2026年中考数学考前20天冲刺讲义（三）

该初中数学中考复习讲义覆盖几何基础、三角形、四边形、圆及图形变换五大核心模块，按倒计时分层梳理考点，通过考情透视、核心精粹速记、真题精研及终极预测构建系统复习体系，助力学生突破推理计算难点。 亮点在于融入几何直观与推理意识，如三角形中点问题总结“倍长中线”“中位线”模型，圆的切线证明强调“连半径证垂直”策略，配合分层练习与即时反馈，帮助学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升备考效率。

目 录 倒计时10天 ➤几何基础……………………………………………………………………………………3 几何基础中考主打点线角、平行线与三角形基础推理计算，分值稳定占5～10分，是几何所有大题的入门基石、必拿满分的送分核心考点。 倒计时9天 ➤三角形………………………………………………………………………………………20 三角形中考重点考边角性质、全等相似及特殊三角形计算推理，分值15–25分，是初中几何核心、大题压轴必考的主干基础。 倒计时8天 ➤四边形………………………………………………………………………………………36 四边形中考考查平行四边形、矩形菱形正方形的性质判定与几何计算证明，分值约12–20分，是几何中档大题核心、衔接三角形与圆和压轴题的关键必考板块。 倒计时7天 ➤圆……………………………………………………………………………………………52 圆主要考查圆周角、切线、弧长扇形面积及圆与几何综合计算证明，中考分值10–18分，是几何中档必考大题、压轴综合高频考点。 倒计时6天 ➤图形变换与几何综合………………………………………………………………………70 图形变换与几何综合主要考平移、旋转、折叠、相似拼接及多模型综合推理计算，中考分值15–25分，是中考几何压轴核心、拉开分数的关键重难点板块。 倒计时10天 夯实中考几何基础熟记定理模型、巧用分步推理拆题，稳住细心审题的应试心态就能稳拿基础满分、从容攻克几何大题。 几何基础 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 中考几何基础命题整体稳中有变，侧重基础概念与简单推理应用，分值稳定在5至10分。考点聚焦点、线、角、相交线、平行线及三角形基础性质，常以选择题、填空题为主，少量融入简单解答题第一问。命题多立足教材本源，不偏不怪，常结合生活实景、图形识别进行角度计算、线段求值、平行线判定与性质应用。既考查对基本定理、公理的熟记程度，又注重简单逻辑推理和图形直观感知能力。该板块是初中几何所有模块的入门根基，命题重在夯实基础、筛选基本功，为后续三角形、四边形、圆及几何综合大题做铺垫，属于中考必拿分、零失误的核心基础板块。 ►中考前沿： 中考几何基础命题将坚守立足课本、重基固本的原则，题型仍以选择、填空为主要载体，少量渗透解答题开篇基础小问。考点重点聚焦线段与角度计算、相交线对顶角与邻补角、平行线的性质与判定、三角形三边关系及内角和定理。命题趋势更贴近生活实际情境，结合实物图形、网格图形创设考题，弱化复杂偏难推导，侧重概念辨析、基础计算与简单逻辑推理。同时会加强几何直观考查，融入简单图形识别与规律探究，不设繁琐陷阱，整体难度偏低。该板块依旧是中考送分主干，命题稳定无大波动，重在考查学生基础知识熟练度和审题细心度，是中考必须稳稳拿满的基础得分点。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   立体图形分类与基本概念（简单） 1、常见立体图形 柱体：正方体、长方体、圆柱、三棱柱、四棱柱、n棱柱 锥体：圆锥、三棱锥、四棱锥 球体：球 2、概念区分 多面体：所有面都是平面（正方体、长方体、棱柱、棱锥） 旋转体：由平面图形旋转而成（圆柱、圆锥、球） 棱：两个面相交的线 顶点：棱与棱的交点 面：分为平面、曲面 终极考点2   棱柱与棱锥特征（简单） 1、棱柱 （1）有上下两个全等且平行的底面，侧面都是平行四边形 （2）n棱柱：n个侧面，2个底面，共n+2个面；3n条棱；2n个顶点 2、棱锥 （1）只有一个底面，侧面都是三角形，交于同一个顶点 （2）n棱锥：n个侧面，1个底面，共n+1个面；2n条棱；n+1个顶点 终极考点3   三视图（重点） 1、定义 主视图：从正面看 左视图：从左面看 俯视图：从上面看 2、画图规则 长对正、高平齐、宽相等；看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线。 3、常考题型 （1）给出立体图形，判断三视图 （2）给出三视图，还原立体图形 （3）小正方体堆叠组合，根据三视图数个数、求最多最少块数 （4）判断几何体某视图的形状 终极考点4   立体图形的展开与折叠（重点） 1、正方体展开图 ：共11种，分4类： “一四—”型(6种)：中间4个正方形，上下各1个； “一三二”型(3种)：中间3个，上1下2; “三三”型(1种)：两行各3个； “二二二”型(1种)：三行各2个。 易错：出现“田”字、“凹”字结构的展开图不能围成正方体。 口诀：一线不过四，田凹不能有，相间是对面，Z端是对面。 2、相对面判断技巧 同行隔一个，异行隔一列；Z字形两端互为相对面。 3、常见几何体展开图 圆柱：侧面展开是长方形，上下底是圆 圆锥：侧面展开是扇形，底面是圆 棱柱展开：两个全等多边形底面+若干长方形侧面 4、题型 判断平面图能否折成正方体、找相对面、求折叠后对应数字/文字。 终极考点5   投影知识（简单） 1、平行投影：太阳光投影，同一时刻物体高度和影长成正比 2、中心投影：灯光、点光源投影，影子离光源越远越长 3、常考：判断平行/中心投影、利用影长求物体高度。 终极考点6   表面积与体积公式（重点） 1、正方体 棱长a 表面积：S=6a2 体积：V=a3 2、长方体 长a、宽b、高h 表面积：S=2(ab+ah+bh) 体积：V=abh 3、圆柱 底面半径r，高h 侧面积：S侧= 表面积：S= 体积：V= 4、圆锥 底面半径r，母线l，高h 侧面积：S侧= 体积：V= 终极考点7   直线、射线、线段（重点） 一、基本概念与区别 1、直线：无端点，向两方无限延伸，不可度量长度。 2、射线：1个端点，向一端无限延伸，不可度量长度。 3、线段：2个端点，不延伸，可以度量长度。 4、表示方法：会用两个大写字母、一个小写字母表示直线、射线、线段；注意射线端点写在前。 二、两大基本公理（中考必考） 1、两点确定一条直线 应用：钉木条、站队、砌墙拉线、确定直线位置等生活题型。 2、两点之间，线段最短 应用：最短路径、修路选址、求最短距离、折线改线段最值题。 三、线段中点 1、定义：把一条线段分成两条相等线段的点。 2、几何关系式：若M是线段AB中点 AM=BM=AB， AB=2AM=2BM 3、考点：利用中点进行线段求值、比例计算。 四、线段的和差计算 1、同一直线上多点排列，求线段总长、分段长度。 2、分情况讨论：点在线段上、点在线段延长线上分类求值（中考易错题）。 3、数轴上两点间距离：右边数减左边数，用线段思想解题。 五、直线交点规律 1、多条直线相交，最多交点个数规律。 2、过同一公共点的多条直线，数直线、射线、线段条数。 终极考点8   角（重点） 一、度分秒换算 进制是60进制： 1读=60'，1'=60'' 会做：度化分秒、分秒化度、加减乘除运算。 三、余角、补角（高频考点） 1、互余：两角和为90° 2、互补：两角和为180° 3、重要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等 四、相交线形成的角 1、对顶角：形状像“X”，对顶角相等。 2、邻补角：相邻且拼成平角，和为180°。 3、一条直线分平角、多条直线相交求角度。 五、角平分线 1、定义：把一个角分成两个相等角的射线。 2、常考：结合线段中点、角度综合计算。 终极考点9   相交线中相关求解（重点） 一、特殊角的关系(中考几何核心) 1、互余角定义：若∠α+∠β=90°,则∠α与∠β互余； 性质：同角(等角)的余角相等(如∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3)。 2、互补角定义：若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互补； 性质：同角(等角)的补角相等(如∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,则∠2=∠3)。 3、对顶角定义：两条直线相交形成的，有公共顶点、无公共边的两个角； 性质：对顶角相等(中考直接用，无需证明)。 4、邻补角定义：两条直线相交形成的，有公共顶点、有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角； 性质：邻补角互补(和为180°),如∠1与∠2是邻补角，则∠1+∠2=180°。 二、垂线的定义以及性质 1、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角(90°)时，称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号：⊥,读作“垂直于”,如直线a⊥b,垂足为0。 2、垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(“一点”可在直线上，也可在直线外) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。(简称：垂线段最短) 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。(注意：距离是长度，是一个数值，不是线段本身) 终极考点10   平行线的性质与判定（重点） 一、平行线的基本概念 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2、符号：平行用“∥”表示，读作“平行于”，如直线a∥b。 3、前提：必须在同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行(异面直线)。 二、平行公理及推论(基础) 1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2、推论(平行线的传递性):如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若a∥b，b ∥c则a∥c。 三、平行线的判定(由“角的关系”推“线的平行”) 判定的核心是三线八角，即两条直线被第三条直线所截，通过角的关系判断平行。 ①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行 四、平行线的性质(由“线的平行”推“角的关系”) 性质与判定互为逆过程，是中考几何计算与证明的核心工具。 ①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补 五、平行线间的距离 1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2、性质：平行线间的距离处处相等。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 生活中常见的立体图形 （2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥 题型二 从不同方向看几何图形 （2026·河南郑州·一模）把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（    ） A． B． C． D． 解题妙法 1、混淆“视图”与“图形本身” 易错点：认为“主视图是立体图形的正面”,忽略视图是平面图形，是投影结果，而非立体图形的某个面。 避坑：视图是正投影，只反映长、宽、高中的两个维度，无厚度、无曲面。 2、忽略“三视图的对应规则”(长对正、高平齐、宽相等) 易错点：画图或判断时，长、宽、高对应混乱，导致视图比例/位置错误。 避坑：牢记口诀——主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等(主视图和俯视图的长一致，主视图和左视图的高一致，俯视图和左视图的宽一致)。 3、误解“看得见与看不见的枝” 易错点：所有棱都画实线，或看不见的棱漏画、画成实线。 规则：看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线（虚线不能省略，否则视图不完整）。 避坑：画图前先判断棱的可见性，复杂图形可先想象“透明立体”，再区分虚实线。 题型三 几何图形的展开图 （2026·辽宁铁岭·一模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中有个涂有阴影的小正方形，在个涂有阴影的小正方形的外围任意一个小正方形（与阴影部分正方形有一边相连）涂上阴影，使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的概率是（   ） A． B． C． D． 解题妙法 一、正方体对面判断万能口诀（必背） 1、相间必对面：在同一行（或列）中，间隔一个正方形的两个面，一定是对面。 2、Z端是对面：在展开图中，呈“Z”字形两端的两个面，一定是对面（Z的首尾）。 3、拐角必相邻：三个面形成“L”型拐角，这三个面两两相邻，无对面。 4、排除法：一个面的相邻面有4个，剩下的1个就是对面。 二、避坑提醒（绝对不能错） 1、“田”“凹”型不是正方体展开图：出现“田”字格、“凹”字形的展开图，无法围成正方体，无需找对面。 2、相邻面≠对面：有公共边或公共顶点的面，一定是相邻面，不是对面。 3、一个面只有1个对面：正方体6个面，每个面有4个相邻面、1个唯一对面，找完4个相邻面，剩下的就是对面。 题型四 平面图形旋转后得到的立体图形 （2026·辽宁沈阳·一模）如图，将直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 题型五 截一个几何图形 （2026·山东青岛·一模）如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 题型六 用七巧板拼几何图形 （2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 题型七 线段的中点 （2026·河南商丘·一模）如图，边长为8的等边三角形，D为的中点，E为的中点，过E作，F为的中点，长为________． 解题妙法 一、六大解题模型妙法 1、倍长中线法（最常用） 适用：三角形有中点、求证线段相等/平行、求边长 口诀：遇中点，延一倍，构造全等三角形 做法：延长中线到一倍长，连端点，证SAS全等，实现边和角转移。 2、中位线定理（秒杀长度、平行） 适用：出现两个中点、求线段长度、证平行 结论：三角形中位线平行第三边，且等于第三边一半。 技巧：题目给多个中点，直接连中位线，秒出比例和平行关系。 3、直角三角形斜边中点模型 必考结论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 看到Rt△+斜边中点，直接得三条线段相等，秒出等腰三角形，倒角超方便。 4、等腰三角形三线合一 适用：等腰三角形+底边中点 直接用：中点→高→角平分线 三线合一，垂直、平分角直接成立，不用再证。 5、平行线+中点→8字全等模型 适用：一组平行线，中间有线段中点 原理：对顶角+内错角+中点相等，直接AAS/ASA全等，秒得线段相等。 二、中考做题万能思路步骤 1、看见中点先标记；2、单个中点→倍长中线； 3、两个中点→连中位线；4、直角+中点→斜边中线； 5、等腰+底边中点→三线合一； 6、几何复杂→建坐标用中点公式。 题型八 与线段中点有关的动点 （2026·天津滨海新区·一模）四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型九 方向角相关计算 （2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 题型十 角的度量 （2026·广西钦州·模拟预测）若一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 题型十一 与角平分线相关的计算 （2026·广东珠海·一模）如图，已知，，的角平分线与的外角角平分线交于点D，则______度． 题型十二 余角和补角 （2026·湖北黄冈·一模）如图，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，已知点，，则点的坐标是（） A． B． C． D． 题型十三 相交线及其所成的角 （2026·安徽阜阳·二模）如图，在等腰直角中，，点在边上，，是边上一动点，为内一点，且，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十四 平行线及其判定 （2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十五 利用平行线的性质与判定证明 （2026·湖南益阳·二模）如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：是的切线； (2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 题型十六 平行线的性质定理 （2026·湖南娄底·模拟预测）如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（   ） A． B． C． D． 题型十七 平行线性质的应用 （2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 题型十八 平行线之间的距离 （2026·山东济南·一模）如图，在四边形中，，，，，，连接． (1)求平行线与间的距离； (2)求的值．（参考数据：，，） 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东东莞·一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在上，延长到点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·一模）如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 4．（2026·广东阳江·一模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，求的大小． 5．（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形． (1)如图，连接和交于点，则 ； (2)如图，连接和，求的值； (3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 8．（2025·上海·模拟预测）超能市新闻速递：昨日一辆机长80米的客机（编号）在起飞过程中偏离航道，即将撞上正对的一个摩天大楼．据超能航空的斐德文机长回忆技术细节，他当时操纵飞机先朝北偏西方向急升达到最高点，再朝南偏西方向急降，机尾擦到大楼楼顶处着火．之后飞机进行了迫降，无乘客伤亡，有惊无险．斐德文机长获得“荣誉机长”称号． 如图是某人用数学模型粗略还原的新闻中的场景，是垂直于水平地面的大楼，是平行于水平地面的飞机（C是机头），机头仪器显示B点的仰角为．根据现场照片，机尾着火时，机头和紧急操作之前的位置处于同一高度． (1)根据所给信息在图中作图（不用写答句）． ①用虚线作出机头的粗略移动轨迹（标出必要的角度）； ②设飞机急降结束时机头、机尾的位置分别为，用实线作出线段，表示紧急操作结束时的飞机位置． (2)如图，此人根据事发现场侧面照推算出，求机头移动轨迹长（取1.73）． 9．（2026·上海静安·二模）我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°． 10．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接． (1)证明：； (2)如果，求证：． 倒计时9天 吃透三角形边角关系、几何模型，放平心态不慌不乱，落笔有思路，答题有底气，中考稳拿高分！ 三角形 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 三角形是中考几何核心，占15-25分，覆盖全题型。核心考点：内角和、三边关系、等腰/直角三角形性质、全等（SAS/ASA/AAS/SSS）与相似（A字/8字/一线三等角）判定、中位线、斜边中线及解直角三角形。考情：基础题考角度/边长计算；中档题结合全等、相似及特殊线段；压轴题融合旋转、折叠、动点，常与四边形、圆、函数综合，重逻辑推理与模型识别。心态上，需稳抓基础、熟用模型、规范步骤，以从容心态拆解复杂图形，步步推导。 ►中考前沿： 2026年中考三角形命题将基础与能力并重，分值稳定在20分左右。基础题聚焦内角和、特殊三角形性质及简单全等/相似，确保得分；中档题强化解直角三角形实际应用（仰角、坡角），结合网格、折叠情境。压轴题侧重多模型融合，如中点、一线三等角、半角模型，融入旋转、动点，与二次函数、圆综合，考查数形结合与分类讨论。命题更贴近生活，凸显核心素养，备考需吃透模型、精练综合题，保持沉稳心态，灵活转化条件，高效破题。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   三角形的三边关系（重点） 一、核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边 二、取值范围必考公式 已知三角形两边为 a、b（a>b），第三边为 c，a-b < c < a+b，中考填空、选择题高频考点。 三、中考常考题型 1、判断三条线段能否组成三角形：只算较小两边之和是否大于最大边。 2、已知两边，求第三边整数取值、周长取值：先用范围公式，再筛选整数，再算周长范围。 3、等腰三角形分类讨论（易错重灾区）：给两条边长，没说谁是腰、谁是底： 分两种情况讨论，一定要用三边关系检验，舍去不合题意的情况。 4、化简含绝对值代数式：利用三边关系判断式子正负，去绝对值符号，中考常考代数几何结合题。 终极考点2   与三角形相关的角（重点） 一、三角形内角和 = 180° 二、三角形外角性质（中考高频）：三角形的一个外角 = 和它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任意一个不相邻内角；任意三角形外角和 = 360° 三、角平分线相关 1、三角形内角平分线：平分内角，到角两边距离相等 2、内心：三条内角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等 3、内外角平分线夹角模型（必考）- 两内角平分线夹角：90°+顶角；一内一外平分线夹角：顶角 四、特殊三角形角度特征 1、等腰三角形：顶角+2×底角=180°；两底角相等 2. 等边三角形：三个角都是 60° 3. 含30°直角三角形：30°所对直角边 = 斜边的一半 终极考点3   几何常用倒角模型（重点） 1、8字模型（对顶模型） 图形：线段AB、CD相交于点O，构成两个对顶三角形。 原理：利用对顶角相等 + 三角形内角和180° 固定结论：∠A + ∠B = ∠C + ∠D 秒杀用法：不用设方程，直接把左右尖角互换相等，大题小题直接倒角。 2、飞镖模型（凹四边形模型） 图形：点D在△ABC内部凹进去，形成飞镖轮廓。 固定结论：∠BDC =∠A +∠B + ∠C 秒杀用法：看到向内凹的折线角度，直接用外角拆分，套公式一步出结果。 3、三角形内角平分线模型 图形：△ABC中，BP、CP分别平分∠B、∠C，交于点P。 固定结论：∠P = 90°+A 补充变式：一内一外角平分线相交 ∠P = A 4. 一线三等角模型 图形：一条直线上有三个顶点，且有三个角相等（常为90°或等角）。 核心性质：一组角相等 + 余角相等 → 两个三角形两角对应相等；直接证全等或相似。 适用：矩形折叠、坐标系几何、中考压轴动点题，是相似最常用模型。 终极考点4   与三角形高相关的计算（难点） 一、基本概念 1、从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段叫这条边上的高。 2、任意三角形都有三条高。 3、高不一定在三角形内部： 锐角三角形：三条高都在内部；直角三角形：两条直角边互为高，斜边上还有一条高 钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部 二、面积法（中考最常考） 三角形面积两种表达：S=×底×对应高 等积转换核心：同一个三角形，底不同、高不同，面积相等：aha=bhb=c hc 用途：已知一组底和高，求另一边上的高，必考填空、计算题。 三、直角三角形斜边上的高（超级高频考点） 设Rt△ABC，∠C=90°，斜边AB，斜边上高为h 1、面积求高：h=两直角边乘积/斜边 2、射影定理（中考常用）：直角边² = 它在斜边上的射影 × 斜边；高² = 两条射影之积 3、分成的两个小直角三角形和原三角形两两相似。 四、等腰三角形与高 1、等腰三角形底边上的高 → 三线合一：高、中线、顶角平分线重合。 2、已知腰和底，可作高用勾股定理求边长、角度。 3、分类讨论：钝角等腰三角形高在外部，容易漏解。 五、高与勾股定理结合计算 遇高必出直角三角形，常用套路： 1、作高构造Rt△；2、设未知数；3、用勾股定理列方程求解边长、高、周长。 终极考点5   与三角形中线相关的计算（难点） 一、基本定义：连接三角形顶点与对边中点的线段，叫三角形的中线。 每个三角形有三条中线；三条中线交于一点，叫重心；一条中线把三角形分成面积相等的两部分。 二、重心必考性质（中考高频） 1、重心把每条中线分成两段，比例：2:1 顶点到重心 : 重心到中点 = 2:1 2、三条中线将原三角形分成六个面积相等的小三角形； 3、重心与三顶点连线，把原三角形分成三个面积相等的三角形。 三、中线面积核心结论 1、一条中线等分三角形面积； 2、同高等底、同底等高三角形面积相等，常结合中线做面积转化； 3、中点连线、中线搭配，可快速求不规则图形面积。 四、倍长中线模型（中考几何大题必考） 适用场景：题目出现三角形中点、中线，要证相等、平行、求边长。 做法：延长中线至原来两倍长，连接端点，构造8字形全等三角形。 作用：转移边、转移角，把分散条件集中到一个三角形里求解。 五、直角三角形斜边中线（超级重点） 定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 1、看到 Rt△ + 斜边中点，直接得三条线段相等； 2、自动出现等腰三角形，可直接倒角、求边长； 六、三角形中位线（和中线易混淆，必记） 1、连接两边中点的线段叫中位线，不是中线； 2、中位线平行第三边，长度等于第三边一半； 3、有多个中点，优先用中位线，不用硬证全等。 七、中线公式（知三边求中线长） 已知△ABC三边为 a,b,c，可求任意一边上中线长，中考选择填空可快速求值，大题可用来计算边长。 终极考点6   全等三角形的判定证明（难点） 判定简称 中文名称 内容（条件） 适用范围 关键提醒 SSS 边边边 三边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 三边全相等 SAS 边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 任意三角形 必须是夹角，SSA 不成立 ASA 角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 边在两角中间 AAS 角角边 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 边不是夹边 HL 斜边直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 仅直角三角形 只能用于 直角三角形 终极考点7  等腰三角形的性质及判定 （难点） 一、等腰三角形的性质（已知是等腰，能推出什么） 1、边的性质：两腰相等。 2.、角的性质：等边对等角：两腰相等 ⇒ 两底角相等。 3、三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。知其一，必得另外两个。 4、对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。 5、角度限制：底角一定是锐角，不能是直角或钝角。 二、等腰三角形的判定（满足什么条件，就是等腰） 1、边判定：有两条边相等的三角形，是等腰三角形。 2、角判定（最常用）：等角对等边：有两个角相等的三角形，是等腰三角形；等角所对的两条边相等。 3：三线合一逆用判定三角形中，若高线、中线、角平分线有两条重合，可判定是等腰三角形。 4、模型秒判（中考高频）：角平分线 + 平行线 ⇒ 必出等腰三角形；折叠图形 ⇒ 常构造等腰三角形 终极考点8  直角三角形的性质 （难点） 一、基本性质：有一个角是90°，另两个锐角互余（和为90°）；两锐角互余，可直接用来倒角求角度。 二、三边核心考点 1、勾股定理 若∠ C=90°，则：a2+b2=c2 已知两边求第三边、求周长、求边长必备。 2、勾股定理逆定理 若三角形三边满足a2+b2=c2，可直接判定这个三角形是直角三角形。 三、两大特殊直角三角形（必考背诵） 1、含30°直角三角形：30°角所对的直角边 = 斜边的一半；三边比： 2、等腰直角三角形（45°、45°、90°）：两直角边相等；三边比：；两锐角都是45° 四、斜边中线定理（中考超级高频） 直角三角形斜边中线 = 斜边的一半 1、斜边中点连顶点，直接分出两个等腰三角形； 2、选择、填空、几何大题可直接套用，不用证明。 五、斜边上的高相关考点 1、面积法求斜边上的高：h=直角边乘积/斜边 2、斜高把原直角三角形分成两个小直角三角形，且三个三角形两两相似。 3、射影定理常用结论：直角边平方=射影×斜边。 六、判定直角三角形四种方法：有一个角是90°；两锐角互余；勾股定理逆定理；三角形一边上的中线等于这条边的一半 ⇒ 是直角三角形。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 与三角形有关的线段问题 （2026·辽宁·一模）如图，将沿翻折得到，连接交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，的面积为，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 解题妙法 妙法1：遇中点，优先两套套路 1、 一个中点 → 用倍长中线，构造全等，转移线段、转移角； 2、两个中点 → 直接连中位线，平行且等于底边一半，秒得长度和平行关系。 妙法2：求高、求边长，首选面积法 同三角形面积不变：S=×底×对应高 已知一组底和高，就能求任意边上的高，不用复杂全等。 妙法3：直角三角形秒用两大结论 1、斜边中点 → 斜边中线=斜边一半，直接出等腰、倒角、求边长； 2、斜边上求高 → 直接用：高=两直角边乘积÷斜边。 妙法4：角平分线线段题专用口诀 角平分线遇平行，必出等腰三角形； 角平分线上的点，到角两边距离相等，直接证线段相等、求垂线段长度。 通用做题步骤（考场万能） 1、先看图中标注：有没有中点、角平分线、垂直、直角；2、有中点→分1个中点/2个中点，分别用倍长中线、中位线；3、求高、求距离→优先面积法；4、直角→立刻用斜边中线、30°边长结论； 5、角平分线→想距离相等、遇平行构等腰。 题型二 三角形的角平分线 （2025·福建泉州·模拟预测）已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为______． 解题妙法 妙法1：利用「距离相等」秒杀 定理：角平分线上任意一点，到角两边垂线段距离相等。 用法：题目有角平分线 + 作两边垂线 → 直接写线段相等，不用证全等； 求距离、求线段长、证相等，优先用这个。 妙法2：角平分线 + 平行线 → 秒出等腰三角形 图形特征：角平分线 + 一条边平行 结论：自动构成等腰三角形，等边对等角、等角对等边直接用。 妙法3：三类夹角公式 直接口算角度 设三角形顶角为∠A，两平分线交于一点P： 1、两内角平分线相交：∠P=90°+∠A；2、一内一外角平分线相交：∠P=∠ A 3、两外角平分线相交：∠P=90°-∠A 妙法4：角平分线分线段成比例（大题神器） 三角形内角平分线分对边为两条线段，两条线段之比 = 相邻两边之比。 遇求线段比例、求边长，直接列比例式解方程，超快。 妙法5：作垂线、构全等 遇到角平分线常规证明题：过平分线上一点，向角两边作垂线， 构造直角三角形全等，转化边和角，大题通用套路。 题型三 与三角形有关的角 （2026·江苏泰州·一模）如图，中，是边上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型四 全等三角形的性质 （2026·江苏盐城·一模）如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 题型五 三角形全等的判定 1．（2026·江苏南京·一模）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 2．（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 题型六 角平分线的性质与判定 （2026·上海长宁·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足． (1)求证：． (2)在中，当时． ①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长． ②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域． 题型七 线段垂直平分线 （2026·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，，为内一点满足，连接，，延长到点，使得． （1）的长为___________； （2）若，的长为___________． 解题妙法 一、四大解题妙法 妙法1：见垂直平分线，直接转等边 只要点在线段垂直平分线上，直接写两条线段相等，不用证全等、不用算。 妙法2：构造等腰三角形：线段垂直平分线 → 天然生成等腰三角形 可用：等边对等角、三线合一 快速倒角、算边长。 妙法3：周长秒杀法（中考最爱考） 三角形一边的垂直平分线，交另一边于一点， 三角形周长可直接等量代换，把折线换成定长线段，不用设未知数，直接口算周长。 妙法4：逆判定秒判垂直平分线 题目给：一点到线段两端距离相等 直接下结论：这点在该线段的垂直平分线上，用来证垂直、证中点、证平分线特别好用。 二、做题万能套路 1、题干出现垂直平分线 → 立刻标：两端线段相等；2、求周长 → 用垂直平分线等量替换边长； 3、求角度 → 先出等腰，再用等边对等角倒角；4、要证垂直/中点 → 用“距离相等→在垂直平分线上”逆推。 题型八 等腰三角形的性质 （2026·广东江门·一模）在中，，点P在边上由点A向点C运动（不与点A、C重合），过点P作，交射线于点Q． (1)如图，若点Q在线段的延长线上，，探索与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，若点Q在线段上，，，求的长． (3)如图，若，求在运动过程中线段长度的最小值． 解题妙法 一、五大解题秒杀妙法 妙法1：见两角相等，直接判等腰 题目只要推出两个内角相等，不用证全等，直接下结论：等角对等边，三角形为等腰三角形。 妙法2：角平分线 + 平行线 ⇒ 必出等腰 经典模型口诀：平分遇平行，立马出等腰 出现这两个条件，不用推导，直接判定等腰，得两边相等。 妙法3：折叠、翻折图形 ⇒ 自动构造等腰 中考折叠题必考：折叠前后对应角相等、对应边相等，必能找出一组等角，直接判定等腰三角形。 妙法4：三线合一逆用判定 在一个三角形里：有中线又是高；有角平分线又是高；有角平分线又是中线 只要满足两条重合，立刻判定是等腰三角形。 妙法5：坐标系/网格找点判等腰 平面直角坐标系、网格题：算三边长度，有两边相等 ⇒ 直接判定等腰； 动点存在性问题，按“两腰相等”分类讨论即可。 二、考场通用解题步骤 1、想证等腰，优先找有没有两个角相等；2、有角平分线+平行线，直接秒判等腰； 3、有折叠、对称，先找等角再判定；4、有中线、高、角平分线任意两条重合，直接判定。 题型九 等腰三角形的判定 （2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型十 直角三角形的性质 （2026·安徽阜阳·二模）如图，在中 ，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 解题妙法 一、六大解题妙法 妙法1：遇直角，先秒用「两锐角互余」 求角度不用算内角和，直接余角互推，一个角知道，另一个直接90°减，快速倒角。 妙法2：见斜边中点，立马用「斜边中线」：只要是直角三角形 + 斜边中点，直接写中线等于斜边一半，秒出等腰三角形，求边长、求角度一步到位。 妙法3：有30°/45°，直接套特殊边长比 30°直角三角形：三边比 1::2，知一边秒求另外两边。 等腰直角三角形：三边比 1:1:，角度都是45°，直接口算。 妙法4：求斜边上的高，用「面积法秒杀」 不用勾股慢慢列方程：斜边上的高 = \dfrac{两直角边乘积}{斜边} 妙法5：直角三角形相似秒用 斜边上作高，三个直角三角形两两相似，直接用对应边成比例，求线段长、射影类题目秒解。 妙法6：折叠、动点遇直角，优先构Rt△ 几何折叠、坐标系动点，先找隐藏直角，构造直角三角形，再用勾股定理列方程求值，万能套路。 题型十一 勾股定理及逆定理 （2026·福建泉州·模拟预测）如图，将沿斜边翻折后点的对应点，点是线段上的动点，且，已知，则线段的最小值为___________． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，． (1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长； (3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 3．（2026·江苏南京·一模）生活中，“曲柄滑块机构”（如图（1））广泛应用于压缩机、冲床等机械设备中，它由导轨，长度固定的曲柄和长度固定的连杆组成，图（2）是它的示意图．它能将点A的整周转动转换为点B在导轨上的往复移动，其中，点B离点O最远的位置称为“外止点”，记为M；点B离点O最近的位置称为“内止点”，记为N．已知点O，A，B，导轨在同一平面内． 当点B和点M重合时，点A开始逆时针旋转，记旋转角为θ°，当时，点A停止旋转．设，，点O到的距离为c，且． (1)如图（3），当，即直线经过点O时，若，，则MN的长度是______． (2)如图（4），当，即直线不经过点O时，求证：． (3)在点A的旋转过程中，的长度m是θ的函数． ①如图（3），当时，m与θ之间的函数图像（不完整）如图（5），该图像上的点P的纵坐标是，写出点P的横坐标并补全函数图像． ②如图（4），当时，直接写出m的最大值（用含a，b，c的代数式表示），并写出求此时θ的值的思路． 4．（2026·广东深圳·一模）如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 5．（2026·安徽芜湖·二模）如图1，在中，于点，点在边上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，为外一点，且点与点在的异侧，，，求证：． 6．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西大同·二模）如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 9．（2026·云南昆明·一模）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图，过点作的角平分线与的延长线交于点．若，，求的面积． 10．（2026·河南南阳·一模）综合与实践 两个完全一样的直角三角板和按图方式摆放(、、三点在同一条直线上)，． (1)观察发现 如图1，直线和的位置关系是，连接、，则、、之间的数量关系是； (2)深入探究 将三角板绕点旋转，当点落在上时，如图．连接，则、、之间的数量关系是，求证：垂直平分； (3)拓展延伸 在三角板绕点旋转过程中，设直线和相交于点，当点落在直线上时，连接，若，直接写出线段的长度． 倒计时8天 深耕四边形边角性质、折叠动点综合考点，保持沉稳心态，以熟练功底从容拆解图形，中考几何轻松突围！ 四边形 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 四边形是中考几何核心载体，分值约8-12分，题型分层清晰 。基础题（选择/填空）常考多边形内外角和、平行四边形及特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定，侧重边角、对角线关系的直接应用。解答题多为2小问，第一问证平行/全等，第二问结合勾股定理、面积公式计算；压轴题常以四边形为背景，融合折叠、旋转、动点，综合全等、相似与坐标系知识，重点考查逻辑推理与模型转化能力。 ►中考前沿： 2026年中考四边形命题将稳中有新，基础考查更灵活，综合题强化素养立意。基础题聚焦特殊四边形判定的灵活组合（如对角线条件），多边形内外角和结合规律探究。中档解答题以菱形、矩形为载体，融合全等证明与线段/面积计算，步骤更简洁。压轴题侧重“动态+变换”，如正方形旋转、矩形折叠、平行四边形存在性问题，结合坐标系与函数，强调分类讨论与逆向推理，突出几何直观与综合应用能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   多边形（简单） 多边形 内角和定理 n边形的内角和为 外角和定理 多边形的外角和等于360° 多边形对角线条数 从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形 定义 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 特征 1）各个角都相等；2）各条边都相等，两者缺一不可. 性质 1）正n边形有n条对称轴． 2）正多边形的边数为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形；正多边形的边数为奇数时，它是轴对称图形，不是中心对称图形. 终极考点2   平行四边形（重点） 平行四边形性质 类别 性质内容 几何语言（▱ABCD） 边 对边平行且相等 AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180° 对角线 对角线互相平分 AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD 对称性 中心对称图形 绕对角线交点旋转180°与自身重合 平行四边形判定定理 判定角度 判定内容 几何语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形 边 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形 终极考点3   矩形、菱形、正方形的概念及性质（重点） 概念 性质 面积 边 角 对角线 其它 矩形 有一个角为直角的平行四边形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 对角线将其分成4个等腰三角形 （a,b分别为矩形的长和宽） 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 对边平行、四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 对角线将其分成4个全等的直角三角形 （a为菱形的边长，h为菱形一边上的高）； （m,n分别为两条对角线的长） 正方形 四条边都相等、四个角都是直角的四边形 四个角都是直角 对角线将其分成4个全等的等腰直角三角形 （a为正方形的边长） 终极考点4   矩形、菱形、正方形的判定（重点） 四边形 边 角 对角线 矩形 1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 多边形内角和问题 （2026·新疆乌鲁木齐·二模）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型二 多边形外角和问题 （2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 题型三 平面镶嵌 （2026·安徽阜阳·二模）【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神． (1)如图1，在中，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是___________．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是___________． (2)小徽家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． （i）请问两种瓷砖每块各多少元？ （ii）小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？ 题型四 平行四边形的性质 1．（2026·浙江·一模）如图，平行四边形，为线段中点，为延长线上一点，连接分别交、于点、点，已知，的面积分别为和，则的面积为（    ）． A．1 B． C． D．2 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角． 解题妙法 一、三大核心秒杀思路 1、 看到平行四边形，立刻抓3条：对边平行、对边相等、对角线互相平分。 2、平行=角相等 只要有一组对边平行，马上用：内错角相等、同位角相等、同旁内角互补，求角度直接秒算。 3、对角线一出，必有全等：平行四边形对角线相交分成4个小三角形，两两全等； 做题求线段长、证线段相等，直接用全等，不用绕弯。 二、必考题型专用妙招 1、求角度：对角相等，邻角互补 2、求周长：周长 = 2×(相邻两边之和) 3、求边长、证线段相等：优先用对边相等，不行就用对角线平分，再不行构造全等三角形。 4、面积计算：面积 = 底 × 对应高 重点：高一定要对着对应的底，别乱配对；同底等高三角形面积是平行四边形的一半。 5、动点、存在性问题妙招 要证是平行四边形，优先用：一组对边平行且相等，最简单最好证；其次用对角线互相平分。 题型五 证明四边形是平行四边形 1．（2026·江苏常州·一模）在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： (1)如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； (2)老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______； (3)在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离． 2．（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 题型六 平行四边形的判定与性质综合 （2026·天津东丽·一模）如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型七 三角形的中位线问题 （2026·江苏宿迁·一模）根据要求完成下列各题： (1)如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上． (2)如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值． (3)如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长． 解题妙法 妙招1：遇中点，连中点，构造中位线 题目只给单个中点，主动取另一边中点、连线，强行构造中位线，立马出平行、出倍数关系。 妙招2：见“一半/两倍”线段长，必用中位线 只要题目求：某线段 = 另一条线段的1/2或 2倍，不用全等、不用勾股，直接中位线秒杀。 妙招3：证平行线，优先中位线 要证两条线平行，不用角相等、不用相似，构造中位线 → 直接得平行，步骤少、不扣分。 妙招4：四边形里遇中点连线，用中位线模型 任意四边形，顺次连接四边中点，所得四边形一定是平行四边形 原理：连对角线，分成两个三角形，各用中位线。 题型八 根据矩形的性质求解线段长、面积等 （2026·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为___________． 解题妙法 矩形综合题万能解题步骤 1、先标：四个角都是90° 2、看对角线：立马用相等、互相平分，找等腰三角形 3、求角：用互余、等腰等边对等角 4、求边长：勾股定理 + 设未知数解方程 5、求面积：长×宽 或 一半模型直接秒杀 题型九 矩形与折叠问题 1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____． 一、三大解题妙招（考场直接用） 妙招1：遇折叠，先标相等 把折叠后重合的边、角，全部用相同记号标上， 一眼就能看出哪些线段相等、哪些角相等，不用瞎猜。 妙招2：求线段长——设未知数+勾股方程（最常用） 步骤固定：1、设未知线段为 x；2、用折叠全等，把其他边用含 x 的式子表示 3、找直角三角形，用勾股定理列一元一次方程；4、解方程求出边长 中考90%矩形折叠求边长，全靠这一招。 妙招3：求角度——用“90°+折叠等角+平行线内错角” 套路：矩形内角90° → 折叠分出两个等角 → 利用平行线内错角相等 → 直接算出所有角度，不用证全等。 二、矩形折叠常见模型秒杀思路 模型1：沿对角线折叠：必出等腰三角形 平行线+折叠等角 → 等角对等边，直接得线段相等 模型2：向对边顶点折叠 落点在矩形边上，一定构造直角三角形，设x、勾股列方程，标准答案套路 模型3：折到内部一点：利用折叠边长不变，转移线段；多个小直角三角形，连环用勾股代换 题型十 证明四边形是矩形 （2026·安徽亳州·二模）如图，在平行四边形中，，点为的中点，点为边上一点，直线交于点，连接，．则下列结论不成立的是（   ） A．若四边形为矩形，则 B．四边形为平行四边形 C．若，则四边形为菱形 D．四边形不可能为正方形 题型十一 根据菱形的性质求解线段长、面积等 （2026·上海黄浦·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 题型十二 证明四边形是菱形 （2026·广东深圳·二模）综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； (4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 题型十三 根据正方形的性质求解线段长、面积等 （2026·广东珠海·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 题型十四 正方形折叠问题 （2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 题型十五 证明四边形是正方形 （2026·四川绵阳·一模）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 题型十六 特殊四边形的动点问题 （2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 解题妙法 妙招1：先设运动时间 设动点运动时间为 t 秒，速度已知，就可以写出：路程 = 速度 × t 妙招2：用含t式子表示所有关键边长 把动点所在线段、剩余线段，全部换成 含t代数式 这是做动点题最关键一步，不会表示线段就做不出来。 妙招3：判定平行四边形优先用最简条件 动点题证平行四边形，首选： 一组对边平行且相等 不用选对角线、不用选两组对边相等，计算最简单、方程最好列。 妙招4：判定矩形、菱形、正方形 固定套路 1、平行四边形 + 一个直角 = 矩形 2、平行四边形 + 一组邻边相等 = 菱形 3、矩形 + 邻边相等 / 菱形 + 一个直角 = 正方形 先证平行四边形，再补一个特殊条件即可。 妙招5：遇直角、求边长，立刻用勾股定理 动点形成直角三角形、垂直问题，直接勾股定理列方程，秒求t的值。 妙招6：范围问题看“动点不超边界” 求t的取值范围：只看动点不能跑出线段端点，算出起点时间、终点时间，就是取值范围。 题型十七 四边形中的线段最值问题 （2026·辽宁阜新·一模）如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 题型十八 四边形其他综合问题 （2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 题型十九 梯形的性质及判定 （2026·上海黄浦·一模）如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求的值． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽阜阳·二模）在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 4．（2026·山东临沂·一模）如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为弧，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东菏泽·一模）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·上海黄浦·二模）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔． (1)雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量与的长，如果，那么桌面不是等腰梯形；如果，再继续测量、、与的长，如果，或者，，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形． 其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）； (2)请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤． 7．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若已知，，求四边形的面积． 倒计时7天 圆的考题看似线条繁杂，实则有规律可循，掌握性质定理、吃透常考模型，以平和心态直面题型，细心审题耐心推演，你一定能突破圆的所有考点，中考稳赢！ 圆 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 圆是中考几何核心，占12-20分，题型覆盖选择、填空、解答压轴。基础题聚焦垂径定理、圆周角与圆心角关系、切线性质、弧长扇形面积计算；中档题常结合全等、相似、勾股定理；压轴题多为圆与特殊四边形、动点、折叠的综合探究。 ►中考前沿： 2026年命题将稳基础、强综合、重模型。小题延续基础计算与性质辨析；解答题必考切线证明（连半径证垂直）+线段/面积计算；压轴侧重“圆+相似+动态”，融入定值、最值探究，贴近教材模型，适度结合实际场景，不偏不怪，重点考查逻辑推理与几何直观。备考需熟记定理、吃透辅助线模型，沉稳推演即可稳拿高分。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   与圆有关的概念与性质（简单） 圆 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠AOB 圆周角 顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠ACB. 弦和直径 连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的弦BC.经过圆心的弦叫做直径，如图中的直径AC. 圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做优弧，如图中的.小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. 圆的对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 圆的旋转不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合. 终极考点2   垂径定理及推论（重点） 一、推论（知二推三，高频） 一条直线满足以下5条中任意2条，必满足其余3条： 1、过圆心（直径/半径）； 2、垂直于弦； 3、平分弦（弦不能是直径）； 4、平分弦所对劣弧； 5、平分弦所对优弧。 关键提醒：平分直径的直径不一定垂直，推论必须加“弦非直径”。 二、中考核心考法（全覆盖） 1、基础计算（选择/填空，送分） 模型：半径r、弦心距d、半弦长、拱高h，知二求二。 公式：；h=r±d（圆心与弦同侧减、异侧加）。 2、实际应用（解答题，中档） 背景：拱桥、拱门、管道、隧道等圆弧问题。 步骤：建圆模型→作弦心距→连半径→勾股列方程求解。 3、几何证明（解答/压轴，综合） 证弧相等：垂径定理直接得平分弧； 证线段相等：平分弦+全等/等腰； 证垂直：推论“平分弦（非直径）⇒垂直”； 结合圆周角：垂径得弧等→圆周角等→倒角。 4、综合压轴（圆+相似/勾股/动点） 辅助线：遇弦作弦心距、连半径，构造Rt△是解题关键。 三、必考辅助线模型（条件反射） 1、有弦→过圆心作弦垂线（得弦心距、平分弦、平分弧）； 2、有弧中点→连圆心（垂直平分弦）； 3、求半径/弦长→连半径+作弦心距（Rt△勾股）。 终极考点3   弧、弦、圆心角之间的关系（简单） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 终极考点4   圆周角定理及推论（重点） 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 常见图形 结论 推论 1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 终极考点5   与圆有关的位置关系（重点） 一、点与圆的位置关系 设圆半径为 r，点到圆心距离为 d 1、 d > r → 点在圆外 2、d = r → 点在圆上 3、d < r → 点在圆内 二、直线与圆的位置关系 设圆半径 r，圆心到直线距离 d 1、d > r → 相离，无公共点 2、d = r → 相切，有唯一公共点（切点） 3、d < r → 相交，有两个公共点 三、切线的性质（必背） 1、圆的切线垂直于过切点的半径 2、过圆心且垂直于切线的直线必过切点 3、过切点且垂直于切线的直线必过圆心 解题信号：见切线 → 立刻连圆心和切点，得直角。 四、切线的两种判定方法（解答题高频） 1、有切点，连半径，证垂直：已知点在圆上，连接圆心与该点，证明夹角90°即可。 2、无切点，作垂直，证半径：过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于半径。 五、切线长定理（选择、填空、解答常考） 1、从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 2、圆心和这点的连线平分两条切线的夹角 3、连线垂直平分两切点的连线 六、三角形与圆的位置关系 1、三角形的外接圆 定义：经过三角形三个顶点的圆 圆心：外心，三边垂直平分线交点 性质：外心到三顶点距离相等（都是半径） 直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径=斜边一半 2、三角形的内切圆 定义：与三角形三边都相切的圆 圆心：内心，三条角平分线交点 性质：内心到三边距离相等（都是内切圆半径） 直角三角形内切圆半径公式：r= 七、圆与圆的位置关系（中考选择填空偶尔考） 设两圆半径 R>r，圆心距为 d 外离：d>R+r 外切：d=R+r 相交：R-r<d<R+r 内切：d=R-r 内含：d<R-r 终极考点6    弧长、扇形面积的相关计算（重点） 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 1、弓形面积的求法 当弓形所含的弧是劣弧 当弓形所含的弧是优弧 当弓形所含的弧是半圆 2、求不规则图形面积的常用方法 1）求和(差)法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差. 如图(1)， 2）等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算. 如图(2)，点D为的中点，则。 如图(3)，已知扇形 AOB，DO∥AB，则. 3）容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和−（多加部分的面积+空白部分的面积）”求解. 如图(4)，阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分，则 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 利用垂径定理求解问题 （2026·北京昌平·一模）如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 垂径定理的推论 （2026·湖南娄底·模拟预测）如图，、是的两条弦，、交于点E，，，连接、，若，则（   ） A． B． C． D．2 解题妙法 四大推论（记口诀秒用） 1、平分非直径的弦的直径，垂直于这条弦； 2、平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦； 3、弦的垂直平分线，必过圆心； 4、平行弦所夹的弧相等。 二、解题万能模型（中考90%题型通用） 设：圆半径R，弦长L，圆心到弦的距离d，弦长一半a= 核心勾股公式（必背）：a2 + d2 = R2 只要题给半径、弦长、圆心距任意两个，直接套公式求第三个。 三、3个秒杀解题妙法 妙法1：遇弦必作“垂直半径”辅助线 看到弦→立刻过圆心作弦的垂线，垂足分弦为两半，直接构造直角三角形，勾股定理直接算。 中考几何填空、大题标配辅助线，一做就有思路。 妙法2：遇弧中点→连圆心+垂直弦 题目给弧中点、平分弧→连接圆心和弧中点，这条线垂直平分对应弦，直接用推论秒证垂直、平分。 妙法3：求拱桥/隧道/弧形跨度题 实际应用题（拱桥、水管、拱门）： 1、补全整圆，设半径R；2、设拱高为h，转化为圆心距d=R-h； 3、代入 a2+(R-h)2=R2 解方程，一步出答案。 题型三 垂径定理的实际应用 （2026·湖南·一模）如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面．已知的半径为，，，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面恰好经过点B时（水无溢出）停止，则容器口边缘点A相对甲处时升高了（   ） A． B． C． D． 题型四 弧、弦、圆心角之间的关系 （2026·辽宁沈阳·一模）如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解题妙法 妙法1：等角→等弧→等弦 直接串用 题目给圆心角相等，不用证全等，直接秒得：弧相等、弦相等、弦心距相等； 反过来，给弦相等/弧相等，直接推圆心角相等。 大题可直接当依据写，省步骤。 妙法2：证弦相等，优先转「圆心角相等」 要证两条弦相等：不用三角形全等，先证圆心角相等，直接推出弦相等，步骤最简、中考满分写法。 妙法3：弧的倍数 = 圆心角倍数 同圆中：弧长几倍 ⇔ 对应圆心角几倍； 遇弧是几倍关系，直接看成圆心角倍数，快速算角度。 妙法4：遇多段弧、多根弦，用「等量代换」 同圆里：大弧减小弧 = 另一大弧减小弧 推出剩余弧相等 → 对应弦、圆心角直接相等，不用绕弯。 题型五 圆周角定理及其推论 （2026·广东深圳·一模）如图，已知四边形的外接圆的半径是，对角线与的交点为，，，，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 解题妙法 妙法1：见弧倒角，直接“同弧等角” 几何题要算角度、证角相等：先看是不是同一条弧，是就直接写： 同弧所对圆周角相等，不用复杂推导，一步出角。 妙法2：遇直径，立刻连端点造直角 题目有直径，马上连接圆上一点，自动形成直角三角形， 求边长、求角度、证垂直全靠这一招。 妙法3：圆心角、圆周角快速换算 已知圆心角÷2 = 圆周角 已知圆周角×2 = 圆心角 填空选择口算秒出答案。 妙法4：圆内接四边形 补角秒算 求外角、求对角：直接用和为180°，不用找三角形内角和，省步骤。 妙法5：同侧等角四点共圆秒杀 两个角在弦同侧、且相等 → 四点共圆 立马能用圆周角、对角互补性质，大题直接提速。 题型六 正多边形和圆的综合 （2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型七 弧长公式的应用 （2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 题型八 扇形面积公式的应用 （2026·山西阳泉·一模）如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型九 求弓形面积 （2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型十 求其他不规则图形的面积 1．（2026·广东佛山·一模）如图，点C、D是以为直径的半圆上的三等分点，连接，半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型十一 圆锥的定义及面积 （2026·广东珠海·一模）综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】半径为的纸片若干． 【探索】 (1)如图1，在一个圆形纸片中剪出以圆上点A为圆心且圆心角为的扇形．写出扇形的半径______； (2)如图2，在另一圆形纸片中剪一个以O为圆心且圆心角为的扇形． ①如图3，若将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的体积； ②如图4，若在扇形上作圆（），与扇形的两条半径相切，与扇形的弧有且只有一个交点G，且O，F，G三点共线，求的半径． 题型十二 判断点与圆的位置关系 （2026·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 题型十三 三角形的外接圆 （2026·山东淄博·一模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十四 直线与圆的位置关系 （2026·山东聊城·一模）如图，已知，，，，M、N是边上的点，，如果以为直径的与边有公共点，那么的值不可以是（    ） A． B．2 C． D． 题型十五 切线的判定定理与性质定理的综合应用 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 题型十六 切线长定理 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长度． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 题型十七 三角形的内接圆 （2026·浙江舟山·一模）如图，为内接三角形，其中为直径，且，点为和平分线的交点，延长交于点，连结，，． ①________； ②若，，与之间的函数关系为________． 题型十八 圆内接四边形 （2026·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 题型十九 圆与圆的位置关系 （2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 题型二十 圆的综合问题 1．（2026·浙江温州·一模）如图，点，，在上，，以，为边作． (1)如图1，当经过圆心时，求的度数． (2)如图2，当与相切时，若的半径为，求与的重叠部分（阴影部分）的面积． 2．（2026·上海浦东新·二模）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·江苏泰州·一模）如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（   ） A．的长 B．与的积 C．与大圆半径的比 D．的度数 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东深圳·二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，垂足为点D，，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 5．（2026·广东河源·模拟预测）如图①，在圆内接四边形中，点E是四边形中对角线上的一点，且满足，分别延长，交于点M，N，连接． (1)求证：是的直径． (2)如图②，若．求的长． (3)在内是否存在其他点G，使？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 6．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 7．（2026·广东江门·一模）如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点D，且，垂足为E，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 8．（2026·上海青浦·二模）已知中，，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点． (1)如图1，当点在线段上时， ①记圆交于点，求证：； ②设，用表示圆的半径； (2)如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围． 倒计时6天 形变化寻规律，几何综合破难点，稳住心态细心推演，落笔皆是满分底气。 图形变换与几何综合 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 图形变化与几何综合是中考数学压轴核心，聚焦平移、旋转、轴对称（折叠）三大变换，融合三角形、四边形、圆及全等/相似、勾股定理等核心知识。命题以“素养立意、分层设问、多模复合”为特点：第一问基础性质（送分），第二问中档综合（承上启下），第三问动态探究（压轴拔高）。重点考查模型识别（手拉手、一线三等角、半角）、辅助线构造、不变量分析、分类讨论与数形结合能力，区分度强，重在选拔逻辑推理与综合应用素养。 ►中考前沿： 2026年该模块将延续“动态化、综合化、模型化”趋势，分值稳定在10–14分，多为第22/23题压轴。载体以正方形、菱形、等腰直角三角形为主，叠加旋转（手拉手）、折叠、动点轨迹，常结合圆、相似、三角函数求线段长、面积最值或存在性问题。设问更开放，强化“过程探究+结论迁移”，重视辅助圆、将军饮马、胡不归等模型变式。备考需精练变换性质、模型拆解与代数化计算，稳住心态、分步突破，规范步骤拿满过程分。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   图形变化的对比（重点） 对比维度 轴对称 平移 旋转 中心对称 相同点 均为全等变换，不改变图形形状、大小；变换前后对应边相等、对应角相等，仅改变图形位置 同左 同左 同左 变换本质 沿一条直线翻折后图形完全重合 沿固定方向做平行移动，移动距离固定 绕一个定点转动一定角度 绕一个定点旋转 180° 后与原图形重合 对应点连线性质 被对称轴垂直平分 互相平行且相等 到旋转中心距离相等，连线夹角等于旋转角 经过对称中心，且被对称中心平分 对应线段关系 长度相等，位置对称，不一定平行 平行且相等 长度相等，位置不一定平行 平行且相等 图形方向 发生翻转改变 保持不变 发生改变 旋转 180°后反向重合 坐标变化规律 关于 x 轴对称：横不变，纵变号；关于 y 轴对称：纵不变，横变号 左减右加、上加下减（坐标平移） 绕原点旋转 90°/180° 有固定坐标变换规则 绕原点中心对称：横、纵坐标均变号 中考高频考点 图形折叠、线段 / 角度计算、最值问题 网格平移、坐标求解、图形面积计算 手拉手模型、半角模型、几何综合压轴 中心对称图形判断、反比例函数性质、平行四边形相关 易错点 忽略折叠全等性质、落点分类漏解 坐标平移规律混淆、计算失误 找不准旋转角、无法构造全等三角形 混淆中心对称与中心对称图形、漏解 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 利用平移的性质求解问题 （2026·广东佛山·一模）如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 解题妙法 妙法1：求周长——平移“折边拉直” 遇到阶梯形、凹凸不规则图形周长： 把所有水平线段向上/下平移，竖直线段向左/右平移，直接拼成长方形，周长秒算，不用逐条加。 妙法2：求面积——平移割补、空位补齐 不规则阴影面积、小路面积、草坪题： 平移拼接，把零散阴影凑成规则图形（矩形、正方形、三角形），直接套面积公式，避开复杂计算。 妙法3：坐标平移口诀（坐标系专用）：点(x,y)，左减右加（x），下减上加（y） 图形平移和点平移坐标变化完全一样，整体照搬即可。 妙法4：线段最值——平移造“共线最短” 将军饮马类变式、折线和最小： 平移定点，化折线段为直线段，利用两点之间线段最短直接求最小值。 妙法5：几何证明——平移转移边角 要证线段相等、平行、角相等： 把图形平移到合适位置，把分散边角集中到一个三角形/四边形里，直接用全等、平行性质秒证。 题型二 平移作图 （2026·安徽芜湖·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)将线段先向上平移1个单位长度，再向右4个单位长度，得到线段，请画出线段（其中，分别与，对应）； (2)在所给的网格图中的平面直角坐标系的第一象限内，确定一个格点，使得点在线段的垂直平分线上，并写出点的坐标． 题型三 平移综合题（几何变换） （2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，，，C为x轴正半轴上一点，以为一边在第一象限内作等边．使得D点恰好落在线段上，D点坐标为________，将沿x轴的正半轴向右平移得到，当将的面积分为两部分时，的长为________． 题型四 根据成轴对称图形的特征解决问题 （2026·上海浦东新·二模）在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 解题妙法 妙法1：求周长——平移“折边拉直” 遇到阶梯形、凹凸不规则图形周长： 把所有水平线段向上/下平移，竖直线段向左/右平移，直接拼成长方形，周长秒算，不用逐条加。 妙法2：求面积——平移割补、空位补齐 不规则阴影面积、小路面积、草坪题： 平移拼接，把零散阴影凑成规则图形（矩形、正方形、三角形），直接套面积公式，避开复杂计算。 妙法3：坐标平移口诀（坐标系专用）：点(x,y)，左减右加（x），下减上加（y） 图形平移和点平移坐标变化完全一样，整体照搬即可。 妙法4：线段最值——平移造“共线最短” 将军饮马类变式、折线和最小： 平移定点，化折线段为直线段，利用两点之间线段最短直接求最小值。 妙法5：几何证明——平移转移边角 要证线段相等、平行、角相等： 把图形平移到合适位置，把分散边角集中到一个三角形/四边形里，直接用全等、平行性质秒证。 题型五 折叠问题 （2026·广东梅州·二模）如图，在中，，，，点，分别在，上，且，将沿着直线折叠得到，点到的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型六 画轴对称图形 （2026·广东·一模）在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点三角形全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点三角形的一条边重合，且面积与相等． 题型七 轴对称综合题（几何变换） 1．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 2．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 题型八 根据旋转图形的特征解决问题 （2026·辽宁本溪·一模）几何综合探究： (1)如图1，将沿对角线剪开，将绕着点A逆时针旋转度得到，，分别延长，交于点G． ①求证：； ②如图2，当时，，，，求的面积 (2)如图3，在中，，D是边的中点，点E在上，过点E作交的平行线于点F，若，，求的值． 解题妙法 妙法1：遇共顶点等线段，直接用旋转 看到共顶点、有相等线段（等边三角形、等腰直角、正方形）， 直接把小图形绕公共顶点旋转，把分散边角集中到一起，秒证全等、求边长角度。 妙法2：旋转必出等腰三角形 一组对应点连旋转中心，两条边相等+转角相等， 天然构成等腰三角形；若是60°旋转直接出等边三角形，45°、90°出等腰直角三角形。 妙法3：求角度——抓“公共旋转角” 多三角形共一个旋转中心， 所有对应夹角都等于旋转角，不用一步步算内角和，直接口算角度。 妙法4：不规则面积——旋转割补法 阴影零散、图形不规则， 旋转拼接，把零散部分补成正方形、三角形、扇形，直接套公式算面积，避开复杂计算。 题型九 旋转综合题（几何变换） （2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 题型十 中心对称的性质 （2026·陕西西安·模拟预测）学完“中心对称”以后，某数学兴趣小组结合三角形进行了相关探究．已知为内部一点，与关于点中心对称，其中的对应点为的对应点为的对应点为． (1)如图1，请你按要求画出． (2)小组探究发现，当处于不同位置时，两个三角形的重叠部分的形状只可能有两种情况：平行四边形或有三组对边分别平行的六边形；并且两个三角形的重叠部分的面积也在不断变化．在中，，为边上一点，对称中心在线段上运动． ①如图2，当，点在三角形内或边上时，易得两个三角形的重叠部分是平行四边形，与交于点与交于点．求面积最大时，对称中心到的距离． ②如图3，当时，若两个三角形的重叠部分为六边形，求该六边形的最大面积． 题型十一 图形设计 （2026·山西晋中·一模）图形变换是指对基本图形的几何信息进行一系列操作，从而产生新的图形，包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（   ） A．B． C． D． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东梅州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为______． 2．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（    ） A． B．3 C． D． 3．（2026·广东·一模）广州从1995年春节开始在白鹤潭江面举办春节烟花汇演，并连续举办了18年，大年初一看烟花成为广州市民的共同回忆．阔别12年后，广州春节烟花汇演在白鹤潭重燃，2026年2月17日晚在开场的无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西朔州·二模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点． (1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由． (2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点． ①求证：． ②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______． (3)若点落在直线上，请直接写出的长． 5．（2026·广东惠州·一模）下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东东莞·一模）我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏盐城·一模）如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 8．（2026·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 9．（2026·江苏泰州·一模）点为矩形的边上一点，．将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形． (1)如图1，当点落在边上时，_____； (2)如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； (3)当时，过作，垂足为，过、、三点的圆与边的另一个交点为，直接写出的值． 10．（2026·山东临沂·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 目 录 倒计时10天 ➤几何基础……………………………………………………………………………………3 几何基础中考主打点线角、平行线与三角形基础推理计算，分值稳定占5～10分，是几何所有大题的入门基石、必拿满分的送分核心考点。 倒计时9天 ➤三角形………………………………………………………………………………………35 三角形中考重点考边角性质、全等相似及特殊三角形计算推理，分值15–25分，是初中几何核心、大题压轴必考的主干基础。 倒计时8天 ➤四边形………………………………………………………………………………………69 四边形中考考查平行四边形、矩形菱形正方形的性质判定与几何计算证明，分值约12–20分，是几何中档大题核心、衔接三角形与圆和压轴题的关键必考板块。 倒计时7天 ➤圆…………………………………………………………………………………………105 圆主要考查圆周角、切线、弧长扇形面积及圆与几何综合计算证明，中考分值10–18分，是几何中档必考大题、压轴综合高频考点。 倒计时6天 ➤图形变换与几何综合……………………………………………………………………155 图形变换与几何综合主要考平移、旋转、折叠、相似拼接及多模型综合推理计算，中考分值15–25分，是中考几何压轴核心、拉开分数的关键重难点板块。 倒计时10天 夯实中考几何基础熟记定理模型、巧用分步推理拆题，稳住细心审题的应试心态就能稳拿基础满分、从容攻克几何大题。 几何基础 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 中考几何基础命题整体稳中有变，侧重基础概念与简单推理应用，分值稳定在5至10分。考点聚焦点、线、角、相交线、平行线及三角形基础性质，常以选择题、填空题为主，少量融入简单解答题第一问。命题多立足教材本源，不偏不怪，常结合生活实景、图形识别进行角度计算、线段求值、平行线判定与性质应用。既考查对基本定理、公理的熟记程度，又注重简单逻辑推理和图形直观感知能力。该板块是初中几何所有模块的入门根基，命题重在夯实基础、筛选基本功，为后续三角形、四边形、圆及几何综合大题做铺垫，属于中考必拿分、零失误的核心基础板块。 ►中考前沿： 中考几何基础命题将坚守立足课本、重基固本的原则，题型仍以选择、填空为主要载体，少量渗透解答题开篇基础小问。考点重点聚焦线段与角度计算、相交线对顶角与邻补角、平行线的性质与判定、三角形三边关系及内角和定理。命题趋势更贴近生活实际情境，结合实物图形、网格图形创设考题，弱化复杂偏难推导，侧重概念辨析、基础计算与简单逻辑推理。同时会加强几何直观考查，融入简单图形识别与规律探究，不设繁琐陷阱，整体难度偏低。该板块依旧是中考送分主干，命题稳定无大波动，重在考查学生基础知识熟练度和审题细心度，是中考必须稳稳拿满的基础得分点。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   立体图形分类与基本概念（简单） 1、常见立体图形 柱体：正方体、长方体、圆柱、三棱柱、四棱柱、n棱柱 锥体：圆锥、三棱锥、四棱锥 球体：球 2、概念区分 多面体：所有面都是平面（正方体、长方体、棱柱、棱锥） 旋转体：由平面图形旋转而成（圆柱、圆锥、球） 棱：两个面相交的线 顶点：棱与棱的交点 面：分为平面、曲面 终极考点2   棱柱与棱锥特征（简单） 1、棱柱 （1）有上下两个全等且平行的底面，侧面都是平行四边形 （2）n棱柱：n个侧面，2个底面，共n+2个面；3n条棱；2n个顶点 2、棱锥 （1）只有一个底面，侧面都是三角形，交于同一个顶点 （2）n棱锥：n个侧面，1个底面，共n+1个面；2n条棱；n+1个顶点 终极考点3   三视图（重点） 1、定义 主视图：从正面看 左视图：从左面看 俯视图：从上面看 2、画图规则 长对正、高平齐、宽相等；看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线。 3、常考题型 （1）给出立体图形，判断三视图 （2）给出三视图，还原立体图形 （3）小正方体堆叠组合，根据三视图数个数、求最多最少块数 （4）判断几何体某视图的形状 终极考点4   立体图形的展开与折叠（重点） 1、正方体展开图 ：共11种，分4类： “一四—”型(6种)：中间4个正方形，上下各1个； “一三二”型(3种)：中间3个，上1下2; “三三”型(1种)：两行各3个； “二二二”型(1种)：三行各2个。 易错：出现“田”字、“凹”字结构的展开图不能围成正方体。 口诀：一线不过四，田凹不能有，相间是对面，Z端是对面。 2、相对面判断技巧 同行隔一个，异行隔一列；Z字形两端互为相对面。 3、常见几何体展开图 圆柱：侧面展开是长方形，上下底是圆 圆锥：侧面展开是扇形，底面是圆 棱柱展开：两个全等多边形底面+若干长方形侧面 4、题型 判断平面图能否折成正方体、找相对面、求折叠后对应数字/文字。 终极考点5   投影知识（简单） 1、平行投影：太阳光投影，同一时刻物体高度和影长成正比 2、中心投影：灯光、点光源投影，影子离光源越远越长 3、常考：判断平行/中心投影、利用影长求物体高度。 终极考点6   表面积与体积公式（重点） 1、正方体 棱长a 表面积：S=6a2 体积：V=a3 2、长方体 长a、宽b、高h 表面积：S=2(ab+ah+bh) 体积：V=abh 3、圆柱 底面半径r，高h 侧面积：S侧= 表面积：S= 体积：V= 4、圆锥 底面半径r，母线l，高h 侧面积：S侧= 体积：V= 终极考点7   直线、射线、线段（重点） 一、基本概念与区别 1、直线：无端点，向两方无限延伸，不可度量长度。 2、射线：1个端点，向一端无限延伸，不可度量长度。 3、线段：2个端点，不延伸，可以度量长度。 4、表示方法：会用两个大写字母、一个小写字母表示直线、射线、线段；注意射线端点写在前。 二、两大基本公理（中考必考） 1、两点确定一条直线 应用：钉木条、站队、砌墙拉线、确定直线位置等生活题型。 2、两点之间，线段最短 应用：最短路径、修路选址、求最短距离、折线改线段最值题。 三、线段中点 1、定义：把一条线段分成两条相等线段的点。 2、几何关系式：若M是线段AB中点 AM=BM=AB， AB=2AM=2BM 3、考点：利用中点进行线段求值、比例计算。 四、线段的和差计算 1、同一直线上多点排列，求线段总长、分段长度。 2、分情况讨论：点在线段上、点在线段延长线上分类求值（中考易错题）。 3、数轴上两点间距离：右边数减左边数，用线段思想解题。 五、直线交点规律 1、多条直线相交，最多交点个数规律。 2、过同一公共点的多条直线，数直线、射线、线段条数。 终极考点8   角（重点） 一、度分秒换算 进制是60进制： 1读=60'，1'=60'' 会做：度化分秒、分秒化度、加减乘除运算。 三、余角、补角（高频考点） 1、互余：两角和为90° 2、互补：两角和为180° 3、重要性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等 四、相交线形成的角 1、对顶角：形状像“X”，对顶角相等。 2、邻补角：相邻且拼成平角，和为180°。 3、一条直线分平角、多条直线相交求角度。 五、角平分线 1、定义：把一个角分成两个相等角的射线。 2、常考：结合线段中点、角度综合计算。 终极考点9   相交线中相关求解（重点） 一、特殊角的关系(中考几何核心) 1、互余角定义：若∠α+∠β=90°,则∠α与∠β互余； 性质：同角(等角)的余角相等(如∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3)。 2、互补角定义：若∠α+∠β=180°,则∠α与∠β互补； 性质：同角(等角)的补角相等(如∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,则∠2=∠3)。 3、对顶角定义：两条直线相交形成的，有公共顶点、无公共边的两个角； 性质：对顶角相等(中考直接用，无需证明)。 4、邻补角定义：两条直线相交形成的，有公共顶点、有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角； 性质：邻补角互补(和为180°),如∠1与∠2是邻补角，则∠1+∠2=180°。 二、垂线的定义以及性质 1、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角(90°)时，称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号：⊥,读作“垂直于”,如直线a⊥b,垂足为0。 2、垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(“一点”可在直线上，也可在直线外) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。(简称：垂线段最短) 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。(注意：距离是长度，是一个数值，不是线段本身) 终极考点10   平行线的性质与判定（重点） 一、平行线的基本概念 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2、符号：平行用“∥”表示，读作“平行于”，如直线a∥b。 3、前提：必须在同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行(异面直线)。 二、平行公理及推论(基础) 1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 2、推论(平行线的传递性):如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 符号语言：若a∥b，b ∥c则a∥c。 三、平行线的判定(由“角的关系”推“线的平行”) 判定的核心是三线八角，即两条直线被第三条直线所截，通过角的关系判断平行。 ①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行 四、平行线的性质(由“线的平行”推“角的关系”) 性质与判定互为逆过程，是中考几何计算与证明的核心工具。 ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补 五、平行线间的距离 1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线间的距离。 2、性质：平行线间的距离处处相等。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 生活中常见的立体图形 （2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：该作品里绘制了棱柱、棱锥、球体，没有圆锥． 题型二 从不同方向看几何图形 1．（2026·河南郑州·一模）把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】．被平行于底面的平面截，截面是五边形，故该选项不符合题意； ．圆锥沿过顶点和底面直径的平面截，截面是等腰三角形，故该选项不符合题意； ．侧面展开图是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故该选项符合题意； ．圆台从正面看，得到的平面图形是等腰梯形，故该选项不符合题意； 解题妙法 1、混淆“视图”与“图形本身” 易错点：认为“主视图是立体图形的正面”,忽略视图是平面图形，是投影结果，而非立体图形的某个面。 避坑：视图是正投影，只反映长、宽、高中的两个维度，无厚度、无曲面。 2、忽略“三视图的对应规则”(长对正、高平齐、宽相等) 易错点：画图或判断时，长、宽、高对应混乱，导致视图比例/位置错误。 避坑：牢记口诀——主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等(主视图和俯视图的长一致，主视图和左视图的高一致，俯视图和左视图的宽一致)。 3、误解“看得见与看不见的枝” 易错点：所有棱都画实线，或看不见的棱漏画、画成实线。 规则：看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线（虚线不能省略，否则视图不完整）。 避坑：画图前先判断棱的可见性，复杂图形可先想象“透明立体”，再区分虚实线。 题型三 几何图形的展开图 （2026·辽宁铁岭·一模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均相等，网格中有个涂有阴影的小正方形，在个涂有阴影的小正方形的外围任意一个小正方形（与阴影部分正方形有一边相连）涂上阴影，使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图得，与个涂有阴影的小正方形有一边相连的有个正方形， 其中涂上阴影后能使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的情况共种，如下图： 使这个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的概率是，选择选项． 解题妙法 一、正方体对面判断万能口诀（必背） 1、相间必对面：在同一行（或列）中，间隔一个正方形的两个面，一定是对面。 2、Z端是对面：在展开图中，呈“Z”字形两端的两个面，一定是对面（Z的首尾）。 3、拐角必相邻：三个面形成“L”型拐角，这三个面两两相邻，无对面。 4、排除法：一个面的相邻面有4个，剩下的1个就是对面。 二、避坑提醒（绝对不能错） 1、“田”“凹”型不是正方体展开图：出现“田”字格、“凹”字形的展开图，无法围成正方体，无需找对面。 2、相邻面≠对面：有公共边或公共顶点的面，一定是相邻面，不是对面。 3、一个面只有1个对面：正方体6个面，每个面有4个相邻面、1个唯一对面，找完4个相邻面，剩下的就是对面。 题型四 平面图形旋转后得到的立体图形 （2026·辽宁沈阳·一模）如图，将直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将直角边所在直线旋转一周，可以得到的立体图形是． 题型五 截一个几何图形 （2026·山东青岛·一模）如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从正面看，主视图为 题型六 用七巧板拼几何图形 （2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 【答案】 【详解】解：由图可知，正方形边长为， 所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成， 且点在负半轴，则点的坐标为． 题型七 线段的中点 （2026·河南商丘·一模）如图，边长为8的等边三角形，D为的中点，E为的中点，过E作，F为的中点，长为________． 【答案】 【详解】连接， 因为是边长为的等边三角形，所以，， 又分别为的中点，所以， 所以为等边三角形，所以，， 因为，所以，所以， 所以，， 因为为的中点，所以， 因为，所以． 解题妙法 一、六大解题模型妙法 1、倍长中线法（最常用） 适用：三角形有中点、求证线段相等/平行、求边长 口诀：遇中点，延一倍，构造全等三角形 做法：延长中线到一倍长，连端点，证SAS全等，实现边和角转移。 2、中位线定理（秒杀长度、平行） 适用：出现两个中点、求线段长度、证平行 结论：三角形中位线平行第三边，且等于第三边一半。 技巧：题目给多个中点，直接连中位线，秒出比例和平行关系。 3、直角三角形斜边中点模型 必考结论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 看到Rt△+斜边中点，直接得三条线段相等，秒出等腰三角形，倒角超方便。 4、等腰三角形三线合一 适用：等腰三角形+底边中点 直接用：中点→高→角平分线 三线合一，垂直、平分角直接成立，不用再证。 5、平行线+中点→8字全等模型 适用：一组平行线，中间有线段中点 原理：对顶角+内错角+中点相等，直接AAS/ASA全等，秒得线段相等。 二、中考做题万能思路步骤 1、看见中点先标记；2、单个中点→倍长中线； 3、两个中点→连中位线；4、直角+中点→斜边中线； 5、等腰+底边中点→三线合一； 6、几何复杂→建坐标用中点公式。 题型八 与线段中点有关的动点 （2026·天津滨海新区·一模）四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动，， ∴点M在上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时，，，， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 题型九 方向角相关计算 （2026·江苏宿迁·一模）中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶8千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)的度数为_____； (2)求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【答案】(1) (2)B，C两地的直线距离约为千米 【详解】（1）解：如图： 由题意得：，，，， ，， ，， 的度数为； （2）解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，， ∴（千米）． 在中，， ∴（千米）， ∴B，C两地的直线距离约为千米． 题型十 角的度量 （2026·广西钦州·模拟预测）若一个角是，则这个角的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵补角之和为，∴补角． ∵， ∴． ∴这个角的补角是． 故选A． 题型十一 与角平分线相关的计算 （2026·广东珠海·一模）如图，已知，，的角平分线与的外角角平分线交于点D，则______度． 【答案】30 【详解】解：如图， 是的平分线， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， 是的外角， ． 题型十二 余角和补角 （2026·湖北黄冈·一模）如图，将线段绕点逆时针旋转后得到线段，已知点，，则点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∵，， ∴，，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点在第三象限， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 题型十三 相交线及其所成的角 （2026·安徽阜阳·二模）如图，在等腰直角中，，点在边上，，是边上一动点，为内一点，且，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，易得点在以为直径的圆弧上，取的中点，作于点，交圆弧于点，此时取最小值， 在等腰直角中，， ， ， ， ， ，， ． 题型十四 平行线及其判定 （2026·天津北辰·一模）如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E，连接，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可得，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故B错误； ∵， ∴， ∴，故A错误； ∵ ∴， ∴， ∴，故C正确； 由旋转可得，， ∵∴，故D错误． ，， ，，，平分； （2）解：，， 设半径为，则， ，，，，，， 连接，是的直径，，，， ，，，，． 题型十五 利用平行线的性质与判定证明 （2026·湖南益阳·二模）如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：是的切线； (2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）得，是的切线 ∵， ∴， 由切线的性质可得， ∴． 题型十六 平行线的性质定理 （2026·湖南娄底·模拟预测）如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知：，平分， ∴， ∴． 题型十七 平行线性质的应用 （2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 【答案】(1)；；； (2)，证明见解析 (3) (4)证明见解析 【详解】（1）如图所示，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， 故 ∵ 故． 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，，； ，，∴，∴， 在中，故， ∵、是的中线，∴，，∴是的中位线， ，， ， 故， 在中，，， 在中，， 在中，， 故，，即，，． （2）猜想：， 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，，即，， ∵、是的中线，∴，， ∴是的中位线，则， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 故， ， 整理，得． （3）如图所示，连接，交于点，与交于点， ∵点、G分别是、的中点，∴是的中位线，， ，， ∵四边形是平行四边形，，， ， ∵点，分别是，的中点，，，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，，∴，， ∴，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ∴，． （4）如图所示，过点作轴于点，连接， 即， 根据题意可得，∴． 在中，， 又∵，∴， ∵，，∴，∴． 又，故． ∴点为线段的黄金分割点． 题型十八 平行线之间的距离 （2026·山东济南·一模）如图，在四边形中，，，，，，连接． (1)求平行线与间的距离； (2)求的值．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：过点作交的延长线于点， ∵，∴， 在中， ，∴， 即平行线与间的距离为； （2）解：过点作于点， 由（）知， 在中，， ∴， ∵，∴， 在中， 由勾股定理得：，∴． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东东莞·一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2)不能；理由见解析． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在上，延长到点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 3．（2026·广东广州·一模）如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 【答案】140 【详解】解：∵，，且， ∴，平分， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·广东阳江·一模）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，求的大小． 【答案】． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵，，∴． ∵，∴， ∵，∴． 6．（2026·江苏徐州·一模）已知，正方形与正方形． (1)如图，连接和交于点，则 ； (2)如图，连接和，求的值； (3)如图，正方形绕点旋转，在旋转的过程中，当点落在射线的延长线上时，若，，在射线上是否存在一点使得最大，若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）解：设交于点， ∵正方形与正方形，∴，，， ∴， ∴，∴， ∴， ∵，，∴， ∴； （2）解：连接、， ∵正方形与正方形，∴，，， ∴，且， ∴，相似比为​，∴； （3）解：存在，，理由如下： 连接，交于点， ∵正方形的边长，∴，，， ∴， ∵，∴所在的直线垂直平分， 作的垂直平分线直线，作直线的垂直平分线交于点，连接， ∴， ∴都在上，如图所示： ∵，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴当达到最大值时，最大， ∵在中，，∴随的减小而越大， 又∵， ∴即当取最小值时，最大， 过点作于，如图所示： ∵，∴当与重合时，即时，最小， 此时圆与射线相切于点，最小，此时达到最大， 如图所示，，延长交于点，连接： ∵是的直径，∴， 又，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； 故存在点，． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴． 8．（2025·上海·模拟预测）超能市新闻速递：昨日一辆机长80米的客机（编号）在起飞过程中偏离航道，即将撞上正对的一个摩天大楼．据超能航空的斐德文机长回忆技术细节，他当时操纵飞机先朝北偏西方向急升达到最高点，再朝南偏西方向急降，机尾擦到大楼楼顶处着火．之后飞机进行了迫降，无乘客伤亡，有惊无险．斐德文机长获得“荣誉机长”称号． 如图是某人用数学模型粗略还原的新闻中的场景，是垂直于水平地面的大楼，是平行于水平地面的飞机（C是机头），机头仪器显示B点的仰角为．根据现场照片，机尾着火时，机头和紧急操作之前的位置处于同一高度． (1)根据所给信息在图中作图（不用写答句）． ①用虚线作出机头的粗略移动轨迹（标出必要的角度）； ②设飞机急降结束时机头、机尾的位置分别为，用实线作出线段，表示紧急操作结束时的飞机位置． (2)如图，此人根据事发现场侧面照推算出，求机头移动轨迹长（取1.73）． 【答案】(1)图象见解析 (2)356.8米 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）解：将机头最高点记为，将与交点记作． 由题可知，，， ∴，∴是等边三角形． 易求（米），（米），， （米），（米）， 机头移动轨迹长度为（米）． 9．（2026·上海静安·二模）我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°． 【答案】 【详解】解：如图，延长到点， ，， ，，， ，， 故答案为：． 10．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接． (1)证明：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）证明：，． ，． 平分，，． （2），． ，，． 又，，． ，． 又，，． 倒计时9天 吃透三角形边角关系、几何模型，放平心态不慌不乱，落笔有思路，答题有底气，中考稳拿高分！ 三角形 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 三角形是中考几何核心，占15-25分，覆盖全题型。核心考点：内角和、三边关系、等腰/直角三角形性质、全等（SAS/ASA/AAS/SSS）与相似（A字/8字/一线三等角）判定、中位线、斜边中线及解直角三角形。考情：基础题考角度/边长计算；中档题结合全等、相似及特殊线段；压轴题融合旋转、折叠、动点，常与四边形、圆、函数综合，重逻辑推理与模型识别。心态上，需稳抓基础、熟用模型、规范步骤，以从容心态拆解复杂图形，步步推导。 ►中考前沿： 2026年中考三角形命题将基础与能力并重，分值稳定在20分左右。基础题聚焦内角和、特殊三角形性质及简单全等/相似，确保得分；中档题强化解直角三角形实际应用（仰角、坡角），结合网格、折叠情境。压轴题侧重多模型融合，如中点、一线三等角、半角模型，融入旋转、动点，与二次函数、圆综合，考查数形结合与分类讨论。命题更贴近生活，凸显核心素养，备考需吃透模型、精练综合题，保持沉稳心态，灵活转化条件，高效破题。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   三角形的三边关系（重点） 一、核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边 二、取值范围必考公式 已知三角形两边为 a、b（a>b），第三边为 c，a-b < c < a+b，中考填空、选择题高频考点。 三、中考常考题型 1、判断三条线段能否组成三角形：只算较小两边之和是否大于最大边。 2、已知两边，求第三边整数取值、周长取值：先用范围公式，再筛选整数，再算周长范围。 3、等腰三角形分类讨论（易错重灾区）：给两条边长，没说谁是腰、谁是底： 分两种情况讨论，一定要用三边关系检验，舍去不合题意的情况。 4、化简含绝对值代数式：利用三边关系判断式子正负，去绝对值符号，中考常考代数几何结合题。 终极考点2   与三角形相关的角（重点） 一、三角形内角和 = 180° 二、三角形外角性质（中考高频）：三角形的一个外角 = 和它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于任意一个不相邻内角；任意三角形外角和 = 360° 三、角平分线相关 1、三角形内角平分线：平分内角，到角两边距离相等 2、内心：三条内角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等 3、内外角平分线夹角模型（必考）- 两内角平分线夹角：90°+顶角；一内一外平分线夹角：顶角 四、特殊三角形角度特征 1、等腰三角形：顶角+2×底角=180°；两底角相等 2. 等边三角形：三个角都是 60° 3. 含30°直角三角形：30°所对直角边 = 斜边的一半 终极考点3   几何常用倒角模型（重点） 1、8字模型（对顶模型） 图形：线段AB、CD相交于点O，构成两个对顶三角形。 原理：利用对顶角相等 + 三角形内角和180° 固定结论：∠A + ∠B = ∠C + ∠D 秒杀用法：不用设方程，直接把左右尖角互换相等，大题小题直接倒角。 2、飞镖模型（凹四边形模型） 图形：点D在△ABC内部凹进去，形成飞镖轮廓。 固定结论：∠BDC =∠A +∠B + ∠C 秒杀用法：看到向内凹的折线角度，直接用外角拆分，套公式一步出结果。 3、三角形内角平分线模型 图形：△ABC中，BP、CP分别平分∠B、∠C，交于点P。 固定结论：∠P = 90°+A 补充变式：一内一外角平分线相交 ∠P = A 4. 一线三等角模型 图形：一条直线上有三个顶点，且有三个角相等（常为90°或等角）。 核心性质：一组角相等 + 余角相等 → 两个三角形两角对应相等；直接证全等或相似。 适用：矩形折叠、坐标系几何、中考压轴动点题，是相似最常用模型。 终极考点4   与三角形高相关的计算（难点） 一、基本概念 1、从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间线段叫这条边上的高。 2、任意三角形都有三条高。 3、高不一定在三角形内部： 锐角三角形：三条高都在内部；直角三角形：两条直角边互为高，斜边上还有一条高 钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部 二、面积法（中考最常考） 三角形面积两种表达：S=×底×对应高 等积转换核心：同一个三角形，底不同、高不同，面积相等：aha=bhb=c hc 用途：已知一组底和高，求另一边上的高，必考填空、计算题。 三、直角三角形斜边上的高（超级高频考点） 设Rt△ABC，∠C=90°，斜边AB，斜边上高为h 1、面积求高：h=两直角边乘积/斜边 2、射影定理（中考常用）：直角边² = 它在斜边上的射影 × 斜边；高² = 两条射影之积 3、分成的两个小直角三角形和原三角形两两相似。 四、等腰三角形与高 1、等腰三角形底边上的高 → 三线合一：高、中线、顶角平分线重合。 2、已知腰和底，可作高用勾股定理求边长、角度。 3、分类讨论：钝角等腰三角形高在外部，容易漏解。 五、高与勾股定理结合计算 遇高必出直角三角形，常用套路： 1、作高构造Rt△；2、设未知数；3、用勾股定理列方程求解边长、高、周长。 终极考点5   与三角形中线相关的计算（难点） 一、基本定义：连接三角形顶点与对边中点的线段，叫三角形的中线。 每个三角形有三条中线；三条中线交于一点，叫重心；一条中线把三角形分成面积相等的两部分。 二、重心必考性质（中考高频） 1、重心把每条中线分成两段，比例：2:1 顶点到重心 : 重心到中点 = 2:1 2、三条中线将原三角形分成六个面积相等的小三角形； 3、重心与三顶点连线，把原三角形分成三个面积相等的三角形。 三、中线面积核心结论 1、一条中线等分三角形面积； 2、同高等底、同底等高三角形面积相等，常结合中线做面积转化； 3、中点连线、中线搭配，可快速求不规则图形面积。 四、倍长中线模型（中考几何大题必考） 适用场景：题目出现三角形中点、中线，要证相等、平行、求边长。 做法：延长中线至原来两倍长，连接端点，构造8字形全等三角形。 作用：转移边、转移角，把分散条件集中到一个三角形里求解。 五、直角三角形斜边中线（超级重点） 定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 1、看到 Rt△ + 斜边中点，直接得三条线段相等； 2、自动出现等腰三角形，可直接倒角、求边长； 六、三角形中位线（和中线易混淆，必记） 1、连接两边中点的线段叫中位线，不是中线； 2、中位线平行第三边，长度等于第三边一半； 3、有多个中点，优先用中位线，不用硬证全等。 七、中线公式（知三边求中线长） 已知△ABC三边为 a,b,c，可求任意一边上中线长，中考选择填空可快速求值，大题可用来计算边长。 终极考点6   全等三角形的判定证明（难点） 判定简称 中文名称 内容（条件） 适用范围 关键提醒 SSS 边边边 三边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 三边全相等 SAS 边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 任意三角形 必须是夹角，SSA 不成立 ASA 角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 边在两角中间 AAS 角角边 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 边不是夹边 HL 斜边直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 仅直角三角形 只能用于 直角三角形 终极考点7  等腰三角形的性质及判定 （难点） 一、等腰三角形的性质（已知是等腰，能推出什么） 1、边的性质：两腰相等。 2.、角的性质：等边对等角：两腰相等 ⇒ 两底角相等。 3、三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。知其一，必得另外两个。 4、对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线。 5、角度限制：底角一定是锐角，不能是直角或钝角。 二、等腰三角形的判定（满足什么条件，就是等腰） 1、边判定：有两条边相等的三角形，是等腰三角形。 2、角判定（最常用）：等角对等边：有两个角相等的三角形，是等腰三角形；等角所对的两条边相等。 3：三线合一逆用判定三角形中，若高线、中线、角平分线有两条重合，可判定是等腰三角形。 4、模型秒判（中考高频）：角平分线 + 平行线 ⇒ 必出等腰三角形；折叠图形 ⇒ 常构造等腰三角形 终极考点8  直角三角形的性质 （难点） 一、基本性质：有一个角是90°，另两个锐角互余（和为90°）；两锐角互余，可直接用来倒角求角度。 二、三边核心考点 1、勾股定理 若∠ C=90°，则：a2+b2=c2 已知两边求第三边、求周长、求边长必备。 2、勾股定理逆定理 若三角形三边满足a2+b2=c2，可直接判定这个三角形是直角三角形。 三、两大特殊直角三角形（必考背诵） 1、含30°直角三角形：30°角所对的直角边 = 斜边的一半；三边比： 2、等腰直角三角形（45°、45°、90°）：两直角边相等；三边比：；两锐角都是45° 四、斜边中线定理（中考超级高频） 直角三角形斜边中线 = 斜边的一半 1、斜边中点连顶点，直接分出两个等腰三角形； 2、选择、填空、几何大题可直接套用，不用证明。 五、斜边上的高相关考点 1、面积法求斜边上的高：h=直角边乘积/斜边 2、斜高把原直角三角形分成两个小直角三角形，且三个三角形两两相似。 3、射影定理常用结论：直角边平方=射影×斜边。 六、判定直角三角形四种方法：有一个角是90°；两锐角互余；勾股定理逆定理；三角形一边上的中线等于这条边的一半 ⇒ 是直角三角形。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 与三角形有关的线段问题 （2026·辽宁·一模）如图，将沿翻折得到，连接交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，的面积为，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由翻折的性质，得， ，，为的中点， 在中，根据勾股定理，得，， ， 为的中点， ， ， ，， 为的中点，． 解题妙法 妙法1：遇中点，优先两套套路 1、 一个中点 → 用倍长中线，构造全等，转移线段、转移角； 2、两个中点 → 直接连中位线，平行且等于底边一半，秒得长度和平行关系。 妙法2：求高、求边长，首选面积法 同三角形面积不变：S=×底×对应高 已知一组底和高，就能求任意边上的高，不用复杂全等。 妙法3：直角三角形秒用两大结论 1、斜边中点 → 斜边中线=斜边一半，直接出等腰、倒角、求边长； 2、斜边上求高 → 直接用：高=两直角边乘积÷斜边。 妙法4：角平分线线段题专用口诀 角平分线遇平行，必出等腰三角形； 角平分线上的点，到角两边距离相等，直接证线段相等、求垂线段长度。 通用做题步骤（考场万能） 1、先看图中标注：有没有中点、角平分线、垂直、直角；2、有中点→分1个中点/2个中点，分别用倍长中线、中位线；3、求高、求距离→优先面积法；4、直角→立刻用斜边中线、30°边长结论； 5、角平分线→想距离相等、遇平行构等腰。 题型二 三角形的角平分线 （2025·福建泉州·模拟预测）已知，如图，点，和为轴上两点，其中点在点的左侧，连接，若平分，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：作交延长线于点，则，， ∴，∴， ∵平分，∴， ∴，∴，∴， 作轴，∵，∴，， 设，，，，则，，，， ∴，， ∴， ∴，∴， ∵，∴． 故答案为：． 解题妙法 妙法1：利用「距离相等」秒杀 定理：角平分线上任意一点，到角两边垂线段距离相等。 用法：题目有角平分线 + 作两边垂线 → 直接写线段相等，不用证全等； 求距离、求线段长、证相等，优先用这个。 妙法2：角平分线 + 平行线 → 秒出等腰三角形 图形特征：角平分线 + 一条边平行 结论：自动构成等腰三角形，等边对等角、等角对等边直接用。 妙法3：三类夹角公式 直接口算角度 设三角形顶角为∠A，两平分线交于一点P： 1、两内角平分线相交：∠P=90°+∠A；2、一内一外角平分线相交：∠P=∠ A 3、两外角平分线相交：∠P=90°-∠A 妙法4：角平分线分线段成比例（大题神器） 三角形内角平分线分对边为两条线段，两条线段之比 = 相邻两边之比。 遇求线段比例、求边长，直接列比例式解方程，超快。 妙法5：作垂线、构全等 遇到角平分线常规证明题：过平分线上一点，向角两边作垂线， 构造直角三角形全等，转化边和角，大题通用套路。 题型三 与三角形有关的角 （2026·江苏泰州·一模）如图，中，是边上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵∴， ∵∴ ∵∴∴； （2）解：过点作于点， ∵∴ ∵，，∴， ∴， ∴ 题型四 全等三角形的性质 （2026·江苏盐城·一模）如图是小明在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．是等边三角形，、、是三个全等的三角形，是围成的三角形．若，，则的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】解：过点A作于点M， 是等边三角形，、、是三个全等的三角形，，， ，，， ， 是等边三角形， ， ，， ，，． 题型五 三角形全等的判定 1．（2026·江苏南京·一模）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【答案】D 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点，∴， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 2．（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，∴，即， 在和中，∵，，，∴； （2）解：如图， ∵，∴，， ∵点、分别为线段、的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴ 题型六 角平分线的性质与判定 （2026·上海长宁·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足． (1)求证：． (2)在中，当时． ①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长． ②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域． 【答案】(1)见解析 (2)①；②（） 【详解】（1）解：过点作， 则：， 又∵，∴，∴平分，∴； （2）解：①∵，∴， 设，则， ∵，即，∴，∴， 由（1）知：，∴， ∵，，，∴，∴， ∴，∴（负值舍去）；∴； ②作于点， ∵，，∴， 又∵，∴（直角三角形全等的判定定理），∴， ∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵为中点，，∴，∴，∴， 连接， ∵，为中点，∴，∴， ∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴，即， 解得或（舍去），∴， ∵，∴， 即：，∴（）． 题型七 线段垂直平分线 （2026·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，，，为内一点满足，连接，，延长到点，使得． （1）的长为___________； （2）若，的长为___________． 【答案】 【详解】解：（1）在 中，，，， 由勾股定理得：； （2）如图，延长至点，使得，连接，， ，，， ，，， ， ， ，，垂直平分，，， ，，即， 在 中，由勾股定理得： ，． 解题妙法 一、四大解题妙法 妙法1：见垂直平分线，直接转等边 只要点在线段垂直平分线上，直接写两条线段相等，不用证全等、不用算。 妙法2：构造等腰三角形：线段垂直平分线 → 天然生成等腰三角形 可用：等边对等角、三线合一 快速倒角、算边长。 妙法3：周长秒杀法（中考最爱考） 三角形一边的垂直平分线，交另一边于一点， 三角形周长可直接等量代换，把折线换成定长线段，不用设未知数，直接口算周长。 妙法4：逆判定秒判垂直平分线 题目给：一点到线段两端距离相等 直接下结论：这点在该线段的垂直平分线上，用来证垂直、证中点、证平分线特别好用。 二、做题万能套路 1、题干出现垂直平分线 → 立刻标：两端线段相等；2、求周长 → 用垂直平分线等量替换边长； 3、求角度 → 先出等腰，再用等边对等角倒角；4、要证垂直/中点 → 用“距离相等→在垂直平分线上”逆推。 题型八 等腰三角形的性质 （2026·广东江门·一模）在中，，点P在边上由点A向点C运动（不与点A、C重合），过点P作，交射线于点Q． (1)如图，若点Q在线段的延长线上，，探索与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，若点Q在线段上，，，求的长． (3)如图，若，求在运动过程中线段长度的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)6 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，∴， ∵∴， ∴， ∴，∴，∴，∴； （2）解：过作于， ∵，∴，， ∴，∴， ∵，∴， 设，则，，∴， ∵，，∴，， ∴，解得，∴； （3）解：在运动过程中线段长度的最小值时，在线段上， 过作于， ∵，∴，， ∴，∴， 设，，，，∴， ∵，， ∴，，，， ∴，解得， ∴，整理得， ∴，整理得， ∵，∴，∴在运动过程中线段长度的最小值为． 解题妙法 一、五大解题秒杀妙法 妙法1：见两角相等，直接判等腰 题目只要推出两个内角相等，不用证全等，直接下结论：等角对等边，三角形为等腰三角形。 妙法2：角平分线 + 平行线 ⇒ 必出等腰 经典模型口诀：平分遇平行，立马出等腰 出现这两个条件，不用推导，直接判定等腰，得两边相等。 妙法3：折叠、翻折图形 ⇒ 自动构造等腰 中考折叠题必考：折叠前后对应角相等、对应边相等，必能找出一组等角，直接判定等腰三角形。 妙法4：三线合一逆用判定 在一个三角形里：有中线又是高；有角平分线又是高；有角平分线又是中线 只要满足两条重合，立刻判定是等腰三角形。 妙法5：坐标系/网格找点判等腰 平面直角坐标系、网格题：算三边长度，有两边相等 ⇒ 直接判定等腰； 动点存在性问题，按“两腰相等”分类讨论即可。 二、考场通用解题步骤 1、想证等腰，优先找有没有两个角相等；2、有角平分线+平行线，直接秒判等腰； 3、有折叠、对称，先找等角再判定；4、有中线、高、角平分线任意两条重合，直接判定。 题型九 等腰三角形的判定 （2026·浙江台州·一模）如图，在中，点，分别是，中点，连接，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵点，分别是，中点， ∴是的中位线，∴， ∴，∴； （2） 解：∵点，分别是，中点， ∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∵，∴． 题型十 直角三角形的性质 （2026·安徽阜阳·二模）如图，在中 ，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】D 【详解】解：，，， 四边形 是矩形， 与 互相平分，即 是 的中点，，， 到直线 的距离最短时，，此时 ， 的最小值为 ，选项A正确； 如图，连接，则， 在中，，， ，，，． 当时，有最小值， 在中，， 最小值为2，则的最小值为4，故选项B正确； 如图2，在中，， 是的中点，点位于的中位线上．， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，共线时，有最小值，此时， 在中，，故选项C正确； ， ， ，故选项D错误． 解题妙法 一、六大解题妙法 妙法1：遇直角，先秒用「两锐角互余」 求角度不用算内角和，直接余角互推，一个角知道，另一个直接90°减，快速倒角。 妙法2：见斜边中点，立马用「斜边中线」：只要是直角三角形 + 斜边中点，直接写中线等于斜边一半，秒出等腰三角形，求边长、求角度一步到位。 妙法3：有30°/45°，直接套特殊边长比 30°直角三角形：三边比 1::2，知一边秒求另外两边。 等腰直角三角形：三边比 1:1:，角度都是45°，直接口算。 妙法4：求斜边上的高，用「面积法秒杀」 不用勾股慢慢列方程：斜边上的高 = \dfrac{两直角边乘积}{斜边} 妙法5：直角三角形相似秒用 斜边上作高，三个直角三角形两两相似，直接用对应边成比例，求线段长、射影类题目秒解。 妙法6：折叠、动点遇直角，优先构Rt△ 几何折叠、坐标系动点，先找隐藏直角，构造直角三角形，再用勾股定理列方程求值，万能套路。 题型十一 勾股定理及逆定理 （2026·福建泉州·模拟预测）如图，将沿斜边翻折后点的对应点，点是线段上的动点，且，已知，则线段的最小值为___________． 【答案】/ 【详解】解：在上截取，连接，交于点，作于，作于， ∵将沿斜边翻折，点的对应点为，∴， ∴，，， 又∵，，，∴， ∴，， ∴，， 设，∴，， ∴， 又∵，∴，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，，∴四边形为矩形，∴，， ∴， ∴， 在中，，∴， ∴，∴，∴， ∴当时，取得最小值， ∴， ∴，∴． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，． (1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明； (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长； (3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：，证明如下： ∵在中，，，∴，∴，∴， ∵，的中点分别为，，∴，为的中位线， ∴，， ∴，∴，∴， 由旋转的性质可得：， ∴，∴， ∴，∴，∴； （2）解： ∵在中，，，∴， ∴，∴， 由（1）可得：，，， ∴，∴，∴， ∴，，∴， ∵所在直线首次经过点，∴， ∴，∴； （3）解：如图，连接、， ， ∵在中，，，∴，∴，∴， ∵为等腰直角三角形，∴，，∴， ∵，∴，∴ ∴，∴， 作于点，由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短， ∵，∴的长的最小值为，∴的长的最小值为． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，垂直平分，∴， ∵的周长为，∴， ∵，∴． 3．（2026·江苏南京·一模）生活中，“曲柄滑块机构”（如图（1））广泛应用于压缩机、冲床等机械设备中，它由导轨，长度固定的曲柄和长度固定的连杆组成，图（2）是它的示意图．它能将点A的整周转动转换为点B在导轨上的往复移动，其中，点B离点O最远的位置称为“外止点”，记为M；点B离点O最近的位置称为“内止点”，记为N．已知点O，A，B，导轨在同一平面内． 当点B和点M重合时，点A开始逆时针旋转，记旋转角为θ°，当时，点A停止旋转．设，，点O到的距离为c，且． (1)如图（3），当，即直线经过点O时，若，，则MN的长度是______． (2)如图（4），当，即直线不经过点O时，求证：． (3)在点A的旋转过程中，的长度m是θ的函数． ①如图（3），当时，m与θ之间的函数图像（不完整）如图（5），该图像上的点P的纵坐标是，写出点P的横坐标并补全函数图像． ②如图（4），当时，直接写出m的最大值（用含a，b，c的代数式表示），并写出求此时θ的值的思路． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)①，函数图像见解析；②，见解析 【详解】（1）解∶如图，当时，点A，O，B在直线l上，当点A与重合时，点B与点N重合，当点A与重合时，点B与点M重合， ，， ∴，． （2）证明∶如图，当点O，A，B在同一直线上，且点A在点O，B之间时，此时点B与点M重合，为“外止点”； 当点O，A，B在同一直线上，且点B在点O，A之间时，此时点B与点N重合，为“内止点”， ∴， 在中，，，解得； （3）解：①如图， 如图，当时，点A，O，B在直线l上，当点A与重合时，点B与点N重合，当点A与重合时，点B与点M重合， 有，， 当，即时，，此时重合，即， 此时A、O、B共线且在的左侧才成立，， 与对应的图形关于对称，函数图象也应为轴对称图形； 如图所示 ②当时，过点O作于点H，如图， 当，， 当，， ， 求的思路，即求的思路∶， 根据余弦值求出、，则， 此时． 4．（2026·广东深圳·一模）如图，垂直于外角的角平分线于点，过作的垂线，交延长线于点，连接交于点，，，那么的长为______． 【答案】 【详解】解：延长交于点，延长，相交于点， ∵垂直于外角的角平分线于点，∴，， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴，， ∵∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，，∴，∴， 在中，，即，解得（负值已舍去）． 5．（2026·安徽芜湖·二模）如图1，在中，于点，点在边上，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，为外一点，且点与点在的异侧，，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点H， ∵，∴， ∵， ∴，∴，∴； （2）解：设， 在中，，∴， 在中，，∴，∴ ∵，，∴，∴，即． （3）解：如图：连接交于Q， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∴是等腰直角三角形，∴， 设，则， ∵，∴，， ∴； 在中，， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴． 6．（2026·安徽芜湖·二模）如图，在中，，，，点为的中点，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，分别连接，，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】D 【详解】解：在中，∵，，， ，，， 为中点， ， ∴为定值， 当时，最小， 如图，过作于， 则，，故正确； 如图，作点关于直线的对称点，连接 交于，此时最小， 以点为原点建立平面直角坐标系，则， ， ， ， ∵点为的中点，∴ ，∴， ，故正确； 过点作的延长线于点， 则 ， 当时，取最大值，∴面积最大值为，故正确； 设为点到直线的距离，则 ， 过点作 的延长线于点， 由可得，，∴， ∵，∴，故错误． 7．（2026·安徽阜阳·二模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 平分，， 于点，， 在和中， ，，，， ，， 又点是的边的中点，是的中位线，． 8．（2026·山西大同·二模）如图，在中，，过点作，连接，，交于点，且恰好是的平分线．若，，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵在Rt中，，，， 如图所示，分别过点，作，，垂足分别是，， 平分，， ，， ，，，， 设，则， 在中，，即，解得：，， ∵在中，，，，， ∴在中，， ，，， ，． 9．（2026·云南昆明·一模）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图，过点作的角平分线与的延长线交于点．若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)50 【详解】（1）证明：，四边形是平行四边形， ，， 又，，四边形是矩形； （2）解：，， 又平分，，，， 四边形是矩形，， 在中，，设，由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理得， 即，解得：（负值已舍）， ，． 10．（2026·河南南阳·一模）综合与实践 两个完全一样的直角三角板和按图方式摆放(、、三点在同一条直线上)，． (1)观察发现 如图1，直线和的位置关系是，连接、，则、、之间的数量关系是； (2)深入探究 将三角板绕点旋转，当点落在上时，如图．连接，则、、之间的数量关系是，求证：垂直平分； (3)拓展延伸 在三角板绕点旋转过程中，设直线和相交于点，当点落在直线上时，连接，若，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，； (2)，见解析； (3)或． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵，∴。∴，∴，∴； ∵， ∴是等腰直角三角形，∴，， ∴，即； （2）解： 证明：如图，连接 ，由旋转知 是等边三角形 又， ， 又垂直平分，∴ 又∵，，∴，∴ ∵，，∴ （3）解：如图，当在上时， 由（1）可得 ∵∴， 在中，，则 ∴，∴ ∴，∴； 当在的延长线上时，如图， 同理可得，，∴ 倒计时8天 深耕四边形边角性质、折叠动点综合考点，保持沉稳心态，以熟练功底从容拆解图形，中考几何轻松突围！ 四边形 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 四边形是中考几何核心载体，分值约8-12分，题型分层清晰 。基础题（选择/填空）常考多边形内外角和、平行四边形及特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定，侧重边角、对角线关系的直接应用。解答题多为2小问，第一问证平行/全等，第二问结合勾股定理、面积公式计算；压轴题常以四边形为背景，融合折叠、旋转、动点，综合全等、相似与坐标系知识，重点考查逻辑推理与模型转化能力。 ►中考前沿： 2026年中考四边形命题将稳中有新，基础考查更灵活，综合题强化素养立意。基础题聚焦特殊四边形判定的灵活组合（如对角线条件），多边形内外角和结合规律探究。中档解答题以菱形、矩形为载体，融合全等证明与线段/面积计算，步骤更简洁。压轴题侧重“动态+变换”，如正方形旋转、矩形折叠、平行四边形存在性问题，结合坐标系与函数，强调分类讨论与逆向推理，突出几何直观与综合应用能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   多边形（简单） 多边形 内角和定理 n边形的内角和为 外角和定理 多边形的外角和等于360° 多边形对角线条数 从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形 定义 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 特征 1）各个角都相等；2）各条边都相等，两者缺一不可. 性质 1）正n边形有n条对称轴． 2）正多边形的边数为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形；正多边形的边数为奇数时，它是轴对称图形，不是中心对称图形. 终极考点2   平行四边形（重点） 平行四边形性质 类别 性质内容 几何语言（▱ABCD） 边 对边平行且相等 AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180° 对角线 对角线互相平分 AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD 对称性 中心对称图形 绕对角线交点旋转180°与自身重合 平行四边形判定定理 判定角度 判定内容 几何语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形 边 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形 终极考点3   矩形、菱形、正方形的概念及性质（重点） 概念 性质 面积 边 角 对角线 其它 矩形 有一个角为直角的平行四边形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 对角线将其分成4个等腰三角形 （a,b分别为矩形的长和宽） 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 对边平行、四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 对角线将其分成4个全等的直角三角形 （a为菱形的边长，h为菱形一边上的高）； （m,n分别为两条对角线的长） 正方形 四条边都相等、四个角都是直角的四边形 四个角都是直角 对角线将其分成4个全等的等腰直角三角形 （a为正方形的边长） 终极考点4   矩形、菱形、正方形的判定（重点） 四边形 边 角 对角线 矩形 1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 多边形内角和问题 （2026·新疆乌鲁木齐·二模）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：设这个多边形的边数为，则，解得，因此这个多边形的边数是4． 题型二 多边形外角和问题 （2026·上海普陀·二模）已知一个正多边形的中心角等于，那么下列关于这个正多边形的结论中，错误的是（   ） A．边数为6 B．每个外角都等于 C．边长与半径长的比为 D．既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】C 【详解】解：∵该正多边形的中心角为，∴边数，∴该多边形为正六边形． A、边数为，结论正确，故选项不符合题意； B、正六边形每个外角为，结论正确，故选项不符合题意； C、∵正六边形可被中心与顶点的连线分为个全等的等边三角形，正多边形的半径为等边三角形的边长， ∴正六边形的边长等于半径，边长与半径的比为，结论错误，故选项符合题意； D、正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，结论正确，故选项不符合题意． 题型三 平面镶嵌 （2026·安徽阜阳·二模）【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神． (1)如图1，在中，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是___________．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是___________． (2)小徽家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． （i）请问两种瓷砖每块各多少元？ （ii）小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？ 【答案】(1)5； (2)（i）边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块40元；（ii）440元 【详解】（1）解：∵题图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成， ∴平移的距离就是的长，∴平移的距离是； ∴由平行四边形经过两次切割平移而成的题图4的面积与的面积相等， 如图1，过点作于点， ∵中，，∴， 根据勾股定理可得：，∴的面积， ∴平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形的面积等于，∴题图5的面积； （2）解：（i）设一块正三角形瓷砖的单价为元，则一块正六边形瓷砖的单价为元， 由题意得，解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块40元； （ii）∵每个边长为1的正六边形的面积等于边长为1的正三角形的面积的6倍， ∴用边长为1的正六边形瓷砖越多，费用就越少， 如图2， 图中有黑点的三角形用三角形瓷砖，其余部分用正六边形瓷砖时，用正六边形最多，∴此时总费用最少． ∵正六边形8个，正三角形12个，∴最少费用（元）． 题型四 平行四边形的性质 1．（2026·浙江·一模）如图，平行四边形，为线段中点，为延长线上一点，连接分别交、于点、点，已知，的面积分别为和，则的面积为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵，的面积分别为和，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，， ∴，∴，， ∴，∴， ∵为线段中点，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴； 由折叠的性质可得， ∵，∴，∴； ∵点E是中点，∴，∴， 又∵，∴； （2）解：由（1）得，∴； ∵，∴，∴； ∵，∴， ∴，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴图中所有与相等的角为，，，． 解题妙法 一、三大核心秒杀思路 1、 看到平行四边形，立刻抓3条：对边平行、对边相等、对角线互相平分。 2、平行=角相等 只要有一组对边平行，马上用：内错角相等、同位角相等、同旁内角互补，求角度直接秒算。 3、对角线一出，必有全等：平行四边形对角线相交分成4个小三角形，两两全等； 做题求线段长、证线段相等，直接用全等，不用绕弯。 二、必考题型专用妙招 1、求角度：对角相等，邻角互补 2、求周长：周长 = 2×(相邻两边之和) 3、求边长、证线段相等：优先用对边相等，不行就用对角线平分，再不行构造全等三角形。 4、面积计算：面积 = 底 × 对应高 重点：高一定要对着对应的底，别乱配对；同底等高三角形面积是平行四边形的一半。 5、动点、存在性问题妙招 要证是平行四边形，优先用：一组对边平行且相等，最简单最好证；其次用对角线互相平分。 题型五 证明四边形是平行四边形 1．（2026·江苏常州·一模）在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： (1)如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； (2)老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______； (3)在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离． 【答案】(1)平行四边形 (2)菱形，24 (3) 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，， 又折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，， 同理，折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕， 可得：，， 由可得：， ,,四边形是平行四边形． （2）解：①由（1）可得，，是等腰三角形，， 同理可得：． 又，，四边形的形状是菱形． ②连接交于点，如图： 四边形的形状是菱形，，， ，，， ． （3）作交于点，， 由（2）得，，， 四边形是矩形，，， ，，平移的距离为． 2．（2026·黑龙江大庆·一模）在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连结，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点，∴，．∴． ∵，∴，∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，∴，． ∵，∴．在中，， ∵四边形是平行四边形，∴，． 在中，，∴． 题型六 平行四边形的判定与性质综合 （2026·天津东丽·一模）如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①当时，点Q运动的距离为，则点Q在上， 此时，，如图， ，∴， ∵，即，∴四边形是平行四边形，∴，①正确； ②当时，点Q在上，∴，，∴， ∵，∴当时，的最大面积为，不符合题意，②错误； ③当点Q在上时，的面积为时，则， 解得（不符合题意，舍去）或； 当点Q在上时， ∵，，∴，解得（不符合题意，舍去），∴③正确； 综上，正确的只有①③，共2个． 题型七 三角形的中位线问题 （2026·江苏宿迁·一模）根据要求完成下列各题： (1)如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上． (2)如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值． (3)如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，过点作交、于点、， 在矩形中，，， ， ，， 作点关于的对称点，连接，，，， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，，有最小值为， 周长的最小值为． （3）解：如图，过作的平行线交于点，连接，， ，，，， 又，， ，， 又是中点，，，， ，，共线，且是中点， 过作的平行线交于点，交于点，则，为的中位线， 过作，使其与相切于点，连接，， 连接，，设交于点，连接， 当与不重合时，，，， ∴当与重合时，，此时，最大， 延长交于点，作交于， 过作的平行线交于， 当与重合时，与重合，与重合，作于点，设交于， ，，， ，解得，， ，，， 连接，交于点，连接，则，，     ，，， ，， ，，，， ，四边形是平行四边形，， ，当最大时，． 解题妙法 妙招1：遇中点，连中点，构造中位线 题目只给单个中点，主动取另一边中点、连线，强行构造中位线，立马出平行、出倍数关系。 妙招2：见“一半/两倍”线段长，必用中位线 只要题目求：某线段 = 另一条线段的1/2或 2倍，不用全等、不用勾股，直接中位线秒杀。 妙招3：证平行线，优先中位线 要证两条线平行，不用角相等、不用相似，构造中位线 → 直接得平行，步骤少、不扣分。 妙招4：四边形里遇中点连线，用中位线模型 任意四边形，顺次连接四边中点，所得四边形一定是平行四边形 原理：连对角线，分成两个三角形，各用中位线。 题型八 根据矩形的性质求解线段长、面积等 （2026·山东临沂·一模）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为___________． 【答案】/ 【详解】解：∵，点M是边的中点，∴， 如图，过点作，交、于、，过点作于点， 四边形为矩形， ，， ∴，∴， 四边形和都是矩形，∴， 由旋转的性质得，， ，，点在平行于，且与的距离为的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 此时周长取得最小值，最小值为， ，． 解题妙法 矩形综合题万能解题步骤 1、先标：四个角都是90° 2、看对角线：立马用相等、互相平分，找等腰三角形 3、求角：用互余、等腰等边对等角 4、求边长：勾股定理 + 设未知数解方程 5、求面积：长×宽 或 一半模型直接秒杀 题型九 矩形与折叠问题 1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某数学兴趣小组开展以下折纸活动：（1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，∴，则， ∴，， ∴，故C错误，不符合题意， ∴，D正确，符合题意； ∴，故A错误，不符合题意； ∴，∴，故B错误，不符合题意； 故选：D ． 2．（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，，．折叠后，点落在边上的处，点落在边上的处．则_____． 【答案】3 【详解】解：∵将矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕， ∴， ∵，∴∴， ∵，∴由折叠得， 又矩形中，，∴ 又∴，∴， 又∵，∴是等边三角形， ∴， ∴，∴． 一、三大解题妙招（考场直接用） 妙招1：遇折叠，先标相等 把折叠后重合的边、角，全部用相同记号标上， 一眼就能看出哪些线段相等、哪些角相等，不用瞎猜。 妙招2：求线段长——设未知数+勾股方程（最常用） 步骤固定： 1、设未知线段为 x；2、用折叠全等，把其他边用含 x 的式子表示 3、找直角三角形，用勾股定理列一元一次方程；4、解方程求出边长 中考90%矩形折叠求边长，全靠这一招。 妙招3：求角度——用“90°+折叠等角+平行线内错角” 套路：矩形内角90° → 折叠分出两个等角 → 利用平行线内错角相等 → 直接算出所有角度，不用证全等。 二、矩形折叠常见模型秒杀思路 模型1：沿对角线折叠 必出等腰三角形 平行线+折叠等角 → 等角对等边，直接得线段相等 模型2：向对边顶点折叠 落点在矩形边上，一定构造直角三角形，设x、勾股列方程，标准答案套路 模型3：折到内部一点：利用折叠边长不变，转移线段；多个小直角三角形，连环用勾股代换 题型十 证明四边形是矩形 （2026·安徽亳州·二模）如图，在平行四边形中，，点为的中点，点为边上一点，直线交于点，连接，．则下列结论不成立的是（   ） A．若四边形为矩形，则 B．四边形为平行四边形 C．若，则四边形为菱形 D．四边形不可能为正方形 【答案】A 【详解】解：A．∵，∴， 如果四边形为矩形，那么，∴， ∴，∴， ∴，故A错误，不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵为的中点，∴， 在与中， ∴，∴， 又∵∴四边形为平行四边形，故B选项正确，不符合题意； C．∵，，∴E是中点， ∵，∴， ∵四边形为平行四边形∴四边形为菱形，故C选项正确，不符合题意； D．根据解析A可得：当四边形为矩形时，， 根据解析C可得：当时，四边形为菱形， ∴当时，四边形不可能为矩形，∴当时，不可能为， ∴四边形不可能为正方形，故D选项正确，不符合题意． 题型十一 根据菱形的性质求解线段长、面积等 （2026·上海黄浦·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴． （2）解：如图， ∵，，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，∴， 设，，∴，∴，∴， 解得：， ∵，∴，∴． （3）解：如图，连接交于点O， ∴， 设，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， 过点作，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴． 题型十二 证明四边形是菱形 （2026·广东深圳·二模）综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比． (1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形； (2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； (3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值； (4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3) (4)的长为或16或． 【详解】（1）证明：方法1： 当时，则， ，， 在和中，，， ．，是菱形． 方法2： ，，， 时，，，是菱形． （2）解：，，， ，． （3）解：如图，过点作，， 矩形，， ，，，， ， 设，，，解得：， ，， ，，， ，， ，四边形是矩形， ，，， ， ，，， 设，，，， ，，解得：，． （4）解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2． ①如图1，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，， 在中， ， 设，，，解得：，，， ， 同理可得，，，， ，，，，， ； ②如图2，当时，过点作于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， 同理可求，，，， 由①可知，，， ，，，，， ； ③如图3，当时，连接，过点作， ， 设，，， ，， ，解得：， ，， 又，， ，，， ． 综上可知，的长为或16或． 题型十三 根据正方形的性质求解线段长、面积等 （2026·广东珠海·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在、、边上，若，，则阴影部分面积为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点， 则， ∵正方形，∴，， ∴，∴，即， ∴，∴，， ∴阴影部分面积． 题型十四 正方形折叠问题 （2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 【答案】 【详解】解：如图，过点F作交于点M，交于点N ∵四边形是正方形∴， ∵E是中点∴ 设，则 由折叠得，，，∴ ∵∴四边形是矩形 ∴， ∴， ∴∴∴∴∴ ∴在中，∴∴或（舍去） ∴，∴． 题型十五 证明四边形是正方形 （2026·四川绵阳·一模）如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形 ∵∴平行四边形是正方形； （2）∵，∴ ∴ 又∵∴∴ 又∵，∴∴ ∴∴∴∴ 题型十六 特殊四边形的动点问题 （2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当E在上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，， 由 ，， ， ， 故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示 则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ， 故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ， 故由勾股定理得 ， 最小为 ， 此时实际上E在上，F在上，如图所示 此时，但不变 解题妙法 妙招1：先设运动时间 设动点运动时间为 t 秒，速度已知，就可以写出：路程 = 速度 × t 妙招2：用含t式子表示所有关键边长 把动点所在线段、剩余线段，全部换成 含t代数式 这是做动点题最关键一步，不会表示线段就做不出来。 妙招3：判定平行四边形优先用最简条件 动点题证平行四边形，首选： 一组对边平行且相等 不用选对角线、不用选两组对边相等，计算最简单、方程最好列。 妙招4：判定矩形、菱形、正方形 固定套路 1、平行四边形 + 一个直角 = 矩形 2、平行四边形 + 一组邻边相等 = 菱形 3、矩形 + 邻边相等 / 菱形 + 一个直角 = 正方形 先证平行四边形，再补一个特殊条件即可。 妙招5：遇直角、求边长，立刻用勾股定理 动点形成直角三角形、垂直问题，直接勾股定理列方程，秒求t的值。 妙招6：范围问题看“动点不超边界” 求t的取值范围：只看动点不能跑出线段端点，算出起点时间、终点时间，就是取值范围。 题型十七 四边形中的线段最值问题 （2026·辽宁阜新·一模）如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 【答案】8 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， 矩形中，，，， ，， 根据勾股定理，， 为的中点，为的中点，， ，， 由三角形的三边关系得、、三点共线时最大，此时． 题型十八 四边形其他综合问题 （2026·山东日照·一模）定义：至少有一组邻边相等且至少有一个内角为直角的凸四边形称为直菱四边形．例如，如图1，在四边形中，，则四边形为直菱四边形． 【特例感知】 (1)下列四边形一定是直菱四边形的是___________（填序号）； ①平行四边形   ②矩形   ③菱形   ④正方形 (2)如图2，在等边中，点为过点的中线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．求证：四边形是直菱四边形； (3)【深入探究】如图3，已知，四边形是对角互补的直菱四边形，，以点为顶点的与边分别交于两点．试探究之间的数量关系？并说明理由； (4)【拓展应用】如图4，四边形为直菱四边形，，连接，若，作，且，连接并延长交于点，交于点，求的长． 【答案】(1)④ (2)见解析 (3)．理由见解析 (4) 【详解】（1）解：①∵平行四边形的邻边不一定相等，∴该选项不符合直菱四边形的定义； ②∵矩形的邻边不一定相等，∴该选项不符合直菱四边形的定义； ③∵菱形的四边相等，但内角不一定为直角，∴该选项不符合直菱四边形的定义； ④∵正方形的四边相等，四个内角都为直角，∴正方形一定是直菱四边形，该选项符合题意， （2）证明：∵是等边三角形，∴，， ∵点D为中线上一点，∴平分， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段，∴，， ∴为等边三角形，∴，，∴． 在和中， ∴，∴， ∴，∴四边形是直菱四边形； （3）解：．理由如下： ∵四边形是对角互补的直菱四边形，， ∴． 如图3，将绕点A顺时针旋转得到， ∴，∴，，，， ∵，∴，∴M，B，E三点共线， ∴， ∴， ∵，，∴，∴，∴； （4）解：如图4，连接，作于点G， ∵，，∴， ∴，，∴． ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，，∴，解得：， ∵，∴点D，M，B，C共圆，∴，， ∴，，∴， ∴，∴． 题型十九 梯形的性质及判定 （2026·上海黄浦·一模）如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：设相交于点， ，则可设，，， ，，， ，， ，， ，即； （2）解：根据题意，， ， ，，， ，即， ，解得，， 解得，， 由（1）知，即，． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，． ∵在和中，，∴（）．∴． 设，则． ∵，∴． ∵在中，，∴． ∵，∴． ∵在中，，∴． ∴， ∴，即． 2．（2026·安徽阜阳·二模）在中，已知对角线与交于点，若增加下列一个条件，不能判定一定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线与交于点，∴ ，， 对选项A：∵ ，∴ ，即，可得平行四边形是矩形，不能判定它是菱形； 对选项B：∵ 一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴ 可判定是菱形； 对选项C：∵ 中， ∴ ，又， ∴ ， ∴ ，可判定是菱形； 对选项D：∵ ，， ∴ 由可得，由勾股定理逆定理得，即，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定是菱形； 综上，不能判定一定为菱形的是选项A． 3．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【详解】解：连接， ∵于点于点，于点，∴四边形是矩形，∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴当时，取得最小值， ∵，∴， ∴的最小值为，则的长不可能是． 4．（2026·山东临沂·一模）如图，将矩形绕点逆时针旋转至矩形，点的旋转路径为弧，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：， 设与交于点，连接， 矩形绕点逆时针旋转至矩形， ， ，，∴， 是等腰直角三角形，， ∵，， 则阴影部分的面积为． 5．（2026·山东菏泽·一模）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中， ， 设，，则， 四边形是正方形，， ， ，解得， ，， 外部的四个直角三角形全等， ， ，故正确． 的面积是正方形面积的倍，， ，， 整理得，，，即， 解得（负值已舍去）， 点是的三等分点， 故正确． 由旋转可知， ， 点在以为直径的圆上，如图，取的中点，连接，， ， 在中， ． 当点，，共线时，取得最大值， 此时， 故正确． 综上，正确的结论是． 6．（2026·上海黄浦·二模）学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔． (1)雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量与的长，如果，那么桌面不是等腰梯形；如果，再继续测量、、与的长，如果，或者，，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形． 其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）； (2)请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：已知：， 求证：四边形是等腰梯形． 证明如下：如图所示，设交于点O， 在和中，，∴，∴； 同理可证明，∴； ∵，， ∴， ∴，即，∴， 又∵，，∴四边形是等腰梯形； （2）解：如图所示，测量出的长，在上取，连接，测量的长，若，那么四边形是等腰梯形，若不满足，则四边形不是等腰梯形． 7．（2026·江苏扬州·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，是边的中点，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵E是的中点，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，∴是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，， ∵，∴， ∵E是的中点，∴， ∵， 在中，，∴． 倒计时7天 圆的考题看似线条繁杂，实则有规律可循，掌握性质定理、吃透常考模型，以平和心态直面题型，细心审题耐心推演，你一定能突破圆的所有考点，中考稳赢！ 圆 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 圆是中考几何核心，占12-20分，题型覆盖选择、填空、解答压轴。基础题聚焦垂径定理、圆周角与圆心角关系、切线性质、弧长扇形面积计算；中档题常结合全等、相似、勾股定理；压轴题多为圆与特殊四边形、动点、折叠的综合探究。 ►中考前沿： 2026年命题将稳基础、强综合、重模型。小题延续基础计算与性质辨析；解答题必考切线证明（连半径证垂直）+线段/面积计算；压轴侧重“圆+相似+动态”，融入定值、最值探究，贴近教材模型，适度结合实际场景，不偏不怪，重点考查逻辑推理与几何直观。备考需熟记定理、吃透辅助线模型，沉稳推演即可稳拿高分。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   与圆有关的概念与性质（简单） 圆 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠AOB 圆周角 顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠ACB. 弦和直径 连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的弦BC.经过圆心的弦叫做直径，如图中的直径AC. 圆弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.大于半圆的弧叫做优弧，如图中的.小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. 圆的对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 圆的旋转不变性 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合. 终极考点2   垂径定理及推论（重点） 一、推论（知二推三，高频） 一条直线满足以下5条中任意2条，必满足其余3条： 1、过圆心（直径/半径）； 2、垂直于弦； 3、平分弦（弦不能是直径）； 4、平分弦所对劣弧； 5、平分弦所对优弧。 关键提醒：平分直径的直径不一定垂直，推论必须加“弦非直径”。 二、中考核心考法（全覆盖） 1、基础计算（选择/填空，送分） 模型：半径r、弦心距d、半弦长、拱高h，知二求二。 公式：；h=r±d（圆心与弦同侧减、异侧加）。 2、实际应用（解答题，中档） 背景：拱桥、拱门、管道、隧道等圆弧问题。 步骤：建圆模型→作弦心距→连半径→勾股列方程求解。 3、几何证明（解答/压轴，综合） 证弧相等：垂径定理直接得平分弧； 证线段相等：平分弦+全等/等腰； 证垂直：推论“平分弦（非直径）⇒垂直”； 结合圆周角：垂径得弧等→圆周角等→倒角。 4、综合压轴（圆+相似/勾股/动点） 辅助线：遇弦作弦心距、连半径，构造Rt△是解题关键。 三、必考辅助线模型（条件反射） 1、有弦→过圆心作弦垂线（得弦心距、平分弦、平分弧）； 2、有弧中点→连圆心（垂直平分弦）； 3、求半径/弦长→连半径+作弦心距（Rt△勾股）。 终极考点3   弧、弦、圆心角之间的关系（简单） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 终极考点4   圆周角定理及推论（重点） 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 常见图形 结论 推论 1）同弧或等弧所对的圆周角相等. 2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 终极考点5   与圆有关的位置关系（重点） 一、点与圆的位置关系 设圆半径为 r，点到圆心距离为 d 1、 d > r → 点在圆外 2、d = r → 点在圆上 3、d < r → 点在圆内 二、直线与圆的位置关系 设圆半径 r，圆心到直线距离 d 1、d > r → 相离，无公共点 2、d = r → 相切，有唯一公共点（切点） 3、d < r → 相交，有两个公共点 三、切线的性质（必背） 1、圆的切线垂直于过切点的半径 2、过圆心且垂直于切线的直线必过切点 3、过切点且垂直于切线的直线必过圆心 解题信号：见切线 → 立刻连圆心和切点，得直角。 四、切线的两种判定方法（解答题高频） 1、有切点，连半径，证垂直：已知点在圆上，连接圆心与该点，证明夹角90°即可。 2、无切点，作垂直，证半径：过圆心向直线作垂线，证明垂线段长度等于半径。 五、切线长定理（选择、填空、解答常考） 1、从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 2、圆心和这点的连线平分两条切线的夹角 3、连线垂直平分两切点的连线 六、三角形与圆的位置关系 1、三角形的外接圆 定义：经过三角形三个顶点的圆 圆心：外心，三边垂直平分线交点 性质：外心到三顶点距离相等（都是半径） 直角三角形：外心在斜边中点，外接圆半径=斜边一半 2、三角形的内切圆 定义：与三角形三边都相切的圆 圆心：内心，三条角平分线交点 性质：内心到三边距离相等（都是内切圆半径） 直角三角形内切圆半径公式：r= 七、圆与圆的位置关系（中考选择填空偶尔考） 设两圆半径 R>r，圆心距为 d 外离：d>R+r 外切：d=R+r 相交：R-r<d<R+r 内切：d=R-r 内含：d<R-r 终极考点6    弧长、扇形面积的相关计算（重点） 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 1、弓形面积的求法 当弓形所含的弧是劣弧 当弓形所含的弧是优弧 当弓形所含的弧是半圆 2、求不规则图形面积的常用方法 1）求和(差)法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差. 如图(1)， 2）等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算. 如图(2)，点D为的中点，则。 如图(3)，已知扇形 AOB，DO∥AB，则. 3）容斥原理法：当阴影部分由几个图形叠加而成时，利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和−（多加部分的面积+空白部分的面积）”求解. 如图(4)，阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分，则 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 利用垂径定理求解问题 （2026·北京昌平·一模）如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据作图可知：，， ∴，，∴，， ∵不确定大小，∴无法判断得出． 题型二 垂径定理的推论 （2026·湖南娄底·模拟预测）如图，、是的两条弦，、交于点E，，，连接、，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：∵，，∴圆心O在线段上， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即， 由可令，设，∴， ∴，解得：（不符合题意，舍去）， ∴，∴，∴． 解题妙法 四大推论（记口诀秒用） 1、平分非直径的弦的直径，垂直于这条弦； 2、平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦； 3、弦的垂直平分线，必过圆心； 4、平行弦所夹的弧相等。 二、解题万能模型（中考90%题型通用） 设：圆半径R，弦长L，圆心到弦的距离d，弦长一半a= 核心勾股公式（必背）：a2 + d2 = R2 只要题给半径、弦长、圆心距任意两个，直接套公式求第三个。 三、3个秒杀解题妙法 妙法1：遇弦必作“垂直半径”辅助线 看到弦→立刻过圆心作弦的垂线，垂足分弦为两半，直接构造直角三角形，勾股定理直接算。 中考几何填空、大题标配辅助线，一做就有思路。 妙法2：遇弧中点→连圆心+垂直弦 题目给弧中点、平分弧→连接圆心和弧中点，这条线垂直平分对应弦，直接用推论秒证垂直、平分。 妙法3：求拱桥/隧道/弧形跨度题 实际应用题（拱桥、水管、拱门）： 1、补全整圆，设半径R；2、设拱高为h，转化为圆心距d=R-h； 3、代入 a2+(R-h)2=R2 解方程，一步出答案。 题型三 垂径定理的实际应用 （2026·湖南·一模）如图，将一装有水的球形容器放在水平地面上，其轴截面为的一部分，为容器口，为水面．已知的半径为，，，将容器从甲处与地面平行时向右缓慢滚至乙处水面恰好经过点B时（水无溢出）停止，则容器口边缘点A相对甲处时升高了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图甲，过点O作于点M，交于点N，连接，， ∵，，∴， ∴，， ∴，，∴， ∴点A到水面的距离为， 如图乙，过点A作于点G，过点O作于点H，交于点J，作于点N．同法可得， 在和中，，∴， ∴，∴， 设，则有，解得， ∴， ∵，，∴，∴， ∴， ∴此时点A到水平面的距离为，相对甲处时升高了． 题型四 弧、弦、圆心角之间的关系 （2026·辽宁沈阳·一模）如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 为的直径，，． 解题妙法 妙法1：等角→等弧→等弦 直接串用 题目给圆心角相等，不用证全等，直接秒得：弧相等、弦相等、弦心距相等； 反过来，给弦相等/弧相等，直接推圆心角相等。 大题可直接当依据写，省步骤。 妙法2：证弦相等，优先转「圆心角相等」 要证两条弦相等：不用三角形全等，先证圆心角相等，直接推出弦相等，步骤最简、中考满分写法。 妙法3：弧的倍数 = 圆心角倍数 同圆中：弧长几倍 ⇔ 对应圆心角几倍； 遇弧是几倍关系，直接看成圆心角倍数，快速算角度。 妙法4：遇多段弧、多根弦，用「等量代换」 同圆里：大弧减小弧 = 另一大弧减小弧 推出剩余弧相等 → 对应弦、圆心角直接相等，不用绕弯。 题型五 圆周角定理及其推论 （2026·广东深圳·一模）如图，已知四边形的外接圆的半径是，对角线与的交点为，，，，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ， ，，， ∵， ∴，， 如图，连接，交于点．连接， ，，， ，， ， ，，， ，∴. 故选：C. 解题妙法 妙法1：见弧倒角，直接“同弧等角” 几何题要算角度、证角相等：先看是不是同一条弧，是就直接写： 同弧所对圆周角相等，不用复杂推导，一步出角。 妙法2：遇直径，立刻连端点造直角 题目有直径，马上连接圆上一点，自动形成直角三角形， 求边长、求角度、证垂直全靠这一招。 妙法3：圆心角、圆周角快速换算 已知圆心角÷2 = 圆周角 已知圆周角×2 = 圆心角 填空选择口算秒出答案。 妙法4：圆内接四边形 补角秒算 求外角、求对角：直接用和为180°，不用找三角形内角和，省步骤。 妙法5：同侧等角四点共圆秒杀 两个角在弦同侧、且相等 → 四点共圆 立马能用圆周角、对角互补性质，大题直接提速。 题型六 正多边形和圆的综合 （2026·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长等于4，顶点在轴正半轴上，边在轴正半轴上，点为边上一动点，点在正六边形的内部，满足，若点在边上运动时，的面积为定值，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ，，，，，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，， ∵六边形是边长等于4的正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，点、、分别为、、的中点， ∴是等边三角形，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为定值， ∴， ∴， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， 当点与点重合时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点与点重合， ∵， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当，，共线时，的最小值． 题型七 弧长公式的应用 （2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：垂直平分， ， ，， 是等边三角形，， ， 的长度为． 题型八 扇形面积公式的应用 （2026·山西阳泉·一模）如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ． 题型九 求弓形面积 （2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 题型十 求其他不规则图形的面积 1．（2026·广东佛山·一模）如图，点C、D是以为直径的半圆上的三等分点，连接，半径，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，如图， ∵点C、D是以为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 2．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 题型十一 圆锥的定义及面积 （2026·广东珠海·一模）综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】半径为的纸片若干． 【探索】 (1)如图1，在一个圆形纸片中剪出以圆上点A为圆心且圆心角为的扇形．写出扇形的半径______； (2)如图2，在另一圆形纸片中剪一个以O为圆心且圆心角为的扇形． ①如图3，若将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的体积； ②如图4，若在扇形上作圆（），与扇形的两条半径相切，与扇形的弧有且只有一个交点G，且O，F，G三点共线，求的半径． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：如图，连接， ∴， ∴为直径，则， 在圆形纸片剪出一个以圆上点A为圆心的扇形， ∴，则， 在中，， ∴， ∴扇形的半径为； （2）解：①设圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点F向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J， ∵与扇形两边相切于I，J，， ∵， ∴， ∴， 设半径为，则， ∵， ∴， 解得，检验，当时，原分式方程有意义， ∴的半径为． 题型十二 判断点与圆的位置关系 （2026·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 【答案】(1)①是，不是；② (2) 【详解】（1）解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴小于半径， ∴在的内部，符合关联三角形的定义， 即是的关联三角形； 如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，，∴，， ∵，，， ∴，，∴， 在与中，，∴， ∴，，∴， ∴点的坐标为， ∴在的外部，不符合关联三角形的定义， ∴不是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m，∴， 由①得， ∴，， ∵，∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标为， ∵Q点在⊙O内（包含圆周），∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2，∴； （2）解：根据题意得：P点坐标为， 如图，过点A作轴，过P，Q作，垂足分别为点E，F， 同理（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为，∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周），∴， 即，解得：； 题型十三 三角形的外接圆 （2026·山东淄博·一模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、G、D四点共圆， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴外接圆的直径为2， ∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴的最大值为2， ∵E是延长线上一点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 题型十四 直线与圆的位置关系 （2026·山东聊城·一模）如图，已知，，，，M、N是边上的点，，如果以为直径的与边有公共点，那么的值不可以是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取的中点O，连接，过点O作于点H， ∵，，， ∴设，则 ∴，即 ∴（负值舍去） ∴， ∵点O是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵，∴，即，∴ ∵以为直径的与边有公共点， ∴ ∴ ∵，∴的值不可以是． 题型十五 切线的判定定理与性质定理的综合应用 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点O作于点E， 于点D， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是的半径， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的半径． 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，以的边上的一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与边交于点E，D为所对的下半圆中点，连接交于F，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图：连接，， ∵D为所对的下半圆中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为10， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴． 题型十六 切线长定理 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【详解】（1）解：证明：∵，是圆的切线， ∴，，， 又∵， ∴， （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 题型十七 三角形的内接圆 （2026·浙江舟山·一模）如图，为内接三角形，其中为直径，且，点为和平分线的交点，延长交于点，连结，，． ①________； ②若，，与之间的函数关系为________． 【答案】 6 【详解】解：①如图，连接， ∵平分角， ∴， ∴， ∵为的直径，且， ∴， ∴； ②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、， ∵为直径， ∴，， ∵点为和平分线的交点， ∴，，， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得， ∵中，，，∴， 整理得． 题型十八 圆内接四边形 （2026·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 【答案】 【详解】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意，， 连接， ∵为半圆的直径，， ∴，， ∴，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， 将绕点旋转，得到，则，，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型十九 圆与圆的位置关系 （2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 如果与外切，则的长为的半径长， 在中，， ∴， ，，， 四边形为矩形， ， ， 当时，最短， 根据三角形面积公式可得，此时， ， 当点无限接近点时，此时， ， 即的半径长r的取值范围是． 题型二十 圆的综合问题 1．（2026·浙江温州·一模）如图，点，，在上，，以，为边作． (1)如图1，当经过圆心时，求的度数． (2)如图2，当与相切时，若的半径为，求与的重叠部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意可得为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． （2）连接交于点，连接，如图： ∵与相切， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，∴为等边三角形，∴， 故点在的垂直平分线上， 又∵，∴是的垂直平分线．∴， 在和中，，∴， 即， 故阴影部分的面积即为扇形的面积， 扇形的面积． 2．（2026·上海浦东新·二模）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且．点是线段的中点．联结并延长交于点，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：作，垂足为． ∵过圆心，，∴，． ∵，∴． ∵，∴，即点是中点． ∵过圆心，，∴． ∴，∴．∴， ∵，∴四边形是梯形． ∵点是线段的中点，点是中点，∴， ∴，∴． （2）证明：联结交于． ∵与相交于点、，∴垂直平分，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是菱形． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·江苏泰州·一模）如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（   ） A．的长 B．与的积 C．与大圆半径的比 D．的度数 【答案】C 【详解】解：连接，过点作于点， 则， ∵与小圆相切于点， ∴ ∴ ∵为的中点，经过圆心， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵已知， ∴当已知时，即可求解．故C符合题意． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∴． 3．（2026·广东深圳·二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，的内接正六边形与外切正六边形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设正六边形为的内接正六边形，、、、、、为的切线，切点分别为、、、、、，连接、、、，设交于点，设正六边形的半径为， ∴，，，， ， ∴，， ∴， 用同样的方法可得：， 即， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 用同样的方法可得：，， ∴，， ，， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴， 用同样的方法可得：， 即， ∴六边形为的外切正六边形， ∵，，垂直平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的内接正六边形与外切正六边形的面积比是． 4．（2026·广东东莞·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，垂足为点D，，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径，∴， ∵，∴， ∵，即，∴， 解得或（舍去）， ∴的长为4． 5．（2026·广东河源·模拟预测）如图①，在圆内接四边形中，点E是四边形中对角线上的一点，且满足，分别延长，交于点M，N，连接． (1)求证：是的直径． (2)如图②，若．求的长． (3)在内是否存在其他点G，使？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)5，过程见详解 (3)存在其他点G，理由见详解 【详解】（1）证明：如图1，连接，，，则有 ，． ∵， ∴， ∴三点在同一直线上， ∴  是的直径 ； （2）解：如图2，将绕点C逆时针旋转得，连接，则是等边三角形． 所以，． ∵， ∴即 ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴． 在中，，，由勾股定理，得 ． ∴； （3）解：存在其他点G，使，证明： 如图3，在下方任作直径，连接，，，与相交于 G，则有，． ∵ ∴． 6．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 7．（2026·广东江门·一模）如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点D，且，垂足为E，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． ∴． 8．（2026·上海青浦·二模）已知中，，，点是射线上一点，连接，圆经过、、三点． (1)如图1，当点在线段上时， ①记圆交于点，求证：； ②设，用表示圆的半径； (2)如图2，在线段的右侧，以为底边作等腰，且始终满足．若以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，请直接写出线段的取值范围． 【答案】(1)①见详解；② (2) 【详解】（1）①证明：连接，     中，， ∴， ∵在圆O中，， 根据圆周角定理可知，， ∴， ∴； ②解：∵圆是的外接圆， 所以是三边中垂线的交点， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 则圆的半径为：； （2）解：由题意可得， 当点在线段上时， ∵中，， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为直线， ∴， 设， ∴由（1）可知，， ， ∴， ， 由（1）可知， 当，以为半径的圆与圆有公共点， ， 解得：． 倒计时6天 形变化寻规律，几何综合破难点，稳住心态细心推演，落笔皆是满分底气。 图形变换与几何综合 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 图形变化与几何综合是中考数学压轴核心，聚焦平移、旋转、轴对称（折叠）三大变换，融合三角形、四边形、圆及全等/相似、勾股定理等核心知识。命题以“素养立意、分层设问、多模复合”为特点：第一问基础性质（送分），第二问中档综合（承上启下），第三问动态探究（压轴拔高）。重点考查模型识别（手拉手、一线三等角、半角）、辅助线构造、不变量分析、分类讨论与数形结合能力，区分度强，重在选拔逻辑推理与综合应用素养。 ►中考前沿： 2026年该模块将延续“动态化、综合化、模型化”趋势，分值稳定在10–14分，多为第22/23题压轴。载体以正方形、菱形、等腰直角三角形为主，叠加旋转（手拉手）、折叠、动点轨迹，常结合圆、相似、三角函数求线段长、面积最值或存在性问题。设问更开放，强化“过程探究+结论迁移”，重视辅助圆、将军饮马、胡不归等模型变式。备考需精练变换性质、模型拆解与代数化计算，稳住心态、分步突破，规范步骤拿满过程分。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   图形变化的对比（重点） 对比维度 轴对称 平移 旋转 中心对称 相同点 均为全等变换，不改变图形形状、大小；变换前后对应边相等、对应角相等，仅改变图形位置 同左 同左 同左 变换本质 沿一条直线翻折后图形完全重合 沿固定方向做平行移动，移动距离固定 绕一个定点转动一定角度 绕一个定点旋转 180° 后与原图形重合 对应点连线性质 被对称轴垂直平分 互相平行且相等 到旋转中心距离相等，连线夹角等于旋转角 经过对称中心，且被对称中心平分 对应线段关系 长度相等，位置对称，不一定平行 平行且相等 长度相等，位置不一定平行 平行且相等 图形方向 发生翻转改变 保持不变 发生改变 旋转 180°后反向重合 坐标变化规律 关于 x 轴对称：横不变，纵变号；关于 y 轴对称：纵不变，横变号 左减右加、上加下减（坐标平移） 绕原点旋转 90°/180° 有固定坐标变换规则 绕原点中心对称：横、纵坐标均变号 中考高频考点 图形折叠、线段 / 角度计算、最值问题 网格平移、坐标求解、图形面积计算 手拉手模型、半角模型、几何综合压轴 中心对称图形判断、反比例函数性质、平行四边形相关 易错点 忽略折叠全等性质、落点分类漏解 坐标平移规律混淆、计算失误 找不准旋转角、无法构造全等三角形 混淆中心对称与中心对称图形、漏解 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 利用平移的性质求解问题 （2026·广东佛山·一模）如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是_____； 【答案】12 【详解】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，∴，∴，∴． 解题妙法 妙法1：求周长——平移“折边拉直” 遇到阶梯形、凹凸不规则图形周长： 把所有水平线段向上/下平移，竖直线段向左/右平移，直接拼成长方形，周长秒算，不用逐条加。 妙法2：求面积——平移割补、空位补齐 不规则阴影面积、小路面积、草坪题： 平移拼接，把零散阴影凑成规则图形（矩形、正方形、三角形），直接套面积公式，避开复杂计算。 妙法3：坐标平移口诀（坐标系专用）：点(x,y)，左减右加（x），下减上加（y） 图形平移和点平移坐标变化完全一样，整体照搬即可。 妙法4：线段最值——平移造“共线最短” 将军饮马类变式、折线和最小： 平移定点，化折线段为直线段，利用两点之间线段最短直接求最小值。 妙法5：几何证明——平移转移边角 要证线段相等、平行、角相等： 把图形平移到合适位置，把分散边角集中到一个三角形/四边形里，直接用全等、平行性质秒证。 题型二 平移作图 （2026·安徽芜湖·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)将线段先向上平移1个单位长度，再向右4个单位长度，得到线段，请画出线段（其中，分别与，对应）； (2)在所给的网格图中的平面直角坐标系的第一象限内，确定一个格点，使得点在线段的垂直平分线上，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，（或，答案不唯一） 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图点或即为所求， ∵，∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 若取，同理可说明在线段的垂直平分线上． 题型三 平移综合题（几何变换） （2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，，，C为x轴正半轴上一点，以为一边在第一象限内作等边．使得D点恰好落在线段上，D点坐标为________，将沿x轴的正半轴向右平移得到，当将的面积分为两部分时，的长为________． 【答案】 或 【详解】解：过作于点，设等边边长为， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为， ，解得， ，又D点在线段上， ，解得， ； 等边边长为，， ①当未过点时，如图，与相交于点， 此时，又， ， 设， 又，则， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， 解得（负值已舍去）； ②当超过点时，如图，与相交于点， 由题可知， 设，则， 又，， ， ， ， 解得（负值已舍去）； 综上，的长为或． 题型四 根据成轴对称图形的特征解决问题 （2026·上海浦东新·二模）在中，点，分别在边，上，连结，，，． (1)如图1，连结，如果，求证：； (2)已知，连结． ①如图2，如果点，关于直线对称，求的值； ②如图3，如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，∴． ∵，∴．∴． ∵，，，∴． ∵，∴．∴． （2）解：①作，垂足为．作，交的延长线于，延长交于，延长交延长线于点． 设，则，． ∵点，关于直线对称，∴．∴． ∵，∴． ∵，∴．∴． ∴． ∵，，∴．∴． ∴．∴． ∵，关于直线对称，∴． ∵．∴．∴． ∴．∴． ∵， ∴，． ∴，．∴．∴． ∵，，∴． ②过点作，交的延长线于点． 设． ∵，∴．∴，． ∴． ∵，∴．∴．∴．∴． ∴．∴． 设．∴． ∴．∴． ∴．∴．∴． ∵，，∴．∴． 又，∴．∴． ∴．∴． ∴．∴． 解题妙法 妙法1：求周长——平移“折边拉直” 遇到阶梯形、凹凸不规则图形周长： 把所有水平线段向上/下平移，竖直线段向左/右平移，直接拼成长方形，周长秒算，不用逐条加。 妙法2：求面积——平移割补、空位补齐 不规则阴影面积、小路面积、草坪题： 平移拼接，把零散阴影凑成规则图形（矩形、正方形、三角形），直接套面积公式，避开复杂计算。 妙法3：坐标平移口诀（坐标系专用）：点(x,y)，左减右加（x），下减上加（y） 图形平移和点平移坐标变化完全一样，整体照搬即可。 妙法4：线段最值——平移造“共线最短” 将军饮马类变式、折线和最小： 平移定点，化折线段为直线段，利用两点之间线段最短直接求最小值。 妙法5：几何证明——平移转移边角 要证线段相等、平行、角相等： 把图形平移到合适位置，把分散边角集中到一个三角形/四边形里，直接用全等、平行性质秒证。 题型五 折叠问题 （2026·广东梅州·二模）如图，在中，，，，点，分别在，上，且，将沿着直线折叠得到，点到的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于， ∵点到的距离为，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，， ∵，∴， ∵将沿着直线折叠得到，∴，∴． 题型六 画轴对称图形 （2026·广东·一模）在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点三角形全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点三角形的一条边重合，且面积与相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：答案不唯一，如图所示，即为所求 （2）解：如图所示即为所求 ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴是直角三角形， ∴ ∴的面积与的面积相等，即为所求 题型七 轴对称综合题（几何变换） 1．（2026·广东广州·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 2 【详解】解：设，由题意可知，． 当为等边三角形时，则有，即． ； 如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接． ， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在中，，, ． ，即． 连接，则． ． 当在同一条直线上时，最小，即为的长． 如图2，过点D作，交的延长线于M， 由题意可知，在中，，， ，． 在中，，， ． 的最小值为． 2．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵点为的中点， ∴， 如图，连接、， ，点为的中点， ， ， ，故选项错误； 如图，∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为，故选项正确； 如图，， ，，，四点共圆， ∵，，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∴， ，故选项错误； ∵， ， ∵，点为的中点，∴， ，， ∴， ∵，点为的中点，∴， ， ∴四边形为矩形， ， ∵，∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴四边形的面积最大值为，故选项错误． 题型八 根据旋转图形的特征解决问题 （2026·辽宁本溪·一模）几何综合探究： (1)如图1，将沿对角线剪开，将绕着点A逆时针旋转度得到，，分别延长，交于点G． ①求证：； ②如图2，当时，，，，求的面积 (2)如图3，在中，，D是边的中点，点E在上，过点E作交的平行线于点F，若，，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】（1）①证明：由题意可知，，∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； ②解：过点A作于点N， ∵，，∴， ∵，∴，，， ∵绕着点A逆时针旋转度得到，∴， ∴，， ∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴， 在中，，，∴， ∴，∴， ∴； （2）解：过点E作于点M，交于点N，连接， ∵， ∴， ∵D是边的中点，∴，， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，，，∴， 又∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵， 设，，则，，∴， ∵，∴， ∴， ∴，， 易得四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴，， ∵， ∴． 解题妙法 妙法1：遇共顶点等线段，直接用旋转 看到共顶点、有相等线段（等边三角形、等腰直角、正方形）， 直接把小图形绕公共顶点旋转，把分散边角集中到一起，秒证全等、求边长角度。 妙法2：旋转必出等腰三角形 一组对应点连旋转中心，两条边相等+转角相等， 天然构成等腰三角形；若是60°旋转直接出等边三角形，45°、90°出等腰直角三角形。 妙法3：求角度——抓“公共旋转角” 多三角形共一个旋转中心， 所有对应夹角都等于旋转角，不用一步步算内角和，直接口算角度。 妙法4：不规则面积——旋转割补法 阴影零散、图形不规则， 旋转拼接，把零散部分补成正方形、三角形、扇形，直接套公式算面积，避开复杂计算。 题型九 旋转综合题（几何变换） （2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，P是线段外一动点，，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，则的长最大值为_______． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， ∵，∴当点在的延长线时，的长度取得最大值， 由题意得，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴的长最大值为． 题型十 中心对称的性质 （2026·陕西西安·模拟预测）学完“中心对称”以后，某数学兴趣小组结合三角形进行了相关探究．已知为内部一点，与关于点中心对称，其中的对应点为的对应点为的对应点为． (1)如图1，请你按要求画出． (2)小组探究发现，当处于不同位置时，两个三角形的重叠部分的形状只可能有两种情况：平行四边形或有三组对边分别平行的六边形；并且两个三角形的重叠部分的面积也在不断变化．在中，，为边上一点，对称中心在线段上运动． ①如图2，当，点在三角形内或边上时，易得两个三角形的重叠部分是平行四边形，与交于点与交于点．求面积最大时，对称中心到的距离． ②如图3，当时，若两个三角形的重叠部分为六边形，求该六边形的最大面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①由题意得，当点与点M重合时，的面积有最大值， 如图所示，过点A作于点S， 在中，，， ∴， ∴， 由中心对称的性质可得; ②如图所示，设交于点H， 由题意得，， ∴； ∵， ∴由（2）①可得， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设， ∴， ∴； 由中心对称的性质可得， ∴， ∵，∴，∴， ∵,∴； 同理可得，， ∴，， ∴ ， ∵，∴时，有最小值，最小值为， ∵， ∴的最大值为． 题型十一 图形设计 （2026·山西晋中·一模）图形变换是指对基本图形的几何信息进行一系列操作，从而产生新的图形，包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等．下列图形的形成过程，可以用“平移现象”解释的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、可以由“平移”的过程得到，符合题意； B、可以由“旋转”的过程得到，不符合题意； C、可以由“旋转”的过程得到，不符合题意； D、可以由“旋转”或“轴对称”的过程得到，不符合题意． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·广东梅州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为______． 【答案】 【详解】由点 平移后 可得坐标的变化规律是：右移3个单位，下移1个单位， ∴ 点 的对应点 的坐标 ． 2．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将沿方向平移至处， ∴，∴， ∵，点为边的中点，∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·广东·一模）广州从1995年春节开始在白鹤潭江面举办春节烟花汇演，并连续举办了18年，大年初一看烟花成为广州市民的共同回忆．阔别12年后，广州春节烟花汇演在白鹤潭重燃，2026年2月17日晚在开场的无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移3个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是，即． 4．（2025·山西朔州·二模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点． (1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由． (2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点． ①求证：． ②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______． (3)若点落在直线上，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；② (3)或 【详解】（1），理由如下： 矩形中，，是对角线，，， ， ， 由旋转的性质可得，，，， ， ， ； （2）证明：如图所示，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， 又，， ， 由旋转可知，， ， ，， ， ； ②如图所示，过点作于点， 根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度， 由旋转的性质可得，，， ， ， 又，，， ，， 由①得，， ； （3）分两种情况进行讨论， 第一种情况，如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，矩形， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ，， ； 第二种情况，如图所示，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ，，矩形， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ，， ， 综上所述，的长为或 ． 5．（2026·广东惠州·一模）下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 6．（2026·广东东莞·一模）我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ， B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 ， C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， D． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ． 7．（2026·江苏盐城·一模）如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 【答案】 【详解】解：∵与所在的圆相切于点B， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·江苏宿迁·一模）如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：正方形的边长为5，边在y轴上，， ，，轴， ， 由旋转的性质可知，，，在x轴上， 点的坐标为． 9．（2026·江苏泰州·一模）点为矩形的边上一点，．将矩形绕点逆时针旋转角得到矩形． (1)如图1，当点落在边上时，_____； (2)如图2，当点、、在同一直线上时，求的值； (3)当时，过作，垂足为，过、、三点的圆与边的另一个交点为，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：如图所示，过点O作于点G，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图3-1所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，这四点共圆， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，连接， 设， ∵， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； 由旋转的性质可得， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，这四点共圆，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ∴，即，， ∴，∴，∴； 综上所述，的值为或． 10．（2026·山东临沂·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意． 2 / 191 学科网（北京）股份有限公司 $