考查数学运算的核心素养 设{am}的公差为d,由a1a6=a2,得a1(a1+5d)=(a1十d)2,所以3a1d-d=0.因为d≠0， (d=3, 所以3a1=d.因为a4=10,所以a1+3d=10,解得 则ag=4,g=a=4 a1=1, 6.C【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养 设f(x)=x3+3a.x-9,则f'(x)=3x2+3a,则f'(0)=3a,所以曲线y=f(x)在点(0，-9) y=3ax-9, 处的切线方程为y-(-9)=3a.x,即y=3ax-9.由 得x2-3ax十9=0，则4= y=x2, 9a2-36=0,解得a=-2(舍去)或a=2. 7.B【解析】本题考查复数与三角函数，考查数学运算的核心素养。 由题意得z2=(cosa+isin a)2=cos2a+isin'a+2 isin acos a=cos2a-sina+isin2a= [cos 2a=1, cos2a+isin2a.因为z2=1,所以 sin 2a-0, 因为a∈[0，π]，所以2a∈[0,2π]，则2a=0或 2a=2π，解得a=0或a=π，满足题意的a有2个. 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 8.A【解析】本题考查函数的零点，考查数学运算与直观想象的核心 素养 易得f(x)-8r+4-4-(8r-2)x+2.当x<-2或x>号时. f'(x)>0,f(x)单调递增：当-2<r<号时(x)<0,f)单凋递 3 减f(一2)=8,1（号）=一智作出f(x)的图象，如图所示方程 27 [f(x)]2-3mf(x)+2m2=0可化为[f(x)-m][f(x)-2]=0, 得f(x)=m或f(x)=2m.因为m>0,所以0<m<8且2m>8,解得4<m<8. 9.BC【解析】本题考查函数的极值，考查直观想象与逻辑推理的核心素养 对于A,f'(x1)>0,A不符合题意.对于B,当x∈（一∞，x1)时，f'(x)>0,当x∈(x1,x2) 时，f'(x)≤0，当x∈(x2,+o)时，f'(x)>0,所以x1为f(x)的极大值点，x2为f(x)的极 小值点，B符合题意.同理可得C符合题意.对于D,当x∈(-o,x1)时，f'(x)<0,当x∈ (x1,x2)时，f'(x)>0,x1为f(x)的极小值点，D不符合题意. 10.BCD【解析】本题考查排列数与组合数，考查数学运算的核心素养 C=n,C%=1,A错误.C”+1C%+1=(n十1)2，B正确.若Am=Aw,则2-m=m,解得m= 1,C正确.若C%m=Cw,则m+2m=n,即n=3m,D正确。 11.ABD【解析】本题考查空间几何，考查逻辑推理与直观想象的核心素养 四面体SABC的直观图如图所示.设顶点S在底面ABC上的 射影为D,连接SD,则SD⊥平面ABC,连接CD并延长，交 AB于点E,易得E为AB的中点.因为AB=2W6,所以CD= 号CE=2反，所以5D=√26r-(22=4则s(6. 4),则mt=√6×√2×4=8√3，A正确.设四面体SABC外接球 的球心为O1,则O1在SD上，设O1D=,则(4一k)=k2+(2√2)2，解得k=1,所以四面 体SABC外接球的半径为3，四面体SABC外接球的体积为5×π×3=36π，C错误， 易得四面体SABC内切球的半径r=O1D1=1,内切球的球心为O1,则HV的最大值为 3十1=4，最小值为3一1=2，B正确. 因为CV⊥平面ABC,所以N(W6,3√2，z1),又因为O1N=3,所以(6-√6)2+(3√2 √2)2+(x1-1)=9,解得1=2或1=0（舍去），N(W6,3√2,2).当HN取得最小值时， 0寸-0，庄，即(0221)=3：6-2：-1.得H(6,52,)D正确 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 12.1【解析】本题考查导数的计算，考查数学运算的核心素养， 由题意得f'(x)=2e+2x-f'(0),则f'(0)=2e°-f'(0),解得f'(0)=1. 13.(2,3]【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养 由题查得f1x)=2x-名-2x),令f(x)≥0，解得x≥1，所以 4-m≥1，解得2m≤3. m>4-m, 14.82【解析】本题考查组合的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心 K 素养 在矩形ABNK中，含有矩形的个数为CC;在矩形KHGE中，含有 矩形的个数为C;在矩形BNEC中，含有矩形的个数为C.除去上 面考虑的情况，在矩形ACEK中，含有矩形的个数为CC4;在矩形 ACGH中，含有矩形的个数为CC.故图中矩形的个数为CC号+C +C+C号C+C2C2=82. 15.【解析】本题考查瞬时变化率与函数的值域，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 解：(1)由f(x)=e-tx十1，得f'(x)=e-t.…2分 因为f(x)在x=0处的瞬时变化率为0，所以f'(0)=e°一t=0,…4分 解得t=1.…5分 (2)由(1)得f(x)=e-x十1，f'(x)=e-1.…6分 当0≤x≤1时，f'(x)≥0，则f(x)在[0,1门上单调递增，…8分 所以当x=1时，f(x)取得最大值，f(1)=e-1+1=e, 10分 当x=0时，f(x)取得最小值，f(0)=e一0十1=2，…12分 所以f(x)在[0,1]上的值域为[2，].…13分 【评分细则】 第(2)问中，未通过求导得到f(x)在[0,1]上单调递增，而直接写出f(x)在[0,1]上的值域 为[2，e],扣4分. 16.【解析】本题考查双曲线与数列的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 解：(1)由题意得2c=2√3，则c=√3. 1分 因为C的离心率为√3，所以a=1,… 2分 则b2=c2-a2=2,… 3分 所以C的方程为x2-号-1. …4分 (2)(i)因为点Pn(Wan+1,Wa)在C上，所以an十1-a1=1, 2 5分 即an+1=2an,…6分 所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，…7分 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 则4=2.20-1=2.…9分 (i)由(1)易得a3=8,a4=16,所以P3(3,4),…10分 则直线1的方程为y=x十1. 11分 y=x+1, 由 2多1.得x-2x3=0,解得x=1或x=3. 12分 因为P3(3,4),所以M(-1,0), 13分 所以|P3M=√(3十1)2+(4-0)2=4√2.… 15分 【评分细则】 【1】第(2)(i)问中，未说明{an}的首项和公比，不扣分 【2】第(2)（ⅱ）问还可以这样解答： 由(1易得a3=8,a4=16,所以P3(3,4),…10分 则直线l的方程为y=x十1.…11分 y=x+1, 由 22y2得x2一2x一3=0，则xM十xp=2,xMxP=一3.…12分■ =1, 2 根据弦长公式可得P3M=√1+1严X√22-4X(-3)=4√2.…15分 17.【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查逻辑推理的核心素养， 解：(1)分配2名银龄教师和1名青年骨干教师给A校，有CC=15种分配方案，·1分 分配1名银龄教师和2名青年骨干教师给B校，有CC?=6种分配方案， 2分 剩余的2名青年骨干教师都被分到C校，有C经=1种分配方案，…3分 所以共有15X6X1=90种分配方案.…5分 (2)至少分配1名银龄教师给每所学校，有A=6种分配方案，…6分 青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校，剩余的2名青年骨干教师分别被分到另外2所 学校，有A=6种分配方案，…8分 所以共有6X6=36种分配方案。… 10分 (3)8名教师按2,2,4(1名银龄教师和3名青年骨干教师)分为三组，有CC CC号 A 90种分配方案， 13分 所以共有90A=540种分配方案.… …15分 【评分细则】 第(2)问还可以这样解答： 将这8名优秀教师分成三组，1名银龄教师与甲、乙、丙为一组，剩余2名银龄教师与两名青 年骨干教师分为两组，每组各1名银龄教师与1名青年骨干教师，有C CC A号 =6种分配方 6分 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 再将这3组分配到3所学校，有A=6种分配方案，…8分 所以共有6X6=36种分配方案.… 10分 18.【解析】本题考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，考查逻辑推理与数学运算的核心 素养 解：1)当a=2时，f(x)=2x-4x+4nxf'x)=x-4+ …1分 则了=分-4=-号①)=1-44=1…2分 所以曲线y=f)在点1了1》处的切线方程为y+号-x一1，即y=一是 …4分 (2)f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=x-(a+2)+2a=x2-(a+2)x+2a (x-a)(x-2) …5分 若a≤0，则当0<x<2时，f'(x)<0,当x>2时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增： …6分 若0<a<2,则当0x<a时，f'(x)>0,当a<x<2时，f'(x)<0,当x>2时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,2)上单调递减，在(2，十o∞)上单调递增.…8分 若a=2,则f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. …9分 若a>2,则当0<x<2时，f'(x)>0,当2<x<a时，f'(x)<0,当x>a时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，a)上单调递减，在(a,十∞)上单调递增. …10分 (3)由(2)得当a≤0或a=2时，f(x)无极大值.当0<a<2时，f(x)的极大值为f(a), 则fa)=2a-a+2a+2alna>-2a,得4na-a+1>0 …12分 设ha)=4na-a十1(0<a<2).则'(a)=4-1=4a>0,所以h(a)在(0,2)上单调 a 递增 …13分 因为h(1)=0,所以由4lna-a+1>0,得h(a)>h(1), 所以1<a<2。………14分 当a>2时，f(x)的极大值为f(2),则f(2)=2-2(a+2)+2aln2>一 2a,…15分 4 4 得a>4n2十因为n2>ne三2所必n2十3<2，则a>2满足题裔.· ……%16分 综上，a的取值范围是(1,2)U(2,十oo).… …17分 【评分细则】 第(1)问中，所求切线方程还可以写为2x一2y一9=0. 19.【解析】本题考查新定义与导数的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 1)解：f'(x)=2xlnx十x2.1=2xlnx十，则f(x)与f'(x)的定义域都为(0，+o), …1分 则xf′(x)-2f(x)=2x2lnx十x2-2x2lnx=x2>0,…3分 所以f(x)=x2lnx是“2系超越函数”.…4分 (2)证明：o'(x)=e+a十xe+u-(2xlnx十x)-2a.x,…5分 (x)-(x)=xe+a+x2e*ta-(2x2In x+x2)-2ax2-(xe'+a-x2In x-ax2) =x2e+u-x21nx-x2-ax2,…6分 所以要证9(x)是“1系超越函数”，即证xg'(x)一p(x)>0,即证x2e+a一xlnx一x2 ax2>0,即证e+a-lnx-1-a>0.…7分 设u(x)=e一x一1，则4'(x)=e一1，当x>0时，4'(x)>0,u(x)单调递增，当x<0时， '(x)<0,(x)单调递减， 所以u(x)≥μ(0)=0，则e≥x十1，所以e+a≥x十a十1.…8分 设u()=1nx-x十1(x>0),则m'()=1-1=1,当0<<1时a'(r)>0,u(x)单 调递增，当x>1时，w'(x)<0,w(x)单调递减，所以w(x)≤w(1)=0,以lnx≤x一1， …9分 所以ex+a-lnx-1-a≥x+a十1-(x-1)-1-a=1>0,得证.…11分 证明：设r)=n-+1-3则c)是 若t<0,则r(x)>0,所以r(x)在(0，十∞)上单调递增，…12分 当x→0时，r(x)<0,当x→十∞时，r(x)>0,所以存在唯一的xo∈(0，十∞)，使得r(xo)=0, 即存在唯一的x∈(0，十6∞)，1nx。40十1一2=1.…13分 因为g(x)为“1系超越函数”，所以g(x)的定义域为(0，+∞)，且对任意x∈(0，十∞)， xg(x)一g(x)>0恒成立.… …14分 设r)=g)>0),则k'(x)=g(）g）>0,所以(x)在0，十o0)上单调递增， …15分 即存在唯一的x0∈(0，+e,使得knx04十1-2k,…16分 _4x0+t-2) g（lnxo-t 所以存在唯一的xo∈(0，十∞)，使得 =8(1) ,即存在唯一的实数x1 4x0+t-2 In xo =,G0,十o).使得gn-4任+1-2）=(en-41产-2g.…17分 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】 【评分细则】 第(2)问还可以这样证明： (x)=e*ta+xe+-(2xIn x+z)-2ax, …5分 x'(x)-g(x)=xe'ta+x"etu-(2x2In x+x2)-2ax2-(xe*ta-x2In x-ax2) =x2ex+a-x2lnx-x2-ax2,…6分 所以要证p(x)是“1系超越函数”，即证xe'(x)-p(x)>0,即证x2e+a-x21nx一x2 ax2>0,即证e+a-lnx-1-a>0.…7分 设m(x)=e+“一n-1一a,则m'(x)=e+:-1,易得m'(x)在(0十oo)上单调递增， 当x>0时，m'(x)<0,m'(ea)=e“+a-e“=e(e-l). 因为ea>0,所以e°“>1，所以m'(ea)>0,…8分 所以存在唯一的x2∈(0，十o),使得m'(x2)=0,即e+0=1 ,x2十a=-lnx2,…9分 所以当x∈(0，x2)时，m'(x)<0,m(x)单调递减，当x∈(x2,十∞)时，m'(x)>0,m(x)单 调递增，…10分 所以m(x)≥m(ac,)=e0-lnx,-1-a=1+x2十a-1-a≥2、 -·x2-1=1>0, 得证.…1们分 还如 【高二数学·参考答案第7页（共7页）】高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 n 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第六章 第二节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.函数f(x)=2x十7在[2,5]上的平均变化率为 A.1 B.2 C.3 D.6 2.市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从 男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档 组合种数为 到 A.27 B.66 C.105 D.180 3.下列求导正确的是 A.(W2cosx)'=-√2sinx B.(9+1hx)/=9+1 C.(Wx)'=3√x D.(e2x+1)'=e2x+1 4.如图，点A,B,C,D,E,F六等分圆O的圆周，从OA,OB,OC,O方 O龙，O庐这6个向量中随机抽取2个向量，则这2个向量不共线的取 法种数为 线 A.9 B.12 C.15 D.18 5.若等差数列{am}的公差不为0，a4=10,且a1,a2,a6成公比为g的 等比数列，则9 郭 A.2 B.3 C.4 D.5 6.若曲线y=x3十3ax一9在点(0，一9)处的切线与曲线y=x2相切，则正数a= A吉 B.1 C.2 D.3 7.若x=cosa十isin a,x2=1,其中a∈[0，π]，则满足题意的a有 A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个 【高二数学第1页（共4页）】 8.已知函数f(x)=x3+2x2一4x,关于x的方程[f(x)]2一3mf(x)十2m2=0有且仅有4个 不同的实根，则正数m的取值范围为 A.(4,8) B.(0,4) C.(2,4) D.(8,16) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若函数f(x)有极大值点x1和极小值点x2,则其导函数f'(x)的大致图象可能为 10.已知正整数m,n满足m<n,则下列结论正确的是 A.Ch=n十Cg B.C%+1C+1=(n十1)2 C.若A-m=A,则m=1 D.若Cm=Cw,则n=3m 11.在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四面体SABC的四个顶点的分别A(0,0,0), B(2√6,0,0)，C(W6,3√2,0)，S(m,n,t)(t>0),点N(x1y1,z1)在四面体SABC外接球的球 面上，且CN⊥平面ABC,点H(x2,y2,之2)在四面体SABC内切球的球面上，则 A.nt=8√3 B.HN|的最大值是最小值的2倍 C.四面体SABC外接球的体积为108π D,当H爪取得最小值时，点H的坐标为6,5，) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=2e十x2-f'(0)x,则f'(0)=▲ 13.已知函数f(x)=x2+2在(4一m,m)上单调递增，则m的取值范围是 14.图中矩形的个数为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数f(x)=e一tx十1，且f(x)在x=0处的瞬时变化率为0. (1)求t的值； (2)求f(x)在[0,1]上的值域. 16.(15分) y2 已知双曲线℃：2,62=1(a>0,b>0)的焦距为2√3，离心率为 (1)求C的方程 (2)已知数列{an}是正项数列，a1=2,点Pn(√am十1，W√am+1)(n∈N*)在C上. (i)证明{an}为等比数列，并求{an}的通项公式： (iⅱ)过点P3且斜率为1的直线1与C的另一个交点为M,求|P,M. 17.(15分) 为落实教育部“银龄讲学计划”“乡村教师支持计划”，推进县域义务教育优质均衡发展，某省 教育厅组织8名优秀教师(3名银龄教师和甲、乙、丙等5名青年骨干教师，且这5名青年骨 干教师不是银龄教师)，按照以下要求将其分配到省内3个乡村振兴重点帮扶县的A,B,C 三所新建乡村学校任教 (1)要求分配2名银龄教师和1名青年骨干教师给A校，分配1名银龄教师和2名青年骨干 教师给B校，分配2名青年骨干教师给C校，问共有多少种不同的分配方案？ (2)要求至少分配2名教师给每学校，且至少分配1名银龄教师给每所学校，青年骨干教 师甲、乙、丙被分到同一所学校，问共有多少种不同的分配方案？ (3)要求A,B,C三所学校中，其中分配4名教师（含1名银龄教师）给1所学校，各分配2名 教师给另外2所学校，问共有多少种不同的分配方案？ 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数fx)=分x-(a+2)x+2alnx (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)的极大值大于-5。 a,求a的取值范围。 欧 19.(17分) 若函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域都为(0，十∞)，对任意x∈(0，十∞)，xf'(x)一 λf(x)>0恒成立，则称f(x)为“λ系超越函数”. 封 (1)试判断函数f(x)=x21nx是否为“2系超越函数”. (2)证明：函数p(x)=xe+a一x2lnx一ax2为“1系超越函数” (3)若g(x)为“1系超越函数”，证明：当t<0时，存在唯一的实数x1∈(0，十∞)，使得 nx,g+-2)=unx1红+-2g 线 【高二数学第4页（共4页）】