广东揭阳市普宁市华侨中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 普宁市华侨中学高二期中数学卷以“文化浸润+实践创新”为特色，如结合苏轼诗集考查排列组合（文化传承）、利用父子身高数据考查经验回归（数据意识），覆盖高二核心知识，注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、向量、导数等基础|梯度合理，强调概念辨析| |多选|3/18|概率统计、立体几何动点|选项分层，考查逻辑推理| |填空|3/15|经验回归、二项式定理|联系实际，体现数据观念| |解答|5/77|立体几何证明与线面角、双曲线与数列结合、概率应用、函数切线探究|综合度高，如双曲线与数列结合（模型意识）、函数切线性质探究（创新意识），契合高考命题趋势|

普宁市华侨中学2025-2026学年第二学期 高二期中考数学试题 本卷共4页，19题，全卷满分150分.用时120分钟. 注意事项： 1.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知复数满足，则复数（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．5 3．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 5．在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 6．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且满足，若线段的中垂线过原点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量X的方差，则 B．若随机变量Y服从两点分布，且，则 C．若随机变量ξ服从正态分布，，则 D．若随机变量η服从二项分布，则 10．若，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥体积为 B．三棱锥外接球的表面积为 C．若，则点的轨迹长度为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴趣小组统计了5组父子的身高数据，如下表： 父亲身高 166 168 172 178 186 儿子身高 169 175 175 181 若关于的经验回归方程为，则_________． 13．已知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为__________. 14．已知函数，为的导函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②在区间上有极小值； ③在区间上有两个零点. 其中所有正确结论的序号是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16.已知 的内角所对的边分别为,且． (1)求； (2)若 的外接圆半径为1，求 周长的最大值． 17．已知双曲线的焦距为，离心率为． (1)求的方程． (2)已知数列是正项数列，，点在上． （ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求． 18．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； (2)当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望 (3)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 19．已知函数，为坐标平面上不在图象上的一点.若过点至少可以作1条函数的切线，则称点具有性质，所作切线为的线. (1)若，判断点是否具有性质，并说明理由； (2)若，点具有性质，且的线不超过1条，求实数的取值； (3)若，对于所有满足的，证明：若点具有性质，则. 答案第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市华侨中学2025-2026学年第二学期高二数学期中考参考答案 一、二选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C C A C D A A 题号 9 10 11 答案 BC AC ABD 三、填空题 12、180 13、15 14、 ①② 四、解答题 15．【解】（1）底面为矩形，所以， ........ 1分 又因为平面，平面，所以， ........ 2分 又平面， 所以平面，又平面， ........ 4分 可知平面平面； ........ 5分 （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ........ 6分 易知， 则， ........ 8分 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， ........ 11分 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. ........ 13分 16.【解】（1）因为，则， ........ 2分 即， ， ........ 4分 ，. ........ 6分 （2）由，得， ........ 7分 由余弦定理得， 化简为，即， .......10分 因为， 则，所以， ........ 13分 当且仅当时等号成立，故三角形周长最大值为. ........ 15分 17．【解】（1）因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率， 所以有； ........ 4分 （2）（ⅰ）因为点在上，所以， 即，........ 6分 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，........ 8分 则． ........ 9分 （ⅱ）由（ⅰ）易得，所以， ........ 10分 则直线的方程为． ........ 11分 由得，解得或． ........ 13分 因为，所以， 所以． ........ 15分 18.【解】（1）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， ........ 2分 所以. ........ 4分 （2）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， ........ 6分 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ( ........ 8分 )4 数学期望. ........ 9分 （3）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， ........ 11分 则， ........ 12分 ， ........ 13分 ， ........ 14分 所以甲答对题数比乙多的概率为： ， ........ 16分 解得，所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. ........ 17分 19．【解】（1）设函数图象过点的切线切点为， ..... 1分 那么 ，方程无实数解，........ 3分 故点不具有性质. ........ 4分 （2）设函数图象过点的切线切点为 ， ， .... 5分 那么， ........ 7分 化简得 由于点具有性质，且的线不超过1条， 所以, 解得  或， ........ 9分 据题意，点 不在函数图象上，所以，即，故舍去. 所以 ........ 10分 （3）设函数图象过点的切线切点为，， ........ 11分 那么，化简，得.... 13分 设，那么 .... 14分 令，得；令，得 .... 15分 所以，在处取得极小值，也是最小值 所以，由于 ， .... 16分 所以，若点具有性质，则. .... 17分 ( 1 ) 第 页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $