数学（湖北卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯形之一，造型别致．如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三视图进行求解即可． 【详解】 解：它的主视图是． 2．如图，在数轴上表示的结果是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】根据有理数的加法进行计算，再在数轴上表示出计算结果即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示的结果的是b． 3．2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长方形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：∵长方形面积长宽，已知长为，宽为， ∴面积， 根据单项式乘多项式法则展开得： ． 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 5．如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用内错角相等，两直线平行判定B选项符合题意． 【详解】解：由或或都不能判定直线； 只有时，利用内错角相等，两直线平行能判定直线． 6．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．点石成金 【答案】C 【分析】一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，结合成语含义判断即可． 【详解】解：旭日东升是必然发生的自然现象，因此A是必然事件，故不符合题意． 画饼充饥不能真正实现饱腹，一定不会发生，因此B是不可能事件，故不符合题意． 守株待兔可能发生，也可能不发生，因此C是随机事件，故符合题意． 点石成金不符合科学规律，一定不会发生，因此D是不可能事件，故不符合题意． 7．如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先推导出，得到，则 ，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵是的切线，切点为B， ∴， ∴， ∴ ． 8．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 【答案】D 【分析】根据杠杆平衡条件求出F与L的函数解析式，结合反比例函数的性质及实际意义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵L最大为， ∴若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是，故C正确，不符合题意； 当原物体重量增加，，则，故D错误，符合题意． 9．如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点，若，，则的长为（   ） A．12 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由作图可得，，平分，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，结合，得，则，再证明，得出，再证明，得出，然后根据线段和差列方程求解． 【详解】解：由作图可得，，平分； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； ∵， ∴，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得． 10．如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到图形是由和扇形组成的，求出相关线段的长度，根据进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，， ∵点为曲线的最低点， ∴此时点运动到点H，且，，如图，连接， ∴， ∴， ∴， 由图象可知，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴该图形的面积为． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算：_____． 【答案】 【分析】直接运用单项式乘单项式运算法则与同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：根据单项式乘单项式运算法则，以及同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 得． 12．中国研发的纳米机器人尺寸因应用场景和设计目标不同而存在较大差异，磁控纳米机器人多用于医疗健康领域，尺寸约为米，手形微纳机器人可用于环保和制造等领域，其尺寸是磁控纳米机器人的20倍，则手形微纳机器人的尺寸约为_____米（用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：． 13．计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再确定最简公分母通分，合并分子后约分，得到计算结果． 【详解】解： ． 14．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 【答案】5 【分析】先根据两直线平行，斜率相等求出的值，再将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线解析式为． ∵直线经过点， ∴将，代入解析式，得： ， 解得． 15．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 【答案】 ①②③ 【分析】根据抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，可得，再根据对称轴为直线，可得，即可判断①②；然后说明，可得和关于对称轴对称，进而得出，说明③即可；最后根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小解答④． 【详解】解：由图象可知抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． ∵对称轴为直线， ∴， 则可知①②正确； ∵，且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， 则，可知③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，可知④不正确． 则正确的有． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 计算：． 【答案】 【分析】利用负整数指数幂，零次幂，二次根式的化简以及特殊角的锐角三角函数值求解； 【详解】解： （2分） （4分） .（6分） 17．（6分） 已知：如图，点，分别在的边，上，连接并延长至点，连接，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定．关键是通过平行线的性质找到全等三角形的对应角，结合已知边相等证明全等，再利用全等性质得到结论． 【详解】解：∵， ∴；（1分） 在和中，，（4分） ∴；（5分） ∴．（6分） 18．（6分） 如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)遮蔽宽度为； (2)点下降的高度约为． 【分析】（1）由对称性可知，，根据正切的定义求出，即可得出答案； （2）过作于点，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解． 【详解】（1）解：由对称性可知，， 在中，， ， ∵， ， ． 答：遮蔽宽度为；（3分） （2）解：如图，过点作于点． ，，， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， 当时，； 当时，， ． 答：点下降的高度约为．（6分） 19．（8分） 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”. 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图          九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 九年级 88 88 (1)完成填空：__________，__________，并补全条形统计图； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】(1)88.5；88；补全图形见解析 (2)八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 (3)192人 【分析】（1）根据中位数和众数的计算方法求解即可，根据频数之和求出A等级的人数，补全条形图即可； （2）利用中位数和众数分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：八年级A等级的人数为， 八年级数据中从小到大排列后第10个和第11个数据分别为：88，89， ∴中位数， 九年级中A、B、C、D等级的人数为，，，， 所以数据中出现次数最多的是88， ∴众数； 补全条形统计图如图： （3分） （2）解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由如下：两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好；（5分） （3）解：（人）， 答：估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有192人．（8分） 20．（8分） 如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【答案】(1)满足的矩形是黄金矩形 (2)见解析 (3)直线是的黄金分割线，理由见解析 (4)无数条 【分析】（1）仿照题意进行定义即可； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条． 【详解】（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形， 故答案为：满足的矩形是黄金矩形；（2分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）；（4分） （3）解：直线是的黄金分割线，理由如下： ∵点P是线段的黄金分割点， ∴， 设的边上的高为h，则 ， ∴ ∴直线是的黄金分割线．（6分） （4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．（8分） 【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键． 21．（8分） 如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点E，根据圆的切线的性质，以及等角的余角相等，证明，得到，则是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，利用相似三角形的性质，分别求出，，即可得解． 【详解】（1）证明：过点O作于点E， 于点D， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是的半径， ， 是的切线；（4分） （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的半径．（8分） 22．（10分） 【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； 【解决问题】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； (3)在完成任务后，无人机需降落在一个倾斜的回收平台上．电脑绘制的无人机回收飞行轨迹的解析式为（其中是正整数，，无人机从处起飞），回收平台的截面是直线，为了保证平稳降落，无人机必须降落在回收平台上异于起飞点的另一点处．判断是否存在，使得点的横坐标是正整数，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，即可解出抛物线的解析式； （2）①先根据题意列出抛物线的解析式，然后根据题意，安全距离不少于，因为该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点上方处的点恰好在抛物线，把该点坐标代入的解析式，即可解出的高度； ②求出两无人机飞行路线解析式的交点，并根据图像特点，划出两个自变量范围，继而求出两个范围内的最大值，最后比较两个最大值，就可以求出最大高度差． （3）联立无人机回收飞行轨迹的解析式和回收平台的截面解析式，求出交点，并根据题意得出值． 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为 ．（2分） （2）①根据题意可设抛物线的解析式为 ． 因为，，此时点正好在抛物线最高点的下方，与最高点的距离超过，点的坐标为．． 因为无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点恰好在抛物线上， 将点代入 ， 解得， 即该平台的高度为；（5分） ②由①得，抛物线的解析式为 ． 当 时， 解得， 综合图像可得，当时，有最大高度差，此时高度为， 当时，有最大高度差，此时高度为， ， 最大高度差为．（8分） （3）存在； k的值为或． 联立和，整理可得 ，解得（舍），． 是正整数，4d是整数． 当4k是整数时，x的值也是整数， ∵， ∴满足条件的有和（10分） 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、二次函数的平移性质、二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意是关键． 23．（11分） 如图1，在中，．将绕点逆时针旋转得到，且旋转角小于，点的对应点为，点的对应点为，直线交直线于点． (1)试判断与的数量关系，并说明理由： (2)如图2所示，当时，求线段的长； (3)连结、，当为直角三角形时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接，证明即可证明； （2）延长，交于点，设，得出，解答即可； （3）当时，如图， 过点作交于点，过点作于点，根据旋转的性质得出，证明四边形是矩形，进而勾股定理求得，再根据等面积法求得，即可求解；当时，直接根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：如图1，连接，由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴；（3分） （2）如图2，延长交于点， 由（1）知，， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴；（7分） （3）解：当时，如图， 过点作交于点，过点作于点， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴； 当时，如图， 此时点E在上 ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴ ∴ 在中，； 由于旋转角小于，不存在， 综上所述，的长为或．（11分） 24．（12分） 如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程，即可求解； （2）作轴，轴，证明，根据，进而根据二次函数的性质，得出时，原式最小取最小值，即可求解； （3）取的中点，以长为半径作圆，根据当在圆上时，，得出，代入抛物线求得，结合是钝角以及函数图象，即可确定的范围 【详解】（1）解：令，则 ， 在左侧 ，（4分） （2）解：如图，作轴，轴 轴，轴 ， ， 当时，， ∴， ， 直线 是常数 当时，原式最小 （8分） （3）解：取的中点，以长为半径作圆 当在圆上时， ， 将代入抛物线表达式 得到 （舍）， 是钝角 .（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯形之一，造型别致．如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上表示的结果是（    ） A．a B．b C．c D．d 3．2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 5．如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 6．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．点石成金 7．如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 9．如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点，若，，则的长为（   ） A．12 B．20 C．30 D．40 10．如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算：_____． 12．中国研发的纳米机器人尺寸因应用场景和设计目标不同而存在较大差异，磁控纳米机器人多用于医疗健康领域，尺寸约为米，手形微纳机器人可用于环保和制造等领域，其尺寸是磁控纳米机器人的20倍，则手形微纳机器人的尺寸约为_____米（用科学记数法表示）． 13．计算的结果是__________． 14．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 15．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 计算：． 17．（6分） 已知：如图，点，分别在的边，上，连接并延长至点，连接，，．求证：． 18．（6分） 如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 19．（8分） 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”. 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图          九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 九年级 88 88 (1)完成填空：__________，__________，并补全条形统计图； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 20．（8分） 如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 21．（8分） 如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 22．（10分） 【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； 【解决问题】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； (3)在完成任务后，无人机需降落在一个倾斜的回收平台上．电脑绘制的无人机回收飞行轨迹的解析式为（其中是正整数，，无人机从处起飞），回收平台的截面是直线，为了保证平稳降落，无人机必须降落在回收平台上异于起飞点的另一点处．判断是否存在，使得点的横坐标是正整数，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 23．（11分） 如图1，在中，．将绕点逆时针旋转得到，且旋转角小于，点的对应点为，点的对应点为，直线交直线于点． (1)试判断与的数量关系，并说明理由： (2)如图2所示，当时，求线段的长； (3)连结、，当为直角三角形时，求线段的长． 24．（12分） 如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯形之一，造型别致．如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上表示的结果是（    ） A．a B．b C．c D．d 3．2026年全国两会明确提出并重点部署乡村振兴工作，为更好地落实该精神，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所，已知长方形空坪长为，宽为，则其面积为（    ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 5．如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几何图形，下列条件中能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 6．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（   ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．点石成金 7．如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧距离O点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数关系．下列说法错误的是（    ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 D．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 9．如图，在中，以点为圆心，以长为半径画弧交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点，连接并延长交于点，连接，，分别交，于，两点，若，，则的长为（   ） A．12 B．20 C．30 D．40 10．如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．计算：_____． 12．中国研发的纳米机器人尺寸因应用场景和设计目标不同而存在较大差异，磁控纳米机器人多用于医疗健康领域，尺寸约为米，手形微纳机器人可用于环保和制造等领域，其尺寸是磁控纳米机器人的20倍，则手形微纳机器人的尺寸约为_____米（用科学记数法表示）． 13．计算的结果是__________． 14．已知直线经过点，并且与直线平行，那么________． 15．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为，且图象经过点，下列结论：①；②；③若且，则；④若，两点都在抛物线的图象上，则．正确的有______．（填正确的序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） 计算：． 17．（6分） 已知：如图，点，分别在的边，上，连接并延长至点，连接，，．求证：． 18．（6分） 如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 19．（8分） 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”. 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图          九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 九年级 88 88 (1)完成填空：__________，__________，并补全条形统计图； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 20．（8分） 如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 21．（8分） 如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 22．（10分） 【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； 【解决问题】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； (3)在完成任务后，无人机需降落在一个倾斜的回收平台上．电脑绘制的无人机回收飞行轨迹的解析式为（其中是正整数，，无人机从处起飞），回收平台的截面是直线，为了保证平稳降落，无人机必须降落在回收平台上异于起飞点的另一点处．判断是否存在，使得点的横坐标是正整数，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 23．（11分） 如图1，在中，．将绕点逆时针旋转得到，且旋转角小于，点的对应点为，点的对应点为，直线交直线于点． (1)试判断与的数量关系，并说明理由： (2)如图2所示，当时，求线段的长； (3)连结、，当为直角三角形时，求线段的长． 24．（12分） 如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 7 D B B D 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.2x4 12.4×105 13.a 14.5 15.①②③ 三、解答题（本大题共9个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(6分) 【详解】解 -(π-2026)°-V12+1-2sin60l 3 =3-1-2V3+1-2× 2 (2分) =3-1-2V3+11-√5 =3-1-25+5-1(4分)》 =1-5.(6分) 17.(6分) 【详解】解：：AB‖CF, .∠ADE=∠F;(1分) I∠ADE=∠F 在△ADE和aCFE中，{DE=EF ,(4分) ∠AED=∠CEF △ADE兰△CFE(ASA):(5分) AD=CF.(6分) 1/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(6分) 【详解】(1)解：由对称性可知BC=2OC,AD⊥BC, :在Rt△A0C中，∠0AC=∠a=60°， OC ∴.sina= AC AB AC =3m, 0C=4C-sina=3xsin60°=35(m）, .BC=20C=3v3m. 答：遮蔽宽度BC为3√5m;(3分) (2)解：如图，过点E作EF⊥AD于点F. A P B 0 E :EF⊥AD,AD⊥DQ,EQ⊥DQ, ▣ D Q ∴.∠EFD=∠FDQ=∠DQE=90°， .四边形EFDQ是矩形， ∴.EF=D9=4.2m, 在RtAFE中，tana= EF AF 当∠B4C=2∠a=120°时，AF=EE=22.43m: tan60°√3 当∠BAC=2La=104时，AF二a529≈4,3= =3.28(m), 3.28-2.43=0.85≈0.9m. 答：点E下降的高度约为0.9m.(6分) 19.(8分) 【详解】(1)解：八年级A等级的人数为20-5-4-8=3， 八年级数据中从小到大排列后第10个和第11个数据分别为：88,89， 2/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .中位数a 88+89=88.5, 九年级中A、B、C、D等级的人数为20×20%=4,20×15%=3,20×45%=9,20×20%=4， 所以数据中出现次数最多的是88， .众数b=88; 补全条形统计图如图： 人数 (3分) A BC D等级 (2)解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由如下：两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学 生对当前信息技术的了解情况更好；(5分) (3)解：580×3+525×20%=192（人） 20 答：估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有192人.(8分) 20.(8分) 【详解】(1)解：由题意得，满足宽。长 ≈0.618的矩形是黄金矩形， 长长+宽 故答案为：满足宽=长 ”长长+ ≈0.618的矩形是黄金矩形；(2分) (2)解：：AP=BP BPAB =k, .BP=kAB=k, .AP=AB -BP=1-k, :1k=k, k k2+k-1=0, 解得k=5-1≈0.618（负值舍去，4分） 2 (3)解：直线CP是ABC的黄金分割线，理由如下： :点P是线段AB的黄金分割点， 3/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AP BP BP AB 设ABC的边AB上的高为h,则 -APxh SAAPC= 2 AP SABPC=2 BP×hBP S△BPC BP'SAABC 1 -BPxh ABxh AB 2 SAAPC=SABPC SSWC :.直线CP是ABC的黄金分割线.(6分) (4)解：由(2)知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点 W,则过点W的直线均是ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条，(8分) 【点晴】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键， 21.(8分) 【详解】(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E, B :AD⊥BO于点D, D .∠D=∠BE0=90°， .∠BAD+∠ABD=90°，∠AOD+∠0AD=90°， :∠AOD=∠BAD, :∠ABD=∠OAD, 又：BC为O0的切线， .OC⊥BC, :∠BC0=∠D=90°， .∠BOC=∠A0D, :∠OBC=LOAD=∠ABD, 在△BEO和△BCO中， 4/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠BEO=∠BCO=90° ∠OBC=∠OBE BD=BD ∴△BEO≌△BCO(AAS 0E=0C, .0E是00的半径， :OE⊥AB, AB是⊙0的切线；(4分) (2)解：在Rt△A0D中，OD=2,AD=4, ·0A=V0D2+AD2=25, 由(1)可知，∠OAD=∠ABD, 又：∠AD0=∠BDA=90°， .△AODn△BAD, OD AD AD BD 24 . 4BD' BD=8, 0B=BD-0D=6, :∠BCO=∠AD0=90°，∠BOC=∠AOD, △BOC∽△AOD, OC OB OD OA 0C6 22V5’ 0C= 6N5 即00的半径6v .(8分) 5 5 22.(10分) 【详解】(1)解：根据题意可设抛物线C的解析式为y=a(x-4)+3, 3 将点0,0)代入，解得a=- 16 5/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 3 :抛物线C的解析式为y= 16x-4+3.(2分) (2)①根据题意可设抛物线C"的解析式为y=- -423+h=6-63+3+h 16 因为0E=8,0A=2+4=6,此时点B正好在抛物线C"最高点的下方，与最高点的距离超过0.15m,点D的 坐标为8,2.4.2.4+0.15=2.55. 因为无人机乙从平台上的点M处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点(8,2.55)恰好在抛物线C”上， 将点8,255列代入y=-3x-62+3+h, 16 解得h=0.3, 即该平台的高度MN为0.3m;(5分) ②由①得，抛物线C”的解析式为yx-6+3.3 当2x-6+33=6x-4+3, 16 23 解得x=5’ 39 除洽图像可得，当2≤x≤时，x=2有最大高度差，此时高度为 20 当23 ≤x≤8时，上二8有最大高度差，此时高度为)0 .3951 2020 :最大高度差为 20 .(8分) (3)存在； k的值为；或 联立y=子+和)=，整理可得日+-小-0，解得气=0（合。=d-4。 1 4 :d是正整数，4d是整数. :当4k是整数时，x的值也是整数， :0<k<4 :满足条件的k有4和吃(10分) 【点晴】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、二次函数的平移性质、二次函数与一 次函数的交点问题，正确理解题意是关键 6/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(11分) 【详解】(1)解：PC=PE, 理由：如图1，连接AP,由旋转的性质知，AC=AE,∠AED=LC=LAEP=90°， D A O d C P B 图1 AP=AP, .Rt△APE≌RtAAPC(HL), .PC=PE;(3分) (2)如图2，延长AE交BC于点F, D E F 图2 由(1)知，PC=PE, 设PC=PE=x, ∠CAE=30°，∠C=∠AEP=90°， .∠EFP=60°， .∠EPF=30°， :.PE=EF,AC=6,CF=TAF,EF=TPF 2 2 AC=AF2-CF2=3CF,PE =PF2-EF2=3EF .CF-5 AC-23.EF-V3PE PF-2EF-2N3 3 .CP+PF=CF ,2V3 .x x=23, 3 .x=12-6V3, 7/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BP=BC-PC=8-12-6V3=6V3-4;(7分) (3)解：当∠EBD=90°时，如图，过点A作AG⊥BD交PD于点H,过点E作EK⊥AD于点K, D H G C P B :将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE, .AD AB=10 :AG⊥BD .DG=BG :BE⊥BD,EK⊥AD,AG⊥BD ∴.∠EBG=∠BGK=∠GKE=90° :四边形EBGK是矩形 .EK =BG .EK =DG 又：∠KHE=∠GHD,∠EKH=∠HGD=90° .△EKH≌△DGH(AAS) EH=HD-ED-号8c=4 在Rt△AEH中，AH=VAE2+EH2=V62+42=2V3 :SB=)A6×EH=AH×EK 2 2 :EK=4E×EH-6x4_123 AH 2W1313 BD=2BG-2EK-243 3 当∠DEB=90°时，如图，此时点E在AB上 8/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D E P B :将ABC绕点A逆时针旋转得到ADE, .AE=AC=6,DE BC=8 .BE=AB-AE=10-6=4 在Rt△DEB中，BD=VED2+EB2=V⑧2+42=4V5; 由于旋转角小于90°，不存在∠BDE=90°， 综上所述，BD的长为24W或45.(1分) 13 24.(12分) 【详解】(1)解：令y=0,则x2-mx-m-1=0 r=m±ym+4m+4_m±m+2 2 2 x1=-1,x2=m+1 A在B左侧 .A-1,0),B(m+1,0)(4分) (2)解：如图，作PN∥y轴，AM∥y轴 B 左：PN∥y轴，4M/y轴 M .AM∥PN ∴.∠QAM=∠QPN,∠OMA=∠QNP ∴.△OPW∽△OAM 9/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 SACe10 AM S△c%PgPN' 当x=0时，y=-m-1, C0,-m-1, B(m+1,0),C(0,-m-1 直线BC:y=x-m-1 .M-1,-m-2】 :AM =m+2 ∵P(n,) :N(n,n2-mn-m-1 .PN=-n2+(m+1 n S△Mc2=Ag=AM m+2 SACPO PO PN+(m+1)n :m是常数 :当n=m+时，原式最小 2 .2n-m=1(8分) (3)解：取AB的中点D,以AD长为半径作圆D 当P在圆D上时，∠APB=90 A(-1,0),B(m+1,0) 10/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :AD=BD=PD=m+1 P(n,t) a-段+ r-(gja》 (贺+1n-2g+1-n+受 =(1+n)m+1-n） =-n2+mn+m+1 将P代入抛物线表达式 得到t=n2-mn-m-1 .-1=-n2+mn+m+1 t2=-t .t1=0（舍)，t2=-1 :∠APB是钝角 -1<t<0.(12分) 11/112026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[BJ[C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(6分) 计算： -(π-2026)°-V12+1-2sin60. 17.(6分) A E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) A E D 9 图1 图2 19.(8分) 人数 P (1)完成填空： a= b= D 65 20% 20% 并补全条形统计图； 432 15% c 45% 0 A BCD等级 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) B B 图1 图2 图3 ()类似地，请你给出黄金矩形的定义： 21.(8分) B O D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) y/m C C A E/m 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) D A C P B C P B B 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(6分) 计算： -(元-2026)°-V12+1-2sin60l. 17.(6分) E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) a P B E D 图1 图2 O 19.(8分) 人数 8 (1)完成填空：a= b= A 并补全条形统计图： 5 20% 20% 4 32 15% C 45% 0 A BCD等级 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) A 图1 图2 图3 ()类似地，请你给出黄金矩形的定义： 21.(8分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) y/m B X/m 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(11分) D A D C P B B 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！