新疆生产建设兵团第二师八一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷涵盖立体几何、复数、向量、解三角形等核心内容，解答题如19题结合中线与角平分线考查面积最值，体现知识综合应用与数学思维的层次性，适配阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|多面体识别、复数坐标、向量坐标运算|基础概念辨析，如第1题几何体分类，培养空间观念| |多选题|3/18|圆锥几何量、三角形性质判断|第10题结合轴截面面积考查母线长与体积，强化推理意识| |填空题|3/15|向量垂直、三角形面积、测量塔高|第14题实际测量情境，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|5/77|复数运算、解三角形、向量模与夹角、几何体体积表面积|19题综合角平分线与面积最值，培养逻辑推理与数学语言表达能力|

八一中学 2025-2026 学年第二学期高一年级期中考试试题数 学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．下列几何体为多面体的是 ( ) A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 2． 已知 i是虚数单位，则复数 z＝3+2i在复平面上对应的点的坐标为 ( ) A．（2，3） B．（2， __3） C．（3，2） D．（ __3，2） → 3． 已知点 A（ __1， __3）、B（2，6），则向量AB的坐标为 ( ) A．（1，3） B．（ __3， _9） C．（3，9） D．（ __2， __18） → → → → 4． 已知向量a (→) ，b满足|a (→) |＝2， |b|= 3 ，且a (→)与b的夹角为π , 则a (→)•b = ( ) 4 A． 6 B． 6 C． 3 D．3 2 5． 已知△ABC 的直观图△A′ B′ C′是直角三角形，如图，其中 O′ B′ ＝A′ B′ ＝B′ C′ ＝2，则 AC 的长度为 ( ) A．8 B．4 3 C．4 2 D．4 6．在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b， c，B＝45 ° , C＝75 ° , b = 2 ，则边 a 的长为 ( ) A． 5 B． 3 C． D．1 7． 已知平面向量m (→) =（1， __2）， n (→) =（6，8），则n (→)在m (→)方向上的投影向量坐标为 ( ) A．（2， _4） B．（ __2，4） C．( - ， - ) D．( ， ) → → → → → 8．如图，在平行四边形中，边AB = a，AD = b，点 E是对角线 BD上靠近点 D 的三等分点，则AE = ( ) → → → → A．2 a (→) + 1 b B．2 a (→) - 1 b C．1 a (→) + 2 b D．1 a (→) - 2 b 3 3 3 3 3 3 3 3 二．多选题（共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） （多选）9．已知复数 z在复平面上对应的点为 Z（2， __1），则 ( ) A． z＝ __1+2 i B． |z|＝5 C．z = 2 + i D． z _2 是纯虚数（多选）10．已知某圆锥的高为 2，轴截面面积为 4，则 ( ) A．该圆锥的母线长为 2 2 B．该圆锥的体积为4 π C．该圆锥的侧面积为 8 2π D．与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 8 π （多选）11．对于△ABC，有如下判断，其中错误的是 ( ) A．若 A＞B，则 sinA＞sin B B．若 acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形 → → → → → → C．若a . C = b . C ，则a = b D．若 sin2 A+sin2 B＜sin2 C，则△ABC是锐角三角形 三．填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） → → 12．已知向量a (→) = ( - 1 ，3) ，b = (λ , 2) ，若 a (→) 丄 b，则实数 λ = . 13．在△ABC 中，a＝2，C = 2 3 ，A＝120 ° , △ABC 的面积为 ． 3 14．如图所示，为测量河对岸的塔高 AB，选取了与塔底 B在同一水平面内的两个测量基点 C与 D，现测得tan ∠ACB = 3， 5 CD＝50m， ∠BCD＝75 ° , ∠BDC＝60 ° , 则塔高 AB= . 四．解答题（共 5 小题，其中 15 题 13 分，16、17 题各 15 分，18、19 各 17 分共 77 分） 15．（本小题 13 分）计算： （1）（5 _6i）+（ __2 _ i） _（3+4i）； （2）2+3i． 3-2i 第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页 ( 第 3 页 ) ( ◎ ) ( 第 4 页 ) ( 共 4 页 )共 4页 学科网（北京）股份有限公司 16．（本小题 15 分）根据下列条件解三角形． （1）在△ABC 中，已知 b＝13，a＝26，B＝30 °解三角形； （2）在△ABC 中，已知 b＝3， c＝1，A＝60 ° , 求 a； 17．（本小题 15 分）如图所示，长方体 ABCD﹣ A1 B1 C1 D1 的底面 ABCD是边长为 2 的正方形，其体积为 16． （1）求三棱锥 D1﹣ ADC 的体积； （2）求三棱锥 D1﹣ ADC 的表面积． → → 18．（本小题 17 分） 已知向量a = ( ﹣ 1，3），b =（1， ﹣2）． → ( → )（1）求|a + 2b|； → → （2）若 ( a (→) __ b） ∥ ( a (→) +kb），求 k 的值； → → → （3）求a与a + 2b的夹角 θ 的余弦值． 19．（本小题 17 分）在△ABC 中， 内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，满足﹣2bcosA＝ccosA+acosC． （1）求角 A 的大小； （2）若a = 2 7 ，BC边上的中线 AM 的长为 2，求△ABC 的面积； （3）若内角 A 的角平分线交 BC于 D 点，且AD = 3 ，求△ABC 的面积的最小值． $2025-2026学年第二学期高一年级期中考试试题 数 学 参考答案与试题解析 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：吴小燕 一.选择题（共8小题） 1.下列几何体为多面体的是（) A.长方体 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 【解答】解：根据多面体的定义：由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体可知，长方体为多面体，圆锥、圆柱、 圆台都不是多面体.故选：A 2.已知i是虚数单位，则复数z=3+2i在复平面上对应的点的坐标为() A.(2,3) B.(2,-3) C.(3,2) D.(-3,2) 【解答】解：，z=3+2i, ∴.z在复平面上对应的点的坐标为(3,2)，故选：C. 3.已知点A(-1,-3)、B(2,6),则向量的坐标为() A.(1,3) B.(-3,-9) C.(3,9) D.(-2,-18) 【解答】解：点A(-1,-3)、B(2,6), 则=(2,6)-(-1，-3)=(3,9).故选：C 4.已知向量，满足=2,1=V3,且与的夹角为，则.=() A.V6 B.9 C.3 D.3 【解答】解：因为=2，=V3,且与的夹角为好 所以.=<，>=2×V3×竖=V6.故选：A 5.已知△ABC的直观图△A'BC是直角三角形，如图所示，其中0B=A'B=BC=2,则AC的长度为() A.8 B.4v3 C.4V2 D.4 【解答】解：根据题意，△ABC的直观图△A'BC是直角三角形，且OB=A'B=BC=2, 所以′′=2√2，还原△ABC,如图所示， 第1页共6页 原图△ABC中，=4，=4V2,所以=V2+z=4V3.故选：B. 6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=45°，C=75°，=V2,则边a的长为() A.5 B.V3 C.6+v2 D.1 2 【解答】解：在△ABC中，B=45°，C=75°，=V2, 可得A=180°-45°-75°=60°， 根据正弦定理一=一，即运是可得=V。故选：2 2 7.己知平面向量=(1，-2)，=(6,8)，则在方向上的投影向量坐标为() A.（2,-4) B.(-2,4) c.(-,-韵 D.(g,) 【解答】解：因为=(1，-2)，一=(6,8)， 则1=V62+82=10, .°=1×6+(-2)×8=-10， 所以在方向上的投影向量坐标为()=-2=(-2,4).故选：B 8.如图，在平行四边形中，边”=，=，点E是对角线D上靠近点D的三等分点，则=(） A B +号 A.3 B. c+ 3 }- 【解答】解：由题意可得，上之士专 +( 号=号+号故：G 二。多选题（共3小题) (多选)9.已知复数z在复平面上对应的点为Z(2,-1),则() A.z=-1+2i B.z=5 C.-=2+ D.z-2是纯虚数 【解答】解：由题意可得z=2-i,故A错误； ||=√22+(-1)2=V5,故B错误： -=2+,故C正确； z-2=2-i-2=-i,故D正确.故选：CD. 第2页共6页 (多选)10.已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则() A.该圆锥的母线长为2√2B.该圆锥的体积为4 C.该圆锥的侧面积为8v2D.与该圆锥同底等高的圆柱的体积为8π 【解答】解：对于A,设该圆锥的底面半径为工，则轴截面面积为×2×2=4，解得r=2, 所以该圆锥的母线长为1=√22+22=2√2，选项A正确： 对于8该圆锥的体积为V=×2×2=?选项B错误： 对于C,该圆锥的侧面积为S侧=πrl=π×2X2W2=4V2π，选项C错误： 对于D,与该圆锥同底等高的圆柱的体积为S侧：=·×2=8π，选项D正确.故选：AD. (多选)11.对于△ABC,有如下判断，其中错误的是（) A.若A>B,则sinA>sinB B.若acosA-=bcosB,则△ABC是等腰三角形 C.若.=.，则= D.若sin什sinB<sinC,则△ABC是锐角三角形 【解答】解：在△ABC中，A>Ba>bsinA>sinB,A正确； 在△ABC中，由acosA-=bcosB及正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB, 即sin2A=sin2B,则2A=2B或2A=T-2B,整理得A=B或+=2B错误： 当=0附，均有.=.=0，而=不一定成立，C错误： 由sin什sinB<sinC及正弦定理，得a+b<c,则 =2422 <0, 2 即角C是钝角，因此△ABC是钝角三角形，D错误.故选：BCD. 三.填空题（共3小题） 12.已知向量=(-1,3)，=(，2)，若1，则实数入=6 【解答】解：若1，向量=(-1,3)，=(，2)， 则.”=-+6=0，则入=6.故答案为：6. 1B.在△c中，4=2，=29，A仁120，△cC的面积为9， 23 因为A=120°，所以0°<C<60°，所以C=30°. 所以B=180°-A-C=30°=C,所以△ABC的面积为= =×2×2× 30°=3 第3页共6页 14.如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠ = CD=50m,∠BCD=75°，∠BDC=60°，则塔高AB=_15V6一· 【解答】解：∠C0=180°-75°-60=45°，则60= 4501 =50 45° 60°=50.9=25V6, 22 2 已知AB⊥BC, 所以 =一=5 3 所以 =×25V6=15V6. 故答案为：15V6 四.解答题（共7小题） 15.计算：(1)(5-6)+(-2-i)-(3+41):(2)2+3 3-2 【解答】解：(1)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)-(6+1+4)i=-11i: 2)器-8号-贵-1 16.根据下列条件解三角形 (1)在△ABC中，已知b=13,a=26,B=30°解三角形： (2)在△ABC中，已知b=3,c=1,A=60°，求a: 【解答】解：（1)由正弦定理可得一=一， 即sinf左=26=1， 13 .A=90°，.C=60°，.c=asin60°=13v3, (2)由余弦定理可得a=+c-2 bccosA-=9+1-2X3X1×号=7，.a=V7, 17.如图所示，长方体ABCD-A,BCD的底面ABCD是边长为2的正方形，其体积为16. (1)求三棱锥D-ADC的体积： (2)求三棱锥D-ADC的表面积. D 第4页共6页 【解答】解：(1)因为长方体ABCD-ABCD的体积=2×DD=16,解得DD=4. 所以1=××22×1=××4×4=号 (2)记三棱锥D-ADC的表面积为S, 则=△1+△1+△+△1， 因为几何体ABCD-A,BCD为长方体， 所以△D,DA,△DDC,△ADC均为直角三角形，△DAC为等腰三角形， 因为AD=DC=2,DD=4, 所以1=1=2V5,=2V2, 所以△1=△1 =×2×4=4,△ =2×2×2=2, △1 =3×2W2×、(2W5)2-(W22=3×2V2×3V2=6, 所以=△1+△1+△+△1=4+4+2+6=16. 18.已知向量=(-1,3)，=(1，-2). (1)求+2： (2)若(-)∥(+k),求k的值： (3)求与+2的夹角0的余弦值. 【解答】解：(1)向量=(-1,3)，=(1，-2)， .+2=(-1,3)+(2,-4)=(1,-1). ∴.1+21=√12+(-1)2=2 (2),向量=(-1,3)，=(1，-2)， .-=(-1,3)-(1,-2)=(-2,5), +=(-1,3)+(，-2)=(-1,3-2): :(°-)∥(+k),.(-2)×(3-2k)-5×(k-1)=0. 整理得-6+4k-5+5=0,解得k=-1. (3).(+2)=(-1,3)(1,-1)=(-1)×1+3×(-1)=-4. 又|1=V(-1)2+3z=V10. 故 =C2 +22=-2 -4 51 19.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,满足-2 bcosA=-ccos什acosC. 第5页共6页 (1)求角A的大小： (2)若=2V7,BC边上的中线AM的长为2，求△ABC的面积： (3)若内角A的角平分线交BC于D点，且=V3,求△ABC的面积的最小值. 【解答】解：(1)由-2 bcosA=ccosA什acosC及正弦定理得： -2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin (A+C)=sin (n-B)=sinB, 因为A、B∈(0，r),所以sinB>0,则 =-2故=号 (2)因为=2V7,M为BC中点，则==V7, 由余弦定理得 22422=242-28=-克得+=28-bc, 2 2 在△AMB中，∠ 三，二2=7+4-2 2×√7×2 在△AMC中， 242-2=7+42) 二一2× 2xv7x2 因为∠AMB∠AIMC=T,所以cos∠AMB+cos.∠AMC=0, 所以，22-(b+c)=22-(28-bc)=0,解得：bc=6, 故△ABC的面积为△=； =x6×9=识 2 (3)因为∠ =3AD平分∠BM(,所以∠=∠=写 又=V3,则由SAm=Sm+S,得号 所以=3(+)， 由基本不等式可得=3(+)≥2V3,则V厂≥23，得bc≥12， 当且仅当==2V3时，等号成立， 所以△=号号=年之年×12=33，故△BC面积的最小值为3V3. 第6页共6页