专题01 四则运算（4大考点30道题）（期末真题汇编）四年级数学下学期（北京专用•人教版）

**基本信息** 聚焦四年级四则运算核心考点，汇编北京多区县近年期末真题，涵盖概念理解、运算应用及实际问题解决，注重基础巩固与实践能力培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|14题|加减法关系、乘除法意义、0的运算|以△□○符号抽象数量关系，如已知△+□=○求□，考查逆运算思维| |计算|4题|混合运算（含中括号）、简便计算|设计250×21×4等需简算的题，结合2025=（20+25）²等趣味算式| |解决问题|12题|租船购票优化、行程问题、工程问题|融入北海公园租车、西柏坡研学购票等真实情境，如44人租A/B型观光车方案设计，培养优化意识|

专题01 四则运算 考点一、加、减法的意义和各部分间的关系 1. 加法的意义 (1)定义：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 (2)术语：相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 2. 减法的意义 (1)定义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 (2)关系：减法是加法的逆运算。 (3)术语：在减法中，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，求出的未知加数叫做差。 3. 各部分间的关系（核心公式） (1)加法关系： ①　 ②　 (2)减法关系： ①　 ②　 ③　 (3)验算应用： ①　加法验算可用减法（和 - 一个加数 = 另一个加数）。 ②　减法验算可用加法（差 + 减数 = 被减数）或减法（被减数 - 差 = 减数）。 真题练习 1．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）已知△＋□＝○，☆×◇＝◎，下面算式中错误的是（    ）。 A．○－□＝△ B．□＋○＝△ C．◎÷☆＝◇ D．◎÷◇＝☆ 【答案】B 【分析】根据：加数＋加数＝和，和－加数＝另一个加数；一个因数×另一个因数＝积，积÷一个因数＝另一个因数；逐项分析即可解答。 【详解】A．○－□＝△，根据加法与减法的互逆关系，和减去一个加数等于另一个加数，因此○－□＝△成立，此选项正确； B．□＋○＝△，原式△＋□＝○中，○是△与□的和，因此□＋○的结果应大于△，等式不成立，此选项错误； C．◎÷☆＝◇，根据乘法与除法的互逆关系，积除以一个因数等于另一个因数，因此◎÷☆＝◇成立，此选项正确； D．◎÷◇＝☆，根据乘法与除法的互逆关系，积除以一个因数等于另一个因数，因此◎÷◇＝☆成立，此选项正确。 故答案为：B 2．（23-24四年级下·北京丰台·期末）已知△＋□＝○，那么□＝( )。 【答案】○－△ 【分析】加数＋加数＝和，和－其中一个加数＝另一个加数。据此解答。 【详解】△＋□＝○，△和□都是加数，○是和，要求□，则根据分析可知，□＝○－△。 3．（24-25四年级下·北京丰台·期末）一个减法算式，已知被减数是256，减数与差相等，则减数是( )。 【答案】128 【分析】被减数－减数＝差，差＋减数＝被减数，减数与差相等，则减数为256÷2＝128。据此解答即可。 【详解】256÷2＝128 一个减法算式，已知被减数是256，减数与差相等，则减数是128。 4．（24-25四年级下·北京丰台·期末）已知80－24＝○×□，□×○＝36＋△，那么△＝( )。 【答案】20 【分析】首先计算80－24得到56，即○×□＝56。根据乘法交换律，□×○＝56；已知□×○＝36＋△，可得出36＋△＝56，根据一个加数＝和－另一个加数，算出△的值。 【详解】因为：80－24＝56 所以：○×□＝56 即□×○＝56 因为□×○＝36＋△ 所以：56＝36＋△ △＝56－36＝20 所以：△＝20。 考点二、乘、除法的意义和各部分间的关系 1. 乘法的意义 (1)定义：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 (2)术语：相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。 (3)特殊情况： ①　任何数同0相乘，都得0。 ②　1与任何数相乘，仍得原数。 2. 除法的意义 (1)定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 (2)关系：除法是乘法的逆运算。 (3)术语：在除法中，已知的积叫做被除数，已知的因数叫做除数，求出的未知因数叫做商。 3. 各部分间的关系（核心公式） (1)乘法关系： ①　 ②　 (2)除法关系： ①　 ②　 ③　 (3)有余数的除法关系： ①　 ②　 ③　注意：余数必须小于除数。 4. 关于“0”的运算特别规定 (1)一个数加上0，还得原数。 (2)一个数减去0，还得原数。 (3)被减数等于减数，差是0。 (4)一个数和0相乘，仍得0。 (5)0除以任何非0的数，还得0。 (6)重要禁忌：0不能作除数。例如 没有意义， 得不到确定的商。 真题练习 5．