陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

**基本信息** 高一期中数学试卷聚焦集合、函数、不等式等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及应用意识，适配高一学生期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|命题否定、集合运算、充要条件|如第7题结合奇函数单调性解不等式，考查数学抽象| |多选题|3/18|同一函数判断、命题真假|如第10题辨析自然数集性质，培养批判性思维| |填空题|3/15|分段函数求值、不等式应用|第14题以台灯销售为情境，体现数学应用| |解答题|5/77|幂函数性质、函数恒成立、实际优化|第18题运货卡车费用问题，融合函数建模与基本不等式，考查数学语言表达现实世界；第19题三问分层设计，检测逻辑推理能力|

高一期中考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 3．“”，是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 5．若函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 7．已知奇函数在上单调递增的，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．． 8．已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（    ） A．，， B．梯形的对角线不相等 C．自然数集N中最小的数是0 D．空集是任何集合的真子集 11．已知函数，则 （    ） A． B．的值域为 C．的解集为 D．若，则或1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设函数f(x)＝，则f(f（1）)＝ ． 13．不等式的解集为，则 ． 14．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知幂函数（）的图像关于轴对称，且在上单调递增. （1）求的值及函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 16．（15分）设函数 (1)若，求的解集． (2)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 18．（17分）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 19．（17分）已知函数 （1）解关于的不等式； （2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围 （3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 高一期中考试数学试题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C D D D B BD AC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定是“，”， 故选：A. 2．D 【分析】根据图可知，阴影表示的补集，即可根据集合交并补的定义求解. 【详解】由可得，， 故，进而. 故选：D 3．A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】若，则，因此， 当，时，， 所以“”，是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．C 【分析】根据题意可得，令，代入运算求解. 【详解】因为， 则，即，解得. 故选：C. 5．D 【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域. 【详解】令，则，， 因为， 所以， 则， 故选：D. 6．D 【分析】由题意可得，可得，由基本不等式可得． 【详解】，且， ，即， 当且仅当即且时取等号， 故选：D 7．D 【分析】根据奇函数的单调性的性质，结合奇函数的定义进行求解即可. 【详解】因为奇函数在上单调递增的，且， 所以奇函数在上单调递增的，且，所以有： （1）当时，因为，所以当时，，当时，， 当时，由， 当时，由，所以， （2）当时，因为，所以当时，，当时，， 因此由， 综上所述：由， 故选：D 8．B 【分析】由函数，在区间为单调递增函数，求得，根据题意，转化为不等式，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】令函数， 可得函数在区间为单调递增函数，所以， 因为不等式对任意的恒成立，即， 由，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 9．BD 【分析】同一个函数的定义：如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.根据定义判断选项. 【详解】A.，对应关系不一致，不是同一函数. B. ，定义域相同，对应关系一致，是同一函数. C. 定义域为，定义域为，定义域不同，不是同一函数. D. 定义域为，可化为， 定义域为，可化为，是同一函数. 故选：BD. 10．AC 【分析】配方得到A正确；举反例得到B错误；由自然数的概念得到C正确；由空集的概念判断D错误； 【详解】对于A，，所以时等号成立，故A正确； 对于B，等腰梯形的对角线相等，故B错误； 对于C，由自然数的概念可知自然数集N中最小的数是0，故C正确； 对于D，空集是任何非空集合的真子集，故D错误； 故选：AC. 11．BC 【分析】将代入可判断A；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可判断B；分别在和的情况下，根据解析式列出不等式和方程求解可判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，当时，；当时，； 的值域为，B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，C正确； 对于D，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为，D错误. 故选：BC. 12．1 【分析】先求再求. 【详解】 故答案为： 13． 【分析】根据不等式的解集与等式的解的关系，代入解出方程组即可得到答案． 【详解】由题意知的解为 有韦达定理有 所以 故填 【点睛】本题考查不等式的解集与等式的解的关系，本类题需同学们正确理解不等式的解集与等式的解的关系，属于基础题． 14． 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故答案为： 15．（1）；（2）. 【解析】（1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解. （2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解. 【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且， 所以在区间为单调递增函数， 所以，解得， 由，。 又函数的图像关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 所以. （2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数， 所以不等式，等价于， 解得或， 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．(1) (2) 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； 【详解】（1）解：由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为， 所以不等式的解集为，即的解集为. （2）解：由对一切实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 17．(1) (2)单调递减；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可； （3）根据题意，由函数的奇偶性以及单调性化简，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由基函数的性质可知，，所以，即， 因为，所以，即. （2）函数在上单调递减. 证明：任取， 则， 因为，则，，则， 即，所以函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，且为奇函数， 则， 所以，解得， 则不等式的解集为. 18．(1)，. (2)当时，总费用最低，为元. 【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式. （2）利用基本不等式求最值即得结果. 【详解】（1）卡车行驶的时间为：， 所以卡车这次行车的油费为：元，司机的工资为：元. 所以这次行车总费用为：， （2）因为（当且仅当即时取 “”）. 所以当时，总费用最低，为元. 19．（1）详见解析；（2）；（3）. 【解析】（1）由不等式转化为，分，，讨论求解. （2）将对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，当，恒成立，当时，恒成立，利用基本不等式求解. （3）根据对任意的，总存在，使成立，则的值域是的值域的子集求解. 【详解】（1）因为函数， 所以即为， 所以 ， 当时，解得 ， 当 时，解得， 当 时，解得 ， 综上：当时，不等式的解集为 ， 当 时，不等式的解集为 ， 当 时，不等式的解集为 ， （2）因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立， 令，当且仅当 ，即 时取等号， 所以， 所以实数的取值范围是. （3）当时，， 因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集， 当时，， 则，解得 当时，， 则，解得， 当时，，不成立； 综上：实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：双变量任意、存在恒成立问题： 若， 成立，则 ； 若， 成立，则 ； 若， 成立，则 ； 若， 成立，则 ； 若， 成立，则 的值域是的子集； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $