精品解析：新疆乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年高一数学第二学期期中考试问卷

2025-2026学年高一数学第二学期期中考试问卷 （考试时间：120分钟 命题教师：许浩 审核老师：张瑞 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为， 点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为 向量对应的复数为． 2. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和先求出角，再根据正弦定理即可求出． 【详解】因为，所以． 由正弦定理可得，，即，解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，已知两角及一边，解三角形，属于基础题． 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则，， 而，则，所以与的夹角为. 故选：B 4. 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　）   A. 点 B. 点 C. 点但不过点 D. 点和点 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. 5. 点A，B在圆心为O的圆上，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 条件不足，无法计算 【答案】B 【解析】 【详解】令弦中点为，则，而， 所以. 6. 在中，，则“”是“的面积为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式以及余弦定理可判断“”和“的面积为”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由已知在中，， 若，则为正三角形，故， 若的面积为，则， 又,即， 解得，故， 所以“”是“的面积为”的充分必要条件， 故选：C 7. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：厘米）由关系式确定，其中，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 C. 当秒时，小球正在向上运动 D. 当时，若小球有且仅有四次到达最高点，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，利用特殊值判断C，根据正弦函数的性质判断 D. 【详解】由题，小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，有，则，故A错误； 因为， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B错误； 因为小球运动的周期，所以小球在秒的运动状态等价于小球在秒的运动状态 当秒时，，当时，，故小球正在向下运动，故C错误； 若，则，又当时，小球有且仅有四次到达最高点， 所以，解得，即，故D正确； 8. 已知数集（其中，，，），若对任意的（），都存在，使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量与向量；②向量与向量；③向量与向量，则称X具有性质P，例如具有性质P，若数集具有性质P，则满足条件的，的组数是（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题为新定义的题，考查向量共线的综合应用. 根据新定义，利用向量共线的条件列出等量关系， 先求出，再依次求出，去除不满足条件的值，即可解决问题. 【详解】解：由题意知，若具有性质，则根据定义有： 与，与，与表示的向量中恰有一组共线， 当与表示的向量共线时，可得，此时另外两个向量不共线，符合题意； 当与表示的向量共线时，可得或（舍），此时另外两组不共线，符合题意； 当与表示的向量共线时，可得，此时两外两个向量不共线，符合题意， 所以，的取值为或或. 当时，数集为，由其具有性质可知， ①若与，与，与表示的向量中恰有一组向量共线， 可得或或（舍）或（舍）； ②若与，与，与表示的向量中恰有一组向量共线， 可得或或（舍）或（舍）； ③若与，与，与表示的向量中恰有一组向量共线， 可得或或（舍）， 所以，具有性质可得的取值为，，，，，. 同理，当时，具有性质可得的取值为，，，，，； 同理，当时，具有性质可得的取值为，，，，，， 因此，数集具有性质P时，满足条件的，的组数为组. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B. 球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D. 若一个，采用斜二测画法作出其直观图是面积等于1的，则原的面积是 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若各侧面的延长线不交于一点则不是棱台，错误； 对于B，球的任意两个经过球心的圆都是球的大圆，其交点的连线必经过球心，是球的直径，正确； 对于C，如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，顶角都是，，这个棱锥不可能为六棱锥，错误； 对于D，由斜二测画法可得，正确. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 对任意，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理及三角形的性质判断即可；对于B，根据正弦定理及两角差的正弦公式化简判断即可；对于C，根据正弦定理及二倍角公式化简判断即可；对于D，由三角形内角和性质，余弦函数的性质判断即可. 【详解】对于A，由，根据正弦定理得，则，故A正确； 对于B，由，根据正弦定理得， 则，即，所以为等腰三角形，故B正确； 对于C，由，根据正弦定理得， 则，则或， 则或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由，则， 因为函数在上单调递减，则， 即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用余弦定理与三角形的面积公式判断AB，利用平面向量的数量积运算和外心的性质判断CD． 【详解】对于A，由余弦定理知，， ，， ，即，， ，，， A选项正确； 对于B，， B选项错误； 对于D，为的外心，为中点，则，如图所示，     所以，同理 ， ①， ②， 由①②得，，，，D选项错误； 对于C，，C选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则复数z的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果. 【详解】由题可得， 则复数z的虚部为. 13. 将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定几何体的结构特征，计算各面的面积相加即可. 【详解】由已知可得该几何体为底面半径为，高为的圆柱的，如下图： 所以该几何体的表面积， 故答案为：. 