（22-23四年级下·北京西城·期末）已知△÷15＝☆，根据除法各部分间的关系，下面算式正确的是（    ）。 A．☆÷15＝△ B．☆×15＝△ C．☆÷△＝15 D．△×☆＝15 【答案】B 【分析】根据被除数＝除数×商，被除数÷商＝除数，被除数÷除数＝商，解答此题即可。 【详解】由分析可知： 已知△÷15＝☆，根据除法各部分间的关系，△是被除数，15是除数，☆是商，所以正确的算式是：☆×15＝△。 故答案为：B 【点睛】解答本题的关键是理解被除数、除数和商三者之间的关系，需熟练掌握。 6．（21-22四年级下·北京西城·期末）已知□÷5＝☆……△，那么下面算式正确的是（    ）。 A．口÷☆＋△＝5 B．5×△＋☆＝□ C．5×☆＋△＝□ D．☆×□＋△＝5 【答案】C 【分析】在有余数的除法中：被除数÷除数＝商……余数，根据各部分之间的关系逐项分析即可。 【详解】A．（被除数－余数）÷商＝除数，正确为：（口－△）÷☆＝5。 B．商×除数＋余数＝被除数，正确为：5×☆＋△＝□。 C．商×除数＋余数＝被除数，5×☆＋△＝□正确。 D．（被除数－余数）÷商＝除数，正确为：（口－△）÷☆＝5。 故答案为：C 【点睛】熟悉除法各部分间的关系是解答此题的关键。 7．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）已知，，下面选项中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一个加数、另一个加数、和三者的关系，加数＋加数＝和，和－一个加数＝另一个加数，和－另一个加数＝一个加数；一个因数×另一个因数＝积，积÷一个因数＝另一个因数，积÷另一个因数＝一个因数。由此即可做出判断。 【详解】 A．根据，可以推出，不符合题意。 B．根据，可以推出，不符合题意。 C．根据，可以推出，不符合题意。 D．根据，可以推出，符合题意。 故答案为：D 8．（23-24四年级下·北京石景山·期末）根据下面的算式和乘、除法之间的关系，写出一个乘法算式和一个除法算式。□÷45＝△（□、△都不等于0）（     ）；（     ）。 【答案】 △×45＝□ □÷△＝45 【分析】除法各部分间的关系：在没有余数的除法里，商＝被除数÷除数，除数＝被除数÷商，被除数＝商×除数；据此解答即可。 【详解】根据下面的算式和乘、除法之间的关系，写出一个乘法算式和一个除法算式。□÷45＝△（□、△都不等于0）即△×45＝□；□÷△＝45。 9．（24-25四年级下·北京西城·期末）红星小学举办运动会，给同学们准备矿泉水，四年级有12个班，每个班领4箱。四年级一共领了多少瓶矿泉水？ 【答案】1152瓶 【分析】已知四年级有12个班，每个班领4箱，那么一共领了12个4箱，求12个4的和是多少用乘法计算，即12×4＝48箱；每箱有24瓶矿泉水，那么一共领了48个24瓶，求48个24的和用乘法计算，一共领了48个24瓶，即48×24＝1152瓶；据此解答即可。 【详解】12×4＝48（箱） 48×24＝1152（瓶） 答：四年级一共领了1152瓶矿泉水。 考点三、带有括号的混合运算 1. 运算顺序规则 在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 在有括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。 具体层级如下： (1)小括号 ( )：最先计算。 (2)中括号 [ ]：其次计算（当算式中同时出现小括号和中括号时）。 (3)括号外：最后计算。 括号内的运算顺序遵循： (1)先乘除，后加减。 (2)同级运算从左到右。 2. 典型结构示例逻辑 (1)结构一： 先算乘法 ，再算加法。 (2)结构二： 先算小括号内的加法 ，再算乘法。 (3)结构三： ①　先算小括号： ②　再算中括号： ③　最后算括号外：除以 真题练习 10．（24-25四年级下·北京通州·期末）下面三幅图中，不能用（□＋▲）×○解决问题的是（    ）。 A．   B．   C． 笑笑和玲玲共同打一份文稿。笑笑每分钟打60个字，玲玲每分钟打55个字，两人合作35分钟打完这份文稿，这份文稿一共有多少个字？ 【答案】A 【分析】由图上信息可知，一车以每小时15千米的速度从一地行驶4小时，另一车以12千米每小时从另一地相向行驶3小时后相遇，求两地的路程；根据路程＝时间×速度，分别求出两车行驶的路程，再相加即可； 以每小时20个和以每小时18个，都做了3个小时，求一共做了多少个，把两者每小时做的个数相加，再乘3，即可解答； 把笑笑和玲玲每小时打字的个数相加，再乘35，即可求出这份文稿一共有多少个字；据此解答。 【详解】A．15×4＋12×3＝60＋36＝96（千米），两地相距96千米； B．（20＋18）×3＝38×3＝114（个），一共做了114个； C．（60＋55）×35＝115×35＝4025（个），这份文稿一共有4025个字。 综上可知，不能用（□＋▲）×○解决问题的是。 故答案为：A 11．（23-24四年级下·北京丰台·期末）20与10的和乘这两个数的差，结果是( )。 【答案】300 【分析】根据题意可知，要计算出20与10的和，还要计算出20与10的差，再把两者相乘，即可解答。 【详解】（20＋10）×（20－10） ＝30×10 ＝300 20与10的和乘这两个数的差，结果是300。 12．（24-25四年级下·北京顺义·期末）在古老的部落集市上，陶匠用6件陶罐可以兑换14串彩贝。12件陶罐能兑换( )串彩贝。丰收节时，陶匠带了21件陶罐参加易物大会，这次他能兑换( )串彩贝。 【答案】 28 49 【分析】把6件陶罐看作一组，先用12除以6求出有几组，再乘上14即可求出能兑换的彩贝串数； 把3件陶罐看作一组，先用6除以3求出有几组，再用14除以组数求出每组能兑换的彩贝串数，最后用21除以3求出能分几组，再乘上每组能兑换的彩贝串数即可。 【详解】12÷6×14 ＝2×14 ＝28（串） 14÷（6÷3） ＝14÷2 ＝7（串） 21÷3×7 ＝7×7 ＝49（串） 12件陶罐能兑换28串彩贝。陶匠带了21件陶罐参加易物大会，这次他能兑换49串彩贝。 13．（22-23四年级下·北京东城·期末）在算式中添上小括号和中括号，使运算顺序变为先算加法，再算乘法，最后算除法。这个新的算式是( )。 【答案】336÷［（16＋26）×2］ 【分析】四则混合运算的计算顺序是先算乘除法，再算加减法；当有中括号时，应先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的；依此列出综合算式即可。 【详解】336÷［（16＋26）×2］ ＝336÷［42×2］ ＝336÷84 ＝4 由此可知，在算式中添上小括号和中括号，使运算顺序变为先算加法，再算乘法，最后算除法。这个新的算式是336÷［（16＋26）×2］。 【点睛】熟练掌握混合运算的计算顺序，是解答此题的关键。 14．（24-25四年级下·北京丰台·期末）今年是2025年，2025是一个很特别的数，其中一个特点是2025＝（20＋25）×（20＋25）。3025也是一个具有这个特点的数，它可以写成3025＝( )×( )。 【答案】 30＋25 30＋25 【分析】根据题意，2025拆分为前两位和后两位，两部分相加后的和相乘等于原数。20＋25＝45，45×45＝2025。同理将3025拆分为前两位30和后两位25，验证30＋25＝55，55×55＝3025成立。 【详解】根据分析，3025＝（30＋25）×（30＋25）。 15．（22-23四年级下·北京朝阳·期末）计算下面各题。          【答案】210；4700； 【分析】此题先算除法，再算加法，最后算减法。 此题先算小括号里的减法，再算中括号里的减法，最后算乘法。 【详解】 ＝360＋4－154 ＝364－154 ＝210 ＝940×［128－123］ ＝940×5 ＝4700 16．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）计算下面各题。 54＋36÷9×3           250×21×4          27×73＋27×27 30－（2.67＋1.85）      470×[234－（248－16）] 【答案】66；21000；2700； 25.48；940； 【分析】（1）混合运算，先算乘除法，再算加法； （2）先用乘法交换律，把21和4交换位置，在计算； （3）根据乘法分配律的逆应用计算即可； （4）先算小括号里的加法，再算减法； （5）先算小括号的减法，再算中括号里的减法，最后再算乘法。 【详解】54＋36÷9×3 ＝54＋4×3 ＝54＋12 ＝66 250×21×4 ＝250×4×21 ＝1000×21 ＝21000 27×73＋27×27 ＝27×（73＋27） ＝27×100 ＝2700 30－（2.67＋1.85） ＝30－4.52 ＝25.48 470×[234－（248－16）] ＝470×[234－232] ＝470×2 ＝940 17．（24-25四年级下·北京通州·期末）明明家六月、七月共用电费268元，七月比六月多用电费82元，这两个月分别用去电费多少元？ 【答案】六月93元；七月175元 【分析】根据题意，先用两个月共用电费的钱数减去七月比六月多用的电费钱数，即可求出六月用的电费钱数的2倍是多少，除以2即可求出六月用了多少元电费，用两个月的电费和减去六月用的电费即可求出七月用了多少元电费，据此解答即可。 【详解】六月：（268－82）÷2 ＝186÷2 ＝93（元） 七月：268－93＝175（元） 答：六月用去电费93元，七月用去电费175元。 18．（24-25四年级下·北京大兴·期末）两艘轮船从A、B两个港口同时相对开出，经过几小时两船在途中相遇？ 【答案】6小时 【分析】由题意得，一艘轮船的速度为33千米/时，另一艘的速度为29千米/时，可以先用加法算出两艘轮船的速度之和。A、B两个港口的距离为372千米，相遇时间＝路程÷速度之和，直接用372除以两艘轮船的速度之和即可算出经过几小时两船在途中相遇。 【详解】372÷（33＋29） ＝372÷62 ＝6（小时） 答：两艘轮船经过6小时两船在途中相遇。 19．（24-25四年级下·北京顺义·期末）工作人员清理潮白河的一段水道，用长臂船平均每小时可以清理约5万平方米的水域，是人工打捞船平均每小时清理水域的5倍。如果两种船同时工作14小时，可以清理水道多少万平方米？ 【答案】84万平方米 【分析】长臂船平均每小时可以清理约5万平方米的水域面积÷5＝人工打捞船平均每小时清理水域的面积，两种船平均每小时可以清理的面积相加再乘同时工作14小时即可解答。 【详解】5÷5＝1（万平方米） （5＋1）×14 ＝6×14 ＝84（万平方米） 答：可以清理水道84万平方米。 20．（24-25四年级下·北京通州·期末）六一儿童节班级联欢活动，笑笑和丽丽计划要叠300个纸鹤装饰教室。笑笑每小时叠25个，丽丽每小时叠20个，二人一起合作，一段时间后还差30个完成任务，两人合作了多长时间？ 【答案】 6小时 【分析】先用300减去30求出她们两人一共叠的纸鹤数量，再把她们两人每小时叠纸鹤的数量相加求出每小时一共叠的纸鹤数量，最后用她们两人一共叠的纸鹤数量除以她们每小时一共叠的纸鹤数量即可求解。 【详解】（300－30）÷（25＋20） ＝270÷45 ＝6（小时） 答：两人合作了6小时。 21．（22-23四年级下·北京房山·期末）一种垃圾清扫车，平均每分钟清扫道路50米。 （1）这种垃圾清扫车15分钟可以清扫道路多少米？ （2）如果用2辆这样的垃圾清扫车同时相向而行，清扫一条长3000米的道路，需要多少分钟？ 【答案】（1）750米； （2）30分钟 【分析】（1）用工作效率乘工作时间，即可求出垃圾清扫车15分钟可以清扫道路多少米； （2）求出两辆车同时清扫的工作效率，再用工作总量除以工作效率，即可求出需要多少分钟。 【详解】（1）15×50＝750（米） 答：这种垃圾清扫车15分钟可以清扫道路750米。 （2）3000÷（50＋50） ＝3000÷100 ＝30（分钟） 答：需要30分钟。 【点睛】本题解题的关键是明确工作总量、工作时间和工作效率之间的关系。 22．（24-25四年级下·北京房山·期末）红红和妈妈在游泳池游泳。她们同时从游泳池的A、B两端相向出发，往返于泳道之间。从两端出发后，经过2分钟两人第一次相遇。 （1）泳道的长度是多少米？ （2）两人继续往前游，再过几分钟红红到达端点B？ （3）红红到达端点B时，妈妈与端点A的距离是多少米？ 【答案】（1）50米 （2）3分钟 （3）25米 【分析】（1）由题意得，红红的速度为10米/分，妈妈的速度为15米/分。她们同时从游泳池的A、B两端相向出发，经过2分钟两人第一次相遇。可以先用10加上15算出她们两人的速度和，然后再乘2即可算出泳道的长度。 （2）由题意得，两人继续往前游，红红到达端点B时，她游的总距离就等于泳道的长度。可以直接用泳道的长度除以红红的速度算出红红游泳的总时间，接着减去两人第一次相遇的时间即可算出再过几分钟红红到达端点B。 （3）由题意得，妈妈的速度比红红快。当红红到达端点B时，妈妈已经到了端点A并往B点游。妈妈游泳的时间和红红游泳的时间一样长，可以用红红到达端点B时她的游泳总时间乘妈妈的速度算出妈妈游泳的总距离。最后用妈妈游泳的总距离减去泳道的长度即可算出妈妈与端点A的距离。 【详解】（1）（10＋15）×2 ＝25×2 ＝50（米） 答：泳道的长度是50米。 （2）50÷10＝5（分钟） 5－2＝3（分钟） 答：两人继续往前游，再过3分钟红红到达端点B。 （3）15×5－50 ＝75－50 ＝25（米） 答：红红到达端点B时，妈妈与端点A的距离是25米。 考点四、租船、购票问题 1. 解题核心原则 (1)原则一：尽量多租单价便宜的船/票种。 (2)原则二：尽量让船/座位坐满，不留空位（或空位最少）。 2. 标准解题步骤 (1)比较单价： ①　计算大船（或团体票）的人均价格。 ②　计算小船（或个人票）的人均价格。 ③　确定哪种方式更划算（通常大船/团体票人均更便宜）。 (2)初步假设：假设全部租用较便宜的船型（或购买较便宜的票种）。 (3)调整方案： ①　观察是否有空位。如果有较多空位，尝试减少一条大船，增加若干条小船，看是否能正好坐满或减少空位。 ②　对比不同调整方案的总租金，选择最低者。 (4)验证结论： ①　检查总人数是否吻合。 ②　检查总费用是否为最小值。 3. 常见模型总结 (1)全租大船有空位 尝试“少租1条大船，多租几条小船”进行微调。 (2)全租小船有空位 通常直接调整为大船更划算，需重新计算混合方案。 (3)购票问题： ①　方案A：全部买个人票。 ②　方案B：全部买团体票（若人数达到团体票门槛）。 ③　方案C：混合买票（老师/成人买团体票，学生买个人票；或凑够团体票人数买团体票，剩余买个人票）。 ④　决策：比较A、B、C三种方案的总金额，取最小值。 真题练习 23．（24-25四年级下·北京东城·期末）“五一”假期，某景区为提升游客的旅游体验，引入了两种观光车。 观光车型 限乘人数（不含司机） 租金 A型 4人 每辆60元 B型 6人 每辆72元 ①一个旅游团共44人，请你设计两种租车方案，并分别算出要花多少钱？ ②通过解决上面的问题，你有什么新的想法？ 【答案】①方案一：660元；方案二：576元（答案不唯一） ②尽可能多租B型车，且保证没有空位的租车方案最省钱。（答案不唯一） 【分析】根据题意可知，可以全部租A型车辆，也可以全部租B型车辆，也可以一部分租A型车辆，一部分租B型车辆，因此设计方案如下表： 方案 A型车辆 B型车辆 乘坐人数 租金 方案一 11辆 0辆 44人 660元 方案二 10辆 1 46人 672元 方案三 9辆 2辆 48人 684元 方案四 8辆 2辆 44人 624元 方案五 7辆 3辆 46人 636元 方案六 6辆 4辆 48人 648元 方案七 5辆 4辆 44人 588元 方案八 4辆 5辆 46人 600元 方案九 3辆 6辆 48人 612元 方案十 2辆 6辆 44人 552元 方案十一 1辆 7辆 46人 564元 方案十二 0辆 8辆 48人 576元 （1）根据表格任选两种方案即可； （2）根据表格，想法合理即可。 【详解】①方案一：44÷4＝11（辆）    11×60＝660（元） 方案二：44÷6＝7（辆）……2（人）    7＋1＝8（辆）     8×72＝576（元） 答：方案一全部租A型车辆，要花660元；方案二全部租B型车辆，要花576元。 （答案不唯一） ②尽可能多租B型车，且保证没有空位的租车方案最省钱。（答案不唯一） 24．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）北海公园位于故宫博物院西北侧，是保存极为完整、文化沉淀深厚的皇家园林之一。某校计划组织四年级师生共285人到北海公园开展社会实践活动。怎样租车最省钱？最少要花多少钱？ 车型 限乘人数 每辆车租金 大车 45人 900元 小车 30人 750元 【答案】 租5辆大车和2辆小车；6000元 【分析】用每辆大车的租金除以大车的限乘人数，求出大车的人均单价，同样用每辆小车的租金除以小车的限乘人数，求出小车的人均单价。通过比较后尽量选人均单价低的大车，尽可能少留位置。用总人数除以每辆大车限乘人数，求出需要租用的大车辆数，结合余数判断租用小车辆数，并求出所需要的钱数。 【详解】大车：（元） 小车：（元） 20＜25，大车人均费用更低，优先租大车； （辆）……15（人）可租6辆大车和1辆小车； 租6辆大车和1辆小车的费用： （元） 余下15人租一辆小车有空位，可考虑少租一辆大车，也就是租5辆大车，剩下的人坐小车； 坐小车的人： （人） （辆）可租5辆大车和2辆小车； 租5辆大车和2辆小车的费用： （元） 6150＞6000 答：租5辆大车和2辆小车最省钱，最少要花6000元。 25．（23-24四年级下·北京石景山·期末）兴华小学28名教师和352名学生去国家博物馆参观，现有大、小两种车可以租用。 大车：每车可坐40人，租金为900元。 小车：每车可坐20人，租金为500元。 怎样租车最省钱？最少要花多少钱？ 【答案】租9辆大车，1辆小车最省钱；最少要花8600元 【分析】教师人数加学生人数，求出一共多少人要坐车； 用每辆大车的租金除以每辆大车的限坐人数，求出乘坐大车每人需要多少钱；用每辆小车的租金除以每辆小车的限坐人数，求出乘坐小车每人需要多少钱； 比较两个价格，发现租大车比较划算；所以尽量多的租大车，但保证所有人都能上车尽量坐满没有空座。再求出花费的最少钱数。 【详解】28＋352＝380（人） 900÷40＝22（元）⋯⋯20（元） 500÷20＝25（元） 25＞22 所以尽量租大车； 380÷40＝9（俩）⋯⋯20（人） 剩余的20人正好租1辆小车。 900×9＋500 ＝8100＋500 ＝8600（元） 答：租9辆大车，1辆小车最省钱；最少要花8600元。 26．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）四年级1班5位老师带领45位同学去划船。怎样租船最省钱？最少花多少元钱？ 租船须知： 大船坐6人，租金30元； 小船坐4人，租金24元。 【答案】租7条大船和2条小船最省钱，最少花258元 【分析】用30÷6＝5元，求出租大船每人所用的钱数，24÷4＝6元，求出租小船每人所用的钱数，所以尽量租大船更省钱。可实际上，我们不但要考虑租哪种船便宜，还要考虑尽量少留空位，甚至不留空位。 【详解】50÷6＝8（条）……2（人） 方案一：租8条大船和1条小船： 30×8＋24 ＝240＋24 ＝264（元） 方案二：租7条大船和2条小船： 30×7＋24×2 ＝210＋48 ＝258（元） 264＞258 答：租7条大船和2条小船最省钱，最少花258元。 27．（23-24四年级下·北京丰台·期末）赵老师要去外省市结对帮扶地区送教，她打算购买精美的北京风景名胜明信片送给那里的45名师生。现有两种包装的明信片，如图所示。她怎样购买最划算？ 【答案】买8张的5套，5张的1套 【分析】要最划算，则每张明信片要最便宜，30÷8＝3（元）……6（元），20÷5＝4（元），所以在不多买的情况下，买8张一套的明信片要更划算，因此，我们要尽量购买8张一套的明信片，如果有多买，则调整方案，使得不多买明信片，如果恰好买够，则此时是最便宜的。据此解答。 【详解】30÷8＝3（元）……6（元） 20÷5＝4（元） 3＜4，所以尽量购买8张一套的明信片。 45÷8＝5（套）……5（张） 方案一：买8张的6套。 6×8＝48（张） 48＞45 30×6＝180（元） 方案二：买8张的5套，买5张的1套。 5×8＋5 ＝40＋5 ＝45（张） 30×5＋20 ＝150＋20 ＝170（元） 170＜180，按照方案二买，没有多买明信片，且价格比方案一便宜。 答：买8张的5套，5张的1套最划算。 【点睛】本题主要考查“租船问题”类的优化，解决此类问题时，要在尽可能便宜的情况下，不多买（不要有剩余）。 28．（23-24四年级下·北京西城·期末）幸福超市有两种不同包装的酸奶（如下图），李阿姨要买20盒酸奶。怎样购买最省钱？最少要花多少元？ 【答案】2箱A款，2箱B款最省钱；72元 【分析】要使购买的酸奶最省钱，则应尽量买最便宜的一款酸奶，因此用需要购买的总酸奶数除以每款酸奶中酸奶个数，求出需要买几箱酸奶，再根据计算出的结果，乘每箱酸奶的价格进行解答即可。 一共需要的费用＝购买A款酸奶的箱数×A款酸奶一箱的价格＋购买B款酸奶的箱数×B款酸奶一箱的价格，依此计算并解答。 【详解】方案一：只购买B款酸奶。 20÷4＝5（箱） 5×16＝80（元） 方案二：既购买B款酸奶，又购买A款酸奶。 20÷6＝3（箱）……2（盒） ①：若买3箱A款酸奶，还需要买1箱B款酸奶。 3×20＋1×16 ＝60＋16 ＝76（元） ②：若买2箱A款酸奶，还需要买2箱B款酸奶。 2×20＋2×16 ＝40＋32 ＝72（元） 72＜76＜80 答：买2箱A款，2箱B款最省钱，至少花费72元。 【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 29．（24-25四年级下·北京丰台·期末）书法教室共有40张桌子，学校准备为每张桌子铺一块长80厘米，宽60厘米的羊毛毡。商店现有两种规格的羊毛毡，如下图所示。学校怎样购买最划算？ 【答案】买6张大规格羊毛毡和2张小规格羊毛毡 【分析】先把单位统一成厘米，根据“长方形的面积＝长×宽”分别计算出40张桌子所需羊毛毡的面积以及两种规格羊毛毡的面积，用需要羊毛毡的总面积除以大规格羊毛毡的面积求出商和余数。第一种方案：全部用大规格羊毛毡，根据“单价×数量＝总价”求出需要的钱数；第二种方案：大规格和小规格羊毛毡都用，且尽量没有剩余，根据“单价×数量＝总价”求出需要的钱数；第三种方案：全部用小规格羊毛毡，根据“单价×数量＝总价”求出需要的钱数；最后比较费用得出最划算的购买方案。 【详解】80×60×40 ＝4800×40 ＝192000（平方厘米） 1.2米＝120厘米 2.4米＝240厘米 0.8米＝80厘米 192000÷（120×240） ＝192000÷28800 ＝6（张）……19200（平方厘米） 19200÷（120×80） ＝19200÷9600 ＝2（张） 方案一：全部买大规格羊毛毡。 80×（6＋1） ＝80×7 ＝560（元） 方案二：买6张大规格羊毛毡和2张小规格羊毛毡。 6×80＋2×28 ＝480＋56 ＝536（元） 方案三：全部买小规格羊毛毡。 192000÷（120×80） ＝192000÷9600 ＝20（张） 20×28＝560（元） 536＜560＝560 答：购买6张大规格羊毛毡和2张小规格羊毛毡最划算。 30．（24-25四年级下·北京西城·期末）河北省石家庄市的西柏坡景区，是“全国100个爱国主义教育示范基地之一”。 （1）世纪小学师生共计52人（其中有13位教师），乘坐高铁从北京到石家庄 西柏坡参观。所有学生购买二等座高铁票应付多少元钱？ 高铁票收费规则 年龄 收费标准 未满6周岁 无需购票，但必须与成人同行且不占用座位，每位成人最多携带1名免费儿童。 6－14周岁 需购买儿童优惠票，票价按全价票的一半计算。 14周岁及以上 需购买全价票。 （2）师生们要在石家庄市住一晚，女老师和女学生正好住满9个三人间，男老师和男学生一共25人，男老师和男学生怎样租房间最省钱？ 【答案】（1）2457元 （2）租7间三人间和2间双人间 【分析】（1）小学生需购买儿童优惠票，票价按全价票的一半计算，用126除以2，求出1个小学生的票价，再乘学生人数（即52－13），即可求出所有学生购买二等座高铁票应付多少元钱。 （2）先用除法求出租三人间的房间每人需付的钱数较少，再用25除以3，得出的结果是租8间三人间和1间双人间，但是还有1个空床位，较浪费；假如租7间三人间和2间双人间，则没有剩余的空床位；据此计算出这两种租法需要的总价，再找出最省钱方案。 【详解】（1）126÷2×（52－13） ＝63×39 ＝2457（元） 答：所有学生购买二等座高铁票应付2457元。 （2）160÷2＝80（元） 210÷3＝70（元） 80元＞70元，所以多租三人间； 25÷3＝8（间）……1（人） 租8间三人间和1间双人间； 8×210＋160 ＝1680＋160 ＝1840（元） 此时有空床，那么减少1间三人间，增加1间双人间，所住人数为： 7×3＋2×2 ＝21＋4 ＝25（人） 租7间三人间和2间双人间： 7×210＋2×160 ＝1470＋320 ＝1790（元） 1840元＞1790元 答：男老师和男学生租7个三人间和2个双人间最省钱。 第 2 页 共 20 页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四则运算 考点一、加、减法的意义和各部分间的关系 1. 加法的意义 (1)定义：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 (2)术语：相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 2. 减法的意义 (1)定义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 (2)关系：减法是加法的逆运算。 (3)术语：在减法中，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，求出的未知加数叫做差。 3. 各部分间的关系（核心公式） (1)加法关系： ①　 ②　 (2)减法关系： ①　 ②　 ③　 (3)验算应用： ①　加法验算可用减法（和 - 一个加数 = 另一个加数）。 ②　减法验算可用加法（差 + 减数 = 被减数）或减法（被减数 - 差 = 减数）。 真题练习 1．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）已知△＋□＝○，☆×◇＝◎，下面算式中错误的是（    ）。 A．○－□＝△ B．□＋○＝△ C．◎÷☆＝◇ D．◎÷◇＝☆ 2．（23-24四年级下·北京丰台·期末）已知△＋□＝○，那么□＝( )。 3．（24-25四年级下·北京丰台·期末）一个减法算式，已知被减数是256，减数与差相等，则减数是( )。 4．（24-25四年级下·北京丰台·期末）已知80－24＝○×□，□×○＝36＋△，那么△＝( )。 考点二、乘、除法的意义和各部分间的关系 1. 乘法的意义 (1)定义：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 (2)术语：相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。 (3)特殊情况： ①　任何数同0相乘，都得0。 ②　1与任何数相乘，仍得原数。 2. 除法的意义 (1)定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 (2)关系：除法是乘法的逆运算。 (3)术语：在除法中，已知的积叫做被除数，已知的因数叫做除数，求出的未知因数叫做商。 3. 各部分间的关系（核心公式） (1)乘法关系： ①　 ②　 (2)除法关系： ①　 ②　 ③　 (3)有余数的除法关系： ①　 ②　 ③　注意：余数必须小于除数。 4. 关于“0”的运算特别规定 (1)一个数加上0，还得原数。 (2)一个数减去0，还得原数。 (3)被减数等于减数，差是0。 (4)一个数和0相乘，仍得0。 (5)0除以任何非0的数，还得0。 (6)重要禁忌：0不能作除数。例如 没有意义， 得不到确定的商。 真题练习 5．（22-23四年级下·北京西城·期末）已知△÷15＝☆，根据除法各部分间的关系，下面算式正确的是（    ）。 A．☆÷15＝△ B．☆×15＝△ C．☆÷△＝15 D．△×☆＝15 6．（21-22四年级下·北京西城·期末）已知□÷5＝☆……△，那么下面算式正确的是（    ）。 A．口÷☆＋△＝5 B．5×△＋☆＝□ C．5×☆＋△＝□ D．☆×□＋△＝5 7．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）已知，，下面选项中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 8．（23-24四年级下·北京石景山·期末）根据下面的算式和乘、除法之间的关系，写出一个乘法算式和一个除法算式。□÷45＝△（□、△都不等于0）（     ）；（     ）。 9．（24-25四年级下·北京西城·期末）红星小学举办运动会，给同学们准备矿泉水，四年级有12个班，每个班领4箱。四年级一共领了多少瓶矿泉水？ 考点三、带有括号的混合运算 1. 运算顺序规则 在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 在有括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。 具体层级如下： (1)小括号 ( )：最先计算。 (2)中括号 [ ]：其次计算（当算式中同时出现小括号和中括号时）。 (3)括号外：最后计算。 括号内的运算顺序遵循： (1)先乘除，后加减。 (2)同级运算从左到右。 2. 典型结构示例逻辑 (1)结构一： 先算乘法 ，再算加法。 (2)结构二： 先算小括号内的加法 ，再算乘法。 (3)结构三： ①　先算小括号： ②　再算中括号： ③　最后算括号外：除以 真题练习 10．（24-25四年级下·北京通州·期末）下面三幅图中，不能用（□＋▲）×○解决问题的是（    ）。 A．   B．   C． 笑笑和玲玲共同打一份文稿。笑笑每分钟打60个字，玲玲每分钟打55个字，两人合作35分钟打完这份文稿，这份文稿一共有多少个字？ 11．（23-24四年级下·北京丰台·期末）20与10的和乘这两个数的差，结果是( )。 12．（24-25四年级下·北京顺义·期末）在古老的部落集市上，陶匠用6件陶罐可以兑换14串彩贝。12件陶罐能兑换( )串彩贝。丰收节时，陶匠带了21件陶罐参加易物大会，这次他能兑换( )串彩贝。 13．（22-23四年级下·北京东城·期末）在算式中添上小括号和中括号，使运算顺序变为先算加法，再算乘法，最后算除法。这个新的算式是( )。 14．（24-25四年级下·北京丰台·期末）今年是2025年，2025是一个很特别的数，其中一个特点是2025＝（20＋25）×（20＋25）。3025也是一个具有这个特点的数，它可以写成3025＝( )×( )。 15．（22-23四年级下·北京朝阳·期末）计算下面各题。          16．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）计算下面各题。 54＋36÷9×3           250×21×4          27×73＋27×27 30－（2.67＋1.85）      470×[234－（248－16）] 17．（24-25四年级下·北京通州·期末）明明家六月、七月共用电费268元，七月比六月多用电费82元，这两个月分别用去电费多少元？ 18．（24-25四年级下·北京大兴·期末）两艘轮船从A、B两个港口同时相对开出，经过几小时两船在途中相遇？ 19．（24-25四年级下·北京顺义·期末）工作人员清理潮白河的一段水道，用长臂船平均每小时可以清理约5万平方米的水域，是人工打捞船平均每小时清理水域的5倍。如果两种船同时工作14小时，可以清理水道多少万平方米？ 20．（24-25四年级下·北京通州·期末）六一儿童节班级联欢活动，笑笑和丽丽计划要叠300个纸鹤装饰教室。笑笑每小时叠25个，丽丽每小时叠20个，二人一起合作，一段时间后还差30个完成任务，两人合作了多长时间？ 21．（22-23四年级下·北京房山·期末）一种垃圾清扫车，平均每分钟清扫道路50米。 （1）这种垃圾清扫车15分钟可以清扫道路多少米？ （2）如果用2辆这样的垃圾清扫车同时相向而行，清扫一条长3000米的道路，需要多少分钟？ 22．（24-25四年级下·北京房山·期末）红红和妈妈在游泳池游泳。她们同时从游泳池的A、B两端相向出发，往返于泳道之间。从两端出发后，经过2分钟两人第一次相遇。 （1）泳道的长度是多少米？ （2）两人继续往前游，再过几分钟红红到达端点B？ （3）红红到达端点B时，妈妈与端点A的距离是多少米？ 考点四、租船、购票问题 1. 解题核心原则 (1)原则一：尽量多租单价便宜的船/票种。 (2)原则二：尽量让船/座位坐满，不留空位（或空位最少）。 2. 标准解题步骤 (1)比较单价： ①　计算大船（或团体票）的人均价格。 ②　计算小船（或个人票）的人均价格。 ③　确定哪种方式更划算（通常大船/团体票人均更便宜）。 (2)初步假设：假设全部租用较便宜的船型（或购买较便宜的票种）。 (3)调整方案： ①　观察是否有空位。如果有较多空位，尝试减少一条大船，增加若干条小船，看是否能正好坐满或减少空位。 ②　对比不同调整方案的总租金，选择最低者。 (4)验证结论： ①　检查总人数是否吻合。 ②　检查总费用是否为最小值。 3. 常见模型总结 (1)全租大船有空位 尝试“少租1条大船，多租几条小船”进行微调。 (2)全租小船有空位 通常直接调整为大船更划算，需重新计算混合方案。 (3)购票问题： ①　方案A：全部买个人票。 ②　方案B：全部买团体票（若人数达到团体票门槛）。 ③　方案C：混合买票（老师/成人买团体票，学生买个人票；或凑够团体票人数买团体票，剩余买个人票）。 ④　决策：比较A、B、C三种方案的总金额，取最小值。 真题练习 23．（24-25四年级下·北京东城·期末）“五一”假期，某景区为提升游客的旅游体验，引入了两种观光车。 观光车型 限乘人数（不含司机） 租金 A型 4人 每辆60元 B型 6人 每辆72元 ①一个旅游团共44人，请你设计两种租车方案，并分别算出要花多少钱？ ②通过解决上面的问题，你有什么新的想法？ 24．（24-25四年级下·北京朝阳·期末）北海公园位于故宫博物院西北侧，是保存极为完整、文化沉淀深厚的皇家园林之一。某校计划组织四年级师生共285人到北海公园开展社会实践活动。怎样租车最省钱？最少要花多少钱？ 车型 限乘人数 每辆车租金 大车 45人 900元 小车 30人 750元 25．（23-24四年级下·北京石景山·期末）兴华小学28名教师和352名学生去国家博物馆参观，现有大、小两种车可以租用。 大车：每车可坐40人，租金为900元。 小车：每车可坐20人，租金为500元。 怎样租车最省钱？最少要花多少钱？ 26．（23-24四年级下·北京朝阳·期末）四年级1班5位老师带领45位同学去划船。怎样租船最省钱？最少花多少元钱？ 租船须知： 大船坐6人，租金30元； 小船坐4人，租金24元。 27．（23-24四年级下·北京丰台·期末）赵老师要去外省市结对帮扶地区送教，她打算购买精美的北京风景名胜明信片送给那里的45名师生。现有两种包装的明信片，如图所示。她怎样购买最划算？ 28．（23-24四年级下·北京西城·期末）幸福超市有两种不同包装的酸奶（如下图），李阿姨要买20盒酸奶。怎样购买最省钱？最少要花多少元？ 29．（24-25四年级下·北京丰台·期末）书法教室共有40张桌子，学校准备为每张桌子铺一块长80厘米，宽60厘米的羊毛毡。商店现有两种规格的羊毛毡，如下图所示。学校怎样购买最划算？ 30．（24-25四年级下·北京西城·期末）河北省石家庄市的西柏坡景区，是“全国100个爱国主义教育示范基地之一”。 （1）世纪小学师生共计52人（其中有13位教师），乘坐高铁从北京到石家庄 西柏坡参观。所有学生购买二等座高铁票应付多少元钱？ 高铁票收费规则 年龄 收费标准 未满6周岁 无需购票，但必须与成人同行且不占用座位，每位成人最多携带1名免费儿童。 6－14周岁 需购买儿童优惠票，票价按全价票的一半计算。 14周岁及以上 需购买全价票。 （2）师生们要在石家庄市住一晚，女老师和女学生正好住满9个三人间，男老师和男学生一共25人，男老师和男学生怎样租房间最省钱？ 第 2 页 共 20 页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $