四川省江油中学2025级高一下4月教学质量检测数学试题

**基本信息** 聚焦向量、复数与解三角形，通过潮汐现象、救援船问题及费马点等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高一下学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部（1）、向量共线（6）、解三角形（4）|基础概念辨析，如第5题正六边形向量运算考查几何直观| |多选题|3/18|复数性质（9）、三角函数应用（10）、三角形重心（11）|第10题潮汐模型结合实际，体现数学语言表达现实世界| |填空题|3/15|向量投影（12）、正弦定理（13）、三角恒等变换（14）|第12题投影向量考查数学抽象，强化基础运算| |解答题|5/77|向量夹角（15）、三角形四等分点（16）、救援船距离（17）、费马点（19）|第19题费马点结合数学文化，第17题实际救援问题提升数学建模与创新意识|

江油中学2025级高一下4月 教学质量检测 数 学 试 题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的虚部为（   ） A. B. C. D. 2.已知平面向量,若,则(      ) A. B. C. D. 3.已知向量，，，，则(      ) A. B. C. D. 4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则(      ) A. B. C. D. 5.如图，在正六边形中，(      ) A. B. C. D. 6.已知和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为(      ) A. B.1 C. D. 7.设的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则此三角形的形状为(      ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8.已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数满足，是纯虚数，其中，为虚数单位，则（   ） A. B. C. D.在复平面内所对应的点位于第二象限 10.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是(      ) A. B.最高水位为 C.该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D.一天内限制船只出入的时长为 11.记的内角，，的对边分别为，，，为内的一点,下列说法中正确的 有(      ) A.若，则 B.若为所在的平面内任意一点，，则点为三角形的重心 C.若，则为锐角三角形 D.若，，且为锐角三角形，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12.已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为 . 13.在中，，，，则 . 14.在中，分别是角的对边，若，则的值 为 . 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量与的夹角，且，． (1) 求，； (2) 求与的夹角的余弦值． 16.已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1) 请用、表示向量和； (2) 设和的夹角为，若，且，求证：； (3) 若，，求点的坐标. 17.某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时. (1) 求点到点的距离； (2) 若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 18.在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，C为锐角. (1)求角C； (2)若，求的取值范围； (3)若，延长至D，使得，，求的面积. 19.“费马点”是由法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求A； (2)若，设点P为的费马点，求； (3)设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 数 学 试 题 第 1页 共4 页 学科网（北京）股份有限公司 江油中学2025级高一下4月 教学质量检测 数 学 试 题 （参考答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B A C D B C D AD ACD ABD 1.【详解】因为. 所以复数的虚部为3. 故选D. 2.解析：因为,所以,解得. 故选:B. 3.【详解】因为，，，所以， ，解得，所以. 故选：A. 4.【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 5.【详解】在正六边形中，，， ,故选：D. 6.【详解】因为， 且A，B，D三点共线， 所以存在实数，使得，即， 则，解得.故选：B. 7.【详解】由余弦定理得，所以，因为，故.由，得，即，化简得，因为，所以，可得，则.故，因此为直角三角形.故选C. 8.【详解】因为分别表示与方向上的单位向量，所以表示的平分线上的共线向量，又，即与垂直，由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则⊥，又，其中，所以，，故， 以为坐标原点，建立直角坐标系 ，， 设， ， 当时 的最小值为，故的最小值为. 故选：D 9.【详解】； 对于A，是纯虚数，，，A正确 对于B，，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 10.【详解】水位最高点和最低点的时间间隔为， ，解得， ，解得，故A正确； 中午点的水深为， ，化简得，解得， 最高水位为函数最大值，故B错误； 当水深超过时限制船只出入， ，则， 解得， 在范围内，有效区间为和，共8小时，在早上8点之后开始首次限制， 故C正确、D正确 故选：ACD. 11.【详解】对于A，因，，由及正弦定理可得， 故得．又因为“三角形中大边对大角”，所以，故A正确； 对于B，， 取BC中点为D，则，则P点为BC边中线更靠近BC边中点D的三等分点，由重心性质可得P为的重心，故B正确； 对于C，当，时，满足，但为钝角三角形，故C错误； 对于D，因为为锐角三角形，且， 则，解得．所以． 由正弦定理，得，所以，D正确. 故选ABD. 12.【详解】由平面向量，的夹角为，且，， 所以在上的投影向量为. 13.【详解】在中，由，可得， 由正弦定理得，，即，解得， 由余弦定理得，，整理得，， 即， 解得舍去或， 故答案为:. 14.【详解】由，得， 又，所以，所以， 则 . 15.【详解】（1）由已知，得，…………………………2分 ……………………………………6分 （2）.………………9分 设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为．……………………………………………………13分 16.【详解】（1）………………2分 ………………………………………………5分 （2），…………………………………………………………………6分 ， ……………………………………………………………………………………………11分 （3）设，由已知可得…………………………………………………………12分 ，即 所以点的坐标是……………………………………………………………………………15分 17.【详解】（1）由题意知海里， ， ，…………………………………………………………………1分 ……………………………3分 在中，由正弦定理得， ， （海里）.…………………………………………………7分 （2）在中，，…………………………8分 （海里），由余弦定理得 ， （海里）…………………………………………………………………………………13分 则救援船到达点需要时间（小时）．…………………………………………………15分 18.【详解】（1）因为，由正弦定理， 得（*）. 又， 所以， 代入（*），可得. 因为，所以， 所以，………………………………………………………………………2分 即.因为， 所以， 所以，即.…………………………………………………………………………5分 （2）， …………………………………………………………………8分 ， 所以的取值范围是.…………………………………………………………………11分 （3）在中，由正弦定理得① 在中，，， 由正弦定理，②. 由①②可得，展开化简得， 因为，所以.………………………………………………………………………14分 因为，，所以. 所以.………………………………………………………………17分19.【详解】(1)由已知中，， 即，故，…………………………2分 由正弦定理可得， 故直角三角形，即.……………………………………………………………………5分 (2)由(1)可得的三个角都小于， 则由费马点定义可知： ， 设，，， 由得： ， 整理得…………………………………………………………………………7分 则 .……………………………………………………………………………10分 (3)点P为的费马点， 则， 设,, ,,,， 则由得； 由余弦定理得 ， ， ， 故由 得， 即，………………………………………………………………………………13分 而，, 故， 当且仅当， 结合，解得时， 等号成立， 又，即有， 解得或（舍去）， 故实数t的最小值为.………………………………………………………………………17分 数学试题参考答案 第 1页 共4 页 学科网（北京）股份有限公司 $