14. 如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意可得，则可利用余弦定理求得，则可得，再设，利用正弦定理可表示出，最后利用辅助角公式及范围即可得解. 【详解】如图，连接，在中，，则， 所以， 则， 所以， 设，则， 于是在中，由正弦定理，得， 所以， 所以， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数(为虚数单位)． （1）若，求复数的共轭复数； （2）若z是关于x的方程的一个虚根，求实数m的值． 【答案】（1）； （2）2． 【解析】 【分析】(1)结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； (2)将z代入二次方程即可求出m的值． 【小问1详解】 复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； 【小问2详解】 是关于的方程一个虚根， ，整理得：， 则2－m＝0，且2m－4＝0，故． 16. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. （1）求渔船甲的速度； （2）求的值. 【答案】（1）14海里小时； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，. 在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度. （2）在△中，，，，， 由正弦定理，即可解出的值. 【小问1详解】 (1）依题意，，，，. 在△中，由余弦定理，得 . 解得.故渔船甲的速度为海里小时. 即渔船甲的速度为14海里小时. 【小问2详解】 在△中，因为，，，， 由正弦定理，得，即. 的值为. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【小问1详解】 方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 18. 在中，已知，点是上一点，满足，点是边上一点，满足. （1）当时， ①求； ②求； （2）是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①，②； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）①由向量线性运算得，利用数量积的运算律求解即可；②由向量线性运算得，利用数量积的运算律求解即可； （2）由向量线性运算得，，然后利用向量垂直形式列式求解的值即可. 【小问1详解】 ， ①当时，点是的中点， 所以， 所以 ； ②当时，点是边的中点， 所以， ； 【小问2详解】 假设存在非零实数，使得， 由，得， 所以. 又，所以， 所以 ， 因为， 所以，无解，故不存在非零实数，使得. 19. 如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求：； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； （3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）由，分别求得和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解； （3）设，求得，根据，求得，再由，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：在仿射坐标系中，向量分别为同向的单位向量， 可得，且，所以， 因为向量，可得， 所以， 所以. 【小问2详解】 解：在仿射坐标系中，由， 可得，且， 所以， ，可得， ， 因为向量与的夹角为， 可得， 解得. 【小问3详解】 解：在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上， 设，其中，所以， 因为，点分别为中点，可得 又因为分别为中点，可得， 所以， 可得， 因为，所以，即，即， 又由向量，且， 所以， 因为，可得， 代入得， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学第二学期期中考试问卷 （考试时间：120分钟 命题教师：许浩 审核老师：张瑞 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　）   A. 点 B. 点 C. 点但不过点 D. 点和点 5. 点A，B在圆心为O的圆上，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 条件不足，无法计算 6. 在中，，则“”是“的面积为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：厘米）由关系式确定，其中，小球从最低点出发，经过秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为 C. 当秒时，小球正在向上运动 D. 当时，若小球有且仅有四次到达最高点，则 8. 已知数集（其中，，，），若对任意的（），都存在，使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量与向量；②向量与向量；③向量与向量，则称X具有性质P，例如具有性质P，若数集具有性质P，则满足条件的，的组数是（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B. 球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D. 若一个，采用斜二测画法作出其直观图是面积等于1的，则原的面积是 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 对任意，都有 11. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则复数z的虚部为______. 13. 将边长为1的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为______. 14. 如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数(为虚数单位)． （1）若，求复数的共轭复数； （2）若z是关于x的方程的一个虚根，求实数m的值． 16. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. （1）求渔船甲的速度； （2）求的值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求B； （2）求的最小值． 18. 在中，已知，点是上一点，满足，点是边上一点，满足. （1）当时， ①求； ②求； （2）是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求：； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； （3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $