广东省广州市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

广州市第二中学2025学年第二学期期中考试 高二数学 命题：高二数学备课组 审校：高二数学备课组 2026年5月8日 本试卷共4页，19小题，满分为150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上． 2．答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的，答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，只需将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在四面体中，，，．点N在上，且，M为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3．数列为单调递减的等比数列，且，，则公比（ ） A． B． C． D． 4．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A． B． C． D． 6．一个火车站有8股道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有（ ）种． A．48 B．60 C．90 D．120 7．袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，在已知有一个标号为1的条件下，另外一个标号也为1的概率是（ ） A． B． C． D． 8．已知实数，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，下列命题正确的（ ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形 10．已知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，过P作圆的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则以下说法正确的是（ ） A．抛物线的标准方程为 B．当P，A，B三点共线时， C．当时，直线的斜率为或 D．满足的点P有且仅有2个 11．设关于实数x，y的解析式为，则（ ） A．当时，方程有唯一解 B．若成立，则当时， C．当，时，恒成立 D．若成立，则当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，项的系数是__________．（结果用数字作答） 13．与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为__________． 14．在棱长为2的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）．根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 16（15分）．如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积是四棱柱体积的． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17（15分）．已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列和数列的通项公式； （2）记，求的前项和． 18（17分）．已知函数，其中． （1）若，求的单调区间； （2）若， （i）证明：在区间内有且仅有个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：． 19（17分）．已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若曲线与轴的交点分别为、（在的左侧），过点的直线交曲线于点（位于第二象限），的角平分线交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）连接直线且与曲线的另一个交点为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $