函数的单调性与最值课件-2027届高考数学一轮复习

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第2节　函数的单调性与最值 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第2节　函数的单调性与最值 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 单调性定义及判断 1.(人教A版必修第一册教材习题改编)下列函数是增函数的为(　　) [命题点❶] A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= D 返回目录 解析:对于A,f(x)=|x|在R上不单调,不合题意;对于B,f(x)=为R上的减函数,不合题意;对于C,f(x)=x2在R上不单调,不合题意;对于D,f(x)=为R上的增函数,符合题意.故选D. 返回目录 2.已知函数f(x)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数x1,x2,总有>0成立,则函数f(x)一定是(　　)[命题点❶] A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数 C 解析:对于任意两个不相等的实数x1,x2,总有>0成立,等价于对于任意两个不相等的实数x1<x2,总有f(x1)<f(x2),所以函数f(x)一定是增函数.故选C. 返回目录 3.(2025·辽宁高三期中)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论正确的是(　　)[命题点❶] A.y=xf(x)在R上为增函数 B.y=在R上为减函数 C.y=-在R上为增函数 D.y=-f(x)在R上为减函数 D 返回目录 解析:由题意,设f(x)=x,则y==1为常数函数且定义域不是R,排除B; y=xf(x)=x2,y=-=-在R上不是单调函数,且后一个函数定义域不为R,排除A,C;若函数f(x)在R上为增函数,则y=-f(x)在R上为减函数,D正确.故选D. 返回目录 关键点2 求函数的单调区间 4.(人教A版必修第一册教材习题改编)函数y=f(x)的图象如图所示,其单调递增区间是(　　)[命题点❷] A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] C 解析:由题图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1].故选C. 返回目录 5.(苏教版必修第一册教材习题改编)函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是(　　)[命题点❷] A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1) A 返回目录 6.(人教A版必修第一册教材习题改编)函数f(x)=的单调递增区间是　　　　　.[命题点❷] [2,+∞) 解析:由题意可知x2-2x≥0,解得x≤0或x≥2,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0] ∪[2,+∞),设y=,u=x2-2x,二次函数u=x2-2x的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(-∞,1),所以f(x)的单调递增区间是[2,+∞). 返回目录 关键点3 函数最值求法 7.(人教A版必修第一册教材习题改编)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则函数的最大值与最小值的和是　　　　　.[命题点❸] 2.4 返回目录 关键点4 单调性综合应用 8.(苏教版必修第一册教材习题)设m为实数,若函数f(x)=x2+mx-2在区间 (-∞,2)上单调递减,则m的取值范围为　　　　　.[命题点❶] (-∞,-4] 解析:由题意得-2, 解得m≤-4. 返回目录 9.(苏教版必修第一册教材习题改编)函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　　. [命题点❶❷]  [-1,1) 解析:由条件知 解得-1≤a<1. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 函数 增函数 减函数 图示 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 返回目录 函数 增函数 减函数 定 义 [❶] 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 返回目录 返回目录 (2)单调区间的定义[❷] 借助图象求单调区间更加直观 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 返回目录 2.函数的最值[❸] 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I,都有f(x)≤M;(2)∃x0∈I,使得f(x0)=M (1)∀x∈I,都有f(x)≥M;(2)∃x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　函数的单调性 命题视角:聚焦定义法判断单调性,通过作差、变形、定号的标准步骤,考查对单调性定义的深度理解与严谨推理能力;聚焦复合函数求单调区间,借助图象直观判断增减性,或分解复合函数结构,依据“同增异减”规则求解单调区间. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 1 判断函数的单调性 例1 试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性. 解:设-1<x1<x2<1,f(x)=a()=a(1+), 则f(x1)-f(x2)=a(1+)-a(1+)=,由于-1<x1<x2<1,所以 x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 求函数的单调区间 例2 函数f(x)=的单调递增区间为(　　) A. (-∞,) B.(-∞,-1] C.[,+∞) D.[,+∞) C 解析: 由题意可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,解得x≤-1或x令t=2x2-x-3,则y=,因为t=2x2-x-3图象的对称轴为x=,所以t=2x2-x-3在(-∞,-1]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.因为y=在定义域内单调递增,所以f(x)=在(-∞,-1]上单调递减,在[,+∞)上单调递增.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2025·北京朝阳模拟)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是 　　　　　和　　　　　.  [2,+∞) [1,] 解析:因为y=|x2-3x+2|=作出f(x)的图象如图所示,所以函数的单调递增区间是[1,]和[2,+∞). 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 能力要语 通过因式分解、配方或通分,将差式化为几个易判正负的因式组合,结合变量的取值范围,确定其整体符号. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　函数单调性的应用 角度 1 命题视角:聚焦函数单调性的工具性应用,将比较大小、解抽象不等式、求参数范围等问题转化为单调性判断,利用其脱“f”特性,构建不等式(组)求解. 比较大小 例3 已知对f(x)定义域内的任意实数x1,x2,且x1≠x2,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0恒成立,设a=f(-),b=f(3),c=f(5),则(　　) A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c D 解析:由[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0可得函数f(x)在定义域内是增函数,由于-<3<5,所以f(-)<f(3)<f(5).故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 变式探究 (原创)本例中将条件变为:函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,则a=f(-),b=f(3),c=f(5)的大小关系又是什么? 解:因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-)=f(). 由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.因为1<<3<5, 所以f()>f(3)>f(5),即a>b>c. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 解不等式 例4 定义在[-2,2]上的函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2),且f(x)>f(2x-1),则实数x的取值范围为(　　) A.(-∞,1) B.[-,1] C.[-,1) D.[-1,1) C 解析:由题意知,f(x)在[-2,2]上单调递增,则f(x)>f(2x-1)解得-x<1.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (2025·山东烟台三模)已知函数f(x)=ln x+2x,若f(2t)<2,则实数t的取值范围是　　　　　.  (0,) 解析:已知f(x)=ln x+2x,其中y=ln x和y=2x均为单调递增函数,且y=ln x定义域为(0,+∞), 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 1+21=2,可得f(2t)<f(1),可得0<2t<1,解得0<t< 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 3 求参数问题 例5 (2024·新高考Ⅰ,6)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) B 解析:当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1)单调递增,当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增,需满足解得-1≤a≤0.故所求a的取值范围为[-1,0]. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2025·广东广州模拟)函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不具有单调性,则a的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] B 解析:函数f(x)=2|x-a|+3的大致图象如图所示,顶点坐标为(a,3),由于函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不具有单调性,因此需满足顶点在直线x=1的右侧,则a>1.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 方法导引 比较函数值大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数单调性解决. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 利用单调性转化不等式,注意定义域限制. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.分段处理:确保各段在其定义域内单调. 2.衔接核心:分段点处函数值需满足“左≤右”(增)或“左≥右”(减). 3.参数讨论:依据临界点与单调性要求,分类讨论参数范围. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　求函数的最值(值域) 命题视角:聚焦利用单调性、导数、配方法、基本不等式等工具,将复杂函数转化为易求最值的形式. 例6 (1)函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　　.  3 解析:由于y=()x在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　　　　.  2-6 解析:因为y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,所以当x≤1时, f(x)min=f(0)=0;当x>1时,y=x+2,当且仅当x=时,等号成立,此时f(x)min=2-6.又因为2-6<0,所以f(x)min=2-6. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (多选)下列函数中,值域正确的是(　 　) A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为[,+∞) D.函数y=的值域为[,+∞) ACD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6). ① ② 对于B,y==2+,显然0,∴y≠2.故函数的值域为 (-∞,2)∪(2,+∞);对于C,设t=,则x=t2+1,且t≥0,∴y=2(t2+1)-t=2(t-)2+,由t≥0,再结合函数的图象(如图②所示), 返回目录 考点1 考点2 考点3 可得函数的值域为[,+∞);对于D,函数的定义域为[1,+∞),∵y=与y=在[1,+∞)上均单调递增,∴y=在[1,+∞)上为增函数,∴当x=1时,ymin=,即函数的值域为[,+∞). 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 先定定义域,据函数特征选方法,注意单调性与换元. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:抽象函数单调性的判断与应用,通过抽象关系式判断单调性,并解不等式或比较大小. 1.(2026·江西宜春阶段练习)定义在R上的函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且对任意的x1,x2∈[3,+∞)(x1≠x2),都有>0,若f(m-1)<f(2),则m的取值范围是(　　) A.(-∞,3) B.(3,+∞) C.(3,5) D.(-∞,3)∪(5,+∞) C 返回目录 解析:因为f(3-x)=f(3+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=3对称,又对任意的x1,x2∈[3,+∞)(x1≠x2),都有>0,所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,若f(m-1)<f(2),则|m-1-3|<|2-3|,解得3<m<5,即m的取值范围是(3,5).故选C. 返回目录 2.(原创)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时, f(x)>1.若f(2)=3,则不等式f(3x-4)>2的解集为　　　　　.  (1,+∞) 解析:设x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,所以f(x2)>f(x1),从而f(x)在R上单调递增.由f(2)=3得f(1)=2,故f(3x-4)>2⇔f(3x-4) >f(1)⇔3x-4>1⇔x>1, 故不等式的解集为(1,+∞). 返回目录 命题趋势2:分段讨论单调性,结合端点求最值,或含参分段函数分类讨论. 3.(2025·广东广州三模)若函数f(x)=有最大值,则实数a的取值范围为(　　) A.[-1,0] B.(-1,0) C.[-1,0) D.(-1,0] A 解析:当x<1时,f(x)=(x-1)ex<0,当x≥1时,f(x)=ax+1,若a>0,f(x)=ax+1在[1,+∞)上单调递增,此时f(x)没有最大值,若a<0,f(x)=ax+1在[1,+∞)上单调递减,若函数有最大值,则a+1≥0,解得-1≤a<0;若a=0,ax+1=1,函数有最大值1,符合题意.故实数a的取值范围为[-1,0].故选A. 返回目录 模块内融合:与方程、不等式结合,利用单调性解方程、不等式,或求参数范围. 4.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,A(0,-2),B(3,2)是其图象上的两点,则不等式|f(x+1)|<2的解集是(　　) A.(1,4) B.(-1,2) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞) B 解析:不等式|f(x+1)|<2即为-2<f(x+1)<2,因为A(0,-2),B(3,2)是函数f(x)图象上的两点,所以-2<f(x+1)<2等价于f(0)<f(x+1)<f(3).又因为f(x)是定义在R上的增函数,所以0<x+1<3,解得-1<x<2.故选B. 返回目录 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且在区间(1,+∞)上单调递增,则满足f(2-x)>f(x+4)的x的取值范围为(　　) A.(-1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-∞,1) B 解析:因为函数f(x)满足f(x)=f(2-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)在区间(1,+∞)上单调递增, 所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递减. 因为f(2-x)>f(x+4),所以|(2-x)-1|>|(x+4)-1|,即|1-x|>|x+3|,平方后解得x<-1,所以x的取值范围为(-∞,-1).故选B. 返回目录 $